크룰 정역

1. 개요

크룰 정역은 정역의 일종으로, 특정 조건을 만족하는 환이다. 크룰 정역은 높이가 1인 소 아이디얼의 국소화가 이산 값매김환이고, 정역이 분수체의 부분환으로 표현되며, 각 원소에 대해 소 아이디얼의 집합이 유한하다는 특징을 갖는다. 크룰 정역은 정수적으로 닫힌 정역, 데데킨트 정역, 유일 인수 분해 정역 등과 포함 관계를 가지며, 다항식환과 멱급수환 역시 크룰 정역이 된다. 모리-나가타 정리에 따르면, 뇌터 정역의 유한 대수적 확대에서 정수적 폐포는 크룰 정역이다. 크룰 정역 위에서는 베유 인자, 카르티에 인자, 인자 유군, 피카르 군 등의 개념을 정의할 수 있으며, 대수기하학에서 인자 이론을 연구하는 데 활용된다. 크룰 정역은 볼프강 크룰에 의해 1931년에 처음 소개되었다.

2. 정의

정역 $R$이 다음 세 조건들을 모두 만족시키면 크룰 정역이라고 한다.

# $R$의 높이가 1인 소 아이디얼들의 집합을 $P$라고 하자. 임의의 $\backslash mathfrak\; p\backslash in\; P$에 대하여, 국소화 $R\_\{\backslash mathfrak\; p\}$는 이산 값매김환이다.
# 국소화는 분수체의 부분환 $R\_\{\backslash mathfrak\; p\}\backslash subseteq\backslash operatorname\{Frac\}R$으로 생각할 수 있다. 그렇다면 $\backslash textstyle\backslash bigcap\_\{\backslash mathfrak\; p\backslash in\; P\}R\_\{\backslash mathfrak\; p\}=R\backslash subseteq\backslash operatorname\{Frac\}R$이다.
# 임의의 $r\backslash in\; R$에 대하여, 만약 $r\backslash ne0$이라면 $\backslash \{\backslash mathfrak\; p\backslash in\; P\backslash colon\; r\backslash in\backslash mathfrak\; p\backslash \}$는 유한 집합이다.

정역 $A$의 높이가 1인 모든 소 아이디얼의 집합을 $P$라고 할 때, 다음 조건들을 만족시키면 $A$는 크룰 정역이다.

# 모든 $\backslash mathfrak\{p\}\; \backslash in\; P$에 대해 $A\_\{\backslash mathfrak\{p\}\}$는 이산 값매김 환이다.
# $A$는 이 이산 값매김 환들의 교집합이다(분수체 $A$의 부분환으로 간주).
# $A$의 0이 아닌 모든 원소는 높이가 1인 소 아이디얼의 유한 개수에만 포함된다.

값매김을 사용하여 크룰 정역을 정의할 수도 있다. 정역 $A$가 크룰 정역이 되려면, 분수체 $K$에 대한 이산 값매김의 집합 $\backslash \{\; v\; \_\; \{i\}\; \backslash \}\; \_\; \{i\; \backslash in\; I\; \}$가 존재하여 다음 조건을 만족해야 한다.

# 모든 $x\; \backslash in\; K\; \backslash setminus\; \backslash \{\; 0\; \backslash \}$에 대해, (유한 개를 제외한) 모든 $i$에 대해 $v\; \_\; \{i\}\; (\; x)\; =\; 0$이다.
# 모든 $x\; \backslash in\; K\; \backslash setminus\; \backslash \{\; 0\; \backslash \}$에 대해, $x$가 $A$에 속하는 것은 모든 $i\; \backslash in\; I$에 대해 $v\; \_\; \{i\}\; (\; x)\; \backslash geq\; 0$일 때 뿐이다.

3. 성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

크룰 정역 $R$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 유일 인수 분해 정역이다.
* 높이가 1인 모든 소 아이디얼이 주 아이디얼이다.

뇌터 국소환 $R$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $R$는 크룰 환이다.
* $R$의 (유일한 극대 아이디얼 $\backslash mathfrak\; m$에 대한) 완비화는 크룰 환이다.

정역 $R$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 데데킨트 정역이다.
* 크룰 차원이 0 또는 1인 크룰 정역이다.

뇌터 정역 $R$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 크룰 정역이다.
* 정수적으로 닫힌 정역이다.

만약 $R$가 크룰 정역이라면, 다음 두 가환환 역시 크룰 정역이다.
* 다항식환 $R[x]$
* 형식적 멱급수환 $Rx$

모리-나가타 정리([森]-[永田]定理, Mori–Nagata theorem^영어)에 따르면, $R$가 뇌터 정역이며, $L$이 분수체 $\backslash operatorname\{Frac\}R$ 위의 유한 대수적 확대라고 하자. 그렇다면, $R$의 $L$ 속의 정수적 폐포는 크룰 정역이다. 이 정리는 모리 요시로(森 誉四郎^일본어)와 나가타 마사요시 가 증명하였다.

어떤 고유 인수 분해 정역도 크룰 정역이다. 반대로, 크룰 정역은 높이가 1인 모든 소 아이디얼이 주 아이디얼일 때 (그리고 그럴 때만) 고유 인수 분해 정역이다.

모든 정수적으로 닫힌 노에터 정역은 크룰 정역이다. 특히, 데데킨트 정역은 크룰 정역이다. 반대로, 크룰 정역은 정수적으로 닫혀 있으므로, 노에터 정역이 크룰 정역이 되려면 정수적으로 닫혀 있어야 한다.

만약 $A$가 크룰 정역이면, 다항식환 $A[x]$와 형식적 멱급수환 $Ax$도 크룰 정역이다.

$A$를 자리스키 링 (예: 국소 노에터 링)이라고 하자. 만약 완비화 $\backslash widehat\{A\}$가 크룰 정역이면, $A$는 크룰 정역이다 (모리).

크룰 정역이 유일 인수 분해 정역인 것과 높이 1의 모든 소 아이디얼이 단항 아이디얼인 것은 동치이다.

4. 모리-나가타 정리

모리-나가타 정리([森]-[永田]定理, Mori–Nagata theorem^영어)에 따르면, $R$가 뇌터 정역이며, $L$이 분수체 $\backslash operatorname\{Frac\}R$ 위의 유한 대수적 확대일 때, $R$의 $L$ 속의 정수적 폐포는 크룰 정역이다. 이 정리는 모리 요시로(森 誉四郎^일본어)와 나가타 마사요시가 증명하였다.

5. 크룰 정역의 인자 이론

크룰 정역의 스펙트럼 위에서는 대수다양체와 마찬가지로 인자 이론을 정의할 수 있다.

크룰 정역 $A$의 소 약수는 높이가 1인 소 아이디얼이다. 소 약수의 집합은 $P(A)$로 표기한다. (Weil) 약수는 소 약수의 형식적인 정수 선형 결합이며, 이들은 아벨 군 $D(A)$를 이룬다. $K$에서 0이 아닌 $x$에 대한 $div(x)=\backslash sum\_\{p\backslash in\; P\}v\_p(x)\backslash cdot\; p$ 형태의 약수를 주 약수라고 한다. 주 약수는 약수 군의 부분군을 형성하며, 약수 군을 주 약수의 부분군으로 나눈 몫을 $A$의 약수류 군($C(A)$)이라고 한다.

$B$가 $A$를 포함하는 크룰 정역일 때, $B$의 소 아이디얼 $\backslash mathfrak\; P$가 $A$의 소 아이디얼 $\backslash mathfrak\; p$ 위에 놓인다는 것은 $\backslash mathfrak\; P\backslash cap\; A\; =\; \backslash mathfrak\; p$임을 의미하며, $\backslash mathfrak\; P|\backslash mathfrak\; p$로 쓴다. $v\_\{\backslash mathfrak\; P\}$의 $v\_\{\backslash mathfrak\; p\}$에 대한 분기 지수를 $e(\backslash mathfrak\; P,\backslash mathfrak\; p)$로 표기하고, $P(B)$를 $B$의 소 약수 집합으로 표기하면, $P(A)\backslash to\; D(B)$를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:$j(\backslash mathfrak\; p)\; =\; \backslash sum\_\{\backslash mathfrak\; P|\backslash mathfrak\; p,\backslash \; \backslash mathfrak\; P\backslash in\; P(B)\}\; e(\backslash mathfrak\; P,\; \backslash mathfrak\; p)\; \backslash mathfrak\; P$
$j$를 선형적으로 확장하여 선형 사상 $D(A)\backslash to\; D(B)$를 얻는다.
이때, 사상 $\backslash bar\; j:C(A)\backslash to\; C(A[X])$는 전단사이다. 특히, $A$가 고유 인수 분해 정역이면 $A[X]$도 그러하다.

크룰 환의 약수류 군은 강하 방법, 특히 갈루아 강하를 설정하는 데 사용된다.

5.1. 베유 인자

크룰 정역 $R$ 위의 베유 인자는 높이가 1인 소 아이디얼들의 형식적 선형 결합이다. 이들이 이루는 자유 아벨 군을 $D(R)$라고 한다. 영 아이디얼이 아닌 주 아이디얼인 소 아이디얼 $(r)$은 주인자(principal divisor^영어)라고 하며, 이들은 아벨 군 $P(R)\backslash subseteq\; D(R)$를 이룬다.

5.2. 카르티에 인자

크룰 정역 $R$ 위의 카르티에 인자는 국소 주 베유 인자(locally principal Weil divisor^영어)이다. 이는 모든 베유 인자가 국소적으로 주 인자 형태로 표현될 수 있음을 의미한다. 카르티에 인자들은 아벨 군 $C(R)$을 이룬다.

예를 들어, 링 k[x,y,z]/(xy–z²)에서 인자 y=z는 카르티에 인자가 아니다.

5.3. 인자 유군과 피카르 군

크룰 정역 $R$의 인자 유군(因子類群, divisor class group)은 베유 인자군의 주인자군에 대한 몫군 $D(R)/P(R)$이다. $R$의 피카르 군은 카르티에 인자군의 주인자군에 대한 몫군 $C(R)/P(R)$이며, 인자 유군의 부분군이다. 피카르 군은 $\backslash operatorname\{Spec\}R$ 위의 가역층들의 텐서곱에 대한 아벨 군과 동형이다.

예를 들어, 링 k[x,y,z]/(xy–z²)에서 인자 유군은 차수가 2이며, 인자 y=z에 의해 생성되지만, 피카르 부분군은 자명군이다.

6. 예

유일 인수 분해 정역 $R$ 위의 가산 무한 개의 변수를 갖는 다항식환 $R[x\_1,x\_2,\backslash dots]$는 크룰 정역이지만, 뇌터 환은 아니다.

모든 고유 인수 분해 정역은 크룰 정역이다.

정수적으로 닫힌 노에터 정역은 모두 크룰 정역이다. 특히, 데데킨트 정역은 크룰 정역이다.

$A$가 크룰 정역이면, 다항식환 $A[x]$와 형식적 멱급수환 $Ax$도 크룰 정역이다.

$A$가 노에터 정역이고, 분수체가 $K$이며, $L$이 $K$의 유한 대수적 확대라고 하자. 그러면 $L$에서 $A$의 정수적 폐포는 크룰 정역이다(모리-나가타 정리).

7. 역사

볼프강 크룰이 1931년에 도입하였다.