토메 함수

1. 개요

토메 함수는 다음과 같이 정의되는 함수 $f\backslash colon\backslash mathbb\; R\backslash to\backslash mathbb\; R$이다. 유리수 $x$에 대해서는 $x\; =\; p/q$($p,\; q$는 서로소인 정수, $q\; >\; 0$)일 때 $f(x)\; =\; 1/q$이고, 무리수 $x$에 대해서는 $f(x)\; =\; 0$이다. 이 함수는 유계 함수이며 주기 함수이고, 모든 유리수에서 불연속이며 모든 무리수에서 연속이다. 또한, 모든 유리수에서 극댓값을 가지며, 리만 적분 가능하고 적분 값은 0이다. 토메 함수는 카를 요하네스 토메의 이름을 따서 명명되었으며, DNA 염기서열 분석 등과 관련이 있다.

2. 정의

토메 함수 $f\backslash colon\backslash mathbb\; R\backslash to\backslash mathbb\; R$는 다음과 같이 정의된다.

:$f(x)=\backslash begin\{cases\}$
\frac 1q & x=\frac pq,\;p,q\in\mathbb Z,\;\gcd\{p,q\}=1,\;q>0 \\
0 & x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q
\end{cases}

3. 성질

토메 함수는 다음과 같은 성질을 갖는다.

* 유계성 및 주기성

토메 함수 $f$는 유계이며 모든 실수를 단위 구간으로 매핑한다. 즉, $f\; :\; \backslash mathbb\; R\; \backslash to\; [0,\; 1]$이다.

$f$는 주기 $1$을 갖는 주기적이다. 즉, 모든 정수 및 모든 실수 에 대해 $f(x\; +\; n)\; =\; f(x)$이다.

* 연속성

$f$는 모든 유리수에서 불연속이므로 불연속점은 실수 내에서 조밀하다.

$f$는 모든 무리수에서 연속이므로 연속점은 실수 내에서 조밀하다.

* 미분

$f$는 어디에서도 미분 가능하지 않습니다.

* 극댓값

$f$는 각 유리수에서 엄격한 극대값을 갖는다.

* 적분
$f$는 임의의 구간에서 리만 적분 가능하며, 적분은 임의의 집합에 대해 $0$으로 평가된다.
적분 가능성에 대한 르베그 기준에 따르면 유계 함수는 불연속점의 집합이 측도 0을 갖는 경우에만 리만 적분 가능하다. 유리수와 같은 실수의 모든 가산 부분 집합은 측도 0을 가지므로 토메 함수가 임의의 구간에서 리만 적분 가능함을 보여준다. 함수의 적분은 함수가 거의 모든 곳에서 0과 같기 때문에 임의의 집합에 대해 $0$과 같다.

3.1. 유계성 및 주기성

토메 함수 $f$는 유계이며 모든 실수를 단위 구간으로 매핑한다. 즉, $f\; :\; \backslash mathbb\; R\; \backslash to\; [0,\; 1]$이다.

$f$는 주기 $1$을 갖는 주기적이다. 즉, 모든 정수 및 모든 실수 에 대해 $f(x\; +\; n)\; =\; f(x)$이다.

3.2. 연속성

토메 함수 $f$는 모든 유리수점에서 불연속이며, 모든 무리수점에서 연속이다. 이는 임의의 $x\backslash in\backslash mathbb\; R$에 대하여,
:$\backslash lim\_\{y\backslash to\; x\}f(y)=0$
이기 때문이다.

임의의 실수 $x$ 및 $\backslash epsilon>0$에 대하여, 인 양의 정수 $n$을 취한다. 분모가 $\backslash \{1,\backslash dots,n\backslash \}$에 속하는 분수로 나타낼 수 있는 유리수들의 집합을
:$A=\backslash mathbb\; Z\backslash cup\backslash frac\; 12\backslash mathbb\; Z\backslash cup\backslash cdots\backslash cup\backslash frac\; 1n\backslash mathbb\; Z$
라고 정의한다.

$A$ 속 임의의 서로 다른 두 점 사이의 거리는 $\backslash textstyle\backslash frac\; 1\{n^2\}$ 이상이므로, $A$는 극한점을 갖지 않는다. 특히 $x$는 $A$의 극한점이 아니므로,
:$((x-\backslash delta,x)\backslash cup(x,x+\backslash delta))\backslash cap\; A=\backslash varnothing$
인 $\backslash delta>0$를 취할 수 있다.

임의의 $y\backslash in(x-\backslash delta,x)\backslash cup(x,x+\backslash delta)$에 대하여, $y$는 무리수이거나, 분모가 양의 정수인 기약 분수로 나타냈을 때 분모가 $n$보다 큰 유리수이므로,
:
이다.

만약 $x\backslash in\backslash mathbb\; Q$라면
:$\backslash lim\_\{y\backslash to\; x\}f(y)=0\backslash ne\; f(x)$
이므로 $x$에서 불연속이다.

만약 $x\backslash in\backslash mathbb\; R\backslash setminus\backslash mathbb\; Q$라면
:$\backslash lim\_\{y\backslash to\; x\}f(y)=0=f(x)$
이므로 $x$에서 연속이다.

3.2.1. 증명

임의의 실수 $x$ 및 $\backslash epsilon>0$에 대하여, 인 양의 정수 $n$을 취한다. 분모가 $\backslash \{1,\backslash dots,n\backslash \}$에 속하는 분수로 나타낼 수 있는 유리수들의 집합을
:$A=\backslash mathbb\; Z\backslash cup\backslash frac\; 12\backslash mathbb\; Z\backslash cup\backslash cdots\backslash cup\backslash frac\; 1n\backslash mathbb\; Z$
라고 정의한다.

$A$ 속 임의의 서로 다른 두 점 사이의 거리는 $\backslash textstyle\backslash frac\; 1\{n^2\}$ 이상이므로, $A$는 극한점을 갖지 않는다. 특히 $x$는 $A$의 극한점이 아니므로,
:$((x-\backslash delta,x)\backslash cup(x,x+\backslash delta))\backslash cap\; A=\backslash varnothing$
인 $\backslash delta>0$를 취할 수 있다.

임의의 $y\backslash in(x-\backslash delta,x)\backslash cup(x,x+\backslash delta)$에 대하여, $y$는 무리수이거나, 분모가 양의 정수인 기약 분수로 나타냈을 때 분모가 $n$보다 큰 유리수이므로,
:
이다.

만약 $x\backslash in\backslash mathbb\; Q$라면
:$\backslash lim\_\{y\backslash to\; x\}f(y)=0\backslash ne\; f(x)$
이므로 $x$에서 불연속이다.

만약 $x\backslash in\backslash mathbb\; R\backslash setminus\backslash mathbb\; Q$라면
:$\backslash lim\_\{y\backslash to\; x\}f(y)=0=f(x)$
이므로 $x$에서 연속이다.

3.3. 극댓값

임의의 유리수 $x\backslash in\backslash mathbb\; Q$에 대하여,
:$\backslash lim\_\{y\backslash to\; x\}f(y)=0$
:$f(x)>0$
이므로,
:
인 $\backslash delta>0$가 존재한다. 따라서, 토메 함수는 모든 유리수점에서 엄격한 극댓값을 갖는다.

3.3.1. 증명

임의의 유리수 $x\backslash in\backslash mathbb\; Q$에 대하여,

:$\backslash lim\_\{y\backslash to\; x\}f(y)=0$

:$f(x)>0$

이므로,

:

인 $\backslash delta>0$가 존재한다. 따라서, 토메 함수는 모든 유리수점에서 엄격한 극댓값을 갖는다.

3.4. 미분

토메 함수는 모든 점에서 미분 불가능하다.

증명:

토메 함수 $f$는 모든 유리수점에서 불연속이므로 모든 유리수점에서 미분 불가능하다.

임의의 무리수 $x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \backslash mathbb\{Q\}$에 대하여, $x$로 수렴하는 유리수 수열 $(y\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash subseteq\; \backslash mathbb\{Q\}$을 생각하자. $x$의 소수점 표기를
:$x=x\_0.x\_1x\_2\backslash cdots$
라고 하고, 다음과 같은 유리수 수열을 취한다.
:$y\_n=x\_0.x\_1x\_2\backslash cdots\; x\_n$
그러면 $(y\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty$은 $x$로 수렴하며, 임의의 $n\backslash ge\; 0$에 대하여,
:$\backslash left|\backslash frac\{f(y\_n)-f(x)\}\{y\_n-x\}\backslash right|=\backslash frac\{f(y\_n)\}\{0.0\backslash cdots\; 0x\_\{n+1\}x\_\{n+2\}\backslash cdots\}\backslash ge\backslash frac\{1/10^n\}\{1/10^n\}=1$
이다. 따라서
:$\backslash limsup\_\{y\backslash to\; x\}\backslash left|\backslash frac\{f(y)-f(x)\}\{y-x\}\backslash right|\backslash ge\backslash limsup\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash left|\backslash frac\{f(y\_n)-f(x)\}\{y\_n-x\}\backslash right|\backslash ge\backslash liminf\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash left|\backslash frac\{f(y\_n)-f(x)\}\{y\_n-x\}\backslash right|\backslash ge\; 1$
이다.

반면, $x$로 수렴하는 임의의 무리수 수열 $(z\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash subseteq\backslash mathbb\; R\backslash setminus\backslash mathbb\; Q$을 취했을 경우, 임의의 $n\backslash ge\; 0$에 대하여,
:$\backslash left|\backslash frac\{f(z\_n)-f(x)\}\{z\_n-x\}\backslash right|=0$
이므로,
:$\backslash liminf\_\{y\backslash to\; x\}\backslash left|\backslash frac\{f(y)-f(x)\}\{y-x\}\backslash right|\backslash le\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash left|\backslash frac\{f(z\_n)-f(x)\}\{z\_n-x\}\backslash right|=0$
이다.

따라서, 극한
:$\backslash lim\_\{y\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{f(y)-f(x)\}\{y-x\}$
은 존재하지 않으므로, 토메 함수는 모든점에서 미분 불가능하다.

3.4.1. 증명

토메 함수 $f$는 모든 유리수점에서 불연속이므로 모든 유리수점에서 미분 불가능하다.

임의의 무리수 $x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \backslash mathbb\{Q\}$에 대하여, $x$로 수렴하는 유리수 수열 $(y\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash subseteq\; \backslash mathbb\{Q\}$을 생각하자. $x$의 소수점 표기를
:$x=x\_0.x\_1x\_2\backslash cdots$
라고 하고, 다음과 같은 유리수 수열을 취한다.
:$y\_n=x\_0.x\_1x\_2\backslash cdots\; x\_n$
그러면 $(y\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty$은 $x$로 수렴하며, 임의의 $n\backslash ge\; 0$에 대하여,
:$\backslash left|\backslash frac\{f(y\_n)-f(x)\}\{y\_n-x\}\backslash right|=\backslash frac\{f(y\_n)\}\{0.0\backslash cdots\; 0x\_\{n+1\}x\_\{n+2\}\backslash cdots\}\backslash ge\backslash frac\{1/10^n\}\{1/10^n\}=1$
이다. 따라서
:$\backslash limsup\_\{y\backslash to\; x\}\backslash left|\backslash frac\{f(y)-f(x)\}\{y-x\}\backslash right|\backslash ge\backslash limsup\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash left|\backslash frac\{f(y\_n)-f(x)\}\{y\_n-x\}\backslash right|\backslash ge\backslash liminf\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash left|\backslash frac\{f(y\_n)-f(x)\}\{y\_n-x\}\backslash right|\backslash ge\; 1$
이다.

반면, $x$로 수렴하는 임의의 무리수 수열 $(z\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash subseteq\backslash mathbb\; R\backslash setminus\backslash mathbb\; Q$을 취했을 경우, 임의의 $n\backslash ge\; 0$에 대하여,
:$\backslash left|\backslash frac\{f(z\_n)-f(x)\}\{z\_n-x\}\backslash right|=0$
이므로,
:$\backslash liminf\_\{y\backslash to\; x\}\backslash left|\backslash frac\{f(y)-f(x)\}\{y-x\}\backslash right|\backslash le\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash left|\backslash frac\{f(z\_n)-f(x)\}\{z\_n-x\}\backslash right|=0$
이다.

따라서, 극한
:$\backslash lim\_\{y\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{f(y)-f(x)\}\{y-x\}$
은 존재하지 않으므로, 토메 함수는 모든점에서 미분 불가능하다.

3.5. 적분

$f$의 불연속점의 집합 $\backslash mathbb\; Q$는 가산 집합이므로 그 르베그 측도는 0이며, 따라서 $f$는 임의의 닫힌구간 위에서 리만 적분 가능하다. 닫힌구간의 임의의 분할에 대하여, 분할된 각 구간에서 무리수점을 취할 경우 리만 합은 0이 된다. 따라서 $f$의 닫힌구간에서의 적분은 0이며,
:$\backslash int\_\{\backslash mathbb\; R\}f(x)dx=\backslash lim\_\{a\backslash to-\backslash infty\}\backslash int\_a^0f(x)dx+\backslash lim\_\{b\backslash to\backslash infty\}\backslash int\_0^bf(x)dx=0$
이다.

3.5.1. 증명

$f$의 불연속점의 집합 $\backslash mathbb\; Q$는 가산 집합이므로 그 르베그 측도는 0이며, 따라서 $f$는 임의의 닫힌구간 위에서 리만 적분 가능하다. 닫힌구간의 임의의 분할에 대하여, 분할된 각 구간에서 무리수점을 취할 경우 리만 합은 0이 된다. 따라서 $f$의 닫힌구간에서의 적분은 0이며,
:$\backslash int\_\{\backslash mathbb\; R\}f(x)dx=\backslash lim\_\{a\backslash to-\backslash infty\}\backslash int\_a^0f(x)dx+\backslash lim\_\{b\backslash to\backslash infty\}\backslash int\_0^bf(x)dx=0$
이다.

4. 그래프

5. 관련 분포

DNA 염기서열 분석에서 토메 함수와 관련된 경험적 확률 분포가 나타난다. 인간 게놈은 이배체이며 염색체당 두 가닥을 가지고 있다. 염기서열 분석 시 작은 조각("리드")이 생성되는데, 게놈의 각 지점에 대해 정수 개수의 리드가 겹치게 된다. 이들의 비율은 유리수이며, 일반적으로 토메 함수와 유사하게 분포한다.

만약 양의 정수 쌍 $m,\; n$이 분포 $f(n,m)$에서 추출되어 비율 $q=n/(n+m)$을 생성하는 데 사용된다면, 이는 유리수에 대한 분포 $g(q)$를 생성한다. 정수가 독립적이라면, 이 분포는 유리수에 대한 컨볼루션으로 볼 수 있으며, $g(a/(a+b))\; =\; \backslash sum\_\{t=1\}^\backslash infty\; f(ta)f(tb)$이다. 절단점을 가진 멱법칙 분포에 대한 폐쇄형 해가 존재한다. 만약 $f(k)\; =k^\{-\backslash alpha\}\; e^\{-\backslash beta\; k\}/\backslash mathrm\{Li\}\_\backslash alpha(e^\{-\backslash beta\})$ (여기서 $\backslash mathrm\{Li\}\_\backslash alpha$는 폴리로그 함수이다)이라면 $g(a/(a+b))\; =\; (ab)^\{-\backslash alpha\}\; \backslash mathrm\{Li\}\_\{2\backslash alpha\}(e^\{-(a+b)\backslash beta\})/\backslash mathrm\{Li\}^2\_\{\backslash alpha\}(e^\{-\backslash beta\})$이다. 집합 $\backslash \{1,2,\backslash ldots\; ,\; L\backslash \}$에 대한 균일 분포의 경우, $g(a/(a+b))\; =\; (1/L^2)\; \backslash lfloor\; L/\backslash max(a,b)\; \backslash rfloor$인데, 이는 토메 함수와 매우 유사하다.

6. 역사

카를 요하네스 토메(Carl Johannes Thomae)의 이름을 땄다.

7. 관련 함수

정수에서, $n$을 나누는 2의 가장 높은 거듭제곱의 지수는 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, ... 이다. 1을 더하거나 0을 제거하면 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, ...가 된다. 값들은 1/16 눈금자 눈금과 유사하여 이름이 붙여졌다. 이 값들은 이진 유리수에 대한 토메 함수의 제한과 일치한다.
유리수에서 연속이고 무리수에서 불연속인 함수는 존재하지 않는다. 모든 함수의 불연속점 집합은 F_σ 집합이어야 한다. 만약 그러한 함수가 존재한다면, 무리수는 F_σ 집합이 될 것이고, 이는 베어 범주 정리에 모순된다.
토메 함수의 변형을 사용하여 실수 집합의 모든 F_σ 부분 집합이 함수의 불연속점 집합이 될 수 있음을 보일 수 있다.