멱법칙

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1. 개요

멱법칙은 한 변수가 다른 변수의 거듭제곱에 비례하는 함수적 관계를 의미하며, 척도 불변성을 특징으로 한다. 멱법칙은 로그-로그 플롯에서 직선으로 나타나며, 평균과 분산의 정의 여부에 따라 블랙 스완 행동을 보일 수 있다. 멱법칙은 지진 규모, 단어 빈도, 소득 분배 등 자연 현상과 사회 현상에서 관찰되며, 중력과 쿨롱의 법칙과 같은 역제곱 법칙, 그리고 프랙탈과 같은 구조적 자기 유사성을 포함한 다양한 현상을 설명한다. 멱법칙의 검증은 단순한 모델 적합 이상의 복잡한 과정을 거치며, 로그 정규 분포와 같은 다른 분포와의 구별이 중요하다. 멱법칙은 위험 관리, 자원 분배, 시스템 이해 등에 응용되며, 보편성, 즉 동일한 임계 지수를 갖는 시스템이 동일한 기본 역학을 공유한다는 개념과 관련이 깊다. 멱법칙 확률 분포는 꼬리 부분에서 멱법칙 형태를 따르며, 파레토 분포가 대표적이다. 멱법칙은 깨진 멱법칙, 지수 절단 멱법칙 등 다양한 변형을 갖는다.

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멱법칙

2. 멱법칙의 정의 및 특징

멱법칙 관계는 중력, 쿨롱의 법칙과 같은 역제곱 법칙을 포함하여 다양한 자연 현상에서 나타난다. 원의 면적과 같은 수학 공식이나, 주식 시장 붕괴, 대규모 자연 재해 등 극히 드문 사건의 빈도를 다루는 극단값 이론과 관련된 확률 분포에서도 멱법칙이 발견된다.^[54]

멱법칙에 대한 과학적 관심은, 멱법칙 관계를 생성하는 특정 메커니즘이 비교적 단순하다는 점에서 비롯된다. 즉, 데이터에서 멱법칙 관계를 관찰하면 해당 현상의 원인이 되는 메커니즘을 추론하거나, 관련 없어 보이는 다른 현상과의 연관성을 파악할 수 있다.^[54]

물리학에서 멱법칙은 차원 분석을 통해 나타나기도 하며, 복잡계에서는 계층 구조나 특정 확률적 과정의 특징으로 간주된다. 소득 분배에 대한 파레토 법칙, 프랙탈의 구조적 자기 유사성, 생물학적 시스템의 스케일링 법칙, 도시의 스케일링 법칙 등이 멱법칙의 예시이다.^[54]

수학적으로 엄밀한 멱법칙은 확률 분포가 될 수 없지만, $x > x_\text{min}$ 에 대해 $p(x) = C x^{-\alpha}$ 와 같이 정의되는 잘린 멱함수 분포는 가능하다. 여기서 지수 $\alpha$ 는 1보다 커야 하고, 상수 ''C''는 확률 분포의 총 면적이 1이 되도록 하는 스케일링 인자이다. 일반적으로 지수는 $2 < \alpha < 3$ 범위에 속한다.^[54]

멱법칙 관계의 기원과 실제 현상에서의 검증은 물리학, 컴퓨터 과학, 언어학, 지구물리학, 사회학, 경제학 등 다양한 분야에서 활발히 연구되고 있다.^[54]

2. 1. 척도 불변성

멱법칙의 한 가지 특징은 척도 불변성이다. 관계식

f(x) = ax^{-k}

가 주어졌을 때, 변수

x

를 상수

c

만큼 척도 조절하면 함수 자체도 비례적으로 척도 조절된다. 즉,

:

f(c x) = a(c x)^{-k} = c^{-k} f( x ) \propto f(x),\!

여기서

\propto

는 정비례를 나타낸다. 다시 말해, 상수

c

로 척도 조절하는 것은 원래의 멱법칙 관계에 상수

c^{-k}

를 곱하는 것과 같다. 따라서 특정 척도 지수를 가진 모든 멱법칙은 상수를 제외하고 동일하다. 왜냐하면 각 멱법칙은 다른 멱법칙의 척도 조절된 버전이기 때문이다. 이러한 동작은

f(x)

와

x

모두에 로그를 취했을 때 선형 관계를 생성하며, 로그-로그 플롯의 직선은 종종 멱법칙의 "특징"이라고 불린다.

하지만, 멱법칙을 따르는 것처럼 보이는 데이터가 실제로는 멱법칙이 아닐 수 있다. 따라서 멱법칙 모델을 정확하게 검증하는 것은 통계학에서 활발히 연구되는 분야이다.

2. 2. 로그-로그 플롯

로그-로그 플롯에서 멱법칙 관계는 직선으로 나타나며, 이는 멱법칙을 판별하는 중요한 방법 중 하나이다. 멱법칙

f(x) = ax^{k}

에 로그를 취하면 다음과 같은 식이 된다.^[54]

:

\begin{align}\log(f(x)) &= \log(ax^{k}) \\&= \log(a) + \log(x^k) \\&= \log(a) + k \cdot \log(x),\end{align}

이는 로그-로그 눈금에서 기울기

k

를 갖는 직선을 형성한다. 즉, 로그-로그 플롯에서 직선은 멱법칙의 필요조건이 된다. 하지만 멱법칙이 아닌 많은 분포도 로그-로그 플롯에서 직선으로 나타나기 때문에 충분조건은 아니다.^[55]

로그-로그 플롯은 분포의 특정 숫자가 발생할 확률 추정치의 로그를 해당 숫자의 로그에 대해 플롯하는 방식으로 이루어진다. 일반적으로 이 추정치는 데이터 세트에서 해당 숫자가 발생하는 비율이다. 플롯의 점이 x축의 큰 숫자에 대해 직선으로 수렴하는 경향이 있다면, 해당 분포에 멱법칙 꼬리가 있다고 결론 내릴 수 있다.^[56]

로그-로그 플롯에서 직선은 멱법칙의 필요조건이지만 충분조건은 아니며, 직선의 기울기는 멱법칙 지수에 해당한다.

하지만, 로그-로그 플롯은 신뢰할 수 있는 결과를 얻으려면 방대한 양의 데이터가 필요하며, 이산(또는 그룹화된) 데이터에만 적합하다는 단점이 있다.

멱법칙을 따르는 데이터에서 로그-로그 플롯의 직선 관계는 멱법칙의 주요 특징(signature)으로 자주 불린다. 그러나 실제 데이터에서 이러한 직선 관계는 필요 조건일 뿐, 멱법칙 관계를 입증하는 충분 조건은 아니다. 멱법칙이 아닌 데이터에서도 이러한 직선 관계가 나타날 수 있기 때문이다.

2. 3. 평균과 분산

멱법칙 $x^{-k}$는 $x \in [1,\infty)$에서 $k > 2$일 때만 잘 정의된 평균을 가지며, $k > 3$일 때만 유한한 분산을 가진다. 자연에서 식별된 대부분의 멱법칙은 평균은 잘 정의되지만 분산은 그렇지 않은 지수를 가지며, 이는 이들이 블랙 스완 행동을 할 수 있음을 의미한다.^[67] 이는 다음의 사고 실험에서 볼 수 있다.^[9] 친구들과 함께 방에 있다고 상상하고, 방 안에 있는 사람들의 월평균 소득을 추정해 보자. 이제 월 소득이 약 10억달러인 세계 최고 부자가 방에 들어온다고 상상해 보자. 방의 평균 소득은 어떻게 될까? 소득은 파레토 분포라고 알려진 멱법칙에 따라 분포한다(예를 들어, 미국인들의 순자산은 지수가 2인 멱법칙에 따라 분포한다).

한편, 이는 분산 및 표준 편차에 기반한 전통적인 통계(예: 회귀 분석)를 적용하는 것이 잘못되었음을 의미한다.^[10] 다른 한편으로, 이는 또한 비용 효율적인 개입을 가능하게 한다.^[9] 예를 들어, 자동차 배기가스가 자동차 간에 멱법칙에 따라 분포되어 있기 때문에(극소수의 자동차가 대부분의 오염에 기여) 도로에서 극소수의 자동차를 제거하는 것만으로도 총 배기 가스를 실질적으로 줄일 수 있다.^[11]

그러나 중앙값은 존재한다. 지수 $k > 1$인 멱법칙 $x^{-k}$의 경우, 중앙값은 $2^{1/(k – 1)}x_{min}$ 값을 가지며, 여기서 $x_{min}$은 멱법칙이 성립하는 최소값이다.

3. 멱법칙의 실증적 사례

멱법칙은 자연 현상뿐만 아니라 사회 현상에서도 널리 발견된다. 매우 다양한 물리, 생물 및 인간이 만들어낸 현상들이 넓지만 제한된 범위에서 근사적으로 멱법칙을 따른다. 다양한 복합 매질에서 발생하는 음파 감쇠는 넓은 주파수 대역에 걸쳐 멱법칙을 따르며, 다양한 물리적, 생물학적, 그리고 인공적인 현상의 분포는 광범위한 크기 범위에서 멱법칙을 근사적으로 따른다.

멱법칙 관계는 중력이나 쿨롱의 법칙과 같은 역제곱 법칙, 원의 면적 계산 등 다양한 자연 현상의 형태와 수학적 공식을 기술한다. 또한, 여러 확률 분포는 점근적으로 멱법칙 관계에 가까워지는 꼬리를 가지며, 이는 극값 이론과 관련이 깊다.

데이터의 멱법칙 관계를 관찰하는 것은 자연 현상에 숨겨진 특정 종류의 메커니즘을 파악하고, 관련 없어 보이는 다른 현상과의 깊은 연결을 보여줄 수 있다는 점에서 과학적 관심을 끈다. 물리학에서 멱법칙은 차원 해석으로 설명되기도 하며, 복잡계에서는 계층성과 구조적 안정성의 징표로 여겨진다.

멱법칙의 예로는 지진 크기에 관한 구텐베르크-리히터 법칙, 소득 분포에 대한 파레토 법칙, 구조적 자기 유사성의 프랙탈, 생물학적 체계에서의 스케일링 법칙(알로메트리) 등이 있다. 멱법칙 관계의 기원과 실제 현상에서의 검증은 물리학, 컴퓨터 과학, 언어학, 지구물리학, 사회학, 경제학 등 현대 과학의 여러 분야에서 활발히 연구되고 있다.

하위 섹션에서 멱법칙의 구체적인 사례들을 더 자세히 살펴볼 수 있다.

3. 1. 자연 현상

지진의 규모, 달의 분화구 크기, 태양 플레어의 강도^[68] 등은 멱법칙을 따르는 대표적인 자연 현상이다. 음향 감쇠는 많은 복잡한 매체의 넓은 주파수 대역 내에서 주파수 멱법칙을 따르며, 생물학적 변수 간의 관계에 대한 동물 생장 곡선 법칙은 자연에서 가장 잘 알려진 멱법칙 함수 중 하나이다.

그 외에도 멱법칙으로 설명할 수 있는 자연 현상은 다음과 같다.

동물 대사율과 크기 사이의 관계를 나타내는 클라이버의 법칙 및 일반적인 상수 법칙
생태학에서 평균 개체군 크기와 개체군 크기의 분산 간의 관계를 나타내는 테일러의 법칙
담수어의 분류군에서 종 풍부도(종의 수)^[14]
전 세계적으로 산림 피복 패치의 크기^[16]
특정 지역에서 발견되는 종의 수를 해당 지역의 크기의 함수로 나타내는 종-면적 관계
중력이나 쿨롱의 법칙과 같은 역제곱 법칙

3. 2. 사회 현상

지진의 규모, 달의 크레이터, 태양 플레어,^[68] 단어의 사용 빈도, 성씨의 빈도, 정전, 전쟁 규모 등 다양한 사회 현상들이 멱법칙을 따른다.^[5] 멱법칙 관계는 주식 시장 붕괴나 대규모 자연 재해와 같이 극단적으로 드문 빈도로 생각되는 극값 이론과 강한 관련이 있다.

다음은 멱법칙을 따르는 사회 현상의 예시이다.

지역 또는 도시 네트워크의 도시 인구 규모: 지프의 법칙을 따른다.
예술가들의 작품 평균 가격 분포.^[30]
시장 경제의 소득 분배: 파레토 법칙을 따른다.
은행 네트워크의 학위 분포.^[31]
기업 규모 분포.^[32]
인구 규모에 따른 사회 경제적 양의 스케일링 법칙 (도시 스케일링 참조).^[33]^[34]

멱법칙 관계의 기원에 대한 연구는 물리학, 컴퓨터 과학, 언어학, 지구물리학, 사회학, 경제학, 경제물리학 등 현대 과학의 여러 분야에서 활발하게 진행되고 있다.

3. 3. 과학 및 기술 분야

신경망 스케일링 법칙, 캐시 미스의 멱법칙, 반 데르 발스 힘, 감마 보정 등 과학, 기술 분야에서도 멱법칙이 다양하게 활용된다.^[12]

물리학, 생물학, 사회 과학 등에서 100개 이상의 멱법칙 분포가 확인되었다. 그 예시는 다음과 같다.^[12]

분야	멱법칙 현상
천문학	케플러의 제3법칙, 별의 초기 질량 함수, 우주선 핵의 미분 에너지 스펙트럼, M-시그마 관계, 태양 플레어, 우주에서 관측한 구름 면적과 둘레의 크기,^[2] 사이클론의 에너지 소산,^[18] 지구와 화성의 먼지 악마 직경^[19]
생물학	클라이버의 법칙 (동물 대사율과 크기),^[13] 테일러의 법칙 (생태학), 뉴런 눈사태,^[4] 담수어의 분류군에서 종 풍부도,^[14] 할로-냅 효과,^[15] 산림 피복 패치의 크기,^[16] 종-면적 관계, 단백질 구조 세그먼트에서 중심 아미노산의 접힌 용매 노출 표면적^[40]
물리학	음향 감쇠,^[2] 반응 속도식, 강수 셀의 크기,^[17] 고도로 최적화된 허용 오차, 분홍 잡음, 하천 수와 길이의 법칙 (호튼의 강 시스템 설명 법칙),^[20] 스테판-볼츠만 법칙, 전계 효과 트랜지스터 및 진공관의 입력 전압-출력 전류 곡선 (제곱 법칙), 제곱-입방 법칙, 삼극 진공관의 플레이트 특성 곡선 (전류-전압 특성의 3/2-제곱 법칙), 뉴턴의 만유인력 및 정전기력의 역제곱 법칙, 자기 조직 임계성 및 어트랙터로서의 임계점 (열역학), 반 데르 발스 힘, 단순 조화 운동에서의 힘과 퍼텐셜, 2차 위상 전이 근처의 거동 (임계 지수 포함), 안전 동작 영역, 초임계 물질 상태 및 초임계 유체,^[39] 퀴리-폰 슈바이들러 법칙, 방진 댐퍼 계산에서 속도에 대한 감쇠력 관계
전산학	경험 곡선 효과, 위키의 90–9–1 원칙,^[23]^[24] CPU의 캐시 크기와 캐시 미스 수 (캐시 미스의 멱법칙), 심층 신경망의 가중치 행렬의 스펙트럼 밀도^[27]
기타	지수 성장과 관련된 통계적 분포의 꼬리,^[28] 지수적 성장과 지수적 혁신의 확산을 통한 발전,^[29] 프랙탈, 파레토 분포 및 파레토 원리, 지프의 법칙, 제타 분포, 율-시몬 분포, 스튜던트 t-분포, 로트카의 법칙, 척도 없는 네트워크 모델, 앙스트롬 지수

멱법칙 관계는 중력이나 쿨롱의 법칙과 같은 역제곱 법칙을 포함하여, 원의 면적 계산 등 다양한 수학적 공식을 포함한다.^[40] 또한, 여러 확률 분포는 멱법칙 관계에 가까운 꼬리를 가지며, 이는 극값 이론과 관련이 깊다.^[40]

멱법칙 관계에 대한 과학적 관심은 특정 메커니즘에서 멱법칙이 생성되는지, 그리고 다른 현상과의 깊은 연결을 보여줄 수 있는지에 대한 연구로 이어진다.^[40] 물리학, 컴퓨터 과학, 언어학, 지구물리학, 사회학, 경제학 등 다양한 분야에서 멱법칙 관계의 기원과 실제 현상에서의 검증에 대한 연구가 활발히 진행되고 있다.^[40]

4. 멱법칙의 응용 및 중요성

멱법칙 관계는 중력, 쿨롱의 법칙과 같은 역제곱 법칙, 원의 면적 계산 등 다양한 자연 현상 및 수학 공식을 설명한다.^[67] 또한, 많은 확률 분포의 꼬리 부분도 멱법칙에 근사하며, 이는 극값 이론과 관련되어 주식 시장 붕괴나 대규모 자연 재해와 같이 드물게 발생하는 극단적인 사건을 설명하는 데 사용된다.

데이터에서 멱법칙 관계를 관찰하면, 해당 현상의 메커니즘을 추론하고 다른 현상과의 연관성을 파악할 수 있다. 물리학에서는 차원 해석을 통해 멱법칙을 설명하고, 복잡계에서는 계층성과 구조적 안정성의 징표로 멱법칙을 활용한다. 구텐베르크-리히터 법칙(지진 규모), 파레토 법칙(소득 분포), 프랙탈(구조적 자기 유사성), 생물학적 스케일링 법칙 등이 멱법칙의 대표적인 예시이다.

멱법칙은 시스템을 이해하고 예측하는 데 도움을 준다. 예를 들어, 자동차 배기가스 배출량은 멱법칙에 따라 분포하는데, 이는 극소수의 자동차가 대부분의 오염을 유발한다는 것을 의미한다. 따라서, 이러한 자동차들을 제거하면 배기가스를 크게 줄일 수 있다.

4. 1. 위험 관리

멱법칙은

k > 3

일 때만 유한한 분산을 가진다. 자연에서 발견되는 대부분의 멱법칙은 평균은 정의되지만 분산은 그렇지 않은 지수를 가지는데, 이는 블랙 스완 행동, 즉 예상치 못한 극단적인 사건이 발생할 가능성이 있음을 의미한다.^[67] 예를 들어, 소득은 파레토 분포라고 알려진 멱법칙에 따라 분포하는데, 미국의 순자산은 지수가 2인 멱법칙을 따른다.

이는 분산 및 표준 편차에 기반한 전통적인 통계(예: 회귀 분석)를 적용하는 것이 부적절할 수 있음을 의미한다.^[10] 그러나, 멱법칙 분포의 특성을 활용하면 비용 효율적인 개입이 가능하다.^[9] 예를 들어, 자동차 배기가스가 자동차 간에 멱법칙에 따라 분포하기 때문에, 극소수의 자동차를 제거하는 것만으로도 총 배기 가스를 크게 줄일 수 있다.^[11]

멱법칙 ''x''^–''k'' (지수

k > 1

)의 중앙값은 2^{1/(''k'' – 1)}''x''_min이며, 여기서 ''x''_min은 멱법칙이 성립하는 최소값이다.

주식 시장의 붕괴나 대규모 자연 재해와 같이 극단적으로 드문 사건들은 극값 이론과 관련이 깊으며, 멱법칙으로 설명될 수 있다. 물리학, 컴퓨터 과학, 언어학, 지구물리학, 사회학, 경제학, 경제물리학 등 다양한 분야에서 멱법칙 관계의 기원과 현실 세계에서의 멱법칙 관찰 및 검증에 대한 연구가 활발히 진행되고 있다.

4. 2. 자원 분배

자동차 배기가스 배출량은 멱법칙에 따라 분포하는데, 이는 극소수의 자동차가 대부분의 오염을 유발한다는 것을 의미한다.^[11] 따라서 도로에서 이러한 극소수의 자동차를 제거하면 전체 배기가스를 크게 줄일 수 있어, 한정된 자원으로도 효율적인 문제 해결이 가능하다.^[9]

소득 역시 파레토 분포로 알려진 멱법칙에 따라 분포한다. 예를 들어 미국인들의 순자산은 지수가 2인 멱법칙을 따른다.^[9]

4. 3. 시스템 이해

멱법칙 관계는 놀랍도록 많은 자연 현상의 형태(관계)를 기술한다. 예를 들어, 중력이나 쿨롱의 법칙과 같은 역제곱 법칙은 멱법칙이다. 원의 면적에서 제곱 비례 법칙 등 많은 수학적인 공식도 멱법칙이다. 마찬가지로, 많은 확률 분포는 점근적으로 멱법칙 관계에 가까워지는 꼬리를 갖는다. 이러한 멱법칙은 주식 시장의 붕괴나 대규모 자연 재해와 같이 극단적으로 드문 빈도라고 생각되는 극값 이론과 강한 관련이 있다.

멱법칙 관계에 대한 과학적인 관심은 함수나 분포가 어떤 일반적인 클래스의 메커니즘으로부터 쉽게 생성되는지에 있다. 즉, 데이터의 멱법칙 관계를 관찰하는 것은, 종종 묻고 있는 자연 현상에 숨겨진 특정 종류의 메커니즘을 가리키게 된다. 그리고 관련이 없다고 생각했던 다른 현상과의 깊은 연결을 보여줄 수 있는 경우가 많다.

물리학에서 멱법칙이 여기저기서 관측되는 것은 부분적으로 차원 해석 때문이다. 한편, 복잡계에서 멱법칙은 종종 계층성과 구조적 안정성의 징표로 여겨진다. 멱법칙의 몇 안 되는 유명한 예는 지진의 크기에 관한 구텐베르크-리히터 법칙, 소득 분포에 대한 파레토 법칙, 구조적 자기 유사성의 프랙탈, 생물학적 체계에서의 스케일링 법칙(알로메트리)이 있다. 멱법칙 관계의 기원에 대한 연구와, 현실 세계에서 멱법칙 관계를 관찰하고 정당성을 증명하려는 노력은 현대 과학의 여러 분야에서 극도로 활발하다. 활발한 분야에는 물리학, 컴퓨터 과학, 언어학, 지구물리학, 사회학, 경제학, 경제물리학 등이 있다.

5. 멱법칙의 검증 및 한계

멱법칙은 유용한 개념이지만, 실제 데이터에 적용할 때는 주의가 필요하다. 멱법칙 확률 분포를 식별하고 검증하는 데에는 여러 방법이 사용될 수 있지만, 각각의 방법은 한계점을 가지고 있다. 예를 들어, 로그-로그 플롯에서 직선은 멱법칙의 필요조건일 뿐 충분조건은 아니며, 멱법칙이 아닌 많은 분포도 로그-로그 플롯에서 직선으로 나타날 수 있다.^[55]

최대 우도 추정 방법이 멱법칙 지수를 추정하는데 가장 신뢰할 수 있으며, 콜모고로프-스미르노프 통계량을 최소화하는 방법도 사용될 수 있다.^[4] 멱법칙 관계를 검증하려면 단순히 모델을 맞추는 것 이상으로, 생성 메커니즘의 예측을 데이터에 대해 테스트해야 한다.^[29] 로그 정규 분포 등 멱법칙과 유사하게 보이는 다른 분포들도 있으므로 주의해야 한다.

멱법칙은 현상을 단순화하여 설명하는 모델이므로, 실제 현상의 복잡성을 완전히 반영하지 못할 수 있다. 데이터의 양과 질에 따라 멱법칙 검증 결과가 달라질 수 있으며, 멱법칙으로 설명되지 않는 현상도 존재한다.

5. 1. 검증 방법

멱법칙 확률 분포를 식별하는 데에는 여러 방법이 사용될 수 있다. 파레토 Q-Q 플롯, 평균 잔여 수명 플롯, 로그-로그 플롯과 같은 그래픽적 방법이 흔히 사용된다.^[50]^[51] 잔여 분위수 함수의 묶음을 사용하는 더 강력한 그래픽 방법도 제안되었다.^[52]

파레토 Q-Q 플롯: 로그 변환된 데이터를 지수 분포의 분위수와 비교하여 플롯한다. 결과가 점근적으로 직선에 가까워지면 멱법칙 분포를 의심할 수 있다. 하지만 꼬리 지수가 0에 가까울 때는 잘 작동하지 않는다.^[52]
평균 잔여 수명 플롯: 데이터를 로그 변환한 후, i번째 순서 통계량보다 높은 로그 변환된 데이터의 평균을 i번째 순서 통계량에 대해 플롯한다. 결과가 수평선에 대해 안정화되면 멱법칙 분포를 의심할 수 있다. 하지만 이상치에 민감하여 해석이 어려울 수 있다.
로그-로그 플롯: 분포에서 특정 숫자가 발생할 확률의 로그를 해당 숫자의 로그에 대해 플롯한다. x축의 큰 숫자에 대해 직선으로 수렴하면 멱법칙 꼬리가 있다고 결론 내릴 수 있다.^[56] 하지만 이 방법은 많은 양의 데이터가 필요하며, 이산 데이터에만 적합하다. 또한 로그-로그 플롯에서 직선은 멱법칙의 필요조건일 뿐 충분조건은 아니며, 멱법칙이 아닌 많은 분포도 로그-로그 플롯에서 직선으로 나타날 수 있다.^[55]

일반적으로 멱법칙 분포는 이중 대수 축에 누적 분포 (ccdf)를 사용하여 플롯하는 것이 편리하다. ccdf는 멱법칙 함수이지만, 더 작은 스케일링 지수를 갖는다.

데이터를 로그 빈으로 묶거나 확률 밀도 함수를 직접 매끄럽게 하는 것은 편향을 도입할 수 있으므로 피해야 한다.^[64]

멱법칙 지수를 추정하는 방법에는 최대 우도 추정 방법이 가장 신뢰할 수 있으며, 콜모고로프-스미르노프 통계량을 최소화하는 방법도 사용될 수 있다.^[4]

멱법칙 관계를 검증하려면 단순히 모델을 맞추는 것 이상으로, 생성 메커니즘의 예측을 데이터에 대해 테스트해야 한다.^[29] 로그 정규 분포 등 멱법칙과 유사하게 보이는 다른 분포들도 있으므로 주의해야 한다.

5. 2. 한계점

멱법칙은 현상을 단순화하여 설명하는 모델이므로, 실제 현상의 복잡성을 완전히 반영하지 못할 수 있다. 데이터의 양과 질에 따라 멱법칙 검증 결과가 달라질 수 있으며, 멱법칙으로 설명되지 않는 현상도 존재한다.

6. 멱법칙 관련 연구 동향

멱법칙은 중력, 쿨롱의 법칙 같은 역제곱 법칙, 원의 면적 계산 등 여러 수학 공식과 극값 이론에서 나타난다.^[1]

데이터에서 멱법칙 관계를 관찰하면, 그 현상의 숨겨진 메커니즘을 알 수 있고, 다른 현상과의 연관성도 파악할 수 있다.^[1]

물리학에서는 차원 해석 때문에 멱법칙이 자주 나타난다. 복잡계에서는 멱법칙이 계층성과 구조적 안정성을 나타내는 지표로 여겨진다. 구텐베르크-리히터 법칙, 파레토 법칙, 프랙탈, 생물학적 스케일링 법칙 등이 멱법칙의 예시이다. 멱법칙은 물리학, 컴퓨터 과학, 언어학, 지구물리학, 사회학, 경제학, 경제물리학 등 여러 분야에서 연구되고 있다.^[1]

6. 1. 학제 간 연구

멱법칙 관계는 여러 자연 현상을 설명한다. 중력이나 쿨롱의 법칙과 같은 역제곱 법칙, 원의 면적에서 제곱 비례 법칙 등 여러 수학 공식도 멱법칙이다. 주식 시장 붕괴나 대규모 자연 재해처럼 극히 드문 현상을 다루는 극값 이론과도 관련이 깊다.^[1]

데이터에서 멱법칙 관계를 관찰하면, 자연 현상에 숨겨진 특정 종류의 메커니즘을 알 수 있다. 이는 멱함수나 멱법칙 분포가 어떤 일반적인 메커니즘에서 생성되는지에 대한 것이기 때문이다. 그리고 관련 없어 보였던 다른 현상과의 깊은 연결을 보여주기도 한다.^[1]

물리학에서 멱법칙이 자주 보이는 것은 차원 해석 때문이다. 복잡계에서 멱법칙은 계층성과 구조적 안정성의 징표로 여겨진다. 멱법칙의 예로는 지진 크기에 관한 구텐베르크-리히터 법칙, 소득 분포에 대한 파레토 법칙, 구조적 자기 유사성의 프랙탈, 생물학적 체계에서의 스케일링 법칙(알로메트리) 등이 있다. 멱법칙 관계의 기원을 연구하고, 현실에서 멱법칙 관계를 관찰 및 증명하려는 노력은 현대 과학의 여러 분야에서 활발하다. 물리학, 컴퓨터 과학, 언어학, 지구물리학, 사회학, 경제학, 경제물리학 등에서 연구가 진행되고 있다.^[1]

7. 보편성

멱법칙이 특정 척도 지수를 갖는 것은 멱법칙 관계를 생성하는 동적 과정에서 더 깊은 기원을 가질 수 있다. 예를 들어 물리학에서 상전이는 열역학적 시스템에서 특정 양의 멱법칙 분포의 출현과 관련이 있으며, 그 지수는 시스템의 임계 지수라고 한다. 동일한 임계 지수를 갖는 다양한 시스템, 즉 임계점에 접근할 때 동일한 척도 동작을 나타내는 시스템은 재정규화군 이론을 통해 동일한 기본 역학을 공유하는 것으로 나타날 수 있다. 예를 들어, 물과 CO₂의 끓는점에서의 행동은 동일한 임계 지수를 갖기 때문에 동일한 보편성 부류에 속한다. 실제로 거의 모든 물질의 상전이는 소수의 보편성 부류로 설명된다. 시스템의 임계점이 끌개인 다양한 자기 조직 임계성 시스템에 대해서도 이와 유사한 관찰이 광범위하지는 않지만 이루어졌다. 공식적으로, 이러한 역학의 공유를 보편성이라고 하며, 정확히 동일한 임계 지수를 갖는 시스템은 동일한 보편성 부류에 속한다고 한다.

8. 멱법칙 함수

멱법칙 관계에 대한 과학적 관심은 특정 종류의 메커니즘이 멱법칙 관계를 쉽게 만들어 낸다는 데에서 비롯된다.^[44] 어떤 데이터에서 멱법칙 관계가 나타나면, 이는 해당 현상의 근본 원인이 될 수 있는 특정 메커니즘을 가리키며, 관련 없어 보이는 다른 시스템과의 깊은 연관성을 나타낼 수 있다.^[45] 보편성도 참고하라. 물리학에서 멱법칙 관계가 흔히 나타나는 것은 차원 제약 때문이며, 복잡계에서는 멱법칙이 계층 구조나 특정 확률적 과정의 특징으로 간주되기도 한다. 멱법칙의 예로는 소득 분배에 대한 파레토의 법칙, 프랙탈의 구조적 자기 유사성, 생물학적 시스템의 스케일링 법칙, 도시의 스케일링 법칙 등이 있다.

멱법칙은 확률 분포 연구에서 많이 다루어진다. 여러 양의 분포가 적어도 상위 꼬리(큰 사건)에서 멱법칙 형태를 따르는 것으로 보인다. 이러한 큰 사건의 행동은 대편차 이론(또는 극단값 이론) 연구와 연결되며, 주식 시장 붕괴나 대규모 자연 재해처럼 극히 드문 사건의 빈도를 다룬다. 통계적 분포 연구에서 주로 "멱법칙"이라는 용어가 사용된다.

경험적 맥락에서 멱법칙 $o(x^k)$ 에 대한 근사는 종종 편차 항 $\varepsilon$ 를 포함하는데, 이는 관측값의 불확실성(측정 또는 표본 추출 오류)을 나타내거나, 관찰이 멱법칙 함수에서 벗어나는 이유(확률적 이유)를 제공한다.

: $y = ax^k + \varepsilon.\!$

수학적으로 엄격한 멱법칙은 확률 분포가 될 수 없지만, 잘린 멱함수인 분포는 가능하다. $x > x_\text{min}$ 에 대해 $p(x) = C x^{-\alpha}$ 여기서 지수 $\alpha$ (그리스 문자 알파, 스케일링 인자 $a$ 와 혼동하지 말 것)는 1보다 커야 하고(꼬리의 면적이 무한대가 되지 않도록), 최소값 $x_\text{min}$ 은 분포가 ''x''가 0에 접근할 때 무한대 면적을 갖지 않도록 하는 데 필요하며, 상수 ''C''는 총 면적이 1이 되도록 하는 스케일링 인자이며 확률 분포에 필요하다. 더 자주 사용되는 것은 점근적 멱법칙인데, 이는 극한에서만 참이다. 자세한 내용은 멱법칙 확률 분포를 참조하라. 일반적으로 지수는 $2 < \alpha < 3$ 범위에 속하지만 항상 그런 것은 아니다.^[44]

초기 질량 함수의 일부 모델은 깨진 멱법칙을 사용한다. 그림에서 크루파(2001)의 모델은 빨간색으로 나타나 있다.

깨진 멱법칙은 임계값을 사용하여 결합된 둘 이상의 멱법칙으로 구성된 구간 함수이다. 예를 들어, 두 개의 멱법칙을 사용하는 경우:^[44]

:

x 에 대해 f(x) \propto x^{\alpha_1}

:

x>x_\text{th}

에 대해

f(x) \propto x^{\alpha_1-\alpha_2}_\text{th}x^{\alpha_2}

부서진 멱법칙의 조각들을 부드럽게 연결하여 부드럽게 부서진 멱법칙을 구성할 수 있다.

멱법칙을 함께 연결하는 데는 여러 가지 방법이 있다. 한 가지 예는 다음과 같다:^[45]

:

\ln \left(\frac{y}{y_0} + a\right) = c_0 \ln \left(\frac{x}{x_0}\right) + \sum_{i=1}^n \frac{c_i - c_{i-1}}{f_i} \ln \left(1 + \left(\frac{x}{x_i}\right)^{f_i}\right)

여기서

0 < x_0 < x_1 < \cdots < x_n

이다.

함수가 수평 축이

\ln x

이고 수직 축이

\ln(y/y_0 + a)

인 로그-로그 플롯으로 플롯될 때, 플롯은

x = x_1, ..., x_n

에서 분리된 기울기

c_0, c_1, ..., c_n

을 가진

n+1

개의 선형 세그먼트로 구성되며 부드럽게 연결된다.

f_i

의 크기는 세그먼트

i-1, i

사이의 연결의 선명도를 결정한다.

멱법칙 관계는 중력이나 쿨롱의 법칙과 같은 역제곱 법칙, 원의 면적과 같은 제곱 비례 법칙, 점근적으로 멱법칙 관계에 가까워지는 꼬리를 갖는 확률 분포 등 놀랍도록 많은 자연 현상의 형태(관계)를 기술한다. 이러한 멱법칙은 주식 시장의 붕괴나 대규모 자연 재해와 같이 극단적으로 드문 빈도라고 생각되는 극값 이론과 강한 관련이 있다.

9. 멱법칙 확률 분포

느슨한 의미에서 멱법칙 확률 분포는 큰 값의 $x$ 에 대해 다음 형태를 갖는 분포이다.^[47]

: $P(X>x) \sim L(x) x^{-(\alpha-1)}$

여기서 $\alpha > 1$ 이고, $L(x)$ 는 서서히 변화하는 함수로, 임의의 양의 인수 $r$ 에 대해 $\lim_{x\rightarrow\infty} L(r\,x) / L(x) = 1$ 을 만족하는 모든 함수이다. $L(x)$ 의 이러한 속성은 $p(x)$ 가 점근적으로 스케일 불변이어야 한다는 요구 사항에서 직접적으로 따른다. 따라서 $L(x)$ 의 형태는 하위 꼬리의 모양과 유한한 범위만 제어한다. 예를 들어, $L(x)$ 가 상수 함수이면 모든 $x$ 값에 대해 유지되는 멱법칙을 갖게 된다. 많은 경우, 법칙이 적용되는 하한 $x_{\mathrm{min}}$ 을 가정하는 것이 편리하다. 이 두 가지 경우를 결합하고 $x$ 가 연속 변수일 때, 멱법칙은 파레토 분포의 형태를 갖는다.

: $p(x) = \frac{\alpha-1}{x_\min} \left(\frac{x}{x_\min}\right)^{-\alpha},$

여기서 $\frac{\alpha-1}{x_\min}$ 에 대한 선행 계수는 정규화 상수이다.

이 분포의 적률은 다음과 같이 주어진다.

: $\mathbb{E} \left(X^{m} \right) = \int_{x_\min}^\infty x^{m} p(x) \,\mathrm{d}x = \frac{\alpha-1}{\alpha-1-m}x_\min^m$

이는 $m < \alpha -1$ 일 때만 잘 정의된다. 즉, 모든 적률 $m \geq \alpha - 1$ 은 발산한다. $\alpha\leq 2$ 일 때, 평균과 모든 고차 적률은 무한대이고, $2<\alpha<3$ 일 때, 평균은 존재하지만 분산 및 고차 적률은 무한대 등이다. 이러한 분포에서 추출된 유한 크기 샘플의 경우, 이러한 동작은 발산하는 적률에 대한 중심 적률 추정기(예: 평균 및 분산)가 절대로 수렴하지 않을 것임을 의미한다. 즉, 더 많은 데이터가 축적될수록 계속 증가한다. 이러한 멱법칙 확률 분포는 파레토형 분포, 파레토 꼬리를 갖는 분포 또는 규칙적으로 변동하는 꼬리를 갖는 분포라고도 한다.

다양한 양의 분포가 적어도 상위 꼬리(큰 사건)에서 멱법칙 형식을 따르는 것으로 보인다.

9. 1. 변형

지수 절단 멱법칙은 단순하게 멱법칙에 지수 함수를 곱한 것이다.

:

f(x) \propto x^{-\alpha}e^{-\beta x}.

:

f(x) \propto x^{\alpha + \beta x}

^[46]

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