페이저 (전자)

3. 정의

'''페이저'''(각도 표기법이라고도 함)는 전자 공학 및 전기 공학에서 사용되는 수학적 표기법이다. 크기 $A$와 각도 $\backslash theta$를 갖는 극좌표 벡터는 $A\; \backslash angle\; \backslash theta$로 표기한다.^[13] $1\; \backslash angle\; \backslash theta$는 벡터 $(\backslash cos\; \backslash theta,\; \backslash sin\; \backslash theta)$ 또는 복소수 $\backslash cos\; \backslash theta\; +\; i\; \backslash sin\; \backslash theta\; =\; e^\{i\backslash theta\}$를 나타내며, 이는 오일러 공식에 따라 $i^2\; =\; -1$을 가지며, 둘 다 크기가 1이다.

각도는 도로 표시될 수 있으며, 도에서 라디안으로의 변환이 암시된다. 예를 들어 $1\; \backslash angle\; 90$은 $1\; \backslash angle\; 90^\backslash circ$로 가정하며, 이는 벡터 $(0,\; 1)$ 또는 숫자 $e^\{i\backslash pi/2\}\; =\; i$이다.

복소수의 곱셈과 나눗셈은 페이저 표기법을 통해 간단해진다. 벡터 $v\_1\; =\; A\_1\; \backslash angle\; \backslash theta\_1$ 및 $v\_2\; =\; A\_2\; \backslash angle\; \backslash theta\_2$가 주어지면 다음이 참이다.^[14]

:$v\_1\; \backslash cdot\; v\_2\; =\; A\_1\; \backslash cdot\; A\_2\; \backslash angle\; (\backslash theta\_1\; +\; \backslash theta\_2)$,

:$\backslash frac\{v\_1\}\{v\_2\}\; =\; \backslash frac\{A\_1\}\{A\_2\}\; \backslash angle\; (\backslash theta\_1\; -\; \backslash theta\_2)$.

일정한 진폭, 주파수 및 위상을 갖는 실수 값을 갖는 정현파는 다음과 같은 형식을 갖는다.

:$A\backslash cos(\backslash omega\; t\; +\; \backslash theta),$

여기서 매개변수 $t$만 시간의 변화에 따라 변한다. 오일러 공식에 따르면,

:$A\backslash cos(\backslash omega\; t\; +\; \backslash theta)\; +\; i\backslash cdot\; A\backslash sin(\backslash omega\; t\; +\; \backslash theta)\; =\; A\; e^\{i(\backslash omega\; t\; +\; \backslash theta)\}\; =\; A\; e^\{i\; \backslash theta\}\; \backslash cdot\; e^\{i\backslash omega\; t\},$

여기서 실수부는 원래의 정현파이다. 복소수 표현의 장점은 다른 복소수 표현과의 선형 연산을 통해 다른 복소수 정현파의 실수부에 대한 동일한 선형 연산을 반영하는 복소수 결과가 생성된다는 것이다. 또한 모든 수학은 위상자 $A\; e^\{i\; \backslash theta\}$로 수행할 수 있으며, 공통 인자 $e^\{i\backslash omega\; t\}$는 결과의 실수부 앞에 다시 삽입된다.

함수 $Ae^\{i(\backslash omega\; t\; +\; \backslash theta)\}$는 $A\backslash cos(\backslash omega\; t\; +\; \backslash theta)$의 ''해석적 표현''이다.

4. 연산

복소수 곱셈은 페이저 표기법을 사용하면 간단하게 할 수 있다. 두 페이저 $A\_1\; \backslash angle\; \backslash theta\_1$과 $A\_2\; \backslash angle\; \backslash theta\_2$가 있을 때, 이들의 곱은 다음과 같다.^[14]

:$A\_1\; \backslash angle\; \backslash theta\_1\; \backslash cdot\; A\_2\; \backslash angle\; \backslash theta\_2\; =\; A\_1\; \backslash cdot\; A\_2\; \backslash angle\; (\backslash theta\_1\; +\; \backslash theta\_2)$

즉, 크기는 서로 곱하고, 각도는 서로 더한다.

복소수 나눗셈도 마찬가지로 간단하다. 페이저 $A\_1\; \backslash angle\; \backslash theta\_1$을 $A\_2\; \backslash angle\; \backslash theta\_2$로 나누면 다음과 같다.^[14]

:$\backslash frac\{A\_1\; \backslash angle\; \backslash theta\_1\}\{A\_2\; \backslash angle\; \backslash theta\_2\}\; =\; \backslash frac\{A\_1\}\{A\_2\}\; \backslash angle\; (\backslash theta\_1\; -\; \backslash theta\_2)$

즉, 크기는 서로 나누고, 각도는 뺀다.

페이저에 복소수 상수를 곱하면 또 다른 페이저가 만들어진다. 이는 기본 사인파의 진폭과 위상을 변화시킨다.

:$\backslash operatorname\{Re\}\backslash left(\; \backslash left(A\; e^\{i\backslash theta\}\; \backslash cdot\; B\; e^\{i\backslash phi\}\backslash right)\; \backslash cdot\; e^\{i\backslash omega\; t\}\; \backslash right)\; =\; AB\; \backslash cos(\backslash omega\; t\; +\; (\backslash theta\; +\; \backslash phi))$

여러 페이저를 더하면 또 다른 페이저가 만들어진다. 이는 같은 주파수를 가진 정현파(사인파)들의 합도 같은 주파수를 가진 정현파가 되기 때문이다.

:$A\_1\backslash cos(\backslash omega\; t\; +\; \backslash theta\_1)\; +\; A\_2\backslash cos(\backslash omega\; t\; +\; \backslash theta\_2)\; =\; A\_3\; \backslash cos(\backslash omega\; t\; +\; \backslash theta\_3)$

여기서 $A\_3$와 $\backslash theta\_3$는 $A\_1$, $A\_2$, $\backslash theta\_1$, $\backslash theta\_2$를 이용하여 계산할 수 있다.

페이저의 시간 미분은 상수 $i\; \backslash omega$를 곱하는 것과 같고, 적분은 $\backslash frac\{1\}\{i\backslash omega\}$를 곱하는 것과 같다.

:$\backslash operatorname\{Re\}\backslash left(\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\; \backslash mathord\backslash left(A\; e^\{i\backslash theta\}\; \backslash cdot\; e^\{i\backslash omega\; t\}\backslash right)\; \backslash right)\; =\; \backslash omega\; A\; \backslash cdot\; \backslash cos\backslash left(\backslash omega\; t\; +\; \backslash theta\; +\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right)$

5. 응용

페이저를 사용하면 DC 회로 해석 기술을 선형 AC 회로에 적용할 수 있다.^[16]

• 옴의 법칙:
• 저항: 시간 지연 없이 신호의 위상을 변경하지 않으므로 이 성립한다.
• 저항, 인덕터, 커패시터: (여기서 는 복소 임피던스)
• 키르히호프의 회로 법칙: 전압과 전류를 복소 페이저로 사용한다.

5. 1. RLC 회로 예시

참조

_[1] 서적 Mathematics for Engineers and Technologists https://archive.org/[...] Butterworth-Heinemann
_[2] 서적 Basic AC Circuits https://archive.org/[...] Newnes
_[3] 서적 The Fourier Transform and Its Applications McGraw-Hill
_[4] 서적 Electric Circuits and Networks Pearson Education India
_[5] 서적 Electromagnetic Theory for Microwaves and Optoelectronics Springer Science & Business Media
_[6] 서적 Electrical Machines & their Applications Elsevier
_[7] 서적 Fundamentals of electrical engineering CRC Press 2012
_[8] 서적 Pragmatic Electrical Engineering: Fundamentals Morgan & Claypool Publishers
_[9] 서적 Introduction to Electric Circuits https://archive.org/[...] John Wiley & Sons
_[10] 서적 Circuit Analysis: Theory and Practice Cengage Learning
_[11] 서적 The Forgotten Genius of Oliver Heaviside Prometheus Books Learning
_[12] 서적 Circuit Systems with MATLAB and PSpice John Wiley & Sons
_[13] 서적 Electric circuits https://books.google[...] Prentice Hall
_[14] 서적 Basic AC Circuits https://www.scienced[...] Newnes 2000
_[15] 서적 Electrical Networks Mcgraw Hill Higher Education 2009
_[16] 서적 Introduction to electromagnetic compatibility Wiley
_[17] 간행물 About the Phasor Pathways in Analogical Amplitude Modulations International Journal of Research in Engineering and Science (IJRES)
_[18] 문서