비선형계

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 선형 사상
- 2.2. 비선형 방정식
3. 비선형 시스템의 예
4. 비선형 시스템의 해석 방법
- 4.1. 주요 개념
- 4.2. 해석 기법
5. 비선형 방정식의 종류
6. 비선형 동역학적 거동의 유형
7. 비선형 시스템의 제어
8. 선형 근사로 해결할 수 없는 시스템
참조

1. 개요

비선형계는 수학에서 선형 사상의 조건을 만족하지 않는 함수 또는 방정식을 의미한다. 가산성과 동차성을 모두 만족하는 선형 사상과 달리, 비선형계는 이러한 조건을 충족하지 않아 복잡한 현상을 나타낸다. 비선형 방정식은 다양한 형태를 가지며, 다항식, 미분 방정식, 편미분 방정식 등이 포함된다. 비선형 시스템은 카오스, 멀티안정성, 솔리톤 등 다양한 동역학적 거동을 보이며, 리아푸노프 안정성과 같은 개념을 통해 분석된다. 비선형 시스템의 해석에는 선형화, 랴푸노프 함수, 특성선법 등 다양한 기법이 사용되며, 제어 기법으로는 선형화와 다이내믹스 기반 제어가 활용된다. 쌍선형 시스템이나 비홀로노믹 시스템과 같이 선형 근사로는 해결할 수 없는 특수한 경우도 존재한다.

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비선형계
개요
유형	비선형 시스템
설명	입력의 변화에 비례하여 출력이 변화하지 않는 시스템 슈퍼포지션 원리가 성립하지 않음 해석이 복잡하고 다양한 현상 발생
특징
비례성 결여	입력과 출력 간의 선형적인 관계가 없음
중첩 원리 불성립	여러 입력에 대한 응답이 각 입력에 대한 응답의 합과 같지 않음
복잡성	시스템 동작의 예측 및 분석이 어려움
다양한 현상 발생	혼돈 현상 분기 현상 다중 안정성
예시
생물학	생체 내 신호 전달 경로, 신경계, 생태계 등
물리학	레이저, 플라즈마, 유체 역학 시스템 등
공학	제어 시스템, 전기 회로, 통신 시스템 등
관련 학문 분야
수학	비선형 해석학, 동역학계 이론
물리학	혼돈 이론, 복잡계 과학
공학	제어 공학, 시스템 이론
추가 정보
스태니슬라프 울람의 인용	비선형 과학이라는 용어를 사용하는 것은 동물학의 대부분을 코끼리가 아닌 동물을 연구하는 것으로 부르는 것과 같다.

2. 정의

수학에서 $f(x) = C$ (C는 상수) 형태의 방정식에서 $f(x)$ 가 선형 사상이면 선형, 그렇지 않으면 비선형이라고 한다.^[11] C = 0이고 $f(x)$ 가 동차 함수이면 이 방정식은 '동차'이다.

$f(x) = C$ 라는 정의는 $x$ 가 숫자, 벡터, 함수 등 임의의 수학적 대상이 될 수 있고, $f(x)$ 는 사상이 될 수 있다는 점에서 매우 일반적이다. $f(x)$ 가 $x$ 에 대한 미분을 포함하면, 그 결과는 미분 방정식이 된다.

2. 1. 선형 사상

수학에서, 선형 사상(또는 '선형 함수')

f(x)

는 다음 두 가지 속성을 모두 만족하는 함수이다.

가산성 또는 중첩의 원리: $\textstyle f(x + y) = f(x) + f(y)$
동차성: $\textstyle f(\alpha x) = \alpha f(x)$

가산성은 모든 유리수 ''α''에 대해 동차성을 의미하며, 연속 함수의 경우 모든 실수 ''α''에 대해서도 성립한다. 복소수 ''α''의 경우, 동차성은 가산성으로부터 유도되지 않는다. 예를 들어, 반선형 사상은 가산성을 만족하지만 동차성을 만족하지 않는다. 가산성과 동차성의 조건은 종종 중첩의 원리로 결합된다.

:

f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)

2. 2. 비선형 방정식

비선형 방정식(nonlinear equation)은 다음과 같은 형태를 띤다.

:

\displaystyle x^2 - 1 =0

많은 다항식이 비선형 방정식이다. 그러나 연립 비선형 방정식은 훨씬 복잡하다.

수학에서, 선형 사상(또는 '선형 함수')

f(x)

는 다음 두 가지 속성을 모두 만족하는 함수이다.

가산성 또는 중첩의 원리: $\textstyle f(x + y) = f(x) + f(y)$
동차성: $\textstyle f(\alpha x) = \alpha f(x)$

가산성과 동차성의 조건은 종종 중첩의 원리로 결합된다.

:

f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)

다음과 같이 작성된 방정식은

:

f(x) = C

f(x)

가 위에서 정의된 선형 사상인 경우 '''선형'''이라고 하고, 그렇지 않은 경우 '''비선형'''이라고 한다.^[11] 이 방정식은

C = 0

이고

f(x)

가 동차 함수인 경우 ''동차''라고 한다.

f(x) = C

라는 정의는

x

가 임의의 합리적인 수학적 대상(숫자, 벡터, 함수 등)일 수 있으며, 함수

f(x)

는 연관된 제약 조건(예: 경계 값)이 있는 적분 또는 미분을 포함하여 문자 그대로 모든 사상이 될 수 있다는 점에서 매우 일반적이다. 만약

f(x)

가

x

에 대한 미분을 포함하는 경우, 결과는 미분 방정식이 된다.

비선형 연립방정식은 변수가 여러 개인 방정식 집합으로, 그 중 적어도 하나가 선형 방정식이 아닌 경우를 말한다.

f(x)=0

형태의 단일 방정식에 대해서는 많은 방법들이 고안되었다. 근 찾기 알고리즘을 참조하라.

f(x)

가 다항식인 경우, 다음과 같은 ''다항 방정식''을 갖는다.

:

x^2 + x - 1 = 0.

3. 비선형 시스템의 예

$x^2 - 1 = 0$ 과 같은 다항식은 비선형 방정식이다.^[11]
1차 상미분방정식 $d_x u = u^2$ 은 변수분리법으로 해를 구할 수 있다.
고차 비선형 방정식 ( $d_x^2 u + g(u) = 0$ , g는 비선형 함수)이나 비선형 편미분 방정식은 해를 구하기 어렵지만, 해의 존재, 안정성, 동역학에 대한 정리가 증명되기도 한다.
단진자의 움직임을 나타내는 비선형 미분 방정식은 $\theta$ 가 작은 경우 선형 방정식으로 근사할 수 있지만, $\theta$ 가 큰 범위를 진동하면 비선형성이 중요해진다.^[14]
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4. 비선형 시스템의 해석 방법

비선형 시스템은 선형 시스템과 달리 다양한 특징을 가지므로, 해석에 있어서 국소성과 대역성을 구분하고, 안정성을 다양한 관점에서 고려해야 한다.

비선형 시스템 해석은 선형 시스템에 비해 복잡하기 때문에 여러 접근 방법을 필요로 한다. 비선형 시스템은 여러 개의 평형점을 가질 수 있으며, 각 평형점 근방에서의 국소적인 거동과 전체 시스템의 대역적인 거동을 구분하여 분석해야 한다.

안정성 측면에서도 선형 시스템에서는 안정성, 점근 안정성, 지수 안정성이 모두 동일하지만, 비선형 시스템에서는 이러한 개념들이 서로 다른 의미를 가지며, 랴푸노프 안정성처럼 비선형 시스템에 특화된 안정성 개념도 있다.

비선형 시스템 해석에는 해밀턴 역학 시스템에서의 보존량 검토, 랴푸노프 함수를 이용한 소산량 검토, 테일러 급수를 통한 선형화, 분기 이론, 섭동 이론(대수 방정식에도 적용 가능), 변수 분리법, 스케일 분석 (수학), 특성선법 등의 기법이 사용된다.^[13]

1차 상미분 방정식은 특히 자율 방정식의 경우, 변수 분리를 통해 해를 구할 수 있다. 예를 들어, 비선형 방정식 $\frac{d u}{d x} = -u^2$ 은 $u=\frac{1}{x+C}$ 를 일반 해로, $u = 0$ 을 특수 해로 갖는다.

2차 이상의 고차 상미분 방정식이나 비선형 방정식 시스템은 폐쇄 형식 해를 구하기 어렵지만, 암시적 해나 비초등 함수 적분을 포함하는 해는 구할수 있다.

비선형 편미분 방정식을 연구할 때는 변수 변환 등을 통해 문제를 단순화하는 것이 일반적이다. 변수 분리법을 통해 방정식을 여러 개의 상미분 방정식으로 변환하는 방법도 유용하다.

스케일 분석은 경계값 문제에서 방정식을 단순화하는 데 사용될 수 있으며, 예를 들어 비선형 나비에-스토크스 방정식을 특정 조건에서 선형 편미분 방정식으로 단순화할 수 있다. 특성을 이용한 해석 방법도 활용된다.

4. 1. 주요 개념

평형점 (Equilibrium): Equilibrium^영어 또는 평형 다양체는 다음 조건을 만족하는 x의 집합을 의미한다.^[13]

::

f(x,0) = 0

또는

f(x) = 0

:점의 경우에는 평형점, 다양체의 경우에는 평형 다양체라고 부른다. 비선형 시스템에서는 여러 개의 평형점이 존재할 수 있다.^[13]

국소성과 대역성 (Locality, Globality): 선형 시스템은 모든 점에서 원점 근방과 유사하지만, 비선형 시스템은 그렇지 않다. 따라서 점의 근방에서의 논의 (국소성)와 전 공간에서의 논의 (대역성)를 구분해야 한다.^[13]
안정성 (Stability): 선형 시스템 이론에서는 안정성이 유일하지만, 비선형 시스템에서는 여러 개념이 존재한다. 비선형 시스템에서 자주 사용되는 안정성 개념에는 리아푸노프 안정성이 있다. 랴푸노프 함수를 통해 안정성을 판별할 수 있다. 선형 시스템에서는 다음 개념들이 모두 동일하다.^[13]
'''안정성 (Stability):''' 상태가 유계 범위에 머무르고, 초기값을 평형점에 가깝게 하면 상태 상계도 평형점에 가까워지는 성질
'''점근 안정성 (Asymptotical stability):''' 상태가 시간이 지나면 평형점에 수렴하는 성질
'''지수 안정성 (Exponential stability):''' 점근 안정성에서 수렴 정도가 지수 함수로 억제되는 성질
가도달성 (Reachability): 평형점 상태를 유한 시간 안에 (평형점 근방의) 임의의 점으로 이동시키는 입력이 존재하는 성질이다.^[13]
제어 가능성 (Controllability): 임의의 초기 상태에서 유한 시간 안에 평형점으로 이동시키는 입력이 존재하는 성질이다.^[13]
상대 차수 (Relative degree): 출력 y를 반복해서 시간 미분하여 처음으로 입력 u가 나타나는 횟수이다. 이것이 시스템 차수 n과 일치하는 아핀계는 제어 가능한 선형 시스템과 동일하다. 예를 들어 다음이 성립할 때,^[13]

::

\begin{matrix}\dot{y} &=& y^{(1)}\\\vdots\\\dot{y}^{(n-1)}& =& g(x)u\\\end{matrix}

:새로운 좌표를 z_i = y^(i-1), 새로운 입력을 v = g(x)u 라고 정의하면, 선형 제어 가능 정준형을 얻을 수 있다.^[13]

::

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\begin{matrix} z_1\\ z_2 \\ \vdots \\ z_n \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} 0  & 1 &\cdots&0\\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots&\vdots&\ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0  \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} z_1\\ z_2 \\ \vdots \\ z_n \end{matrix}\right] +\left[\begin{matrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right] v

제로 다이내믹스 (Zero dynamics): 출력 함수 h(x)를 0으로 유지하는 입력을 주었을 때 내부 상태의 거동을 의미한다. 제로 다이내믹스가 안정하다면, 출력 영점화 제어를 수행하는 것만으로 전체 안정화를 달성할 수 있다.^[13]

4. 2. 해석 기법

해밀턴 역학 시스템에서의 보존량 검토, 랴푸노프 함수를 이용한 소산량 검토, 테일러 급수를 통한 선형화, 분기 이론, 섭동 이론(대수 방정식에도 적용 가능), 변수 분리법, 스케일 분석 (수학), 특성선법 등은 비선형 상미분 방정식의 정성적 분석에 사용되는 일반적인 방법이다.^[13]

1차 상미분 방정식은 자율 방정식인 경우 변수 분리를 통해 정확하게 풀 수 있는 경우가 많다. 예를 들어, 다음과 같은 비선형 방정식

:

\frac{d u}{d x} = -u^2

은

u=\frac{1}{x+C}

를 일반 해로 가지며,

u = 0

은 일반 해의 극한에 해당하는 특수 해이다(여기서 ''C''는 무한대로 향한다).

2차 이상의 고차 상미분 방정식 (또는 비선형 방정식 시스템)은 폐쇄 형식 해를 거의 생성하지 않지만, 암시적 해나 비초등 함수 적분을 포함하는 해가 나타나기도 한다.

비선형 편미분 방정식 연구에서는 변수를 변경하거나 문제를 변환하여 더 간단한 형태(선형 등)로 만드는 것이 일반적인 접근 방식이다. 변수 분리법에서 볼 수 있듯이, 방정식을 하나 이상의 상미분 방정식으로 변환하는 것은 결과 상미분 방정식의 풀이 가능 여부와 관계없이 유용하다.

스케일 분석은 특정 경계값 문제에서 일반적이고 자연스러운 방정식을 단순화하는 데 사용된다. 예를 들어, 비선형 나비에-스토크스 방정식은 원형 파이프에서의 과도, 층류, 1차원 흐름 문제에서 하나의 선형 편미분 방정식으로 단순화될 수 있다.

특성을 조사하고 상미분 방정식에 대해 위에서 설명한 방법을 사용하는 방법도 있다.

5. 비선형 방정식의 종류

비선형 미분 방정식을 포함하는 문제는 매우 다양하며, 해법 또는 분석 방법은 문제에 따라 다르다. 비선형 미분 방정식의 예로는 유체 역학의 나비에-스토크스 방정식과 생물학의 로트카-볼테라 방정식이 있다.^[11]

다음은 비선형 방정식의 예시이다.

방정식	분야
나비에-스토크스 방정식	유체 역학
로트카-볼테라 방정식	생물학
비선형 슈뢰딩거 방정식
사인-고든 방정식
코르테베흐-드 브리스 방정식
긴즈버그-란다우 이론
대수 리카티 방정식
공과 빔 시스템
최적 정책을 위한 벨만 방정식
볼츠만 방정식
콜브룩 방정식
일반 상대성 이론
이시모리 방정식
카돔체프-페트비아슈빌리 방정식
란다우-리프시츠-길버트 방정식
리에나르 방정식
비선형 광학
전력 흐름 연구
불포화 수류를 위한 리처드 방정식
셀프 밸런싱 외발 자전거
반 데르 폴 발진기
블라소프 방정식

6. 비선형 동역학적 거동의 유형

진폭사멸 - 시스템에 존재하는 모든 진동이 다른 시스템과의 상호 작용 또는 동일한 시스템의 피드백으로 인해 멈추는 현상이다.
카오스 - 시스템의 값을 무한히 먼 미래까지 예측할 수 없으며 변동이 비주기적이다.
멀티안정성 - 둘 이상의 안정된 상태가 존재하는 현상이다.
솔리톤 - 자기 강화 고독파이다.
리미트 사이클 - 불안정해진 고정점에 끌리는 점근적 주기 궤도이다.
자율 진동 - 개방형 소산 물리 시스템에서 발생하는 피드백 진동이다.

7. 비선형 시스템의 제어

좌표 변환과 피드백을 통해 시스템의 상태(입출력 응답)를 선형 시스템과 같은 동작으로 만드는 것을 (입출력) 선형화라고 한다. 평형점 근방의 선형 근사가 가장 기본적인 방법이지만, 대역적으로 근사 오차 없이 선형화하는 '''엄밀한 선형화'''가 있으며, 이를 위한 필요충분조건이 연구되고 있다. 선형화할 수 있다면, 그 다음에는 선형화된 시스템에 선형 시스템 이론에서 얻어지는 제어계 설계 기법을 적용할 수 있다.^[1]

엄밀한 선형화가, 말하자면 ''강제로'' 시스템의 거동을 수정하는 데 반해, 계가 원래 가지는 동특성을 살려 스마트한 제어계 설계를 하려는 것이 다이내믹스 기반 제어이다. 수동 보행에 기초하여 설계된 능동 보행 알고리즘이 그 예이다. 단, 현재로서는 국내에서 사용되는 경우가 많다.^[1]

8. 선형 근사로 해결할 수 없는 시스템

쌍선형 시스템은 입력의 계수가 상태량의 1차식인 아핀계를 말한다.

: $\dot{x} = f(x) + x u$

원점에서는 입력이 작용하지 않는 시스템이다. 따라서 원점의 안정화 문제는 선형 근사로 해결할 수 없다. 댐퍼의 감쇠 계수를 입력으로 하는 세미 액티브 서스펜션 등은 쌍선형 시스템의 좋은 예이다.

비홀로노믹 시스템에서 홀로노믹은 역학적 구속을 분류하는 용어이며, 구속식이 일반화 좌표의 대수 방정식으로 귀착될 수 있는 것(자유도가 감소하는)을 가리킨다. 그렇지 않은 것(예: 구속식이 미분 방정식으로 표시되는 것)을 '''비홀로노믹 구속'''이라고 부르며, 그러한 구속을 받는 시스템을 비홀로노믹 시스템이라고 부른다. 예를 들어, 이동에 관한 비홀로노믹 제약으로 자동차 바퀴에 의한 구속이 좋은 예이다. 자동차는 바퀴의 제약으로 인해 바로 옆으로 진행할 수 없지만, 적절한 경로를 경유하여 최종적으로 원래 위치의 바로 옆 위치로 이동할 수 있지만, 이러한 운동을 선형 근사로 도출할 수는 없다.

참조

_[1] 뉴스 Explained: Linear and nonlinear systems https://news.mit.edu[...] 2018-06-30
_[2] 웹사이트 Nonlinear systems, Applied Mathematics - University of Birmingham https://www.birmingh[...] 2018-06-30
_[3] 간행물 The Nonlinear Universe Springer Berlin Heidelberg 2007
_[4] 논문 The identification of nonlinear biological systems: Volterra kernel approaches 1996-03
_[5] 논문 Some nonlinear challenges in biology http://stacks.iop.or[...] 2008
_[6] 논문 Resonant forcing of nonlinear systems of differential equations 2008
_[7] 논문 Topological properties of a self-assembled electrical network via ab initio calculation 2017
_[8] 서적 System Engineering and Automation: An Interactive Educational Approach https://books.google[...] Springer 2011
_[9] 웹사이트 Nonlinear Dynamics I: Chaos http://ocw.mit.edu/O[...]
_[10] 논문 Nonlinear physics: Fresh breather https://zenodo.org/r[...] 2004-11-25
_[11] 논문 Thirty years of Polynomial System Solving, and now?
_[12] 문서 "Nonlinear System Identification: NARMAX Methods in the Time, Frequency, and Spatio-Temporal Domains" Wiley 2013
_[13] 서적 1985 24th IEEE Conference on Decision and Control
_[14] 웹사이트 David Tong: Lectures on Classical Dynamics http://www.damtp.cam[...]

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