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포흐하머 기호

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1. 개요

포흐하머 기호는 하강 계승과 상승 계승으로 정의되며, 수학 분야에서 다양한 표기로 사용된다. 하강 계승은 x(x-1)(x-2)...(x-n+1)으로, 상승 계승은 x(x+1)(x+2)...(x+n-1)으로 표현된다. 이 기호는 도널드 커누스가 도입했으며, 조합론, 초기하함수 이론 등 다양한 분야에서 표기법이 다르다. 포흐하머 기호는 이항형 다항식열을 이루며, 뉴턴의 이항 급수 및 초기하 함수 등에서 응용된다. 이름은 수학자 레오 아우구스트 포흐하머에서 유래되었으며, q-유사 및 다중 포흐하머 기호로 일반화될 수 있다.

포흐하머 기호
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목차

2. 정의

포흐하머 기호는 하강 계승(falling factorial영어)과 상승 계승(rising factorial영어) 두 가지로 정의된다.

* 하강 계승:
:x^{\underline n}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\frac{x!}{(x-n)!}=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}

* 상승 계승:
:x^{\overline n}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}

정의에 따라 (x)_0=x^{(0)}=1이다.

감마 함수 Γ를 사용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

* 하강 계승: x^{\underline{n}} = \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}
* 상승 계승: x^{\overline{n}} = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}

(단, 감마 함수의 인수가 음이 아닌 정수가 아닌 경우).

x가 양의 정수일 때는 계승을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

* 하강 계승: x^{\underline{n}} = \frac{x!}{(x-n)!} \quad (x \ge n)
* 상승 계승: x^{\overline{n}} = \frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}

3. 표기법

포흐하머 기호의 표기는 분야 및 저자에 따라 다를 수 있으므로 주의해야 한다. 수학 분야에 따라 다음과 같은 다른 표기가 존재한다.

👆
좌우로 밀어서 보기
하강상승
도널드 커누스x^{\underline n}x^{\overline n}
조합론(x)_nx^{(n)}
초기하함수 이론(없음)(x)_n

밑줄 · 윗줄을 쓰는 표기는 도널드 커누스가 도입하였다.

복소수 x와 양의 정수 n에 대해, 특수 함수론에서는 (x)_n을 상승 멱승
:(x)_n = \prod_{j=0}^{n-1} (x+j) = x(x+1)(x+2)\dotsb(x+n-1)
을 나타내는 데 사용하지만, 조합론에서는 (x)_n을 하강 멱승
:(x)_n = \prod_{j=0}^{n-1} (x-j) = x(x-1)(x-2)\dotsb(x-n+1)
으로 사용한다.

혼란을 피하기 위해, 상승 멱승을 (x)^n, 하강 멱승을 (x)_n로 각각 표기하는 경우도 많다.

4. 성질

하강 포흐하머 기호 p_n(x)=x^{\underline n} 및 상승 포흐하머 기호 q_n(x)=x^{\overline n}는 각각 이항형 다항식열을 이룬다. 하강 포흐하머 기호의 델타 작용소는 전방 유한 차분 \Delta_+f=\left(\exp\left(\frac d{dx}\right)-1\right)f=f(x+1)-f(x)이다. 상승 포흐하머 기호의 델타 작용소는 후방 유한 차분 \Delta_-f=\left(1-\exp\left(-\frac d{dx}\right)\right)f=f(x+1)-f(x)이다.

각 n에 대한 포흐하머 기호 (x, n)의 그래프
각 n에 대한 포흐하머 기호 (x, n)의 그래프


* 포흐하머 기호는 복소 변수 x에 관해 유리형 함수이다.
* 임의의 자연수 n \in \mathbb{N}에 대해 (x, n)은 x의 다항식이며, x = 0을 공통 근으로 가진다.

변수 x의 부호를 반전시키면 다음과 같다.
:(-z,n) = (-1)^n(z-n+1,\,n).

매개변수 n의 부호를 반전시키면 다음 관계식이 성립한다.
:(x,-n) = (-1)^n \frac{1}{(1-x,n)}.

다음 식이 성립한다.
:(z,\,n+m) = (z,n)(z+n,\,m)

몫의 법칙은 다음과 같다.
:\frac{(x,n)}{(x,m)} = \begin{cases}
(x+m,\, n-m) & (n>m),\\[5pt]
\dfrac{1}{(x+m,\, m-n)} & (m>n).
\end{cases}

특수 값은 다음과 같다.
👆
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값식조건
(1, n)n!n\in\mathbb{N}
(1/2, n)2^{-n} (2n-1)!!n\in\mathbb{N}


이항 계수와 다음 관계가 있다.
:{z\choose n} = \frac{(-z)_n}{n!}.

5. 응용

포흐하머 기호는 함수의 멱급수 전개를 나타내는 데 사용된다. 몇 가지 예는 다음과 같다.

* 뉴턴의 이항 급수:

:(1-z)^a = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-a)_k}{k!}\,z^k\qquad(|z|<1).

* 초기하 함수:

:{}_2F_1\left(\begin{matrix}a,b\\[-3pt]c\end{matrix}\;;\;z\right) = \sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k k!}\,z^k.

6. 역사

프로이센의 수학자 레오 아우구스트 포흐하머의 이름을 땄다. 그러나 포흐하머 자신은 (x)_n을 이항계수 \textstyle\binom xn을 나타내는 데 사용하였다.

7. 일반화

포흐하머 기호의 일반화에는 q-유사, 다중 포흐하머 기호 등이 있다.

7.1. q-유사

q-유사의 q-포흐하머 기호는 포흐하머 기호의 q-포흐하머 기호이다. 이는 다음과 같이 정의된다.

:(a;q)0 := 1, (a;q)n := (1-a)(1-aq)(1-aq2)⋯(1-aqn-1)

7.2. 다중 포흐하머 기호

다중 지수에 대한 포흐하머 기호는 다음과 같이 정의할 수 있다.

:(a)^{(\alpha )}_\kappa:=\prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^{\kappa_i}
\left(a-\frac{i-1}{\alpha}+j-1\right)\quad (\kappa=\kappa_1+\kappa_2+\dotsb+\kappa_m,\,\alpha>0).