초기하함수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 초기하 미분 방정식
- 2.2. 초기하급수와 초기하함수
3. 성질
4. 예
참조

1. 개요

초기하함수는 초기하 미분 방정식의 해로 나타나는 함수이며, 초기하급수의 수렴 시 초기하함수로 정의된다. 초기하함수는 여러 가지 형태를 가지며, ₀F₀는 지수 함수, ₁F₀는 기하급수, ₀F₁은 베셀 함수, ₂F₁은 가우스 초기하함수와 같이 특수한 함수로 표현될 수 있다. 초기하함수는 여러 가지 성질을 가지며, 미분, 모노드로미 등과 관련하여 연구된다.

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초기하함수

2. 정의

'''초기하 미분 방정식'''(hypergeometric differential equation^영어)은 미지 함수에 대한 선형 상미분 방정식이다. 이 방정식의 해는 급수로 전개할 수 있는데, 이 급수를 '''초기하급수'''(hypergeometric series^영어)라고 한다. 만약 이 급수가 수렴하면 '''초기하함수'''라고 부른다.

2. 1. 초기하 미분 방정식

'''초기하 미분 방정식'''(hypergeometric differential equation^영어)은 미지 함수

w(z)

에 대한, 다음과 같은 꼴의

\max\{p,q+1\}

차 선형 상미분 방정식이다.

:

z\prod_{n=1}^p\left(z\frac d{dz}+a_n\right)w(z)=z\frac d{dz}\prod_{n=1}^{q}\left(z\frac d{dz}+ b_n-1\right)w(z)

여기서

:

\mathbf a=(a_1,\dots,a_p)\in\mathbb R^p

:

\mathbf b=(b_1,\dots,b_q)\in\mathbb R^q

는 임의의 상수들이다. 이 방정식의 해는 다음과 같은 급수로 전개시킬 수 있다.

:

{}_pF_q(\mathbf a;\mathbf b;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(\mathbf a)_n}{(\mathbf b)_n}\frac {z^n} {n!}

여기서

:

(x)_n=x(x+1)\cdots(x+n-1)

은 상승 포흐하머 기호이며,

:

(\mathbf a)_n=(a_1)_n(a_2)_n\cdots(a_p)_n

:

(\mathbf b)_n=(b_1)_n(b_2)_n\cdots(b_q)_n

이다. 이 급수

{}_pF_q

를 '''초기하급수'''(hypergeometric series^영어)라고 하며, 만약 이 급수가 수렴하는 경우 '''초기하함수'''라고 한다.

2. 2. 초기하급수와 초기하함수

초기하급수(hypergeometric series^영어)

{}_pF_q

는 다음과 같은 급수이다.

:

{}_pF_q(\mathbf a;\mathbf b;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(\mathbf a)_n}{(\mathbf b)_n}\frac {z^n} {n!}

여기서

(x)_n=x(x+1)\cdots(x+n-1)

은 상승 포흐하머 기호이며,

(\mathbf a)_n=(a_1)_n(a_2)_n\cdots(a_p)_n

,

(\mathbf b)_n=(b_1)_n(b_2)_n\cdots(b_q)_n

이다. 만약 이 급수가 수렴하는 경우 초기하함수라고 한다.

3. 성질

초기하함수는 정의에 따라, 매개변수 $\{a_1,\dots,a_p\}$ 나 $\{b_1,\dots,b_q\}$ 의 순서에 관계없이 값이 일정하며, $\{a_1,\dots,a_p\}$ 와 $\{b_1,\dots,b_q\}$ 에 교집합이 있으면 이들을 서로 약분할 수 있다.

3. 1. 기본 성질

정의에 따라, 초기하함수

{}_pF_q(\mathbf a;\mathbf b;z)

는

\{a_1,\dots,a_p\}

나

\{b_1,\dots,b_q\}

의 순서에 관계없다. 또한, 만약

\{a_1,\dots,a_p\}

와

\{b_1,\dots,b_q\}

에 교집합이 있으면, 이들을 서로 약분할 수 있다. 예를 들어

a_p=b_q

라면 다음과 같다.

:

{}_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;z)={}_{p-1}F_{q-1}(a_1,\dots,a_{p-1};b_1,\dots,b_{q-1};z)

3. 2. 미분

급수 전개에 따라, 초기하함수의 미분은 다음과 같다.

:d^n/dz^n|dⁿ/dzⁿ^영어 pFq|_pF_q^영어(a;b;z) = pFq|_pF_q^영어(a+n;b+n;z)

여기서 a+n=(a₁+n,a₂+n,...,a_p+n)이며, b+n의 경우도 마찬가지다.

3. 3. 모노드로미

복소 상미분 방정식은 푹스 방정식(해가 정칙 특이점만을 갖는 방정식)이며, 리만 구 위의 (정칙) 특이점은

\{0,1,\widehat\infty\}\in\hat{\mathbb C}

이다. 이들은 특이점 근처에서 모노드로미를 가진다.

$1$ 근처에서, 초기하 방정식은 $n-1$ 개의 선형 독립 해들을 갖는다. 나머지 하나의 해는 1 근처에서 모노드로미를 가지므로 포함되지 않는다.
$0$ 또는 $\widehat\infty$ 근처에서, 초기하 방정식의 해들은 항상 모노드로미를 가지므로, 이 근처에서는 일반적으로 해가 존재하지 않는다.
$z\ne0,1,\widehat\infty$ 근처에서는 $n$ 개의 선형 독립 해가 존재한다.

어떤 밑점

z_0\in\hat{\mathbb C}\setminus\{0,1,\widehat\infty\}

근처에서의 위 방정식의 해의 벡터 공간을

V_{z_0}(\alpha_1,\dots,\alpha_n;\beta_1,\dots,\beta_n)

라고 하자. 이는

n-1

차원의 복소 벡터 공간이다. 그렇다면, 모노드로미에 따라서 기본군의 다음과 같은 군 표현이 존재한다.

:

\phi\colon\pi_0(\hat{\mathbb C}\setminus\{0,1,\widehat\};z_0)\to\operatorname{GL}(V_{z_0})

기본군

\pi_0(\hat{\mathbb C}\setminus\{0,1,\widehat\};z_0)=\langle g_0,g_1,g_\infty|g_0g_1g_\infty=1\rangle

의 작용은 다음과 같다.

$\phi(g_0)$ 의 고윳값은 $\exp(-2\pi i\beta_i)$ 이다 $(i=1,\dots,n)$ .
$\phi(g_\infty)$ 의 고윳값은 $\exp(2\pi i\alpha_i)$ 이다 $(i=1,\dots,n)$ .
$\phi(g_1)$ 은 중복수가 $n-1$ 인 고윳값 1을 갖는다.

이 조건을 충족시키는 군 표현은 유일하며, 이를 '''초기하군'''

H(\alpha_i,\beta_i)

라고 한다.

4. 예

F은 지수 함수이다.

F은 기하급수에서 유래하였다.

F은 합류 초기하 극한 함수라고 하며, 베셀 함수로 나타낼 수 있다.

F은 제1종 합류 초기하함수라고 한다.

F은 가우스 초기하함수라고 하며, 초기하함수 가운데 가장 자주 등장한다. 보통 첨자의 언급 없이 "초기하함수"라고 하면 가우스 초기하함수를 가리킨다. 가우스 초기하함수의 특수한 경우로 제1종 타원적분 등이 있다.

F는 클라우젠-토메 초기하함수라고 하며, 기하급수 및 가우스 초기하함수의 일반화이다.

4. 1. ₀F₀

exp^영어 ''z''는 지수 함수이다.

4. 2. ₁F₀

Hypergeometric series^영어라는 이름은 기하급수에서 유래하였다.

{}_1F_0(a;;z)=(1-z)^{-a}

는 기하급수이다.

4. 3. ₀F₁

confluent hypergeometric limit function^영어는 '''합류 초기하 극한 함수'''라고 하며, 다음과 같이 베셀 함수로 나타낼 수 있다.

:

J_\alpha(x)=\frac{(\tfrac{x}{2})^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}  {}_0F_1\left  (;\alpha+1; -\tfrac{1}{4}x^2 \right )

4. 4. ₁F₁

confluent hypergeometric function of the first kind|컨플루언트 하이퍼지오메트릭 펑션 오브 더 퍼스트 카인드^영어는 제1종 합류 초기하함수라고 한다.

4. 5. ₂F₁

Gaussian hypergeometric function^영어라고 하며, 초기하함수 가운데 가장 자주 등장한다. 보통 첨자의 언급 없이 "초기하함수"라고 하면 가우스 초기하함수를 가리킨다.

가우스 초기하함수의 특수한 경우로는 다음을 들 수 있다.

$2z{}_2F_1(1/2,1;3;z^2)=\arcsin z$
$\frac\pi 2{}_2F_1(1/2,1/2;1;z^2)=K(z)=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-z^2x^2)}}$

여기서

K(z)

는 제1종 타원적분이다.

4. 6. _nF_n-1

Clausen–Thomae hypergeometric function^영어

({}_nF_{n-1})

는 기하급수

({}_1F_0)

및 가우스 초기하함수

({}_2F_1)

의 일반화이며, 가우스 초기하함수와 마찬가지로 흥미로운 모노드로미 이론을 갖는다. 이는 토마스 클라우센(Thomas Clausen^da)과 카를 요하네스 토메(Carl Johannes Thomae^de)의 이름을 땄다.

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