초기하함수

1. 개요

초기하함수는 초기하 미분 방정식의 해로 나타나는 함수이며, 초기하급수의 수렴 시 초기하함수로 정의된다. 초기하함수는 여러 가지 형태를 가지며, ₀F₀는 지수 함수, ₁F₀는 기하급수, ₀F₁은 베셀 함수, ₂F₁은 가우스 초기하함수와 같이 특수한 함수로 표현될 수 있다. 초기하함수는 여러 가지 성질을 가지며, 미분, 모노드로미 등과 관련하여 연구된다.

2. 정의

초기하 미분 방정식(hypergeometric differential equation^영어)은 미지 함수에 대한 선형 상미분 방정식이다. 이 방정식의 해는 급수로 전개할 수 있는데, 이 급수를 초기하급수(hypergeometric series^영어)라고 한다. 만약 이 급수가 수렴하면 초기하함수라고 부른다.

2.1. 초기하 미분 방정식

초기하 미분 방정식(hypergeometric differential equation^영어)은 미지 함수 $w(z)$에 대한, 다음과 같은 꼴의 $\backslash max\backslash \{p,q+1\backslash \}$차 선형 상미분 방정식이다.
:$z\backslash prod\_\{n=1\}^p\backslash left(z\backslash frac\; d\{dz\}+a\_n\backslash right)w(z)=z\backslash frac\; d\{dz\}\backslash prod\_\{n=1\}^\{q\}\backslash left(z\backslash frac\; d\{dz\}+\; b\_n-1\backslash right)w(z)$
여기서
:$\backslash mathbf\; a=(a\_1,\backslash dots,a\_p)\backslash in\backslash mathbb\; R^p$
:$\backslash mathbf\; b=(b\_1,\backslash dots,b\_q)\backslash in\backslash mathbb\; R^q$
는 임의의 상수들이다. 이 방정식의 해는 다음과 같은 급수로 전개시킬 수 있다.
:$\{\}\_pF\_q(\backslash mathbf\; a;\backslash mathbf\; b;z)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(\backslash mathbf\; a)\_n\}\{(\backslash mathbf\; b)\_n\}\backslash frac\; \{z^n\}\; \{n!\}$
여기서
:$(x)\_n=x(x+1)\backslash cdots(x+n-1)$
은 상승 포흐하머 기호이며,
:$(\backslash mathbf\; a)\_n=(a\_1)\_n(a\_2)\_n\backslash cdots(a\_p)\_n$
:$(\backslash mathbf\; b)\_n=(b\_1)\_n(b\_2)\_n\backslash cdots(b\_q)\_n$
이다. 이 급수 $\{\}\_pF\_q$를 초기하급수(hypergeometric series^영어)라고 하며, 만약 이 급수가 수렴하는 경우 초기하함수라고 한다.

2.2. 초기하급수와 초기하함수

초기하급수(hypergeometric series^영어) $\{\}\_pF\_q$는 다음과 같은 급수이다.

:$\{\}\_pF\_q(\backslash mathbf\; a;\backslash mathbf\; b;z)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(\backslash mathbf\; a)\_n\}\{(\backslash mathbf\; b)\_n\}\backslash frac\; \{z^n\}\; \{n!\}$

여기서 $(x)\_n=x(x+1)\backslash cdots(x+n-1)$은 상승 포흐하머 기호이며, $(\backslash mathbf\; a)\_n=(a\_1)\_n(a\_2)\_n\backslash cdots(a\_p)\_n$, $(\backslash mathbf\; b)\_n=(b\_1)\_n(b\_2)\_n\backslash cdots(b\_q)\_n$이다. 만약 이 급수가 수렴하는 경우 초기하함수라고 한다.

3. 성질

초기하함수는 정의에 따라, 매개변수 $\backslash \{a\_1,\backslash dots,a\_p\backslash \}$나 $\backslash \{b\_1,\backslash dots,b\_q\backslash \}$의 순서에 관계없이 값이 일정하며, $\backslash \{a\_1,\backslash dots,a\_p\backslash \}$와 $\backslash \{b\_1,\backslash dots,b\_q\backslash \}$에 교집합이 있으면 이들을 서로 약분할 수 있다.

3.1. 기본 성질

정의에 따라, 초기하함수 $\{\}\_pF\_q(\backslash mathbf\; a;\backslash mathbf\; b;z)$는 $\backslash \{a\_1,\backslash dots,a\_p\backslash \}$나 $\backslash \{b\_1,\backslash dots,b\_q\backslash \}$의 순서에 관계없다. 또한, 만약 $\backslash \{a\_1,\backslash dots,a\_p\backslash \}$와 $\backslash \{b\_1,\backslash dots,b\_q\backslash \}$에 교집합이 있으면, 이들을 서로 약분할 수 있다. 예를 들어 $a\_p=b\_q$라면 다음과 같다.

:$\{\}\_pF\_q(a\_1,\backslash dots,a\_p;b\_1,\backslash dots,b\_q;z)=\{\}\_\{p-1\}F\_\{q-1\}(a\_1,\backslash dots,a\_\{p-1\};b\_1,\backslash dots,b\_\{q-1\};z)$

3.2. 미분

급수 전개에 따라, 초기하함수의 미분은 다음과 같다.

:d^n/dz^n^영어 pFq^영어(a;b;z) = pFq^영어(a+n;b+n;z)

여기서 a+n=(a₁+n,a₂+n,...,a_p+n)이며, b+n의 경우도 마찬가지다.

3.3. 모노드로미

복소 상미분 방정식은 푹스 방정식(해가 정칙 특이점만을 갖는 방정식)이며, 리만 구 위의 (정칙) 특이점은 $\backslash \{0,1,\backslash widehat\backslash infty\backslash \}\backslash in\backslash hat\{\backslash mathbb\; C\}$이다. 이들은 특이점 근처에서 모노드로미를 가진다.

* $1$ 근처에서, 초기하 방정식은 $n-1$개의 선형 독립 해들을 갖는다. 나머지 하나의 해는 1 근처에서 모노드로미를 가지므로 포함되지 않는다.
* $0$ 또는 $\backslash widehat\backslash infty$ 근처에서, 초기하 방정식의 해들은 항상 모노드로미를 가지므로, 이 근처에서는 일반적으로 해가 존재하지 않는다.
* $z\backslash ne0,1,\backslash widehat\backslash infty$ 근처에서는 $n$개의 선형 독립 해가 존재한다.

어떤 밑점 $z\_0\backslash in\backslash hat\{\backslash mathbb\; C\}\backslash setminus\backslash \{0,1,\backslash widehat\backslash infty\backslash \}$ 근처에서의 위 방정식의 해의 벡터 공간을 $V\_\{z\_0\}(\backslash alpha\_1,\backslash dots,\backslash alpha\_n;\backslash beta\_1,\backslash dots,\backslash beta\_n)$라고 하자. 이는 $n-1$차원의 복소 벡터 공간이다. 그렇다면, 모노드로미에 따라서 기본군의 다음과 같은 군 표현이 존재한다.
:$\backslash phi\backslash colon\backslash pi\_0(\backslash hat\{\backslash mathbb\; C\}\backslash setminus\backslash \{0,1,\backslash widehat\backslash \};z\_0)\backslash to\backslash operatorname\{GL\}(V\_\{z\_0\})$

기본군 $\backslash pi\_0(\backslash hat\{\backslash mathbb\; C\}\backslash setminus\backslash \{0,1,\backslash widehat\backslash \};z\_0)=\backslash langle\; g\_0,g\_1,g\_\backslash infty|g\_0g\_1g\_\backslash infty=1\backslash rangle$의 작용은 다음과 같다.

* $\backslash phi(g\_0)$의 고윳값은 $\backslash exp(-2\backslash pi\; i\backslash beta\_i)$이다 $(i=1,\backslash dots,n)$.
* $\backslash phi(g\_\backslash infty)$의 고윳값은 $\backslash exp(2\backslash pi\; i\backslash alpha\_i)$이다 $(i=1,\backslash dots,n)$.
* $\backslash phi(g\_1)$은 중복수가 $n-1$인 고윳값 1을 갖는다.

이 조건을 충족시키는 군 표현은 유일하며, 이를 초기하군 $H(\backslash alpha\_i,\backslash beta\_i)$라고 한다.

4. 예

* F은 지수 함수이다.

* F은 기하급수에서 유래하였다.

* F은 합류 초기하 극한 함수라고 하며, 베셀 함수로 나타낼 수 있다.

* F은 제1종 합류 초기하함수라고 한다.

* F은 가우스 초기하함수라고 하며, 초기하함수 가운데 가장 자주 등장한다. 보통 첨자의 언급 없이 "초기하함수"라고 하면 가우스 초기하함수를 가리킨다. 가우스 초기하함수의 특수한 경우로 제1종 타원적분 등이 있다.

* F는 클라우젠-토메 초기하함수라고 하며, 기하급수 및 가우스 초기하함수의 일반화이다.

4.1. ₀F₀

exp^영어 z는 지수 함수이다.

4.2. ₁F₀

Hypergeometric series^영어라는 이름은 기하급수에서 유래하였다. $\{\}\_1F\_0(a;;z)=(1-z)^\{-a\}$는 기하급수이다.

4.3. ₀F₁

confluent hypergeometric limit function^영어는 합류 초기하 극한 함수라고 하며, 다음과 같이 베셀 함수로 나타낼 수 있다.
:$J\_\backslash alpha(x)=\backslash frac\{(\backslash tfrac\{x\}\{2\})^\backslash alpha\}\{\backslash Gamma(\backslash alpha+1)\}\; \{\}\_0F\_1\backslash left\; (;\backslash alpha+1;\; -\backslash tfrac\{1\}\{4\}x^2\; \backslash right\; )$

4.4. ₁F₁

confluent hypergeometric function of the first kind^영어는 제1종 합류 초기하함수라고 한다.

4.5. ₂F₁

Gaussian hypergeometric function^영어라고 하며, 초기하함수 가운데 가장 자주 등장한다. 보통 첨자의 언급 없이 "초기하함수"라고 하면 가우스 초기하함수를 가리킨다.

가우스 초기하함수의 특수한 경우로는 다음을 들 수 있다.
*$2z\{\}\_2F\_1(1/2,1;3;z^2)=\backslash arcsin\; z$
*$\backslash frac\backslash pi\; 2\{\}\_2F\_1(1/2,1/2;1;z^2)=K(z)=\backslash int\_0^1\backslash frac\{dx\}\{\backslash sqrt\{(1-x^2)(1-z^2x^2)\}\}$
여기서 $K(z)$는 제1종 타원적분이다.

4.6. _nF_n-1

Clausen–Thomae hypergeometric function^영어$(\{\}\_nF\_\{n-1\})$는 기하급수 $(\{\}\_1F\_0)$ 및 가우스 초기하함수 $(\{\}\_2F\_1)$의 일반화이며, 가우스 초기하함수와 마찬가지로 흥미로운 모노드로미 이론을 갖는다. 이는 토마스 클라우센(Thomas Clausen^덴마크어)과 카를 요하네스 토메(Carl Johannes Thomae^독일어)의 이름을 땄다.