음계산법

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 음계산법
- 3.1. 아펠 다항식의 음계산법
- 3.2. 이항형 다항식의 음계산법
4. 예시
5. 유한 차분법
6. 역사
참조

1. 개요

음계산법은 다항식열의 성질을 간편하게 유도하기 위해 음변수를 사용하는 방법론이다. 다항식열, 셰퍼 다항식열, 아펠 다항식열, 이항형 다항식열 등 다양한 다항식열과 음합성, 델타 연산자 등의 개념을 포함한다. 음계산법은 19세기부터 연구되었으며, 존 블리사드에 의해 처음 도입되었고, 에릭 템플 벨, 존 리오던 등을 거쳐 잔카를로 로타에 의해 엄밀한 수학적 토대가 마련되었다. 현재는 셰퍼 수열 연구를 지칭하며, 유한 차분법과도 연관된다.

더 읽어볼만한 페이지

유한차분법 - 포흐하머 기호
포흐하머 기호는 하강 계승과 상승 계승으로 정의되며, 조합론, 초기하함수 이론 등 다양한 분야에서 사용되는 수학 기호이다.
유한차분법 - 에르미트 보간법
에르미트 보간법은 함수 값과 도함수 값을 모두 일치시키는 다항식을 찾는 보간법이며, 컴퓨터 그래픽스에서 곡선 생성에 활용되고, 물체의 위치, 속도, 가속도를 기반으로 위치를 보간하는 데 사용된다.
조합론 - 집합의 분할
집합의 분할은 주어진 집합을 서로소인 부분 집합들로 나누는 것이며, 동치 관계와 밀접하게 관련되어 있고, 벨 수로 표현되며, 플레잉 카드를 나누는 것과 같은 예시가 있다.
조합론 - 계승 (수학)
계승은 음이 아닌 정수 n에 대해 1부터 n까지의 자연수를 곱한 값으로, 0의 계승은 1로 정의되며, 대칭군의 크기와 같다는 성질을 통해 기수로 확장될 수 있고, 다중 계승, 지수 계승 등으로 확장 및 응용되어 다양한 분야에서 활용된다.
다항식 - 르장드르 다항식
르장드르 다항식은 르장드르 미분 방정식의 해로 정의되는 직교 다항식 계열로, 생성 함수, 로드리게스 공식, 또는 점화식을 통해 정의될 수 있으며, 물리학, 공학, 수치해석 등 다양한 분야에서 응용된다.
다항식 - 행렬식
행렬식은 정사각 행렬에 대해 정의되는 값으로, 선형 방정식의 해를 구하고 선형 독립성을 확인하며 기저의 방향과 부피를 계산하는 데 사용되며, 가우스 소거법 등의 계산 기법과 가역성 판단, 고유값 연관성 등의 성질을 갖는다.

음계산법

2. 정의

표수가 0인 체 $K$ 위의 다항식환 $K[x]$ 에서, 각 항의 차수가 $n$ 인 다항식 $p_n(x)$ 으로 구성된 열을 '''다항식열'''(polynomial sequence^영어)이라고 정의한다.^[1] 다항식열은 다음 조건을 만족시킨다.

: $p\colon\mathbb N\to K[x]$

: $p\colon i\mapsto p_i\in K[x]$

: $\deg p_i=i\qquad\forall i\in\mathbb N$

2. 1. 음합성

두 다항식

p(x)=\sum_{i\in\mathbb N}p_ix^i

와 다항식열

q_i(x)=\sum_{j\in\mathbb N}q_{i,j}x^j

의 '''음합성'''(umbral composition^영어)은 다음과 같은 다항식열이다.

:

(p\circ q)(x)=\sum_{j\in\mathbb N}p_iq_j(x)

마찬가지로, 두 다항식열

p_i,q_i

의 '''음합성'''은 다음과 같다.

:

(p\circ q)_i=p_i\circ q

이에 따라, 다항식열들은 모노이드를 이룬다. 음합성의 항등원은 다음과 같다.

:

\delta_n(x)=x^n

2. 2. 셰퍼 다항식열

다항식열

p_i

가 주어졌을 때, 다음과 같은

K

-선형 작용소를 정의할 수 있다.

:

Q\colon K[x]\to K[x]

:

Q\colon p_i\mapsto ip_{i-1}

이를 다항식열

p_i

의 '''델타 연산자'''(delta operator^영어)라고 한다.

임의의

a\in K

에 대하여, 다음과 같은

K

-선형 작용소를 정의할 수 있다.

:

T_a\colon K[x]\to K[x]

:

T_ap_i(x)=p_i(x+a)

만약

Q

가 모든

T_a

와 가환하면,

p_i

를 '''셰퍼 다항식열'''(Sheffer sequence^영어)이라고 한다.

:

QT_ap=T_aQp\qquad\forall a\in K,p\in K[x]

두 셰퍼 다항식열의 음합성 역시 셰퍼 다항식열을 이루며, 음합성에 대하여 셰퍼 다항식열들은 군을 이룬다.

셰퍼 다항식열

p_i

의 지수 생성 함수는 다음과 같은 꼴이다.

:

\sum_{n=0}^\infty \frac{p_n(x)}{n!} t^n = A(t) \exp(x B(t))

:

A,B\in Kt

따라서, 셰퍼 다항식열은 일반화 아펠 다항식열의 특수한 경우이다.

2. 3. 아펠 다항식열

셰퍼 다항식열

p_i

에 대하여, 델타 연산자가 다항식의 미분과 같다면,

p_i

를 '''아펠 다항식열'''(Appell sequence^영어)이라고 한다.

두 아펠 다항식열의 음합성 역시 아펠 다항식열을 이루며, 음합성에 대하여 아펠 다항식열들은 아벨 군을 이룬다. 이는 셰퍼 다항식열의 군의 정규 부분군이다.

모든 아펠 다항식열

p_i(x)

은 어떤 수열

a_i

에 대하여

:

p_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nka_{n-k}x^k

의 꼴임을 보일 수 있다. 역으로, 아펠 다항식열이 주어졌다면

:

a_n=p_n(0)

이 된다.

아펠 다항식열의 예는 다음과 같다.

다항식	대응하는 수열
베르누이 다항식 $B_n(x)$	베르누이 수
(확률론의) 에르미트 다항식 $H_n(x)$	$h_{2k}=(-1)^k2k(2k-2)(2k-4)\cdots2$ , $h_{2k+1}=0$
오일러 다항식
$p_n(x)=x^n$	$a_n=\delta_{n,0}$ ( $\delta$ 는 크로네커 델타)

2. 4. 이항형 다항식열

p_i

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 셰퍼 다항식열을 '''이항형 다항식열'''(sequence of binomial type^영어)이라고 한다.

$p_0(x)=1$ 이며 $p_n(0)=0\qquad\forall n\ge1$ 이다.
다음 항등식이 성립한다.

::

p_n(x+y)=\sum_{k=0}^n\binom nkp_k(x)p_{n-k}(y)

이항형 다항식열은 음합성에 대하여, 셰퍼 다항식열 군의 부분군을 이룬다. 이는 정규 부분군이 아니며, 아벨 군이 아니다. 셰퍼 다항식열 군

\operatorname{Sheffer}

은 아펠 다항식열 군

\operatorname{Appell}

과 이항형 다항식열 군

\operatorname{Binom}

의 반직접곱이다.

::

\operatorname{Sheffer}\cong\operatorname{Appell}\rtimes\operatorname{Binom}

이항형 다항식열은 그 델타 연산자로부터 완전히 결정된다.

이항형 다항식열의 예는 다음과 같다.

$p_n(x)=x^n$ . 이에 대응하는 델타 작용소는 미분 $d/dx$ 이다.
하강 포흐하머 기호 $p_n(x)=x^{\underline n}$ . 이에 대응하는 델타 작용소는 전방 유한 차분 $\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$ 이다.
상승 포흐하머 기호 $p_n(x)=x^{\overline n}$
아벨 다항식 $p_n(x)=x(x-an)^{n-1}$
투샤르 다항식 $\textstyle p_n(x)=\sum_{k=0}^n\left\{{n\atop k}\right\}x^n$ . 여기서 $\textstyle\left\{{n\atop k}\right\}$ 는 제2종 스털링 수이다.

3. 음계산법

형식적 변수 $\mathsf p$ 에 대한 선형 범함수 $L$ 을 정의하고, $L(\mathsf p^n) = p_n$ 을 만족할 때, $\mathsf p$ 를 '''음변수'''(umbral variable^영어)라고 한다. 음변수를 이용하여 다항식열의 성질을 간편하게 유도하는 방법을 '''음계산법'''이라고 한다.

음계산법은 "지수가 지수"라고 가정하여 일련의 인덱스된 숫자와 관련된 항등식을 유도하는 데 사용되는 표기법 절차이다. 문자 그대로 해석하면 터무니없는 일이지만, 음계산법을 통해 파생된 항등식은 논리적 어려움 없이 문자 그대로 해석할 수 있는 더 복잡한 방법을 통해서도 올바르게 파생될 수 있다.

셰퍼 다항식열은 아펠 다항식열과 이항형 다항식열의 음합성이므로, 이에 대한 음계산법을 개발할 수 있다.

3. 1. 아펠 다항식의 음계산법

umbral variable^영어이라고 불리는 형식적 변수

\mathsf p

에 대한 선형 범함수

L\colon K[\mathsf p]\to K

를 정의하여,

\mathsf p^n\mapsto p_n

로 만든다.

L

을 적용하면

\mathsf p^n

의 윗첨자(거듭제곱)가

p_n

의 아랫첨자로 바뀐다.

다음과 같은 식들이 성립한다.

:

L\left((a+\mathsf p)^n\right)=p_n(a)\qquad\forall a\in K

:

L\left(\frac d{da}(a+\mathsf p)^n\right)=\frac d{da}L\left((a+\mathsf p)^n\right)

따라서,

p_n(x)

를 포함하는 표현을

L(\cdots)

로 나타낸 뒤, 음변수

\mathsf p

의 다항식으로 다룰 수 있다. 이를 '''음계산법'''이라고 한다.

이 방법은 "지수가 지수"라고 가정하여 일련의 인덱스된 숫자와 관련된 항등식을 유도하는 데 사용되는 표기법 절차이다. 문자 그대로 해석하면 터무니없는 일이지만, 음계산법을 통해 파생된 항등식은 논리적 어려움 없이 문자 그대로 해석할 수 있는 더 복잡한 방법을 통해서도 올바르게 파생될 수 있다.

예를 들어, 다음과 같은 항등식을 음계산법으로 쉽게 보일 수 있다.

:

\begin{align}p_n(x+y)&=L\left((x+y+\mathsf p)^n\right)\\&=L\sum_{k=0}^n\binom nk(y+\mathsf p)^{n-k}x^k\\&=\sum_{k=0}^n\binom nkL((y+\mathsf p)^{n-k})x^k\\&=\sum_{k=0}^n\binom nkp_{n-k}(y)x^k\\\end{align}

3. 2. 이항형 다항식의 음계산법

델타 연산자

Q

에 대응하는 이항형 다항식

p_n(x)

이 주어졌을 때, 선형 범함수

L\colon K[\mathsf p]\to K[x]

를

L\colon\mathsf p^n\mapsto p_n(x)

와 같이 정의할 수 있다. 이 경우,

L\left(\frac d{d\mathsf p}f(\mathsf p)\right)=Q(Lf)

와 같은 항등식이 성립한다. 이를 통해 아펠 다항식과 유사하게

p_n(x)

를 포함하는 표현을

L(\cdots)

로 나타내는 음계산법을 활용할 수 있다.

특히, 임의의

f(x)\in K[x]

에 대해

\deg p_n(x)=n

이므로,

f=L(g(\mathsf p))

인 다항식

g(\mathsf p)\in K[x]

,

g(\mathsf p)=\sum_{k=0}^\infty g_k\mathsf p^k

가 존재한다. 이때,

g_k=\frac1{k!}Q^nf(0)

이다. 따라서,

:

f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac1{k!}Q^nf(0)p_n(x)

가 성립한다. 이를 '''음 테일러 급수'''(umbral Taylor series^영어)라고 한다.

예를 들어,

p_n(x)

가 하강 포흐하머 기호

p_n(x)=x^{\underline n}=x(x-1)\cdots(x-n+1)

일 경우, 델타 작용소는 전방 유한 차분

\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)

이다. 따라서

:

f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac1{k!}\Delta^nf(0)x^{\underline n}

이다. 이는 뉴턴 급수라고 한다.

4. 예시

음계산법의 예시는 다음과 같다.

아펠 다항식열:
베르누이 다항식 $B_n(x)$ : 이에 대응하는 수열은 베르누이 수이다.
(확률론의) 에르미트 다항식 $H_n(x)$ : 이에 대응하는 수열은 $h_{2k}=(-1)^k2k(2k-2)(2k-4)\cdots2$ , $h_{2k+1}=0$ 이다.
오일러 다항식
$p_n(x)=x^n$ : 이에 대응하는 수열은 $a_n=\delta_{n,0}$ 이다. ( $\delta$ 는 크로네커 델타).

이항형 다항식열:
미분 $d/dx$ 에 대응하는 다항식열: $p_n(x)=x^n$
전방 유한 차분 $\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$ 에 대응하는 다항식열: 하강 포흐하머 기호 $p_n(x)=x^{\underline n}$
상승 포흐하머 기호: $p_n(x)=x^{\overline n}$
아벨 다항식: $p_n(x)=x(x-an)^{n-1}$
투샤르 다항식: $\textstyle p_n(x)=\sum_{k=0}^n\left\{{n\atop k}\right\}x^n$ (여기서 $\textstyle\left\{{n\atop k}\right\}$ 는 제2종 스털링 수이다.)

베르누이 공식: 베르누이 다항식 $B_n(x)\in\mathbb Q[x]$ 은 아펠 다항식열을 이룬다. 음계산법을 사용하면 거듭제곱수의 합에 대한 베르누이 공식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

역관계: 두 수열 $a_n$ , $b_n$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

:

\forall n\colon a_n=\sum_{k=0}^n\binom nkb_n\iff \forall n\colon b_n=\sum_{k=0}^n(-)^k\binom nka_n

이는 음계산법으로 쉽게 유도할 수 있다.^[8]

4. 1. 아펠 다항식열의 예

베르누이 다항식 $B_n(x)$ : 이에 대응하는 수열은 베르누이 수이다.
(확률론의) 에르미트 다항식 $H_n(x)$ : 이에 대응하는 수열은 $h_{2k}=(-1)^k2k(2k-2)(2k-4)\cdots2$ , $h_{2k+1}=0$ 이다.
오일러 다항식
$p_n(x)=x^n$ : 이에 대응하는 수열은 $a_n=\delta_{n,0}$ 이다 ( $\delta$ 는 크로네커 델타).

4. 2. 이항형 다항식열의 예

다음은 이항형 다항식열의 예시이다.

미분 $d/dx$ 에 대응하는 다항식열: $p_n(x)=x^n$
전방 유한 차분 $\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$ 에 대응하는 다항식열: 하강 포흐하머 기호 $p_n(x)=x^{\underline n}$
상승 포흐하머 기호: $p_n(x)=x^{\overline n}$
아벨 다항식: $p_n(x)=x(x-an)^{n-1}$
투샤르 다항식: $\textstyle p_n(x)=\sum_{k=0}^n\left\{{n\atop k}\right\}x^n$ (여기서 $\textstyle\left\{{n\atop k}\right\}$ 는 제2종 스털링 수이다.)

4. 3. 베르누이 공식

베르누이 다항식

B_n(x)\in\mathbb Q[x]

은 아펠 다항식열을 이룬다. 따라서, 다음 선형 작용소를 정의한다.

:

L\colon\mathbb Q[\mathsf b]\to\mathbb Q[x]

:

L\colon\mathsf  b^n\mapsto B_n

(

B_n

은

B_1=-1/2

인 베르누이 수이다.)

음계산법을 사용하면 거듭제곱수의 합에 대한 베르누이 공식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\begin{align}\sum_{k=1}^n k^m &= \frac1{m+1}\left(B_{m+1}(n+1)-B_{m+1}(0)\right)\\&=L\left(\frac{(n+1+\mathsf b)^{m+1}-\mathsf b^{m+1}}{m+1}\right)\\&=L\int_{\mathsf b}^{\mathsf b+n+1} x^p\,dx\end{align}

4. 4. 역관계

두 수열

a_n

,

b_n

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

:

\forall n\colon a_n=\sum_{k=0}^n\binom nkb_n\iff \forall n\colon b_n=\sum_{k=0}^n(-)^k\binom nka_n

이는 음계산법으로 다음과 같이 쉽게 유도할 수 있다.^[8]

우선

:

L\colon K[\mathsf a]\to K

:

L\colon \mathsf a^n\mapsto a_n

라고 하자. 그렇다면, 만약

:

b_n=\sum_{k=0}^n\binom nkb_n=L\left((1+\mathsf a)^n\right)

라면,

:

\mathsf b=1+\mathsf a

로 정의할 수 있다. 그렇다면

:

a_n=L(\mathsf a^n)=L\left((\mathsf b-1)^n\right)=\sum_{k=0}^n(-)^k\binom nkb_k

임을 알 수 있다. (반대 방향의 함의도 마찬가지로 성립한다.)

5. 유한 차분법

유한 차분법에서 함수의 테일러 급수와 유사하게 '''뉴턴 급수''' 또는 '''뉴턴 전방 차분 전개'''라고 불리는 다음 식이 성립한다.

: $f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\Delta^k [f](a)}{k!}(x-a)_k$

여기서 $(x-a)_k=(x-a)(x-a-1)(x-a-2)\cdots(x-a-k+1)$ 는 내림차순 연쇄 곱에 사용된 포흐하머 기호이다. 이 급수는 유한 차분법에서 테일러 전개와 유사한 역할을 한다.

6. 역사

19세기에 존 블리사드(John Blissard)가 음계산법을 도입하였다.^[9] 그러나 블리사드는 선형 범함수를 사용하지 않았으며, 단순히 특정 경우 아랫첨자를 윗첨자처럼 간주할 수 있다는 선에서 음계산법을 이해하였다. 이후 음계산법은 에두아르 뤼카와 제임스 조지프 실베스터 등에 의하여 널리 사용되었으나, 오랫동안 음계산법이 왜 성립하는지는 의문에 싸여 있었다.

1930년대와 1940년대에 에릭 템플 벨은 음계산법을 엄밀한 토대 위에 세우려고 시도했지만, 성공하지 못했다.^[10] 1960년대에 출판된 그의 저서 《조합 항등식》(Combinatorial Identities)에서 조합론 학자 존 리오단은 이러한 종류의 기법을 광범위하게 사용했다.

1970년대에 스티븐 로만, 잔카를로 로타 등은 다항식 공간에 대한 선형 범함수를 사용하여 음계산법을 발전시켰다.^[11] 현재 '음계산법'은 이항 형식 및 아펠 수열의 다항식 수열을 포함한 셰퍼 수열 연구를 지칭하지만, 유한 차분법의 체계적인 대응 기법을 포괄할 수도 있다. 로타는 선형 범함수 ''L''을 이용해 음계산법을 엄밀하게 유도하였으며, 이를 통해 베르누이 다항식의 정의와 ''L''의 정의 및 선형성을 사용하여 여러 식을 증명할 수 있었다.

로타는 나중에 이 주제에서 자주 발생하는 세 가지 동치 관계를 구분하지 못해 많은 혼란이 발생했는데, 이 모든 관계는 "="로 표시되었다고 진술했다. 1964년에 발표된 논문에서 로타는 음계산을 사용하여 유한 집합의 집합 분할을 열거하는 벨 수가 만족하는 재귀 공식을 정립했다.

Roman과 Rota의 논문에서 음계산은 변수 ''x''의 다항식에 대한 선형 범함수의 대수로 정의되는 '음대수'의 연구로 특징지어진다. 여기서 선형 범함수의 곱은 특정 방식으로 정의된다.

다항식 수열이 선형 사상 ''L'' 아래에서 ''yⁿ''의 이미지로 수의 수열을 대체하면 음계산 방법은 로타의 특수 다항식에 대한 일반 이론의 필수 구성 요소로 간주되며, 해당 이론은 용어의 더 현대적인 정의에 따른 '음계산'이다.^[3]

로타는 이후 션과의 논문에서 음계산을 광범위하게 적용하여 큐뮬런트의 다양한 조합론적 성질을 연구했다.^[4]

폴 에밀 아펠(Paul Émile Appell^프랑스어, 1855~1930)이 아펠 다항식열을 도입하였다. 셰퍼 다항식열은 미국의 수학자 이자도어 미첼 셰퍼(Isador Mitchell Sheffer^영어, 1901~1992)가 도입하였다.

참조

_[1] 논문 Theory of generic equations http://resolver.sub.[...]
_[2] 간행물 The History of Blissard's Symbolic Method, with a Sketch of its Inventor's Life The American Mathematical Monthly
_[3] 논문 On the foundations of combinatorial theory. VIII. Finite operator calculus
_[4] 간행물 "On the Combinatorics of Cumulants" http://www.sciencedi[...]
_[5] 간행물 The History of Blissard's Symbolic Method, with a Sketch of its Inventor's Life The American Mathematical Monthly
_[6] 논문 On the foundations of combinatorial theory. VIII. Finite operator calculus
_[7] 간행물 "On the Combinatorics of Cumulants" http://www.sciencedi[...]
_[8] 서적 Combinatorics: The Rota Way http://www.math.tamu[...] Cambridge University Press 2009
_[9] 저널 Theory of generic equations http://resolver.sub.[...] 1861
_[10] 저널 The history of Blissard’s symbolic method, with a sketch of its inventor’s life
_[11] 저널 The umbral calculus

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com