푸앵카레-호프 정리

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 벡터장의 지표
- 2.2. 푸앵카레-호프 정리
3. 중요성
4. 증명
5. 일반화
6. 예시
- 6.1. 털난 공 정리
- 6.2. 원환면
7. 역사와 어원
참조

1. 개요

푸앵카레-호프 정리는 콤팩트하고 가향 가능한 미분 가능 다양체 위의 벡터장의 영점 지표 합이 다양체의 오일러 지표와 같다는 정리이다. 이 정리는 2차원에서 앙리 푸앵카레에 의해 증명되었고, 하인츠 호프가 고차원으로 일반화했다. 이 정리는 위상수학적 개념인 오일러 지표와 해석학적 개념인 벡터장 지표 사이의 관계를 보여주며, 털난 공 정리와 같은 결과를 포함한다.

2. 정의

''M''을 차원 ''n''의 미분 가능 다양체라 하고, ''v''를 ''M'' 위의 벡터장이라고 하자. ''x''를 ''v''의 고립된 영점이라고 하고, ''x'' 근방의 국소좌표계를 고정한다. ''x''를 중심으로 하는 닫힌 구 ''D''를 잡아, ''D'' 안에서 ''x''가 ''v''의 유일한 영점이 되도록 한다. 이때 ''x''에서 ''v''의 지수 index_x(''v'')는 ''u''(''z'')=''v''(''z'')/| ''v''(''z'') |로 주어지는, ''D''의 경계에서 (''n''−1)차원 구면으로 가는 사상 ''u'':∂''D''→''S''^n-1의 차수로 정의한다.

콤팩트하고 가향인 미분 가능 다양체 ''M'' 위의 벡터장 ''v''가 고립된 영점만을 갖는 경우, 다음 공식이 성립한다. (''M''이 경계를 갖는 경우, ''v''는 경계에서 바깥쪽을 향한다고 가정한다.)

: $\sum_i \operatorname{index}_{x_i}(v) = \chi(M)\ .$

여기서 지수의 합은 ''v''의 모든 (고립된) 영점을 거치며, $\chi(M)$ 는 ''M''의 오일러 지표이다.

이 정리는 먼저 2차원에서 앙리 푸앵카레^[1]가 증명했고, 이후 Heinz Hopf|하인츠 호프^영어^[2]가 고차원으로 일반화했다.

2. 1. 벡터장의 지표

미분 가능 다양체

M

위의 벡터장

v

의 영점(

v(x)=0

인

x\in M

)들이 고립되어 있다고 가정한다. 즉, 각 영점

x\in M

에 대해,

x

를 포함하고 다른 영점들을 포함하지 않는 근방

D\ni x

가 존재한다. 이 근방

D

는

n

차원 공과 위상동형이 되도록 잡을 수 있다.

국소좌표계를 잡아 함수

u_x\colon\partial D\to S^{n-1}

를

y\mapsto v(y)/\Vert v(y)\Vert

로 정의하면, 영점

x

의 '''지표'''(index)

\operatorname{ind}_x(v)

는 이 함수

u

의 브라우어르 차수

\deg u

로 정의된다. 이 값은 국소좌표계나

D

의 선택에 의존하지 않는다.

고립된 영점을 가진 벡터장의 지표는 그 영점들의 지표들의 합이다. 즉,

:

\operatorname{ind}(v)=\sum_x\operatorname{ind}_x(v)=\sum_x\deg u_x

x

가 벡터장

v

의 고립된 영점일 때,

x

근처에서 국소 좌표계를 고정한다.

x

를 중심으로 하는 닫힌 공

D

를 선택하여

D

에서

x

가

v

의 유일한 영점이 되도록 한다. 그러면

x

에서

v

의 지수

\operatorname{index}_x(v)

는

D

의 경계에서

(n-1)

차원 구

\mathbb S^{n-1}

로의 사상

u : \partial D \to \mathbb S^{n-1}

의 차수로 정의된다. 이 사상

u

는

u(z)=v(z)/\|v(z)\|

로 주어진다.

2. 2. 푸앵카레-호프 정리

M

이 콤팩트 가향 다양체라고 하자. 그렇다면

M

의 오일러 지표는

M

위에 존재하는 고립된 영점들을 가지는 임의의 벡터장의 지표와 같다.

:

\operatorname{ind}(v)=\chi(M)

이 사실을 '''푸앵카레-호프 정리'''라고 한다.

M

을

n

차원 미분 가능 다양체로,

v

를

M

위의 벡터장이라고 하자.

x

가

v

의 고립된 영점이라고 가정하고,

x

근처에 몇 개의 국소 좌표계를 고정한다.

x

가

D

에서

v

의 유일한 영점이 되도록

x

를 중심으로 하는 닫힌 공

D

를 선택한다. 그러면

x

에서의

v

의 지수,

\operatorname{index}_x(v)

는

D

의 경계에서

u(z)=v(z)/\|v(z)\|

로 주어지는

(n-1)

차원 구

\mathbb S^{n-1}

로의 사상

u : \partial D \to \mathbb S^{n-1}

의 차수로 정의할 수 있다.

'''정리.'''

M

을 콤팩트 미분 가능 다양체로 하자.

v

를 고립된 영점을 갖는

M

위의 벡터장이라고 하자.

M

이 경계를 갖는다면, 경계를 따라

v

가 외부 법선 방향을 가리키도록 한다. 그러면 다음 공식을 갖는다.

:

\sum_i \operatorname{index}_{x_i}(v) = \chi(M)\,

여기서 지수의 합은

v

의 모든 고립된 영점에 걸쳐 있으며

\chi(M)

은

M

의 오일러 지표이다. 특히 유용한 따름정리는 오일러 지표가 0인 비영 벡터장이 있을 때이다.

이 정리는 2차원에서 앙리 푸앵카레^[1]에 의해 증명되었으며, 나중에 하인츠 호프^[2]에 의해 고차원으로 일반화되었다.

3. 중요성

푸앵카레-호프 정리는 닫힌 곡면의 오일러 지표라는 순수한 위상수학적 개념과 벡터장의 지수라는 순수한 해석학적 개념 사이의 깊은 연관성을 보여준다. 이 정리의 증명이 적분, 특히 스토크스 정리에 크게 의존한다는 점도 흥미롭다. 스토크스 정리는 미분 형식의 외미분의 적분은 경계에서 해당 형식의 적분과 같다는 것이며, 경계가 없는 다양체의 경우에는 적분이 0이 됨을 의미한다.

발산원이나 흡수원의 충분히 작은 근방에서 벡터장을 검토하면, 이들이 총합에 정수(지수라고 알려짐)를 기여하며, 이들의 총합은 0이 되어야 한다. 이 결과는 기하학적 및 해석학적 또는 물리학적 개념 사이의 깊은 관계를 확립하는 여러 정리 (아티야-싱어 지수 정리, 드람 정리, 그로텐디크-리만-로크 정리 등) 중 가장 초기에 해당한다고 볼 수 있으며, 이들은 현대 연구에서 중요한 역할을 한다.

4. 증명

1. 고차원 유클리드 공간 안에 ''M''을 매립한다. (휘트니 매장 정리를 사용한다.)

2. 유클리드 공간에서 ''M''의 작은 근방 ''N''_ε을 취한다. 이 근방으로 벡터장을 확장하여 같은 영점과 같은 지수를 갖도록 한다. 게다가, 확장된 벡터장이 ''N''_ε의 경계상에서 바깥쪽을 향하도록 확인한다.

3. 원래의 벡터장 (그리고 새로운 벡터장)의 영점 지수의 합은, ''N''_ε의 경계에서 (''n''-1)-차원 구면으로의 가우스 맵의 차수와 같다. 따라서 지수의 합은 벡터장과는 독립적이며, 다양체 ''M''에만 의존한다. 기술적으로는, 벡터장의 모든 영점을 그 작은 근방과 함께 제거한 후, "''n''-차원 다양체의 경계에서 (''n''-1)-차원 구면으로의 사상의 차수는, 그 사상이 ''n''-차원 다양체 전체로 확장 가능할 때 0이다"라는 사실을 사용한다.

4. 마지막으로, 이 지수의 합을 ''M''의 오일러 지표와 동일시한다. 이를 위해, ''M''의 삼각 분할을 사용하여, 지수의 합이 오일러 지표와 같은 것이 명확한 벡터장을 하나 구성한다.

5. 일반화

벡터장의 지수를 고립되지 않은 영점에 대해서도 정의하는 것이 가능하다. 이 지수의 구성과 고립되지 않은 영점을 갖는 벡터장에 대한 푸앵카레-호프 정리의 확장은 Brasselet, Seade, Suwa (2009)의 1.1.2절에 개략적으로 설명되어 있다.^[1]

또 다른 일반화는 콤팩트 삼각화 가능 공간과 유한 개의 고정점을 갖는 연속 사상만을 사용하는 레프셰츠-호프 정리이다. 모든 벡터장은 다양체 상에서 흐름을 유도하고, 작은 흐름의 고정점은 벡터장의 영점에 해당하며 (영점의 지수는 고정점의 지수와 같다), 따라서 푸앵카레-호프 정리는 이로부터 즉시 도출된다.

6. 예시

2차원 구는 오일러 지표가 2이므로, 구 위에는 영점을 가지지 않는 벡터장이 존재하지 않는다. 이 사실을 '''털난 공 정리'''(hairy ball theorem^영어)라고도 한다. 2차원 원환면은 오일러 지표가 0이므로, 영점을 가지지 않는 벡터장이 존재한다.

6. 1. 털난 공 정리

2차원 구는 오일러 지표가 2이다. 따라서 구 위에는 영점을 가지지 않는 벡터장이 존재하지 않는다. 이 사실을 '''털난 공 정리'''(hairy ball theorem^영어)라고 하기도 한다. 구 위에 지표가 2인 하나의 영점을 가진 벡터장 또는 지표가 1인 두 개의 벡터장을 잡을 수 있다. 반면, 2차원 원환면은 오일러 지표가 0이므로, 영점을 가지지 않는 벡터장이 존재한다.

6. 2. 원환면

2차원 원환면은 오일러 지표가 0이므로, 영점을 가지지 않는 벡터장이 존재한다.^[1]

7. 역사와 어원

이 정리는 앙리 푸앵카레와 하인츠 호프의 이름을 따서 지어졌다. 푸앵카레는 2차원의 경우를 증명하였고,^[3] 호프는 이를 고차원으로 일반화하였다.^[4]

참조

_[1] 논문 On curves defined by differential equations 1881-1882
_[2] 논문 Vektorfelder in n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten 1926
_[3] 저널 Sur les courbes définies par les équations différentielles III http://portail.mathd[...] 1885
_[4] 저널 Über die Curvatura integra geschlossener Hyperflächen 1926-12

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