풀린매듭
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1. 개요
풀린매듭은 매듭 이론에서 특정 매듭이 풀린매듭인지 판별하는 알고리즘 문제이다. 이 문제는 NP와 co-NP에 속하며, 매듭 불변량 연구의 동기가 되었다. 매듭 플뢰어 호몰로지, 호바노프 호몰로지는 풀린매듭을 탐지할 수 있지만 효율적인 계산 방법은 알려져 있지 않으며, 존스 다항식 또는 유한 유형 불변량이 풀린매듭을 탐지할 수 있는지도 알려져 있지 않다. 풀린매듭의 알렉산더-콘웨이 다항식과 존스 다항식은 간단하며, 자명한 매듭은 매듭 합성에서 항등원 역할을 한다. 또한, 최소 교차수, 매듭 해소수, 종수가 0인 유일한 매듭이다.
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2. 풀린매듭 문제
특정 매듭이 풀린매듭인지 판별하는 알고리즘 문제인 풀린매듭 문제는 매듭 불변량 연구의 주요 동기가 되었다. 이는 매듭 다이어그램과 같은 표현에서 매듭을 인식하는 효율적인 알고리즘을 제공할 수 있다고 여겨졌기 때문이다. 이 문제는 NP와 co-NP 모두에 속하는 것으로 알려져 있다.
엉킨 끈을 풀기 시작했다는 사실이 작업이 가능하다는 것을 증명하더라도 그것을 푸는 방법을 찾는 것은 어려울 수 있다. 시슬스웨이트와 오치아이는 다이어그램의 교차수를 일시적으로 늘려야 하므로 단순화할 수 있는 분명한 방법이 없는 많은 풀린매듭의 다이어그램의 예시를 제공했다.[4][1]
풀린매듭의 알렉산더-콘웨이 다항식과 존스 다항식은 간단하다.
자명한 매듭은 매듭 합성에서 항등원 역할을 한다. 또한, 소수 매듭도 합성 매듭도 아닌 유일한 매듭이다.[3] 최소 교차수 · 매듭 해소수 · 종수가 0인 유일한 매듭이다. 또한, 교차 지수 · 땋임 지수가 1인 유일한 매듭이다.[3]
[1]
웹사이트
Knotty topics
http://www.volkersch[...]
2007-04-23
매듭 플뢰어 호몰로지와 호바노프 호몰로지/Khonanov homology영어는 풀린매듭을 탐지할 수 있지만, 효율적인 계산 방법은 알려져 있지 않다. 존스 다항식 또는 유한 유형 불변량이 풀린매듭을 탐지할 수 있는지도 알려져 있지 않다.
3. 예시
밧줄은 일반적으로 닫힌 고리의 형태가 아니지만 때로는 끝이 함께 결합되는 것을 상상하여 매듭을 만드는 표준적인 방법이 있다. 이러한 관점에서 볼 때 많은 유용한 실용적인 매듭은 꽁꽁 묶일 수 있는 매듭을 포함하여 실제로는 풀린매듭이다.[4]
모든 매듭은 끝점에서 유니버설 조인트로 연결된 강체 선분의 모음인 연결로 나타낼 수 있다. 막대 수는 매듭을 연결로 나타내는 데 필요한 최소한의 선분 수이며, 붙은 풀린매듭 은 평평한 볼록 다각형으로 재구성할 수 없는 특정 매듭이 없는 연결이다.[5][2] 교차 수와 마찬가지로 연결은 단순화되기 전에 선분을 세분화하여 더 복잡하게 만들어야 할 수 있다.
4. 불변량
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10개 이하의 교차를 갖는 다른 매듭은 자명한 알렉산더 다항식을 갖지 않지만, 11개의 교차를 갖는 기노시타-테라사카 매듭과 콘웨이 매듭은 풀린매듭과 동일한 알렉산더 다항식 및 콘웨이 다항식을 갖는다. 임의의 비자명 매듭이 풀린매듭과 동일한 존스 다항식을 갖는지는 미해결 문제이다.
5. 자명한 매듭의 특징
자명한 매듭은 교대 매듭이며, 양손형 매듭이고, 가역이다.[3] (''p'', ±1)형, (±1, ''q'')형의 토러스 매듭이다.[3]
존스 다항식 · 알렉산더 다항식 · 컴웨이 다항식 · 홈프리 다항식과 같은 다항식 불변량은, 자명한 매듭에 대한 다항식을 기준으로 정한 후 스케인 관계식을 사용하여 귀납적으로 정의할 수 있다.[3] 알렉산더-콘웨이 다항식과 존스 다항식은 자명한 매듭의 경우 <math>\Delta(t) = 1,\quad \nabla(z) = 1,\quad V(q) = 1</math>이다. 10개 이하의 교차를 갖는 다른 매듭은 자명한 알렉산더 다항식을 갖지 않지만, 기노시타-테라사카 매듭과 콘웨이 매듭 (둘 다 11개의 교차를 갖는다)은 자명한 매듭과 동일한 알렉산더와 콘웨이 다항식을 갖는다. 비자명한 매듭이 자명한 매듭과 동일한 존스 다항식을 갖는지 여부는 아직 해결되지 않은 문제이다.
자명한 매듭은 매듭군이 무한 순환군인 유일한 매듭이며, 그 매듭 여집합은 위상동형적으로 원환체와 같다.[3]
참조
[2]
논문
A new class of stuck unknots in Pol-6
http://www.emis.de/j[...]
2001
[3]
문서
ある結び目とその結び目の鏡像が[[結び目理論#結び目の同値性|同値]]のとき、その結び目を'''両手型結び目'''という。例えば[[8の字結び目]]は両手型結び目であるが、[[三葉結び目]]はそうではない。
[4]
웹인용
Knotty topics
http://www.volkersch[...]
2007-04-23
[5]
저널 인용
A new class of stuck unknots in Pol-6
http://www.emis.de/j[...]
2001
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