존스 다항식

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1. 개요

존스 다항식은 매듭 이론에서 사용되는 매듭 불변량으로, 주어진 매듭 다이어그램을 카우프만의 괄호 다항식을 사용하여 정의한다. 이 다항식은 땋임 표현과 템퍼리-리브 대수를 통해 정의될 수도 있으며, 스케인 관계식을 만족한다. 존스 다항식은 매듭의 거울상과 양손 매듭의 특성을 보여주며, 교호 링크의 존스 다항식은 교호 다항식이다. 또한, 존스 다항식은 천-사이먼스 이론, 바실리예프 불변량, 콘체비치 적분, 코바노프 호몰로지와 연관되어 연구되며, 부피 추측과 같은 미해결 문제와도 관련이 있다.

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존스 다항식
기본 정보
다양한 매듭 표기법
유형	매듭 불변량
개발자	본 존스
발견 연도	1984년
정의
변수	단일 변수 다항식
기호	V(L)(t)
관련 개념	매듭 이론 콘웨이 다항식 HOMFLY 다항식
속성
계산 복잡도	#P-hard
매듭 감지	매듭 감지에는 완전하지 않음 (카이랄리티 감지)
수학적 표현
스켈레인 관계	't^{-1}V(L_{+}) - tV(L_{-}) = (t^{1/2} - t^{-1/2})V(L_{0})'
자명한 매듭	'V(unknotted)=1'
거울상 대칭	'V(L)(t)=V(L^*)(t^{-1})'

2. 정의

매듭 이론에서 주어진 매듭 다이어그램으로 표현되는 방향성을 가진 매듭 ''L''을 생각한다. 카우프만의 괄호 다항식을 사용하여 존스 다항식 ''V(L)''을 정의한다. 여기서 괄호 다항식은 bracket polynomial^영어 ( $\langle~\rangle$ 으로 표시)은 정수를 계수로 하는 부정원 ''A''의 로랑 다항식이다.

먼저, $X$ 다항식(정규화 괄호 다항식) $X(L) = (-A^3)^{-w(L)}\langle L \rangle$ 을 정의한다. 여기서 ''w(L)''은 ''L''의 주어진 표시에서의 꼬임수를 나타낸다. 어떤 꼬임의 표시의 꼬임 수는 양의 교차의 개수에서 음의 교차의 개수를 뺀 것이다. 꼬임 수 자체는 매듭 불변량이 아니다.

''X(L)''은 매듭 불변량이다. 왜냐하면 ''L''의 표시를 세 종류의 라이데마이스터 이동으로 변화시켜도 ''X(L)''은 변하지 않기 때문이다. 라이데마이스터 이동 II, III에 대한 불변성은 브래킷 다항식이 이러한 변형에 대해 불변이기 때문에 따른다. 괄호 다항식은 라이데마이스터 이동 I에 의해 $-A^{\pm 3}$ 배만큼 변화하는 것으로 알려져 있다. 꼬임 수는 라이데마이스터 이동 I에서 정확히 +1 또는 −1 변화하므로, 위에서 주어진 ''X'' 다항식은 이 변형에 대해 변화하지 않도록 정의되어 있다.

''X(L)''에 $A = t^{-1/4}$ 을 대입함으로써 존스 다항식 ''V(L)''이 얻어진다. 결과적으로 존스 다항식은 정수를 계수로 하는 $t^{1/2}$ 을 부정원으로 한 로랑 다항식이 된다.

존스 다항식의 원래 공식은 연산자 대수 연구에서 비롯되었다. 존스의 접근 방식에서, 그것은 원래 통계 역학의 특정 모델, 예를 들어 포츠 모델을 연구하는 동안 발생한 대수로의 특정 땋임 표현의 일종의 "trace"에서 비롯되었다.

알렉산더의 정리에 따르면, 임의의 매듭 ''L''은 어떤 땋임((''n''개의 끈을 가진다고 가정)의 트레이스 폐포이다. ''n''개의 끈을 가진 땋임군 $B_n$ 에서, $\mathbb Z [A, A^{-1}]$ 를 계수로 하는 템퍼리-리브 대수 ''TL_n''로의 표현 $\rho$ 를 정의한다. 또한 $\delta = -A^2 - A^{-2}$ 라고 한다. 땋임의 표준적인 생성원 $\sigma_i$ 를 $A e_i + A^{-1} 1$ 로 사상한다( $1, e_1, \dots, e_{n-1}$ 는 템퍼리-리브 대수의 표준적인 생성원). 이것이 표현이 됨을 쉽게 확인할 수 있다.

''L''로부터 얻어지는 땋임 군의 단어 $\sigma$ 를 취하고, $\delta^{n-1} tr \rho(\sigma)$ 를 계산한다(''tr''은 마르코프 트레이스). 이 양은 카우프만의 괄호 다항식 $\langle L \rangle$ 를 준다. 이 사실은 카우프만이 수행한 것처럼, 템퍼리-리브 대수를 어떤 도식의 대수로 간주함으로써 얻어졌다.

이 접근 방식의 장점은, 다른 대수에 대한 표현으로 동일하게 불변량을 생각할 수 있다는 것이다. 실제로, 양자군의 ''R''-행렬과 선형 표현이나 이와호리-헤케 대수의 표현을 사용한 수많은 불변량이 정의되고 고찰되었다.

2. 1. 괄호 다항식을 이용한 정의 (카우프만)

매듭 이론에서 주어진 매듭 다이어그램으로 표현되는 방향성을 가진 매듭 ''L''을 생각한다. 루이스 카우프만의 괄호 다항식을 사용하여 존스 다항식 ''V(L)''을 정의한다. 여기서 괄호 다항식은 bracket polynomial^영어 (

\langle~\rangle

으로 표시)은 정수를 계수로 하는 부정원 ''A''의 로랑 다항식이다.

먼저,

X

다항식(정규화 괄호 다항식)

X(L) = (-A^3)^{-w(L)}\langle L \rangle

을 정의한다. 여기서 ''w(L)''은 ''L''의 주어진 표시에서의 꼬임수를 나타낸다. 어떤 꼬임의 표시의 꼬임 수는 양의 교차의 개수에서 음의 교차의 개수를 뺀 것이다. 꼬임 수 자체는 매듭 불변량이 아니다.

''X(L)''은 매듭 불변량이다. 왜냐하면 ''L''의 표시를 세 종류의 라이데마이스터 이동으로 변화시켜도 ''X(L)''은 변하지 않기 때문이다. 라이데마이스터 이동 II, III에 대한 불변성은 브래킷 다항식이 이러한 변형에 대해 불변이기 때문에 따른다. 괄호 다항식은 라이데마이스터 이동 I에 의해

-A^{\pm 3}

배만큼 변화하는 것으로 알려져 있다. 꼬임 수는 라이데마이스터 이동 I에서 정확히 +1 또는 −1 변화하므로, 위에서 주어진 ''X'' 다항식은 이 변형에 대해 변화하지 않도록 정의되어 있다.

''X(L)''에

A = t^{-1/4}

을 대입함으로써 존스 다항식 ''V(L)''이 얻어진다. 결과적으로 존스 다항식은 정수를 계수로 하는

t^{1/2}

을 부정원으로 한 로랑 다항식이 된다. 땋임에 대한 존스 다항식의 이러한 구성은 카우프만의 브래킷 다항식의 간단한 일반화이다. 이 구성은 블라디미르 투라예프에 의해 개발되었으며 1990년에 출판되었다.^[4]

2. 1. 1. 보조 다항식 X(L)

매듭 이론에서 주어진 매듭 다이어그램으로 표현되는 방향성을 가진 매듭

L

을 생각할 때, 루이스 카우프만의 괄호 다항식을 사용하여 존스 다항식을 정의한다. 괄호 다항식은

\langle~\rangle

로 표기하며, 변수

A

에 대한 정수 계수를 갖는 로랑 다항식이다.

먼저, 보조 다항식 (정규화된 괄호 다항식이라고도 함)을 다음과 같이 정의한다.

:

X(L) = (-A^3)^{-w(L)}\langle L \rangle,

여기서

w(L)

는 주어진 다이어그램에서

L

의 꼬임수를 나타낸다. 다이어그램의 꼬임수는 양의 교차점의 수에서 음의 교차점의 수를 뺀 값이다. 꼬임수는 매듭 불변량이 아니다.

X(L)

은 세 가지 라이데마이스터 이동에 의해

L

의 다이어그램이 변경되어도 불변이므로 매듭 불변량이다. 제2형 및 제3형 라이데마이스터 이동에 대한 불변성은 해당 이동에 대한 괄호의 불변성에서 따른다. 괄호 다항식은 제1형 라이데마이스터 이동 하에서

-A^{\pm 3}

의 인수로 변경되는 것으로 알려져 있다. 위에 주어진

X

다항식의 정의는 이 변경을 무효화하도록 설계되었는데, 제1형 이동 하에서 꼬임수가 적절하게

+1

또는

-1

만큼 변경되기 때문이다.

2. 1. 2. 존스 다항식 V(L)

매듭 이론에서 주어진 매듭 다이어그램으로 표현되는 방향성을 가진 매듭

L

을 생각한다. 루이스 카우프만의 괄호 다항식을 사용하여 존스 다항식

V(L)

을 정의한다. 이 괄호 다항식은

\langle~\rangle

로 표기한다. 괄호 다항식은 변수

A

에 대한 정수 계수를 갖는 로랑 다항식이다.

먼저, 보조 다항식 (정규화된 괄호 다항식이라고도 함)을 다음과 같이 정의한다.

:

X(L) = (-A^3)^{-w(L)}\langle L \rangle,

여기서

w(L)

는 주어진 다이어그램에서

L

의 꼬임수를 나타낸다. 다이어그램의 꼬임수는 양의 교차점의 수에서 음의 교차점의 수를 뺀 값이다. 꼬임수는 매듭 불변량이 아니다.

X(L)

은 세 가지 라이데마이스터 이동에 의해

L

의 다이어그램이 변경되어도 불변이므로 매듭 불변량이다. 제2형 및 제3형 라이데마이스터 이동에 대한 불변성은 해당 이동에 대한 괄호의 불변성에서 따른다. 괄호 다항식은 제1형 라이데마이스터 이동 하에서

-A^{\pm 3}

의 인수로 변경되는 것으로 알려져 있다. 위에 주어진

X

다항식의 정의는 이 변경을 무효화하도록 설계되었는데, 제1형 이동 하에서 꼬임수가 적절하게

+1

또는

-1

만큼 변경되기 때문이다.

이제

X(L)

에서

A = t^{-1/4}

를 대입하여 존스 다항식

V(L)

을 얻는다. 이로 인해 변수

t^{1/2}

에 대한 정수 계수를 갖는 로랑 다항식이 생성된다.

땋임에 대한 존스 다항식의 이러한 구성은 링크의 카우프만 브래킷의 간단한 일반화이다. 이 구성은 블라디미르 투라예프에 의해 개발되었으며 1990년에 출판되었다.^[4]

k

를 음이 아닌 정수로 하고,

S_k

를 교차점과 닫힌 성분(스무딩)이 없는

2k

개의 끝점을 가진 모든 땋임 다이어그램의 동위 유형 집합이라고 하자. 투라예프의 구성은 카우프만 브래킷에 대한 이전 구성을 활용하여 각

2k

개의 끝점을 가진 방향성을 가진 땋임에 자유

\mathrm{R}

-모듈

\mathrm{R}[S_k]

의 원소를 연관시킨다. 여기서

\mathrm{R}

은 변수

t^{1/2}

에 대한 정수 계수를 갖는 로랑 다항식의 환이다.

2. 2. 땋임 표현을 이용한 정의

존스 다항식의 원래 공식은 연산자 대수 연구에서 비롯되었다. 존스의 접근 방식에서, 그것은 원래 통계 역학의 특정 모델, 예를 들어 포츠 모델을 연구하는 동안 발생한 대수로의 특정 땋임 표현의 일종의 "trace"에서 비롯되었다.

알렉산더의 정리에 따르면, 임의의 매듭 ''L''은 어떤 땋임((''n''개의 끈을 가진다고 가정)의 트레이스 폐포이다. ''n''개의 끈을 가진 땋임군

B_n

에서,

\mathbb Z [A, A^{-1}]

를 계수로 하는 템퍼리-리브 대수 ''TL_n''로의 표현

\rho

를 정의한다. 또한

\delta = -A^2 - A^{-2}

라고 한다. 땋임의 표준적인 생성원

\sigma_i

를

A e_i + A^{-1} 1

로 사상한다(

1, e_1, \dots, e_{n-1}

는 템퍼리-리브 대수의 표준적인 생성원). 이것이 표현이 됨을 쉽게 확인할 수 있다.

''L''로부터 얻어지는 땋임 군의 단어

\sigma

를 취하고,

\delta^{n-1} tr \rho(\sigma)

를 계산한다(''tr''은 마르코프 트레이스). 이 양은 카우프만의 괄호 다항식

\langle L \rangle

를 준다. 이 사실은 카우프만이 수행한 것처럼, 템퍼리-리브 대수를 어떤 도식의 대수로 간주함으로써 얻어졌다.

이 접근 방식의 장점은, 다른 대수에 대한 표현으로 동일하게 불변량을 생각할 수 있다는 것이다. 실제로, 양자군의 ''R''-행렬과 선형 표현이나 이와호리-헤케 대수의 표현을 사용한 수많은 불변량이 정의되고 고찰되었다.

2. 2. 1. 템퍼리-리브 대수

존스 다항식의 원래 공식은 연산자 대수 연구에서 비롯되었다. 존스의 접근 방식에서, 그것은 원래 통계 역학의 특정 모델, 예를 들어 포츠 모델을 연구하는 동안 발생한 대수로의 특정 땋임 표현의 일종의 "trace"에서 비롯되었다.

알렉산더의 정리에 따르면 링크 ''L''은, 예를 들어 ''n''개의 가닥으로 된 땋임의 trace 닫힘이다. 이제 ''n''개의 가닥을 가진 땋임군 ''B_n''의 표현

\rho

를 계수가

\Z [A, A^{-1}]

이고

\delta = -A^2 - A^{-2}

인 템퍼리-리브 대수

\operatorname{TL}_n

로 정의한다. 표준 땋임 생성자

\sigma_i

는

A\cdot e_i + A^{-1}\cdot 1

로 전송되는데, 여기서

1, e_1, \dots, e_{n-1}

은 템퍼리-리브 대수의 표준 생성자이다. 이것이 표현을 정의한다는 것은 쉽게 확인할 수 있다.

이전에

L

에서 얻은 땋임 단어

\sigma

를 가져와

\delta^{n-1} \operatorname{tr} \rho(\sigma)

를 계산하는데, 여기서

\operatorname{tr}

은 마르코프 트레이스이다. 이것은

\langle L \rangle

를 주는데, 여기서

\langle

\rangle

는 괄호 다항식이다. 이는 루이스 카우프만이 그랬던 것처럼, 템퍼리-리브 대수를 특정 다이어그램 대수로 간주함으로써 알 수 있다.

이 접근 방식의 장점은 ''R''-행렬 표현과 같은 다른 대수로 유사한 표현을 선택하여 "일반화된 존스 불변량"을 얻을 수 있다는 것이다.

2. 2. 2. 마르코프 트레이스

존스 다항식의 원래 공식은 연산자 대수 연구에서 비롯되었다. 존스의 접근 방식에서, 그것은 원래 통계 역학의 특정 모델, 예를 들어 포츠 모델을 연구하는 동안 발생한 대수로의 특정 땋임 표현의 일종의 "trace"에서 비롯되었다.

링크 ''L''이 주어졌다고 하자. 알렉산더의 정리에 따르면 링크는, 예를 들어 ''n''개의 가닥으로 된 땋임의 trace 닫힘이다. 이제 ''n''개의 가닥을 가진 땋임군 ''B_n''의 표현

\rho

를 계수가

\Z [A, A^{-1}]

이고

\delta = -A^2 - A^{-2}

인 템퍼리-리브 대수

\operatorname{TL}_n

로 정의한다. 표준 땋임 생성자

\sigma_i

는

A\cdot e_i + A^{-1}\cdot 1

로 전송되는데, 여기서

1, e_1, \dots, e_{n-1}

은 템퍼리-리브 대수의 표준 생성자이다. 이것이 표현을 정의한다는 것은 쉽게 확인할 수 있다.

이전에

L

에서 얻은 땋임 단어

\sigma

를 가져와

\delta^{n-1} \operatorname{tr} \rho(\sigma)

를 계산하는데, 여기서

\operatorname{tr}

은 마르코프 트레이스이다. 이것은

\langle L \rangle

를 주는데, 여기서

\langle

\rangle

는 괄호 다항식이다. 이는 루이스 카우프만이 그랬던 것처럼, 템퍼리-리브 대수를 특정 다이어그램 대수로 간주함으로써 알 수 있다.

이 접근 방식의 장점은 ''R''-행렬 표현과 같은 다른 대수로 유사한 표현을 선택하여 "일반화된 존스 불변량"을 얻을 수 있다는 것이다.

2. 3. 존스 다항식과 알렉산더 다항식

홈플리 다항식으로부터, 다음과 같은 두 다항식을 정의할 수 있다.

'''존스 다항식'''(Jones polynomial^영어): $V_L(q) = P_L(q^{-1}, q^{1/2}-q^{-1/2})$
'''알렉산더 다항식'''(Alexander polynomial^영어): $\Delta_L(q) = P_L(1, q^{1/2}-q^{-1/2})$

3. 성질

존스 다항식은 매듭이 없는 모든 다이어그램에서 값 1을 가지며 다음의 스케인 관계를 만족하는 것으로 특징지어진다.

:(t^1/2 - t^-1/2)V(L₀) = t^-1V(L₊) - tV(L_-)

여기서 L₊, L_- 및 L₀는 아래 그림과 같이 한 작은 영역에서 교차 변경 또는 스무딩으로 다른 지향적 링크 다이어그램 3개이다.

괄호에 의한 존스 다항식의 정의는 매듭 K에 대해, 그 거울상의 존스 다항식이 V(K)에서 t^-1을 t로 대입하여 얻어진다는 것을 보여준다. 따라서, 그 거울상과 동등한 매듭인 '''양손 매듭'''은 존스 다항식에 팰린드롬 항목을 갖는다.

이 불변량의 또 다른 주목할 만한 성질은 교호 링크의 존스 다항식이 교호 다항식이라는 것이다. 이 성질은 1987년 모웬 시슬스웨이트에 의해 증명되었다.^[5] 이 마지막 성질에 대한 또 다른 증명은 에르난도 부르고스-소토에 의한 것으로, 그는 또한 이 성질을 탱글^[6]로 확장했다.

존스 다항식은 완전 불변량이 아니다. 동일한 존스 다항식을 갖는 무한히 많은 비동등 매듭이 존재한다. 동일한 존스 다항식을 갖는 두 개의 다른 매듭의 예는 무라수기의 책에서 찾을 수 있다.^[7]

존스 다항식은 다음 두 관계식으로 특징지어진다.

# l을 1 이상의 정수로 하고, O^l을 l개의 자명한 꼬임 성분으로 이루어진 꼬임이라고 할 때, V(O^l)=(-t^1/2-t^-1/2)^l-1이다.

# (t^1/2 - t^-1/2)V(L₀) = t^-1V(L₊) - tV(L_-) (스케인 관계식)

#*여기서 L₊, L_-, L₀는 모두 방향이 지정된 꼬임의 표현으로, 특정 작은 영역을 제외하고는 완전히 동일하며, 차이점은 아래 그림에 묘사된 교차 교환 또는 평활화 부분이다.

브래킷을 사용한 존스 다항식의 정의에 따르면, 매듭 ''K''의 거울상에 대한 존스 다항식은 ''V(K)''에서

t

에

t^{-1}

을 대입하여 얻을 수 있음을 쉽게 알 수 있다. 따라서 자기 자신의 거울상과 동치인 매듭인 '''양손형 매듭'''은, 그 존스 다항식에 회문적인 성분을 갖는다는 것을 알 수 있다.

존스 다항식의 전형적인 계산법은, 꼬임 ''L''의 정칙 표현 ''D''에 나타나는 교차점 중 하나에 스케인 관계식을 적용하고, 등식 변형을 하는 것이다(스케인 관계식 계산 예시(영어)). 교차점을 잘 선택하면 변형 후의 식은, ''D''보다 교차점 수가 작은 표현을 갖는 꼬임의 존스 다항식들의 선형 합이 되고, 재귀적인 계산으로 ''L''의 존스 다항식 값을 구할 수 있다.

3. 1. 스케인 관계식

존스 다항식은 매듭이 없는 모든 다이어그램에서 값 1을 가지며 다음의 스케인 관계를 만족한다.

:(t^1/2 - t^-1/2)V(L₀) = t^-1V(L₊) - tV(L_-)

여기서 L₊, L_- 및 L₀는 아래 그림과 같이 한 작은 영역에서 교차 변경 또는 스무딩으로 다른 지향적 링크 다이어그램 3개이다.

괄호에 의한 존스 다항식의 정의는 매듭 K에 대해, 그 거울상의 존스 다항식이 V(K)에서 t^-1을 t로 대입하여 얻어진다는 것을 보여준다. 따라서, 그 거울상과 동등한 매듭인 '''양손 매듭'''은 존스 다항식에 팰린드롬 항목을 갖는다.

l을 1 이상의 정수로 하고, O^l을 l개의 자명한 꼬임 성분으로 이루어진 꼬임이라고 할 때, V(O^l)=(-t^1/2-t^-1/2)^l-1이다. 또한, (t^1/2 - t^-1/2)V(L₀) = t^-1V(L₊) - tV(L_-) (스케인 관계식)를 만족한다. 여기서 L₊, L_-, L₀는 모두 방향이 지정된 꼬임의 표현으로, 특정 작은 영역을 제외하고는 완전히 동일하며, 차이점은 아래 그림에 묘사된 교차 교환 또는 평활화 부분이다.^[7]

존스 다항식의 전형적인 계산법은, 꼬임 L의 정칙 표현 D에 나타나는 교차점 중 하나에 스케인 관계식을 적용하고, 등식 변형을 하는 것이다(스케인 관계식 계산 예시(영어)).^[7]

3. 2. 거울상

괄호에 의한 존스 다항식의 정의에 따르면, 매듭

K

의 거울상에 대한 존스 다항식은

V(K)

에서

t^{-1}

을

t

로 대입하여 얻을 수 있다.^[5] 따라서, 그 거울상과 동등한 매듭인 양손 매듭은 존스 다항식에 팰린드롬 항을 갖는다.

3. 3. 양손잡이 매듭

괄호에 의한 존스 다항식의 정의는 매듭

K

에 대해, 그 거울상(mirror image)의 존스 다항식이

V(K)

에서

t^{-1}

을

t

로 대입하여 얻어진다는 것을 간단히 보여준다.^[5] 따라서, 그 거울상과 동등한 매듭인 '''양손 매듭'''은 존스 다항식에 팰린드롬 항목을 갖는다.

3. 4. 교차 다항식

존스 다항식은 매듭이 없는 모든 다이어그램에서 값 1을 가지며 다음의 스케인 관계를 만족하는 것으로 특징지어진다.^[5]

:(t^1/2 - t^-1/2)V(L₀) = t^-1V(L₊) - tV(L_-)

여기서 L₊, L_- 및 L₀는 아래 그림과 같이 한 작은 영역에서 교차 변경 또는 스무딩으로 다른 지향적 링크 다이어그램 3개이다.

괄호에 의한 존스 다항식의 정의는 매듭 K에 대해, 그 거울상(mirror image)의 존스 다항식이 V(K)에서 t^-1을 t로 대입하여 얻어진다는 것을 간단히 보여준다. 따라서, 그 거울상과 동등한 매듭인 양손 매듭은 존스 다항식에 팰린드롬 항목을 갖는다.^[7] 이러한 관계를 사용한 계산의 예는 스케인 관계에 관한 문서를 참조하라.

이 불변량의 또 다른 주목할 만한 성질은 교호 링크의 존스 다항식이 교호 다항식이라는 것이다.

존스 다항식은 다음 두 관계식으로 특징지어진다.

# l을 1 이상의 정수로 하고, O^l을 l개의 자명한 꼬임 성분으로 이루어진 꼬임이라고 할 때, V(O^l)=(-t^1/2-t^-1/2)^l-1이다.

# (t^1/2 - t^-1/2)V(L₀) = t^-1V(L₊) - tV(L_-) (스케인 관계식)

여기서 L₊, L_-, L₀는 모두 방향이 지정된 꼬임의 표현으로, 특정 작은 영역을 제외하고는 완전히 동일하며, 차이점은 아래 그림에 묘사된 교차 교환 또는 평활화 부분이다.

4. 관련 이론

에드워드 위튼이 처음으로 제시한 것처럼, 주어진 매듭 γ의 존스 다항식은 게이지군을 SU(2)로 하는 3차원 구면의 차른-사이먼스 이론을 고려하여 γ에 부속된 윌슨 루프 ''W''_''F''(γ) (''F''는 SU(2)의 기본 표현)의 진공 기댓값을 계산하여 얻을 수 있다.

존스 다항식 ''V(K)''의 변수 ''t''에 $e^h$ 를 대입하여 ''h''로 전개하면, 각 ''hⁿ''의 계수는 바실리예프(Vassiliev) 불변량이 된다. 마키심 콘체비치는 바실리예프 불변량을 통합하는 매듭 불변량 콘체비치 적분을 구성했다. 이 콘체비치 적분의 값 (야코비 도식이라고 불리는 1,3-가 그래프의 무한 합)에 ''sl₂'' 웨이트 시스템 ((Dror Bar-Natan)이 이론적으로 정비)을 적용하면 존스 다항식이 복원된다.

카샤예프(R.M.Kashaev)는 몇몇 쌍곡 매듭에 대해 수치 실험을 수행하여, ''N'' 차원 표현에 대응하는 색깔 있는 존스 다항식의 파라미터에 1의 ''N'' 제곱근을 대입하고 ''N''에 관해 어떤 극한을 취하면, 이들 매듭의 보 공간의 쌍곡 체적이 얻어진다는 것을 발견했다. 무라카미 준은 이를 바탕으로, 일반적인 매듭에 대해서도 마찬가지로 색깔 있는 존스 다항식의 어떤 극한으로부터 보 공간의 체적이 얻어진다고 예측했다. (체적 추측 참조)

1990년대부터 2000년대에 걸쳐 는 꼬임의 도식에 대해 사슬 복합체를 구성하여, 유도되는 호모로지가 꼬임의 불변량임을 보였다 (코바노프 호모로지). 존스 다항식은 이 호모로지의 오일러 지표로 나타낸다.

4. 1. 천-사이먼스 이론

에드워드 위튼^[10]은 주어진 매듭

\gamma

의 존스 다항식이 게이지 군

\mathrm{SU}(2)

를 갖는 3-구면 위의 천-사이먼스 이론에서

\gamma

와 연관된 윌슨 루프

W_F(\gamma)

의 진공 기대값을 계산하여 얻을 수 있음을 보였다. 여기서

F

는

\mathrm{SU}(2)

의 기본 표현이다.^[10]

존스 다항식 ''V(K)''의 변수 ''t''에

e^h

를 대입하고 ''h''로 전개하면 각 ''hⁿ''의 계수는 바실리예프(Vassiliev) 불변량이 된다. 마키심 콘체비치는 바실리예프 불변량을 통합하는 매듭 불변량 콘체비치 적분을 구성했다. 이 콘체비치 적분의 값에 ''sl₂'' 웨이트 시스템을 적용하면 존스 다항식이 복원된다.

카샤예프(R.M.Kashaev)는 몇몇 쌍곡 매듭에 대해 수치 실험을 수행하여, ''N'' 차원 표현에 대응하는 색깔 있는 존스 다항식의 파라미터에 1의 ''N'' 제곱근을 대입하고 ''N''에 관해 어떤 극한을 취하면, 이들 매듭의 보 공간의 쌍곡 체적이 얻어진다는 것을 발견했다. 무라카미 준은 이를 바탕으로, 일반적인 매듭에 대해서도 마찬가지로 색깔 있는 존스 다항식의 어떤 극한으로부터 보 공간의 체적이 얻어진다고 예측했다.

는 꼬임의 도식에 대해 사슬 복합체를 구성하여 유도되는 호모로지가 꼬임의 불변량임을 보였으며, 존스 다항식은 이 호모로지의 오일러 지표로 나타낼수 있다.

4. 2. 양자 불변량

존스 다항식의 변수

t

에

e^h

를 대입하고 h의 거듭제곱 급수로 전개하면 각 계수가 매듭

K

의 바실리에프 불변량이 된다. 막심 콘체비치는 콘체비치 적분을 구성하여 바실리에프 불변량을 통일했다. 콘체비치 적분의 값은 야코비 현 다이어그램이라는 1, 3-값 현 다이어그램의 무한 합이며, 드로르 바르-나탄이 연구한

\mathfrak{sl}_2

가중치 시스템과 함께 존스 다항식을 재현한다.

에드워드 위튼은 주어진 매듭 γ의 존스 다항식이 게이지군을 SU(2)로 하는 3차원 구면의 차른-사이먼스 이론에서 γ에 부속된 윌슨 루프 ''W''_''F''(γ) (''F''는 SU(2)의 기본 표현)의 진공 기댓값을 계산하여 얻을 수 있음을 보였다.

카샤예프(R.M.Kashaev)는 몇몇 쌍곡 매듭에 대한 수치 실험을 통해, ''N'' 차원 표현에 대응하는 색깔 있는 존스 다항식의 파라미터에 1의 ''N'' 제곱근을 대입하고 ''N''에 관해 특정 극한을 취하면, 이들 매듭의 보 공간의 쌍곡 체적이 얻어진다는 것을 발견했다. 무라카미 준은 이를 바탕으로 일반적인 매듭에 대해서도 색깔 있는 존스 다항식의 특정 극한으로부터 보 공간의 체적이 얻어진다고 예측했다.(체적 추측 참조)

미하일 코바노프/Mikhail Khovanov^영어는 꼬임의 도식에 대해 사슬 복합체를 구성하여 유도되는 호모로지가 꼬임의 불변량임을 보였으며, 존스 다항식은 이 호모로지의 오일러 지표로 나타낼수 있음을 증명했다.(코바노프 호모로지 참조)

4. 3. 부피 추측

리나트 카샤예프는 몇몇 쌍곡선 매듭에 대한 수치적 검토를 통해, ''n''제곱근을 색깔있는 존스 다항식의 매개변수에 대입하고, 이 매개변수가 ''n''차원 표현에 해당하며, ''n''이 무한대로 커질 때의 극한값을 계산하면 매듭 여집합의 쌍곡 부피를 얻을 수 있음을 발견했다. (부피 추측 참조) 카샤예프는 몇몇 쌍곡 매듭에 대해 수치 실험을 수행하여, ''N'' 차원 표현에 대응하는 색깔 있는 존스 다항식의 파라미터에 1의 ''N'' 제곱근을 대입하고 ''N''에 관해 어떤 극한을 취하면, 이들 매듭의 보 공간의 쌍곡 체적이 얻어진다는 것을 발견했다. 무라카미 준은 이를 바탕으로, 일반적인 매듭에 대해서도 마찬가지로 색깔 있는 존스 다항식의 어떤 극한으로부터 보 공간의 체적이 얻어진다고 예측했다.

4. 4. 호바노프 호몰로지

2000년에 미하일 호바노프는 매듭과 고리 매듭에 대한 특정한 사슬 복합체를 구성했고, 이로부터 유도된 호몰로지가 매듭 불변량임을 보였다. 존스 다항식은 이 호몰로지에 대한 오일러 지표로 설명된다. 에드워드 위튼이 처음으로 제시한 것처럼, 주어진 매듭 γ의 존스 다항식은 게이지군을 SU(2)로 하는 3차원 구면의 차른-사이먼스 이론을 고려하여 γ에 부속된 윌슨 루프 ''W''_''F''(γ) (''F''는 SU(2)의 기본 표현)의 진공 기댓값을 계산하여 얻을 수 있다.

존스 다항식 ''V(K)''의 변수 ''t''에

e^h

를 대입하여 ''h''로 전개하면, 각 ''hⁿ''의 계수는 바실리예프(Vassiliev) 불변량이 된다. 마키심 콘체비치는 바실리예프 불변량을 통합하는 매듭 불변량 콘체비치 적분을 구성했다. 이 콘체비치 적분의 값 (야코비 도식이라고 불리는 1,3-가 그래프의 무한 합)에 ''sl₂'' 웨이트 시스템을 적용하면 존스 다항식이 복원된다.

카샤예프(R.M.Kashaev)는 몇몇 쌍곡 매듭에 대해 수치 실험을 수행하여, ''N'' 차원 표현에 대응하는 색깔 있는 존스 다항식의 파라미터에 1의 ''N'' 제곱근을 대입하고 ''N''에 관해 어떤 극한을 취하면, 이들 매듭의 보 공간의 쌍곡 체적이 얻어진다는 것을 발견했다. 무라카미 준은 이를 바탕으로, 일반적인 매듭에 대해서도 마찬가지로 색깔 있는 존스 다항식의 어떤 극한으로부터 보 공간의 체적이 얻어진다고 예측했다.

1990년대부터 2000년대에 걸쳐 미하일 코바노프/Mikhail Khovanov^영어는 꼬임의 도식에 대해 사슬 복합체를 구성하여, 유도되는 호모로지가 꼬임의 불변량임을 보였다. 존스 다항식은 이 호모로지의 오일러 지표로 나타낸다.

5. 미해결 문제

자명환의 존스 다항식과 같은 존스 다항식을 갖는 비자명한 매듭이 존재하는지 여부는 미결 문제로 남아 있다. 모웬 시슬스웨이트의 연구에 따르면, 해당 분리 고리의 존스 다항식과 같은 존스 다항식을 갖는 비자명한 ''고리''가 존재한다는 것이 알려져 있다.^[11] 크로네이머와 미로브카는 코바노프 호몰로지가 자명환과 같은 비자명한 매듭은 존재하지 않는다는 것을 증명했다.^[12]

"원래 존스 다항식은 3차원 구면 (3차원 공간 R3, 3차원 구체 B3) 안의 꼬임에 대해 정의되었지만, 다른 3차원 다양체 안의 꼬임의 경우에 존스 다항식의 정의를 확장하라."라는 문제^[13]는 '유향 닫힌 곡면과 닫힌 구간의 곱 다양체'의 경우에는 카우프만에 의해 가상 꼬임^[14]이라는 것을 도입함으로써 긍정적으로 해결되었으나, 다른 경우에는 미해결 문제이다. 위튼(Witten)에 의한 존스 다항식을 나타내는 유명한 경로 적분은 모든 콤팩트 3차원 다양체의 경우에 형식적으로는 쓸 수 있지만 3차원 구면 (3차원 공간 R3, 3차원 구체 B3)의 경우 외에는, 물리적인 의미에서의 계산조차 이루어지지 않았다. 즉, 물리적인 의미에서도 이 문제는 미해결이다. 덧붙여 알렉산더 다항식의 경우에는 이 문제는 해결되어 있다.

6. 한국의 매듭 이론 연구

6. 1. 주요 연구자

6. 2. 주요 연구 분야

참조

_[1] 논문 A polynomial invariant for knots via von Neumann algebra
_[2] 논문 Hecke algebra representations of braid groups and link polynomials
_[3] 웹사이트 Jones Polynomials, Volume and Essential Knot Surfaces: A Survey https://math.byu.edu[...] 2017-07-12
_[4] 논문 Jones-type invariants of tangles 1990
_[5] 논문 A spanning tree expansion of the Jones polynomial 1987
_[6] 논문 The Jones polynomial and the planar algebra of alternating links 2010
_[7] 서적 Knot theory and its applications Birkhäuser Boston, MA
_[8] 서적 Topology and Field Theories
_[9] 문서 Ohtsuki, Quantum Invariants: A Study of Knots, 3-manifolds, and Their Sets
_[10] 논문 Quantum Field Theory and the Jones Polynomial http://www.maths.ed.[...]
_[11] 논문 Links with trivial jones polynomial https://www.worldsci[...] 2001-06-01
_[12] 논문 Khovanov homology is an unknot-detector 2011-02-11
_[13] 간행물 A spinning construction for virtual 1-knots and 2-knots, and the fiberwise and welded equivalence of virtual 1-knots
_[14] 간행물 Talks at MSRI Meeting in January 1997, AMS Meeting at University of Maryland, College Park in March 1997, Isaac Newton Institute Lecture in November 1997, Knots in Hellas Meeting in Delphi, Greece in July 1998, APCTP-NANKAI Symposium on Yang-Baxter Systems, Non-Linear Models and Applications at Seoul, Korea in October 1998,

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