피토 정리

2. 정의 및 증명

외접 사각형 $ABCD$에 대해, 변 $AB,\backslash \; BC,\backslash \; CD,\backslash \; DA$와 내접원의 접점을 각각 $P,\; Q,\; R,\; S$라 하면 접선의 성질에 의해:$$\backslash begin\{cases\}\; AS=AP\; \backslash \backslash \; BP=BQ\; \backslash \backslash \; CQ=CR\; \backslash \backslash \; DR=DS\; \backslash end\{cases\}$$따라서 사각형의 반둘레 $s$에 대해 다음을 쉽게 보일 수 있다.

\\ & BC+DA=(BQ+CQ)+(DS+AS)

\\ \Longrightarrow & AB+CD=BC+DA=s

\end{array}

접선 사변형은 일반적으로 네 변이 모두 동일한 내접원에 접선인 볼록 다각형인 사변형으로 정의된다. 피토의 정리는 이러한 사변형의 경우, 서로 마주보는 변의 길이의 합이 같다고 말하며, 두 길이의 합은 사변형의 둘레의 절반과 같다.^[2]

역도 또한 참이다: 볼록 사변형이 서로 마주보는 변의 길이의 합이 같은 경우, 내접원을 가진다. 따라서 이것은 정확한 특징이다: 접선 사변형은 정확히 서로 마주보는 변의 길이가 같은 사변형이다.^[2]

이 정리는 원 외부의 점에서 두 개의 접선을 그렸을 때, 그 외부의 점에서 접점까지의 길이가 같다는 사실에 기반한다.^[4] 원에 외접하는 사각형과 그 내접원을 생각하면, 사각형의 주위에는 네 쌍의 길이가 같은 선분이 포함된다. 따라서, 대변의 길이의 합은 이 네 선분의 길이의 합과 같다.

피토의 정리는 역도 성립한다. 즉, "두 쌍의 대변의 길이의 합이 같은 볼록 사각형은 내접원을 갖는다"라는 명제도 참이다.

2. 1. 정의

2. 2. 증명