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피토 정리

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1. 개요

피토 정리는 원에 외접하는 사각형에 관한 기하학적 정리이다. 이 정리는 외접 사각형의 서로 마주보는 변의 길이의 합이 같으며, 그 합은 사각형 둘레의 절반과 같다고 말한다. 역으로, 볼록 사각형에서 마주보는 변의 길이의 합이 같으면 내접원을 갖는다. 이 정리는 앙리 피토가 1725년에 증명했으며, 역은 야코프 슈타이너가 1846년에 증명했다. 피토 정리는 2n각형으로 일반화될 수 있다.

피토 정리
정의
내용모든 변이 원에 접하는 사변형에서, 대변의 합은 서로 같다.
설명
내용원에 외접하는 사변형에서, 대변의 길이의 합은 같다.
역사
이름의 유래앙리 피토의 이름에서 유래
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목차

2. 정의 및 증명

외접 사각형 ABCD에 대해, 변 AB,\ BC,\ CD,\ DA와 내접원의 접점을 각각 P, Q, R, S라 하면 접선의 성질에 의해:\begin{cases} AS=AP \\ BP=BQ \\ CQ=CR \\ DR=DS \end{cases}따라서 사각형의 반둘레 s에 대해 다음을 쉽게 보일 수 있다.\begin{array}{lcl} & AB+CD=(AP+PB)+(CR+DR)
\\ & BC+DA=(BQ+CQ)+(DS+AS)
\\ \Longrightarrow & AB+CD=BC+DA=s
\end{array}
접선 사변형은 일반적으로 네 변이 모두 동일한 내접원에 접선인 볼록 다각형인 사변형으로 정의된다. 피토의 정리는 이러한 사변형의 경우, 서로 마주보는 변의 길이의 합이 같다고 말하며, 두 길이의 합은 사변형의 둘레의 절반과 같다.

역도 또한 참이다: 볼록 사변형이 서로 마주보는 변의 길이의 합이 같은 경우, 내접원을 가진다. 따라서 이것은 정확한 특징이다: 접선 사변형은 정확히 서로 마주보는 변의 길이가 같은 사변형이다.

이 정리는 원 외부의 점에서 두 개의 접선을 그렸을 때, 그 외부의 점에서 접점까지의 길이가 같다는 사실에 기반한다. 원에 외접하는 사각형과 그 내접원을 생각하면, 사각형의 주위에는 네 쌍의 길이가 같은 선분이 포함된다. 따라서, 대변의 길이의 합은 이 네 선분의 길이의 합과 같다.

피토의 정리는 역도 성립한다. 즉, "두 쌍의 대변의 길이의 합이 같은 볼록 사각형은 내접원을 갖는다"라는 명제도 참이다.

2.1. 정의

접선 사변형은 일반적으로 네 변이 모두 동일한 내접원에 접선인 볼록 다각형인 사변형으로 정의된다. 피토의 정리는 이러한 사변형의 경우, 서로 마주보는 변의 길이의 합이 같다고 말하며, 두 길이의 합은 사변형의 둘레의 절반과 같다.

역도 또한 참이다: 볼록 사변형이 서로 마주보는 변의 길이의 합이 같은 경우, 내접원을 가진다. 따라서 이것은 정확한 특징이다: 접선 사변형은 정확히 서로 마주보는 변의 길이가 같은 사변형이다.

2.2. 증명

외접 사각형 ABCD에 대해, 변 AB,\ BC,\ CD,\ DA와 내접원의 접점을 각각 P, Q, R, S라 하면 접선의 성질에 의해:\begin{cases} AS=AP \\ BP=BQ \\ CQ=CR \\ DR=DS \end{cases}이다. 따라서 사각형의 반둘레 s에 대해 다음을 쉽게 보일 수 있다.\begin{array}{lcl} & AB+CD=(AP+PB)+(CR+DR)
\\ & BC+DA=(BQ+CQ)+(DS+AS)
\\ \Longrightarrow & AB+CD=BC+DA=s
\end{array}

이 정리는 원 외부의 점에서 두 개의 접선을 그렸을 때, 그 외부의 점에서 접점까지의 길이가 같다는 사실에 기반한다. 원에 외접하는 사각형과 그 내접원을 생각하면, 사각형의 주위에는 네 쌍의 길이가 같은 선분이 포함된다. 따라서, 대변의 길이의 합은 이 네 선분의 길이의 합과 같다.

피토의 정리는 역도 성립한다. 즉, "두 쌍의 대변의 길이의 합이 같은 볼록 사각형은 내접원을 갖는다"라는 명제도 참이다.

3. 역

야코프 슈타이너가 1846년에 증명한 내용에 따르면 피토 정리의 역도 성립한다. 즉, 마주보는 두 쌍의 변의 길이 합이 같은 볼록 사각형은 항상 내접원이 존재한다.

4. 일반화

피토 정리는 원에 외접하는 2n각형에도 적용될 수 있다. 각 변의 길이를 시계방향 순으로 x₁, x₂, x₃, …, x₂ₙ 이라 하면, 홀수 번째 변들의 길이 합과 짝수 번째 변들의 길이 합은 같다. 즉, 다음이 성립한다.

x₁ + x₃ + x₅ + … + x₂ₙ₋₁ = x₂ + x₄ + x₆ + … + x₂ₙ

5. 역사

앙리 피토는 1725년에 자신의 정리를 증명했으며, 역은 1846년 스위스 수학자 야코프 슈타이너에 의해 증명되었다.

6. 한국과의 관계