야코프 슈타이너

1. 개요

야코프 슈타이너는 1796년 스위스에서 태어난 기하학자이다. 그는 종합기하학을 선호하여 해석기하학을 혐오했으며, 사영기하학의 기초를 확립하고 슈타이너 원뿔곡선을 제시했다. 그의 저서 'Systematische Entwickelung'에서 현대 종합 기하학의 기초를 다졌으며, 'Die geometrischen Constructionen'에서는 컴퍼스 없이 직선만으로 2차 방정식의 모든 문제를 풀 수 있음을 보였다. 또한, 평면에 의한 공간 분할 공식, 슈타이너 접선 원의 사슬에 대한 정리, 등주 정리의 증명 등 다양한 기하학적 결과를 도출했으며, 조합론 분야에서는 슈타이너 시스템을 발표했다.

2. 생애

1796년 3월 18일 스위스 베른 근처의 우첸슈토르프에서 태어났다. 아버지는 니클라우스 슈타이너(Niklaus Steiner^독일어, 1752년 ~ 1826년)였으며, 어머니는 아나 바르바라 베버(Anna Barbara Weber^독일어, 1757년 ~ 1832년)였다.

14세가 되어서야 글을 읽는 법을 배웠다. 1814년에 이베르동레뱅에 있는 실험 학교에 무료로 입학하여, 1818년에 졸업하였다. 이후 수학 개인 강사로 일하다가, 베를린의 한 김나지움 수학 강사로 임용되었지만, 곧 1822년에 해고당했다. 이후 다른 김나지움에 취직하였으며, 이 동안 수학 연구를 계속하였다.

1833년에 쾨니히스베르크 대학교에서 명예 박사 학위를 수여받았다. 카를 구스타프 야코프 야코비와의 인맥을 통해 1834년에 베를린 훔볼트 대학교의 교수가 되었다. 1853년에 슈타이너 계를 도입하였다.

슈타이너는 평생 독신이었다. 노년에는 신장병으로 고생하였으며, 고향의 스위스에서 장기간 요양하였다. 1863년 4월 1일 베른에서 사망하였다. 사후에 상당한 양의 재산을 남겼는데, 그 가운데 ⅓은 프로이센 과학 아카데미에 기증되었으며, ⅓은 친척들에게, ⅓은 고향 우첸슈토르프의 학교에 기증되었다.

3. 수학적 업적

야코프 슈타이너의 수학적 업적은 주로 기하학에 집중되어 있다. 그는 해석기하학을 혐오하여 전적으로 종합기하학적 방법을 사용했으며, 종합기하학에서 해석기하학 방법으로 동등하거나 더 나은 결과를 얻는 것을 수치스러운 일로 여겼다. 그는 자신의 분야에서 당대 모든 학자들을 능가했으며, 뛰어난 일반성, 풍부한 아이디어, 증명의 엄밀성으로 페르가의 아폴로니우스 이후 가장 위대한 순수 기하학자로 평가받는다.

슈타이너는 Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander에서 현대 종합기하학의 기초를 확립했다. 1833년 Die geometrischen Constructionen ausgeführt mittels der geraden Linie und eines festen Kreises를 통해 장 빅토르 퐁슬레가 이미 제시했던 것처럼, 도면에 하나의 원이 주어지면 컴퍼스 없이 직선만으로 2차 방정식의 모든 문제를 풀 수 있음을 보였다. 사후 1867년 라이프치히에서 출판된 "Vorlesungen über synthetische Geometrie"는 루돌프 슈투름에 의해 1887~1898년에 세 번째 판이 출판되었다.

슈타이너의 나머지 저술은 대부분 크렐레 저널에 발표되었으며, 첫 번째 권에는 그의 첫 네 편의 논문이 실려 있다. 그의 가장 오래된 논문과 원고(1823~1826년)는 프리츠 뷔츠베르거에 의해 베른 자연과학회의 요청으로 출판되었다.

3.1. 사영기하학의 기초 확립

야코프 슈타이너는 기하학 연구에 집중하였으며, 해석기하학을 싫어하여 종합기하학적 방법만을 사용했다. 그는 종합기하학에서 해석기하학 방법으로 동등하거나 더 나은 결과를 얻는 것을 수치스러운 일로 여겼으며, 페르가의 아폴로니우스 이후 가장 위대한 순수 기하학자로 평가받는다.

슈타이너는 저서 Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander에서 현대 종합 기하학의 기초를 마련했다. 사영기하학에서는 평행선도 무한원점에서 만난다고 보았다. 따라서 두 점은 하나의 직선을 결정하고, 두 직선은 하나의 점을 결정한다. 점과 직선의 대칭성은 사영적 이중성으로 표현된다. 원근 투영에서 시작하여 사영 기하학의 변환은 합성을 통해 이루어져 사영 변환을 생성한다. 슈타이너는 사영 범위와 연필처럼 사영 변환에 의해 보존되는 집합을 확인했으며, 특히 사영 변환을 이용한 원뿔곡선 접근 방식인 슈타이너 원뿔곡선으로 유명하다.

3.2. 슈타이너 원뿔곡선

그는 사영 변환을 이용한 원뿔곡선에 대한 접근 방식인 슈타이너 원뿔곡선으로 유명하다.

3.3. 작도 문제 연구

슈타이너는 기하학 연구에 집중하면서, 특히 종합기하학적 방법을 선호했다. 그는 해석기하학을 싫어했으며, 종합기하학으로 해석기하학보다 더 나은 결과를 얻는 것을 중요하게 생각했다.

그는 저서 Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander에서 현대 종합 기하학의 기초를 다졌다. 사영 기하학에서 평행선도 무한원점에서 만난다고 보았으며, 두 점이 하나의 직선을, 두 직선이 하나의 점을 결정한다는 사영적 이중성을 제시했다. 원근 투영에서 시작하는 사영 기하학의 변환은 합성을 통해 사영 변환을 생성한다. 슈타이너는 사영 범위와 연필 등 사영 변환에 의해 보존되는 집합들을 확인했으며, 특히 슈타이너 원뿔곡선으로 알려진 사영 변환을 이용한 원뿔곡선 접근법으로 유명하다.

두 번째 소책자 Die geometrischen Constructionen ausgeführt mittels der geraden Linie und eines festen Kreises(1833년)에서는 도면에 하나의 원이 주어지면 컴퍼스 없이 직선만으로 2차 방정식의 모든 문제를 풀 수 있음을 보였다. 이는 장 빅토르 퐁슬레가 이미 제시한 내용이었다.

3.4. 기타 기하학적 업적

슈타이너의 다른 기하학적 결과로는 평면에 의한 공간 분할 공식(n개의 평면에 의해 생성된 최대 부분의 수), 유명한 슈타이너 사슬에 대한 여러 정리, 그리고 등주정리의 증명(나중에 증명에 결함이 발견되었지만 바이어슈트라스에 의해 수정됨)이 있다.

슈타이너의 나머지 저술들은 대부분 크렐레 저널에 발표된 수많은 논문에서 찾아볼 수 있으며, 그 첫 번째 권에는 그의 첫 네 편의 논문이 실려 있다. 가장 중요한 것은 대수 곡선과 곡면과 관련된 것들, 특히 짧은 논문 Allgemeine Eigenschaften algebraischer Curven이다. 이 논문에는 결과만 있고 그 결과를 얻는 방법에 대한 설명이 없어서, O. 헤세에 따르면, 페르마의 정리처럼 현재와 미래 세대에게 수수께끼로 남아 있다. 저명한 해석학자들이 일부 정리를 증명하는 데 성공했지만, 대수 곡선에 관한 그의 책에서 모든 정리를 균일한 종합적 방법으로 증명한 것은 루이지 크레모나였다.

다른 중요한 연구는 최댓값과 최솟값과 관련이 있다. 슈타이너는 단순한 기본 명제에서 시작하여 해석적으로는 변분법을 필요로 하지만 당시에는 그 계산 능력을 완전히 능가하는 문제들의 해결책으로 나아갔다. 이와 관련된 것은 페달 곡선과 룰렛 곡선의 특성, 특히 그 면적에 대한 많은 특성을 포함하는 논문 Vom Krümmungsschwerpuncte ebener Curven이다.

슈타이너는 조합론에도 작지만 중요한 공헌을 했다. 1853년 슈타이너는 크렐레 저널에 오늘날 슈타이너 시스템이라고 불리는 기본적인 종류의 블록 디자인에 관한 2페이지 분량의 논문을 발표했다.

3.5. 대수 곡선 및 곡면 연구

슈타이너는 대수 곡선 및 곡면에 대한 중요한 연구를 수행했다. 특히, 그의 논문 Allgemeine Eigenschaften algebraischer Curven은 중요한 업적으로 평가받는다. 이 논문에는 결과만이 제시되었고, 그 결과를 도출하는 방법은 설명되지 않았다. O. 헤세는 이를 페르마의 정리처럼 현재와 미래 세대에게 수수께끼로 남을 것이라고 평가했다. 저명한 해석학자들이 일부 정리를 증명하는 데 성공했지만, 루이지 크레모나가 대수 곡선에 관한 책에서 모든 정리를 종합적 방법으로 증명하기 전까지는 완전한 해답을 얻지 못했다.

3.6. 조합론 연구 (슈타이너 시스템)

1853년 야코프 슈타이너는 크렐레 저널에 슈타이너 시스템이라고 불리는 기본적인 종류의 블록 디자인에 관한 2페이지 분량의 논문을 발표했다. 이는 조합론에 대한 그의 작지만 중요한 공헌이었다.

4. 저서

* Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander^독일어, 1832년
《기하학적 형태의 상호 의존에 대한 체계적 전개》
* Die geometrischen Constructionen ausgeführt mittels der geraden Linie und eines festen Kreises^독일어, 1833년
《직선과 고정된 원으로 가능한 기하학적 작도》
* Vorlesungen über synthetische Geometrie. Erster Theil: Die Theorie der Kegelschnitte in elementarer Darstellung^독일어, 1867년
《조립 기하 강해. 제 1권》
* Vorlesungen über synthetische Geometrie. Zweiter Theil: Die Theorie der Kegelschnitte, gestützt auf projektivische Eigenschaften^독일어, 1867년
《조립 기하 강해. 제 2권》

슈타이너의 저서로는 다음이 있다.

Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander에서는 현대적인 종합기하학의 기초를 세웠다.

두 번째 단편 저서 Die geometrischen Constructionen ausgeführt mittels der geraden Linie und eines festen Kreises에서는 장 빅토르 퐁슬레에 의해 이미 제안되었던 것이었지만, 하나의 원과 그 중심이 미리 주어진 경우 컴퍼스를 사용하지 않고 자만을 사용하여 작도가 가능한지 보여주고 있다.

1867년 C. F. Geiser와 H. Schroeter에 의해 사후 라이프치히에서 출판된 "Vorlesungen über synthetische Geometrie"도 저술했다.

그의 나머지 저술은 주로 「크렐레 저널」에서 발표된 많은 논문에서 찾을 수 있으며, 제1권에는 처음 네 편의 논문이 포함되어 있다. 가장 중요한 것은 대수곡선과 그 면에 관한 것이다.

조합론에도 작지만 중요한 공헌을 했는데, 1853년 크렐레 저널에 2페이지짜리 논문을 발표했다. 이것은 오늘날 기본적인 종류의 블록 디자인인 슈타이너 시스템이라고 불린다.