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프톨레마이오스 정리

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목차

1. 개요

프톨레마이오스 정리는 원에 내접하는 사각형의 대각선과 변의 길이 사이의 관계를 나타내는 기하학적 정리이다. 이 정리에 따르면, 원에 내접하는 사각형 ABCD에서 대각선의 곱 (AC * BD)은 마주보는 변의 곱의 합 (AB * CD + AD * BC)과 같다. 이 정리는 케이시의 정리의 특수한 경우이며, 삼각함수, 복소수, 반전 등 다양한 방법으로 증명할 수 있다. 프톨레마이오스 정리는 사각형이 원에 내접하지 않는 경우에도 적용되는 프톨레마이오스 부등식으로 일반화될 수 있으며, 이 부등식은 임의의 사각형에서 대각선의 곱이 마주보는 변의 곱의 합보다 작거나 같음을 나타낸다. 또한, 프톨레마이오스 정리의 역도 성립하여, 사각형의 변과 대각선의 길이에 특정 관계가 성립하면 그 사각형은 원에 내접한다. 이 정리는 클라우디오스 프톨레마이오스가 《알마게스트》에서 현표를 만드는 데 사용했으며, 정삼각형, 정사각형, 직사각형, 정오각형 등 다양한 도형에 대한 따름정리를 도출하는 데 활용될 수 있다.

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프톨레마이오스 정리
정리 개요
이름프톨레마이오스 정리
내용원에 내접하는 사각형에서 두 대각선의 길이의 곱은 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합과 같다.
정리 내용
설명원에 내접하는 사변형 ABCD에서 다음이 성립한다. AC⋅BD = AB⋅CD + BC⋅AD
부등식일반적인 사변형에서는 프톨레마이오스 부등식이 성립한다. AC⋅BD ≤ AB⋅CD + BC⋅AD
원에 내접하는 사각형
원에 내접하는 사각형
일반화
설명n개의 정점으로 구성된 임의의 사각형에 대해 다음 부등식이 성립한다. d12d3n + d23d1n + ... + d1nd2,n-1 ≥ d13d2n + d24d1,n-1 + ... + d3nd12 여기서 dii는 정점 i와 j 사이의 거리이다.
응용
활용삼각함수의 덧셈정리 증명 등에 활용될 수 있다.
역사
이름 유래고대 이집트의 천문학자이자 수학자인 프톨레마이오스의 이름에서 유래했다.

2. 정의

내접 사각형 ABCD에 대하여, 다음이 성립한다.

:AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC

이는 케이시의 정리의 특수한 경우이다.

3. 증명

프톨레마이오스 정리는 여러 가지 방법으로 증명할 수 있다.

Derrick & Herstein (2012)를 기반으로 한 프톨레마이오스 정리의 시각적 증명 애니메이션


반전을 통한 증명의 도해

  • 삼각형의 닮음을 이용한 증명: 원에 내접하는 사각형에서 마주보는 각의 합은 180도라는 성질과 삼각형의 닮음 조건을 이용한다.
  • 삼각함수를 이용한 증명: 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 증명할 수 있다. 이 증명 방법은 프톨레마이오스 정리가 삼각함수의 항등식과 동치임을 보여준다.[17]
  • 반전을 이용한 증명: 반전 기하학에서 원을 직선으로 변환하는 성질을 이용한다.
  • 복소수를 이용한 증명: 복소 평면과 교차비의 개념을 사용하여 증명할 수 있다.
  • 코사인 법칙을 이용한 증명: 코사인 법칙과 내접 사각형의 성질을 이용하여 증명할 수 있다.

3. 1. 삼각형의 닮음을 이용한 증명

원에 내접하는 사각형 ABCD에서, 호 AB와 BC에 대한 원주각의 성질에 의해 \angle BAC=\angle BDC이고, \angle ADB=\angle ACB이다. 선분 AC 위에 \angle ABK=\angle CBD를 만족하는 점 K를 잡으면, \angle ABD=\angle CBK이다. 따라서, 삼각형 \triangle ABK와 \triangle DBC는 닮음이고, 삼각형 \triangle ABD와 \triangle KBC 역시 닮음이다.

그러므로

:\frac{AK}{AB}=\frac{CD}{BD}

:\frac{CK}{BC}=\frac{AD}{BD}

가 성립한다. AK+CK=AC이므로,

:AB\cdot CD+BC\cdot AD=AK\cdot BD+CK\cdot BD=AC\cdot BD

가 된다.[9]

이 증명은 단순 원내접 사각형에 대해서만 유효하다. 사각형이 자기 교차하는 경우 K는 선분 AC 밖에 위치하게 되는데, 이 경우에도 AK−CK = ±AC가 되어 원하는 결과를 얻을 수 있다.

3. 2. 반전을 이용한 증명



중심이 D인 단위원에 대한 반전에서 A,B,C의 상을 A',B',C'이라고 하자. 그러면 A',B',C'은 서로 다른 공선점이며, B'은 A'와 C' 사이의 점이다. 반전의 성질에 의하여

:A'B'=\frac{AB}{AD\cdot BD}

:B'C'=\frac{BC}{BD\cdot CD}

:A'C'=\frac{AC}{AD\cdot CD}

이며, A'B'+B'C'=A'C'이므로,

:

\frac{AB}{AD\cdot BD}+

\frac{BC}{BD\cdot CD}=

\frac{AC}{AD\cdot CD}



가 성립한다.

D를 중심으로 하는 적당한 원 \Gamma 에 관한 반전에 의해 ABCD의 외접원이 직선으로 옮겨지도록 한다. 이때

A'B' + B'C' = A'C'

가 성립한다. 이때, 일반성을 잃지 않고 \Gamma 의 반지름을 1로 놓을 수 있다. 이때 A'B', B'C', A'C'는 각각 다음과 같이 표시된다.

: \frac{AB}{DA \cdot DB}, \frac{BC}{DB \cdot DC}, \frac{AC}{DA \cdot DC}

이 식의 양변에 DA \cdot DB \cdot DC 를 곱하여 첫 번째 식에 대입하면 프톨레마이오스 정리가 얻어진다.

3. 3. 삼각함수를 이용한 증명

사인 함수에 대한 항등식과 동치이다.[17] 내접 사각형 ABCD의 대각선 AC가 내접원의 중심 O를 지난다고 가정하고, 내접원의 반지름을 1이라고 하자. ∠BOC = 2θ, ∠COD = 2φ라고 하면, 다음이 성립한다.

  • AC = 2
  • BD = 2sin(θ + φ)
  • AB = 2cosθ
  • CD = 2sinφ
  • AD = 2cosφ
  • BC = 2sinθ


프톨레마이오스 정리에 의해 sin(θ + φ) = cosθsinφ + cosφsinθ가 성립한다.

AB, BC, CD에 의해 만들어지는 원주각을 각각 α, β, γ라고 하고, 원의 반지름을 R이라고 하면, 다음이 성립한다.

  • AB = 2Rsinα
  • BC = 2Rsinβ
  • CD = 2Rsinγ
  • AD = 2Rsin(180° - (α + β + γ))
  • AC = 2Rsin(α + β)
  • BD = 2Rsin(β + γ)


따라서 증명해야 할 원래 등식은 다음과 같이 변환된다.

:sin(α + β)sin(β + γ) = sinαsinγ + sinβsin(α + β + γ)

이 식의 양변을 4R2으로 나누면 인자 4R2이 사라진다.

합 공식을 사용하면, sin(x + y) = sinxcosy + cosxsiny 그리고 cos(x + y) = cosxcosy - sinxsiny이므로, 위 식의 양변은 다음과 같다.

:sinαsinβcosβcosγ + sinαcos2βsinγ + cosαsin2βcosγ + cosαsinβcosβsinγ

같은 원에 내접하는 새로운 사각형 ABCD'을 정의하는데, 여기서 A, B, C는 ABCD와 같고, D'는 같은 원 위의 새로운 점에 위치하며, |AD'| = |CD|, |CD'| = |AD|로 정의된다. 그러면, ABCD'는 ABCD와 동일한 변의 길이를 가지며, 결과적으로, 다른 순서로, 해당 변에 의해 만들어지는 동일한 내접각 α, β, γ를 갖는다. 또한, ABCD와 ABCD'는 동일한 면적을 갖는다. 그러면, 다음이 성립한다.

:Area(ABCD) = (1/2)AC · BD · sin(α + γ)

:Area(ABCD') = (1/2)AB · AD' · sin(180° - α - γ) + (1/2)BC · CD' · sin(α + γ) = (1/2)(AB · CD + BC · AD) · sin(α + γ)

3. 4. 복소수를 이용한 증명

복소 평면에 사각형 ABCD를 포함시키고, 각 점 A, B, C, D를 서로 다른 네 개의 복소수 zA, zB, zC, zD로 나타낸다. 교차비를 다음과 같이 정의한다.

: \zeta:=\frac{(z_A-z_B)(z_C-z_D)}{(z_A-z_D)(z_B-z_C)}

그러면 다음이 성립한다.

:

\begin{align}

\overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{AD}\cdot\overline{BC}

& = \left|z_A-z_B\right|\left|z_C-z_D\right| + \left|z_A-z_D\right|\left|z_B-z_C\right| \\

& = \left|(z_A-z_B)(z_C-z_D)\right| + \left|(z_A-z_D)(z_B-z_C)\right| \\

& = \left(\left|\frac{(z_A-z_B)(z_C-z_D)}{(z_A-z_D)(z_B-z_C)}\right| + 1\right) \left|(z_A-z_D)(z_B-z_C)\right| \\

& = \left(\left|\zeta\right| +1\right) \left|(z_A-z_D)(z_B-z_C)\right| \\

& \geq \left|(\zeta +1)(z_A-z_D)(z_B-z_C)\right| \\

& = \left|(z_A-z_B)(z_C-z_D)+(z_A-z_D)(z_B-z_C)\right| \\

& = \left|(z_A-z_C)(z_B-z_D)\right| \\

& = \left|z_A-z_C\right|\left|z_B-z_D\right| \\

& = \overline{AC}\cdot\overline{BD}

\end{align}



여기서 등호는 교차비 \zeta가 양의 실수인 경우에만 성립하며, 이는 프톨레마이오스 부등식을 증명한다. zA, zB, zC, zD가 복소 평면에서 원(무한 반지름, 즉 선일 수 있음) 위에 연속적으로 배열되는 것은 \zeta가 양의 실수일 때 뿐임을 보이면 된다.

복소수의 극 형식 z=\vert z\vert e^{i\arg(z)}에서 다음이 유도된다.

:

\begin{align}

\arg(\zeta) & = \arg\frac{(z_A-z_B)(z_C-z_D)}{(z_A-z_D)(z_B-z_C)} \\

& = \arg(z_A-z_B)+\arg(z_C-z_D)-\arg(z_A-z_D)-\arg(z_B-z_C) \pmod{2\pi} \\

& = \arg(z_A-z_B)+\arg(z_C-z_D)-\arg(z_A-z_D)-\arg(z_C-z_B) - \arg(-1) \pmod{2\pi} \\

& = - \left[\arg(z_C-z_B)-\arg(z_A-z_B)\right] - \left[\arg(z_A-z_D)-\arg(z_C-z_D)\right] -\arg(-1) \pmod{2\pi} \\

& = - \angle ABC - \angle CDA -\pi \pmod{2\pi}\\

& = 0

\end{align}



사각형이 원에 내접하는 것은 마주보는 각의 합이 \pi일 때 뿐이므로, 마지막 등식은 ABCD가 원에 내접하는 경우에만 성립한다.

따라서, ABCD가 원에 내접하는 것, 즉 \angle ABC와 \angle CDA가 보각 관계에 있다는 것은 다음 조건과 동치이다.

:\arg\left[(z_A-z_B)(z_C-z_D)\right] = \arg\left[(z_A-z_D)(z_B-z_C)\right] = \arg\left[(z_A-z_C)(z_B-z_D)\right] \pmod{2\pi}

특히, 이 \arg가 0 (즉, 세 곱 모두 양의 실수)인 복소 평면의 회전이 존재하며, 이를 통해 프톨레마이오스 정리

: \overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{AD}\cdot\overline{BC} = \overline{AC}\cdot \overline{BD}

는 다음과 같은 대수적 항등식으로부터 직접적으로 유도된다.

: (z_A-z_B)(z_C-z_D)+(z_A-z_D)(z_B-z_C)=(z_A-z_C)(z_B-z_D).

3. 5. 코사인 법칙을 이용한 증명 (일본어 위키)

계산의 편의를 위해 ''a'' = ''AD'', ''b'' = ''AB'', ''c'' = ''BC'', ''d'' = ''DC''로 놓는다. 또한, ''A'' = ∠''A'' = ∠''DAB'', ''B'' = ∠''B'' = ∠''ABC'', ''C'' = ∠''C'' = ∠''BCD'', ''D'' = ∠''D'' = ∠''CDA''로 놓는다.

코사인 법칙 및 내접 사각형의 성질에 따라,

:''BD''2 = ''a''2 + ''b''2 - 2''ab'' cos ''A'',

:''BD''2 = ''c''2 + ''d''2 - 2''cd'' cos ''C'' = ''c''2 + ''d''2 + 2''cd'' cos ''A''

가 성립한다. 여기서 cos ''A''를 소거하면,

:(''ab'' + ''cd'')''BD''2 = (''ad'' + ''bc'')(''ac'' + ''bd'')

를 얻는다. 또한 ''AC''에 대해 유사하게

:(''ad'' + ''bc'')''AC''2 = (''ab'' + ''cd'')(''ac'' + ''bd'')

가 되므로, 두 식을 곱하면

:(''ab'' + ''cd'')(''bc'' + ''ad'')''AC''2''BD''2 = (''ac'' + ''bd'')2(''ad'' + ''bc'')(''ab'' + ''cd'')

를 얻는다. 이것을 정리하면,

:''AC'' · ''BD'' = ''ac'' + ''bd''

가 된다. 즉,

:''AC''·''BD'' = ''AD''·''BC'' + ''AB''·''DC''

가 증명되었다.

4. 따름정리



따름정리 1: 피타고라스 정리


단위 지름을 갖는 원에 내접하는 사각형 ABCD의 각 변은 마주보는 각의 사인 값과 같다. 대각선은 마주보는 각 쌍의 합의 사인 값과 같다. 따라서 프톨레마이오스 정리를 삼각함수 형태로 표현하면 다음과 같다.

:\sin\theta_1\sin\theta_3+\sin\theta_2\sin\theta_4=\sin(\theta_1+\theta_2)\sin(\theta_1+\theta_4)

마주보는 각(\theta_1,\theta_2,\theta_3, \theta_4)에 특정 조건을 적용하여 여러 따름정리를 도출할 수 있다. (단, \theta_1+\theta_2+\theta_3+\theta_4=180^\circ)

코페르니쿠스는 프톨레마이오스를 따라, 원의 지름이 주어지면 외접하는 삼각형, 사각형, 오각형, 육각형, 십각형의 변도 주어진다고 기록했다.[7]

4. 1. 삼각함수 항등식 (한국어, 영어 위키)

프톨레마이오스 정리는 내접 사각형의 한 대각선이 내접원의 지름인 특별한 경우, 두 각의 합의 사인 함수에 대한 항등식과 동치가 된다.[17] 예를 들어, 내접 사각형 ABCD에서 대각선 AC가 내접원의 중심 O를 지난다고 가정하고, 내접원의 반지름을 1이라고 하자. \angle BOC=2\theta, \angle COD=2\varphi라고 하면, 다음이 성립한다.

  • AC=2
  • BD=2\sin(\theta+\varphi)
  • AB=2\cos\theta
  • CD=2\sin\varphi
  • AD=2\cos\varphi
  • BC=2\sin\theta


따라서 프톨레마이오스 정리에 의해,

:\sin(\theta+\varphi)

=\cos\theta\sin\varphi

+\cos\varphi\sin\theta

가 성립한다.

단위 지름을 갖는 원에 내접하는 사각형 ABCD의 변 S_1, S_2, S_3, S_4는 각각 마주보는 각 \theta_1, \theta_2, \theta_3, \theta_4의 사인 값과 같다. 대각선은 마주보는 각 쌍의 합의 사인 값과 같다. 이를 이용해 프톨레마이오스 정리를 삼각함수 형태로 표현할 수 있다.

:\sin\theta_1\sin\theta_3+\sin\theta_2\sin\theta_4=\sin(\theta_1+\theta_2)\sin(\theta_1+\theta_4)

마주보는 각들에 특정 조건을 적용하면, 여러 중요한 따름정리들을 유도할 수 있다. 여기서 각의 합 \theta_1+\theta_2+\theta_3+\theta_4=180^\circ임을 기억해야 한다.

\theta_1 = \theta_3이고 \theta_2 = \theta_4이면, \theta_1 + \theta_2 = \theta_3 + \theta_4 = 90^\circ이다. (원주 사각형의 대각은 보충 관계). 이를 통해 피타고라스 정리를 유도할 수 있다.

:\sin^2\theta_1 + \sin^2\theta_2 = \sin^2(\theta_1 + \theta_2)

:\sin^2\theta_1 + \cos^2\theta_1 = 1

\theta_1+\theta_2=\theta_3+\theta_4=90^\circ 로 두면, 합성각 사인 (+) 공식[11]을 얻을 수 있다.

:

\sin\theta_1\sin\theta_3+\sin\theta_2\sin\theta_4=\sin(\theta_3+\theta_2)\sin(\theta_3+\theta_4)



: \cos\theta_2\sin\theta_3+\sin\theta_2\cos\theta_3=\sin(\theta_3+\theta_2)\times 1

\theta_1=90^\circ라고 하면, \theta_2+(\theta_3+\theta_4)=90^\circ이다. 이를 통해 합성각 사인 (−) 공식[11]을 얻을 수 있다.

:\sin\theta_3=\sin(\theta_3+\theta_2)\cos\theta_2-\cos(\theta_2+\theta_3)\sin\theta_2

이 유도는 코페르니쿠스가 알마게스트에서 프톨레마이오스를 따라 기록한 세 번째 정리에 해당한다. 고대에는 현의 표(사인 표)를 계산하기 위해 이 방법을 사용했으며, 특히 6°를 대각선으로 하는 현을 계산하는 데 중요했다.[12]

\theta_3=90^\circ라고 하면, \theta_1+(\theta_2+\theta_4)=90^\circ 가 되고, 이를 통해 합성각 코사인(+) 공식을 얻는다.

: \cos(\theta_2+\theta_4)=\cos\theta_2\cos\theta_4-\sin\theta_2\sin\theta_4

이처럼 프톨레마이오스 정리는 고대 세계에서 사용된 강력한 삼각법 도구였으며, 이를 통해 정확한 현의 표를 작성하고 우주를 이해하려는 시도가 이루어졌다. 히파르코스가 프톨레마이오스보다 3세기 전에 현의 표를 작성했으므로, 그 역시 이 정리와 파생된 내용들을 알고 있었을 것으로 추정된다.

4. 2. 내접 정다각형 관련 (영어 위키)

프톨레마이오스 정리는 원에 내접하는 정삼각형에 관한 정리[2]를 따름정리로 도출한다.

'''조건:''' 원에 내접하는 정삼각형과 원 위의 한 점이 주어졌다.

이 점으로부터 가장 멀리 떨어진 삼각형의 꼭짓점까지의 거리는 이 점으로부터 두 개의 더 가까운 꼭짓점까지의 거리의 합과 같다.

'''증명:''' 프톨레마이오스 정리에 의해 즉시 도출된다.

: qs=ps+rs \Rightarrow q=p+r.

어떤 정사각형이든 정사각형의 중심이 원의 중심이 되도록 원에 내접시킬 수 있다. 네 변의 공통 길이가 a와 같으면, 대각선의 길이는 피타고라스 정리에 따라 a\sqrt{2}이며, 프톨레마이오스 관계는 분명히 성립한다.

더 일반적으로, 사각형이 변 a와 b, 대각선 d를 갖는 직사각형이면 프톨레마이오스 정리는 피타고라스 정리로 축소된다. 이 경우 원의 중심은 대각선의 교점과 일치한다. 대각선의 곱은 d2이고, 프톨레마이오스 관계의 우변은 ''a''2 + ''b''2의 합이다.

코페르니쿠스(그의 삼각법 작업에서 프톨레마이오스 정리를 광범위하게 사용함)는 이 결과를 '뽀리즘' 또는 자명한 따름정리로 언급한다.

:''더욱이, 호를 이루는 현이 주어지면, 반원을 이루는 나머지 부분에 해당하는 현도 찾을 수 있음이 분명하다 ('''manifestum est''').''[3]

더욱 흥미로운 예시는 정오각형의 한 변의 길이 ''a''와 5개의 현의 (공통) 길이 ''b'' 사이의 관계이다. 제곱 완성을 통해 이 관계는 황금비율을 도출한다.[4]

:\begin{array}{rl}

b \cdot b \,\;\;\qquad\quad\qquad =&\!\!\!\! a \! \cdot \! a + a \! \cdot \! b

\\ b^2 \;\; - ab \quad\qquad =&\!\! a^2

\\ \frac{b^2}{a^2} \;\; - \frac{ab}{a^2} \;\;\;\qquad =&\!\!\! \frac{ a^2 }{a^2}

\\ \left(\frac{b}{a}\right)^2 - \frac{b}{a} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 =&\!\! 1 + \left(\frac{ 1 }{ 2}\right)^2

\\ \left(\frac{b}{a} - \frac{1}{2}\right)^2 =&\!\! \quad \frac{ 5 }{ 4}

\\ \frac{b}{a} - \frac{1}{2} \;\;\; =&\!\!\!\! \pm \frac{ \sqrt{5}}{ 2}

\\ \frac{b}{a} > 0 \, \Rightarrow \, \varphi = \frac{b}{a} =&\!\!\!\! \frac{1 + \sqrt{5}}{ 2}

\end{array}

만약 지름 AF가 DC를 이등분하여 DF와 CF가 내접 십각형의 변 c가 되도록 그리면, 프톨레마이오스 정리를 다시 적용할 수 있는데, 이번에는 지름 ''d''를 대각선 중 하나로 하는 사이클 사변형 ADFC에 적용한다.

:ad=2bc

:\Rightarrow ad=2\varphi ac 여기서 \varphi는 황금비이다.

:\Rightarrow c=\frac{d}{2\varphi}.[5]

따라서 내접 십각형의 변은 원의 지름으로 표현된다. 피타고라스 정리를 직각 삼각형 AFD에 적용하면 지름으로 "b"가 계산되고, 그 다음에는 오각형의 변 "a"[6]가 다음과 같이 계산된다.

::a = \frac {b} {\varphi} = b \left( \varphi - 1 \right).

코페르니쿠스는 (프톨레마이오스를 따라) 다음과 같이 적었다.

:''"원 지름이 주어지면, 같은 원이 외접하는 삼각형, 사각형, 오각형, 육각형 및 십각형의 변도 주어진다."''[7]

5. 프톨레마이오스 부등식

'''프톨레마이오스 부등식'''(Ptolemaeusla不等式, Ptolemy's inequality영어)에 따르면, 임의의 사각형 ABCD에 대하여, 다음이 성립한다.

:AC\cdot BD \le AB\cdot CD+AD\cdot BC

또한, 등호가 성립할 필요충분조건은 원내접사각형이다.

보다 일반적으로, 평면 위 임의의 네 점 A,B,C,D에 대하여, 위와 같은 부등식이 성립하며, 또한 이들에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[17]


  • 다음 가운데 하나가 성립한다.
  • * AB\cdot CD =AC\cdot BD+AD\cdot BC
  • * AC\cdot BD =AB\cdot CD+AD\cdot BC
  • * AD\cdot BC =AB\cdot CD+AC\cdot BD
  • 공원점이거나 공선점이다.


프톨레마이오스 정리의 방정식은 원에 내접하지 않는 사각형에서는 결코 참이 아니다. 프톨레마이오스 부등식은 이 사실의 확장이며, 프톨레마이오스 정리의 보다 일반적인 형태이다. 이것은 사각형 ''ABCD''가 주어졌을 때,

:\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{DA} \ge \overline{AC}\cdot \overline{BD}

이고, 등호는 사각형이 원내접사각형일 때 성립한다고 말한다. 이 특수한 경우는 프톨레마이오스 정리와 동일하다.

6. 역

프톨레마이오스 정리의 역 또한 성립한다. 즉, 사각형 ABCD가

:AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC

를 만족시킨다면, 내접사각형이다.

7. 대각선 길이의 비 (영어 위키)

프톨레마이오스 정리는 변의 길이를 알 때 원에 내접하는 사각형의 대각선의 곱을 구하는 방법을 제시한다. 다음 정리는 대각선의 비에 대한 결과를 제공한다.[13]

:\frac{AC}{BD}=\frac{AB \cdot DA + BC \cdot CD}{AB \cdot BC + DA \cdot CD}
증명: 반지름이 R인 원에 내접하는 삼각형 ABC의 넓이는 다음과 같다.

:\mathcal {A} = \frac{AB \cdot BC \cdot CA}{4R}

사각형의 넓이를 같은 외접원을 공유하는 두 삼각형의 넓이의 합으로 나타내면, 다음과 같은 두 가지 관계식을 얻을 수 있다.

:\mathcal {A}_\text{tot} = \frac{AB \cdot BC \cdot CA }{4R} + \frac {CD \cdot DA \cdot AC}{4R} = \frac {AC \cdot (AB \cdot BC + CD \cdot DA)}{4R}

:\mathcal {A}_\text{tot} = \frac{AB \cdot BD \cdot DA}{4R} + \frac {BC \cdot CD \cdot DB}{4R} = \frac {BD \cdot (AB \cdot DA + BC \cdot CD)}{4R}

위 두 식을 등식으로 묶으면, 상기 공식을 얻는다.
결과: 대각선의 곱과 비를 모두 알면, 다음과 같이 대각선의 길이를 직접 구할 수 있다.

:

\begin{align}

AC^2 & =AC \cdot BD \cdot \frac{AC}{BD}=(AB \cdot CD + BC \cdot DA)\frac{AB \cdot DA + BC \cdot CD}{AB \cdot BC + DA \cdot CD} \\[8pt]

BD^2 & =\frac {AC \cdot BD}{\frac{AC}{BD}}=(AB \cdot CD + BC \cdot DA)\frac{AB \cdot BC + DA \cdot CD}{AB \cdot DA + BC \cdot CD}

\end{align}


8. 역사

고대 그리스의 천문학자이자 수학자인 클라우디오스 프톨레마이오스는 이 정리를 저서 《알마게스트》에 등장하는 현표를 만드는 데 사용하였다.[17] 프톨레마이오스 정리의 따름정리는 코페르니쿠스가 《알마게스트》에서 기록한 제5정리의 핵심이다.

현대 삼각법 표기법에는 부족함이 있지만, 위 따름정리에서 프톨레마이오스 정리(또는 더 간단히 제2정리)를 통해 고대 세계가 매우 유연하고 강력한 삼각법 도구를 사용했음을 알 수 있다. 이를 통해 당시의 지식인들은 정확한 현의 표(사인 표에 해당)를 작성하고, 이를 바탕으로 그들이 이해하고 있던 우주를 파악하고 묘사하려 했다. 히파르코스가 프톨레마이오스보다 3세기 전에 현의 표를 작성했으므로, 그가 '제2정리'와 그 파생 정리를 알고 있었을 것이라고 추정할 수 있다. 고대 천문학자들의 발자취를 따라가면, 역사 기록에는 알렉산드리아의 티모카리스의 별 목록이 있다. 이러한 목록의 작성이 '제2정리'에 대한 이해를 필요로 했다면, 후자의 진정한 기원은 이후 고대 시대의 안개 속으로 사라지지만, 고대 이집트의 천문학자, 건축가 및 건설 기술자들이 이에 대한 어느 정도의 지식을 가지고 있었을 것이라고 추정하는 것은 무리가 아니다.

9. 일반화

케이시의 정리가 있다.

참조

[1] 문서 Almagest
[2] 웹사이트 Ptolemy's Theorem http://jwilson.coe.u[...] 2009-04-08
[3] 웹사이트 De Revolutionibus Orbium Coelestium: Page 37 http://articles.adsa[...]
[4] 웹사이트 Proposition 8 in Book XIII of Euclid's Elements http://aleph0.clarku[...]
[5] 웹사이트 Proposition 9 in Book XIII of Euclid's Elements http://aleph0.clarku[...]
[6] 웹사이트 Construction of a regular pentagon and determination of side length http://www.cut-the-k[...]
[7] 웹사이트 De Revolutionibus Orbium Coelestium: Liber Primus: Theorema Primum http://articles.adsa[...]
[8] 논문 Proof Without Words: Ptolemy's Theorem 2012
[9] 서적 Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics https://books.google[...] Mathematical Association of America
[10] 문서 De Revolutionibus Orbium Coelestium http://articles.adsa[...]
[11] 웹사이트 Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem http://www.cut-the-k[...]
[12] 웹사이트 cut-the-knot http://www.cut-the-k[...]
[13] 서적 Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics https://books.google[...] MAA
[14] 웹사이트 プトレマイオスの定理 https://kotobank.jp/[...] コトバンク 2019-09-15
[15] 웹사이트 トレミーを散りばめる http://izumi-math.jp[...] 数学のいずみ 2019-09-15
[16] 문서
[17] 서적 Geometry I Springer 1987


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