외접 사각형

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1. 개요

외접 사각형은 모든 변이 원에 접하는 볼록 사각형이다. 외접 사각형의 네 변의 합은 같다. 외접 사각형의 넓이는 내접원의 반지름과 반둘레를 곱하여 구할 수 있으며, 마주보는 변의 길이의 곱의 곱의 제곱근과 두 대각선이 이루는 각의 사인 값을 곱하여 구할 수도 있다. 특수한 외접 사각형으로는 연, 마름모, 정사각형 등이 있으며, 외접 사각형이면서 동시에 내접 사각형인 쌍심 사각형도 존재한다. 외접 사각형의 네 각의 이등분선은 내심에서 만나며, 접선 길이, 접선 현 등과 관련된 다양한 성질을 갖는다.

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외접 사각형
정의
정의	네 변이 모두 하나의 원에 접하는 사각형.
다른 이름	외접 사각형
성질
브라흐마굽타 공식	넓이 = √(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) (단, s는 반둘레)
퓌토 정리	a + c = b + d
넓이	넓이 = rs (r은 내접원의 반지름, s는 반둘레)
추가 성질
마름모	마름모는 항상 외접 사각형임
연꼴	연꼴이 외접 사각형일 필요충분조건은 두 각이 같음

2. 정의 및 기본 성질

외접 사각형은 모든 변이 한 원에 접하는 볼록 사각형이다. 이때 외접 사각형의 모든 변에 접하는 원을 내접원이라 하고, 그 중심을 내심이라고 한다.

외접 사각형에서 네 개의 각의 이등분선은 내접원의 중심(내심)에서 만난다. 역으로, 네 개의 각의 이등분선이 한 점에서 만나는 볼록 사각형은 외접 사각형이며, 그 공통점은 내심이다.^[3]

피토 정리에 따르면, 외접 사각형에서 마주보는 두 쌍의 변의 합은 같으며, 이는 사각형의 반둘레 ''s''와 같다.

: $a + c = b + d = \frac{a + b + c + d}{2} = s.$

역으로, ''a'' + ''c'' = ''b'' + ''d''인 볼록 사각형은 외접 사각형이어야 한다.^[4]

볼록 사각형 ''ABCD'' ( 사다리꼴이 아닌)에서 마주보는 변이 ''E''와 ''F''에서 교차하면, 다음 중 하나가 성립할 때 외접 사각형이다.^[3]

: $\displaystyle BE+BF=DE+DF$

또는

: $\displaystyle AE-EC=AF-FC:$

또 다른 필요 충분 조건은 볼록 사각형 ''ABCD''가 외접 사각형이기 위한 필요 충분 조건은 두 삼각형 ''ABC''와 ''ADC''의 내접원이 서로 접선이어야 한다는 것이다.^[4]

대각선 ''BD''와 사각형 ''ABCD''의 네 변이 이루는 각에 관한 특성은 Iosifescu에 의해 밝혀졌다. 그는 1954년에 볼록 사각형이 내접원을 가지기 위한 필요 충분 조건이 다음임을 증명했다.^[5]

:

\tan{\frac{\angle ABD}{2}}\cdot\tan{\frac{\angle BDC}{2}}=\tan{\frac{\angle ADB}{2}}\cdot\tan{\frac{\angle DBC}{2}}.

외접 사각형 (파란색)과 그 내접원 (점선) 및 네 개의 외접하는 원 (빨간색)으로, 각 변과 인접한 변의 연장선에 접한다.

또한, 연속하는 변이 ''a'', ''b'', ''c'', ''d''인 볼록 사각형은 다음이 성립할 때 외접 사각형이다.

:

R_aR_c=R_bR_d

여기서 ''R''_''a'', ''R''_''b'', ''R''_''c'', ''R''_''d''는 각각 변 ''a'', ''b'', ''c'', ''d''에 외접하고 각 변에 인접한 두 변의 연장선에 접하는 원의 반지름이다.^[6]

2. 1. 피토 정리

피토 정리에 의해, 외접 사각형에서 마주보는 두 쌍의 변의 길이의 합은 서로 같다. 즉,

AB+CD = BC+DA

이다.^[34] 역으로, 볼록사각형에서 마주보는 두 쌍의 변의 길이의 합이 서로 같으면, 그 사각형은 외접 사각형이다.^[4]

3. 특수한 경우

외접 사각형의 특수한 경우로 연, 마름모, 정사각형, 쌍심 사각형, 외접 사다리꼴 등이 있다. 연은 직교대각 사각형이면서 외접 사각형이며, 직각 연은 외접원을 가진 연이다.^[2] 사각형이 외접 사각형이자 원내접 사각형이면 쌍심 사각형이라고 하고, 외접 사각형이자 사다리꼴이면 외접 사다리꼴이라고 한다.

3. 1. 연꼴

연은 외접 사각형의 한 예이다. 마름모와 정사각형도 연꼴에 속한다. 연은 직교대각 사각형이기도 하다.^[2] 직각 연은 외접원을 가진 연이다.

외접 사각형이 연꼴이 되는 조건은 다음과 같다:^[31]

조건
넓이는 대각선 길이의 곱의 절반이다.
대각선은 수직이다.
접점의 마주보는 점들을 연결하는 두 선분은 길이가 같다.
마주보는 한 쌍의 접선 길이가 같다.
이등변선의 길이가 같다.
마주보는 변의 길이의 곱이 같다.
내접원의 중심은 대칭축인 대각선 위에 놓인다.

3. 2. 마름모

마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 외접 사각형이다. 마름모의 대각선은 서로 수직이며, 서로를 이등분한다. 정사각형은 마름모의 특수한 경우이다.^[2] 마주보는 각의 크기가 같을 때 접선 사각형은 마름모가 된다.^[30]

3. 3. 정사각형

정사각형은 네 변의 길이가 모두 같고, 네 각의 크기가 모두 같은 외접 사각형이다. 마름모는 정사각형을 포함한다.^[2]

3. 4. 쌍심 사각형 (Bicentric Quadrilateral)

내접원이 변 ''AB'', ''BC'', ''CD'', ''DA''에 각각 ''W'', ''X'', ''Y'', ''Z''에서 접하는 경우, 접선 사각형 ''ABCD''는 다음 조건 중 하나라도 충족하면 원내접 (따라서 쌍심 사각형)이 된다.^[1]^[2]^[17]

''WY''는 ''XZ''에 수직이다.
$AW\cdot CY=BW\cdot DY$
$\frac{AC}{BD}=\frac{AW+CY}{BX+DZ}$

이 세 조건 중 첫 번째 조건은 ''접촉 사각형'' ''WXYZ''가 직교 대각선 사각형임을 의미한다.

접선 사각형은 내반지름이 동일한 변의 순서를 가진 다른 접선 사각형의 내반지름보다 큰 경우에만 쌍심 사각형이다.^[32]

3. 5. 외접 사다리꼴

외접 사각형의 한 종류로 연이 있으며, 마름모도 여기에 포함된다. 마름모는 정사각형을 포함한다. 연은 직교대각 사각형이면서 외접 사각형이다.^[2] 직각 연은 외접원을 갖는 연이다. 사각형이 외접 사각형이면서 원내접 사각형이면 양심 사각형이라고 하고, 외접 사각형이면서 사다리꼴이면 외접 사다리꼴이라고 한다.

내접원이 변 ''AB''와 ''CD''에 각각 ''W''와 ''Y''에서 접하는 사각형 ''ABCD''에서, 변 ''AB''와 ''CD''가 평행하면 사다리꼴이 되며, 다음 조건을 만족한다.^[33]

:

AW\cdot DY=BW\cdot CY

반대로, ''AD''와 ''BC''가 평행변이 되는 조건은 다음과 같다.

:

AW\cdot BW=CY\cdot DY.

4. 넓이

외접사각형의 넓이는 내접원의 반지름, 변의 길이, 대각선, 접선 길이 등 다양한 요소를 이용하여 계산할 수 있다.

내접원의 반지름 ''r''과 반둘레 ''s''를 이용하면, 넓이 ''K''는 다음과 같이 표현된다.^[9]

:

\displaystyle K = r \cdot s

각 변의 길이를 ''a'', ''b'', ''c'', ''d''라 하고, 마주보는 두 각의 합을 이용하면 넓이는 다음과 같이 표현된다.^[9]^[7]^[20]^[19]

:

\displaystyle K = \sqrt{abcd} \sin \frac{A+C}{2} = \sqrt{abcd} \sin \frac{B+D}{2}

대각선 ''p'', ''q''를 이용하면 넓이는 다음과 같이 표현된다.^[9]

:

\displaystyle K = \tfrac{1}{2}\sqrt{p^2q^2-(ac-bd)^2}

접선 길이 ''e'', ''f'', ''g'', ''h''를 이용하면 넓이는 다음과 같이 표현된다.^[2]

:

\displaystyle K=\sqrt{(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}

변 ''a, b, c, d''와 연속적인 접선 길이 ''e, f, g, h''를 사용하여 넓이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[2]

:

K=\sqrt{abcd-(eg-fh)^2}.

위에 주어진 모든 공식들에 의하여, 넓이 ''K''는 다음 부등식을 만족한다.

:

K\le\sqrt{abcd}

여기서 등호는 사각형이 쌍심 사각형일 때만 성립한다.

두 개의 마주보는 각을 포함하는 외접 사각형 ''ABCD''의 면적은 내심 ''I''를 사용하여 다음과 같이 구할수 있다.^[20]

:

K=\left(IA\cdot IC+IB\cdot ID\right)\sin\frac{A+C}{2}

두 개의 인접한 변과 두 개의 마주보는 각을 사용하여 넓이를 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[9]

:

K=ab\sin{\frac{B}{2}}\csc{\frac{D}{2}}\sin \frac{B+D}{2}.

대각선 사이의 각 중 하나를 ''θ''라고 할때, 넓이는 다음 공식으로 표현 가능하다.^[9]

:

K=\tfrac{1}{2}|(ac-bd)\tan{\theta}|,

단, 외접 사각형이 연일 때는 이 공식을 사용할 수 없다.

이바노바(T. A. Ivanova)는 외접 사각형의 반둘레 ''s''와 내접원 반지름''r''은 다음과 같은 부등식을 만족한다고 하였다.(1976년)^[10]

:

s\ge 4r

여기서 등호는 사각형이 정사각형일 때만 성립한다.

따라서 넓이 ''K'' = ''rs''에 대해 다음 부등식이 성립한다.

:

K\ge 4r^2

등호는 외접 사각형이 정사각형일 때만 성립한다.

4. 1. 내접원의 반지름을 이용한 공식

외접사각형의 넓이 ''K''는 내접원의 반지름 ''r''과 반둘레 ''s''의 곱으로 표현된다.^[9]

:

\displaystyle K = r \cdot s

여기서 ''s''는 반둘레이다.

인접한 변의 길이가 ''a'', ''b'', ''c'', ''d''인 외접사각형에서, 내접원의 반지름은 다음과 같다.^[9]

:

r=\frac{K}{s}=\frac{K}{a+c}=\frac{K}{b+d}

여기서 ''K''는 사각형의 넓이이고, ''s''는 사각형의 반둘레이다. 주어진 변을 갖는 외접사각형의 경우, 내접원의 반지름은 사각형이 원접 사각형일 때 최댓값을 가지며, 이때 사각형은 이중심 사각형이 된다.

접선의 길이로 나타내면, 내접원의 반지름은 다음과 같다.^[11]^[12]

:

\displaystyle r=\sqrt{\frac{efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}.

4. 2. 변의 길이를 이용한 공식

외접사각형의 넓이는 사각형의 넓이를

K

, 각 변의 길이를

a, b, c, d

라 할 때 다음과 같이 구할 수 있다.

:

K = \sqrt{abcd}\ sin(\frac{A+C}{2}) = \sqrt{abcd}\ sin(\frac{B+D}{2})

^[9]^[7]^[20]^[19]

항상

K \leq \sqrt{abcd}

이며, 넓이는 내접사각형일 때 최대이다. 주어진 변의 길이에 대해, 면적은 사각형이 원내접 사각형일 때 최대가 되며, 따라서 이중심 사각형이 된다. 이 경우

K = \sqrt{abcd}

인데, 그 이유는 마주보는 각이 보각이기 때문이다. 이는 미적분학을 사용하여 다른 방식으로 증명할 수 있다.^[8]

4. 3. 브라마굽타 공식 (Brahmagupta's Formula)

외접사각형의 넓이는 다음과 같이 구할 수 있다.

사각형의 넓이를

K

, 각 변의 길이를

a, b, c, d

라 할 때,

:

K = \sqrt{abcd}\ sin(\frac{A+C}{2}) = \sqrt{abcd}\ sin(\frac{B+D}{2})

이에 의해 항상

K \leq \sqrt{abcd}

이며, 넓이는 내접사각형일 때 최대이다.

양중심 사각형은 외접사각형이면서 동시에 내접사각형인 사각형을 말한다. 접선 사각형이 양중심 사각형일 때, ''eg'' = ''fh''이므로,^[11] 최대 넓이

\sqrt{abcd}

는 접선 사각형이 양중심 사각형일 때 발생한다.

5. 내심

외접 사각형의 네 각의 이등분선은 한 점(내심)에서 만나며, 이 점은 내접원의 중심이다.^[3]

6. 접점과 접선 길이

외접 사각형(파란색)과 내접원, 그리고 내접원과 변 사이의 네 접점을 연결하는 ''접촉 사각형''(녹색). 반대쪽 접점을 연결하는 접선 현(빨간색)과 변의 접선 길이도 표시되어 있다.

내접원은 외접 사각형의 각 변과 한 점에서 접하며, 이 점을 '''접점'''이라고 한다. 외접 사각형의 '''접선 길이'''는 꼭짓점에서 접점까지의 선분이다. 각 꼭짓점에서는 합동인 두 개의 접선 길이가 나타난다.

외접 사각형의 두 '''접선 현'''은 반대쪽 변의 접점을 연결하는 선분으로, 접촉 사각형의 대각선이기도 하다.

7. 네 개의 부분 삼각형에서의 특성

볼록 사각형 ''ABCD''의 대각선이 ''P''에서 교차하여 형성된 서로 겹치지 않는 네 개의 삼각형 ''APB'', ''BPC'', ''CPD'', ''DPA''에서, 외접 사각형의 여러 가지 특성이 발견되었다.

'''외접원의 반지름과의 관계''': ''R''₁, ''R''₂, ''R''₃, ''R''₄가 각각 삼각형 ''APB'', ''BPC'', ''CPD'', ''DPA''의 외접원 반지름일 때, 사각형 ''ABCD''가 외접 사각형일 필요충분조건은 다음과 같다.^[28]

:

R_1+R_3=R_2+R_4.

'''내심과 방심의 공원점 성질''': 1996년 바인슈타인은 볼록 사각형이 네 개의 삼각형으로 나누어질 때, 네 삼각형의 내심이 공원점일 필요충분조건이 사각형이 외접 사각형임을 증명했다.^[4] 방접원으로 바꾸어 생각하면, 볼록 사각형이 외접 사각형일 필요충분조건은 네 방접원의 방심이 원내 사각형의 꼭짓점일 때이다.^[4]

'''방심과 방반지름''': ''B''와 ''D'' 반대편 삼각형 ''APB'', ''BPC'', ''CPD'', ''DPA''의 네 방심이 공원점일 필요충분조건은 사각형이 외접 사각형이라는 것이다.^[4] ''R_a'', ''R_b'', ''R_c'', ''R_d''가 각 삼각형의 방반지름이라면, 외접 사각형일 필요충분조건은 다음과 같다.^[4]

:

\frac{1}{R_a}+\frac{1}{R_c}=\frac{1}{R_b}+\frac{1}{R_d}.

'''삼각형 넓이와의 관계''': 대각선이 ''P''에서 교차하는 볼록 사각형 ''ABCD''가 외접 사각형이 될 필요충분조건은 다음과 같다.^[5]

:

\frac{a}{\triangle(APB)}+\frac{c}{\triangle(CPD)}=\frac{b}{\triangle(BPC)}+\frac{d}{\triangle(DPA)}

(∆(''APB'')는 삼각형 ''APB''의 넓이)

'''대각선 분할 선분과의 관계''': 대각선 교차점 ''P''가 대각선 ''AC''를 ''AP'' = ''p''₁, ''PC'' = ''p''₂로, 대각선 ''BD''를 ''BP'' = ''q''₁, ''PD'' = ''q''₂로 나눌 때, 외접 사각형일 필요충분조건은 다음 등식 중 하나가 참일 때이다:^[29],^[4]

:

ap_2q_2 + cp_1q_1 = bp_1q_2 + dp_2q_1

:

\frac{(p_1+q_1-a)(p_2+q_2-c)}{(p_1+q_1+a)(p_2+q_2+c)}=\frac{(p_2+q_1-b)(p_1+q_2-d)}{(p_2+q_1+b)(p_1+q_2+d)}

:

\frac{(a+p_1-q_1)(c+p_2-q_2)}{(a-p_1+q_1)(c-p_2+q_2)}=\frac{(b+p_2-q_1)(d+p_1-q_2)}{(b-p_2+q_1)(d-p_1+q_2)}.

7. 1. 내접원의 반지름과의 관계

피토 정리에 따르면, 외접 사각형에서 마주보는 두 쌍의 변의 합은 같으며, 이는 사각형의 반둘레 ''s''와 같다. 역으로, ''a'' + ''c'' = ''b'' + ''d''인 볼록 사각형은 외접 사각형이다.^[4]^[3]

볼록 사각형 ''ABCD''의 대각선에 의해 형성된 서로 겹치지 않는 네 개의 삼각형 ''APB'', ''BPC'', ''CPD'', ''DPA''가 있을 때, 각 삼각형 내의 내접원의 반지름을 이용하여 외접 사각형의 조건을 나타낼 수 있다.

''r''₁, ''r''₂, ''r''₃, 그리고 ''r''₄를 각각 네 개의 삼각형 ''APB'', ''BPC'', ''CPD'', 그리고 ''DPA'' 내접원의 반지름이라고 하자. 차오와 시메오노프는 사각형이 접하는 사각형일 필요충분 조건은 다음 식과 같음을 증명했다.^[26]

:

\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_3}=\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_4}.

이 특성은 바인슈테인이 이미 증명한 바 있다.^[31]^[27]

7. 2. 높이와의 관계

외접 사각형에서 대각선에 의해 형성된 네 개의 세부 삼각형의 높이(대각선 교차점에서 사각형의 변까지)를 ''h''₁, ''h''₂, ''h''₃, ''h''₄라고 하면, 사각형이 외접 사각형일 필요충분 조건은 다음과 같다.^[5]^[27]

:

\frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_3}=\frac{1}{h_2}+\frac{1}{h_4}.

이는 바실리에프와 센데로프가 제시한 조건이다.

7. 3. 방접원의 반지름과의 관계

연속하는 변이 ''a'', ''b'', ''c'', ''d''인 볼록 사각형에서, ''R''_''a'', ''R''_''b'', ''R''_''c'', ''R''_''d''를 각각 변 ''a'', ''b'', ''c'', ''d''에 외접하고 각 변에 인접한 두 변의 연장선에 접하는 원의 반지름이라고 할 때, 다음이 성립하면 외접 사각형이다.^[6]

:

R_aR_c=R_bR_d

볼록 사각형 ''ABCD''의 대각선에 의해 형성된 네 개의 삼각형 ''APB'', ''BPC'', ''CPD'', ''DPA''의 방접원(각각 사각형의 한 변과 대각선의 연장선에 접하는 원)의 반지름을 ''r''_''a'', ''r''_''b'', ''r''_''c'', ''r''_''d''라고 할 때, 다음이 성립하면 사각형 ''ABCD''는 외접 사각형이다.^[4]

:

\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_c}=\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_d}.

8. 다른 사각형과의 관계

외접 사각형의 예로는 연이 있으며, 여기에는 마름모가 포함되고, 마름모는 다시 정사각형을 포함한다. 연은 또한 직교대각 사각형인 외접 사각형이다.^[2] 직각 연은 외접원을 가진 연이다. 사각형이 외접 사각형이자 원내접 사각형이면 쌍심 사각형이라고 하며, 외접 사각형이자 사다리꼴이면 외접 사다리꼴이라고 한다.

참조

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_[6] 간행물 Similar Metric Characterizations of Tangential and Extangential Quadrilaterals http://forumgeom.fau[...] 2018-06-14
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_[31] 간행물 When is a Tangential Quadrilateral a Kite? http://forumgeom.fau[...]
_[32] 간행물 On a circle containing the incenters of tangential quadrilaterals http://forumgeom.fau[...] 2014-12-15
_[33] 간행물 The diagonal point triangle revisited http://forumgeom.fau[...] 2016-07-30
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