하디의 부등식

1. 개요

하디 부등식은 수열과 함수의 적분 형태에 대한 부등식으로, 수학적 분석에서 중요한 역할을 한다. 이 부등식은 0으로 수렴하는 양의 실수열에 대한 부등식(대수적 형태, 이산 형태), 적분 가능한 함수에 대한 부등식(적분 형태), 그리고 다차원 공간 및 분수 형태까지 확장된다. 특히, 대수적 형태는 횔더 부등식을 사용하여 증명되며, 적분 형태는 변수 치환과 민코프스키 부등식을 통해 증명된다. 다차원 하디 부등식은 소볼레프 공간으로 확장되며, 경계 근처에서도 성립한다.

2. 대수적 형태

$\backslash \{a\_i\backslash \}$를 0으로 수렴하는 양의 실수열이라 하고, p>1이라 할 때, 다음 부등식이 성립한다.

:$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash left\; (\backslash frac\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\; a\_i\}\{n\}\backslash right\; )^p\; \backslash le\; \backslash left\; (\backslash frac\{p\}\{p-1\}\backslash right\; )^p\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; a\_n^p$

이 부등식은 하위 섹션인 "이산 형태"에서 더 자세히 다룬다.

2.1. 이산 형태

$\backslash \{a\_i\backslash \}$를 0으로 수렴하는 양의 실수열이라 하고, p>1이라 할 때, 다음 부등식이 성립한다.

:$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash left\; (\backslash frac\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\; a\_i\}\{n\}\backslash right\; )^p\; \backslash le\; \backslash left\; (\backslash frac\{p\}\{p-1\}\backslash right\; )^p\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; a\_n^p$

우변이 유한하다고 가정하면, $n\backslash to\backslash infty$일 때 $a\_n\backslash to\; 0$이어야 한다. 따라서, 모든 양의 정수에 대해, $2^\{-j\}$보다 큰 항은 유한 개뿐이다.

이를 통해 원래 수열과 동일한 양의 항을 포함하는 감소 수열 $b\_1\backslash ge\; b\_2\backslash ge\backslash dotsb$을 구성할 수 있다(하지만 0 항이 없을 수 있음). 모든 n에 대해 $a\_1+a\_2+\backslash dotsb\; +a\_n\backslash le\; b\_1+b\_2+\backslash dotsb\; +b\_n$이므로, 새로운 수열에 대한 부등식을 보이는 것으로 충분하다. 이는
:$\backslash int\_0^\backslash infty\; f(x)^p\backslash ,dx=\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; b\_n^p$
그리고
:$\backslash frac\{1\}\{x\}\backslash int\_0^x\; f(t)\backslash ,dt=\backslash frac\{b\_1+\backslash dots+b\_\{n-1\}+(x-n+1)b\_n\}\{x\}\; \backslash ge\; \backslash frac\{b\_1+\backslash dots+b\_n\}\{n\}$
(마지막 부등식은 $(n-x)(b\_1+\backslash dots+b\_\{n-1\})\backslash ge\; (n-1)(n-x)b\_n$과 동치이며, 이는 새로운 수열이 감소하기 때문에 참이다) 따라서
:$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash left(\backslash frac\{b\_1+\backslash dots+b\_n\}\{n\}\backslash right)^p\backslash le\backslash int\_0^\backslash infty\backslash left(\backslash frac\{1\}\{x\}\backslash int\_0^x\; f(t)\backslash ,dt\backslash right)^p\backslash ,dx$.

$p\; >\; 1$이고 $b\_1\; ,\; \backslash dots\; ,\; b\_n$을 양의 실수라고 하자. $S\_k\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^k\; b\_i$로 설정한다. 먼저 다음 부등식을 증명한다.

:$\backslash sum\_\{n=1\}^N\; \backslash frac\{S\_n^p\}\{n^p\}\; \backslash leq\; \backslash frac\{p\}\{p-1\}\; \backslash sum\_\{n=1\}^N\; \backslash frac\{b\_n\; S\_n^\{p-1\}\}\{n^\{p-1\}\}$

$T\_n\; =\; \backslash frac\{S\_n\}\{n\}$으로 놓고, $\backslash Delta\_n$을 위 부등식 우변과 좌변의 $n$번째 항의 차이, 즉 $\backslash Delta\_n\; :=\; T\_n^p\; -\; \backslash frac\{p\}\{p-1\}\; b\_n\; T\_n^\{p-1\}$로 놓자. 다음을 얻는다.

:$\backslash Delta\_n\; =\; T\_n^p\; -\; \backslash frac\{p\}\{p-1\}\; b\_n\; T\_n^\{p-1\}\; =\; T\_n^p\; -\; \backslash frac\{p\}\{p-1\}\; (n\; T\_n\; -\; (n-1)\; T\_\{n-1\})\; T\_n^\{p-1\}$

또는

:$\backslash Delta\_n\; =\; T\_n^p\; \backslash left(\; 1\; -\; \backslash frac\{np\}\{p-1\}\; \backslash right)\; +\; \backslash frac\{p\; (n-1)\}\{p-1\}\; T\_\{n-1\}\; T\_n^p\; .$

영의 부등식에 따르면 다음을 얻는다.

:$T\_\{n-1\}\; T\_n^\{p-1\}\; \backslash leq\; \backslash frac\{T\_\{n-1\}^p\}\{p\}\; +\; (p-1)\; \backslash frac\{T\_n^p\}\{p\}\; ,$

따라서 다음을 얻는다.

:$\backslash Delta\_n\; \backslash leq\; \backslash frac\{n-1\}\{p-1\}\; T\_\{n-1\}^p\; -\; \backslash frac\{n\}\{p-1\}\; T\_n^p\; .$

소거법에 의해 다음을 얻는다.

:$\backslash begin\{align\}$
\sum_{n=1}^N \Delta_n &\leq 0 - \frac{1}{p-1} T_1^p + \frac{1}{p-1} T_1^p - \frac{2}{p-1} T_2^p + \frac{2}{p-1} T_2^p - \frac{3}{p-1} T_3^p + \dotsb+ \frac{N-1}{p-1} T_{N-1}^p - \frac{N}{p-1} T_N^p \\
&= - \frac{N}{p-1} T_N^p < 0 ,
\end{align}


위 부등식을 증명한다.
횔더 부등식을 위 부등식의 우변에 적용하면 다음을 얻는다.

:$\backslash sum\_\{n=1\}^N\; \backslash frac\{S\_n^p\}\{n^p\}\; \backslash leq\; \backslash frac\{p\}\{p-1\}\; \backslash sum\_\{n=1\}^N\; \backslash frac\{b\_n\; S\_n^\{p-1\}\}\{n^\{p-1\}\}\; \backslash leq\; \backslash frac\{p\}\{p-1\}\; \backslash left(\; \backslash sum\_\{n=1\}^N\; b\_n^p\; \backslash right)^\{1/p\}\; \backslash left(\; \backslash sum\_\{n=1\}^N\; \backslash frac\{S\_n^p\}\{n^p\}\; \backslash right)^\{(p-1)/p\}$

여기에서 즉시 다음을 얻는다.

:$\backslash sum\_\{n=1\}^N\; \backslash frac\{S\_n^p\}\{n^p\}\; \backslash leq\; \backslash left(\; \backslash frac\{p\}\{p-1\}\; \backslash right)^p\; \backslash sum\_\{n=1\}^N\; b\_n^p\; .$

$N\; \backslash rightarrow\; \backslash infty$로 보내면 하디 부등식을 얻는다.

2.2. 이산 형태의 증명

$\backslash \{a\_i\backslash \}$를 0으로 수렴하는 양의 실수열이라 하고, p>1이라 하자. 그러면 다음 부등식이 성립한다.

* $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash left\; (\backslash frac\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\; a\_i\}\{n\}\backslash right\; )^p\; \backslash le\; \backslash left\; (\backslash frac\{p\}\{p-1\}\backslash right\; )^p\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; a\_n^p$

우변이 유한하다고 가정하면, $n\backslash to\backslash infty$일 때 $a\_n\backslash to\; 0$이어야 한다. 따라서, 모든 양의 정수에 대해, $2^\{-j\}$보다 큰 항은 유한 개뿐이다.

이를 통해 원래 수열과 동일한 양의 항을 포함하는 감소 수열 $b\_1\backslash ge\; b\_2\backslash ge\backslash dotsb$을 구성할 수 있다(하지만 0 항이 없을 수 있음). 모든 n에 대해 $a\_1+a\_2+\backslash dotsb\; +a\_n\backslash le\; b\_1+b\_2+\backslash dotsb\; +b\_n$이므로, 새로운 수열에 대한 부등식을 보이는 것으로 충분하다. 이는

$p\; >\; 1$이고 $b\_1\; ,\; \backslash dots\; ,\; b\_n$을 양의 실수라고 하자. $S\_k\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^k\; b\_i$로 설정한다. 먼저 다음 부등식을 증명한다.

:$\backslash sum\_\{n=1\}^N\; \backslash frac\{S\_n^p\}\{n^p\}\; \backslash leq\; \backslash frac\{p\}\{p-1\}\; \backslash sum\_\{n=1\}^N\; \backslash frac\{b\_n\; S\_n^\{p-1\}\}\{n^\{p-1\}\}$

$T\_n\; =\; \backslash frac\{S\_n\}\{n\}$으로 놓고, $\backslash Delta\_n$을 위 부등식의 우변과 좌변의 $n$번째 항의 차이로 정의한다. 즉, $\backslash Delta\_n\; :=\; T\_n^p\; -\; \backslash frac\{p\}\{p-1\}\; b\_n\; T\_n^\{p-1\}$이다. 다음을 얻는다.

:$\backslash Delta\_n\; =\; T\_n^p\; -\; \backslash frac\{p\}\{p-1\}\; b\_n\; T\_n^\{p-1\}\; =\; T\_n^p\; -\; \backslash frac\{p\}\{p-1\}\; (n\; T\_n\; -\; (n-1)\; T\_\{n-1\})\; T\_n^\{p-1\}$

또는

:$\backslash Delta\_n\; =\; T\_n^p\; \backslash left(\; 1\; -\; \backslash frac\{np\}\{p-1\}\; \backslash right)\; +\; \backslash frac\{p\; (n-1)\}\{p-1\}\; T\_\{n-1\}\; T\_n^p\; .$

영의 부등식에 따르면 다음을 얻는다.

:$T\_\{n-1\}\; T\_n^\{p-1\}\; \backslash leq\; \backslash frac\{T\_\{n-1\}^p\}\{p\}\; +\; (p-1)\; \backslash frac\{T\_n^p\}\{p\}\; ,$

따라서 다음을 얻는다.

:$\backslash Delta\_n\; \backslash leq\; \backslash frac\{n-1\}\{p-1\}\; T\_\{n-1\}^p\; -\; \backslash frac\{n\}\{p-1\}\; T\_n^p\; .$

소거법에 의해 다음을 얻는다.

:$\backslash begin\{align\}$
\sum_{n=1}^N \Delta_n &\leq 0 - \frac{1}{p-1} T_1^p + \frac{1}{p-1} T_1^p - \frac{2}{p-1} T_2^p + \frac{2}{p-1} T_2^p - \frac{3}{p-1} T_3^p + \dotsb+ \frac{N-1}{p-1} T_{N-1}^p - \frac{N}{p-1} T_N^p \\
&= - \frac{N}{p-1} T_N^p < 0 ,
\end{align}


위 부등식을 증명한다. 횔더 부등식을 위 부등식의 우변에 적용하면 다음을 얻는다.

:$\backslash sum\_\{n=1\}^N\; \backslash frac\{S\_n^p\}\{n^p\}\; \backslash leq\; \backslash frac\{p\}\{p-1\}\; \backslash sum\_\{n=1\}^N\; \backslash frac\{b\_n\; S\_n^\{p-1\}\}\{n^\{p-1\}\}\; \backslash leq\; \backslash frac\{p\}\{p-1\}\; \backslash left(\; \backslash sum\_\{n=1\}^N\; b\_n^p\; \backslash right)^\{1/p\}\; \backslash left(\; \backslash sum\_\{n=1\}^N\; \backslash frac\{S\_n^p\}\{n^p\}\; \backslash right)^\{(p-1)/p\}$

여기에서 즉시 다음을 얻는다.

:$\backslash sum\_\{n=1\}^N\; \backslash frac\{S\_n^p\}\{n^p\}\; \backslash leq\; \backslash left(\; \backslash frac\{p\}\{p-1\}\; \backslash right)^p\; \backslash sum\_\{n=1\}^N\; b\_n^p\; .$

$N\; \backslash rightarrow\; \backslash infty$로 보내면 하디 부등식을 얻는다.

3. 적분 형태

f가 실수 상에서 음이 아닌 값을 갖는 적분가능함수이고 1

:$\backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash left\; (\backslash frac\{1\}\{x\}\backslash int\_0^x\; f(t)\backslash ,\; dt\backslash right)^p\backslash ,\; dx\backslash le\backslash left\; (\backslash frac\{p\}\{p-1\}\backslash right\; )^p\backslash int\_0^\backslash infty\; f(x)^p\backslash ,\; dx.$
:$\backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash left\; (\backslash int\_x^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{t\}\; f(t)\backslash ,\; dt\backslash right)^p\backslash ,\; dx\backslash le\backslash left\; (\backslash frac\{p\}\{p-1\}\backslash right\; )^p\backslash int\_0^\backslash infty\; f(x)^p\backslash ,\; dx.$

여기서 첫 번째 부등식은 p=∞일 때도 성립한다.

3.1. 기본 적분 형태

f가 실수 상의 음이 아닌 값을 갖는 적분가능함수이고 1

:$\backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash left\; (\backslash frac\{1\}\{x\}\backslash int\_0^x\; f(t)\backslash ,\; dt\backslash right)^p\backslash ,\; dx\backslash le\backslash left\; (\backslash frac\{p\}\{p-1\}\backslash right\; )^p\backslash int\_0^\backslash infty\; f(x)^p\backslash ,\; dx.$
:$\backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash left\; (\backslash int\_x^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{t\}\; f(t)\backslash ,\; dt\backslash right)^p\backslash ,\; dx\backslash le\backslash left\; (\backslash frac\{p\}\{p-1\}\backslash right\; )^p\backslash int\_0^\backslash infty\; f(x)^p\backslash ,\; dx.$

여기서 첫 번째 부등식은 p=∞일 때도 성립한다.

변수 치환을 통해 다음을 얻을 수 있다.
:$\backslash left(\backslash int\_0^\backslash infty\backslash left(\backslash frac\{1\}\{x\}\backslash int\_0^x\; f(t)\backslash ,dt\backslash right)^p\backslash \; dx\backslash right)^\{1/p\}=\backslash left(\backslash int\_0^\backslash infty\backslash left(\backslash int\_0^1\; f(sx)\backslash ,ds\backslash right)^p\backslash ,dx\backslash right)^\{1/p\},$

이는 민코프스키의 적분 부등식에 의해 $\backslash int\_0^1\backslash left(\backslash int\_0^\backslash infty\; f(sx)^p\backslash ,dx\backslash right)^\{1/p\}\backslash ,ds$보다 작거나 같다.

마지막으로, 또 다른 변수 치환을 통해 마지막 식은 다음과 같다.
:$\backslash int\_0^1\backslash left(\backslash int\_0^\backslash infty\; f(x)^p\backslash ,dx\backslash right)^\{1/p\}s^\{-1/p\}\backslash ,ds=\backslash frac\{p\}\{p-1\}\backslash left(\backslash int\_0^\backslash infty\; f(x)^p\backslash ,dx\backslash right)^\{1/p\}.$

3.2. 적분 형태의 증명

f^영어가 실수 상의 음이 아닌 값을 갖는 적분가능함수이고 1영어<∞일 때, 다음 두 부등식이 성립한다.

# $\backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash left\; (\backslash frac\{1\}\{x\}\backslash int\_0^x\; f(t)\backslash ,\; dt\backslash right)^p\backslash ,\; dx\backslash le\backslash left\; (\backslash frac\{p\}\{p-1\}\backslash right\; )^p\backslash int\_0^\backslash infty\; f(x)^p\backslash ,\; dx.$
# $\backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash left\; (\backslash int\_x^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{t\}\; f(t)\backslash ,\; dt\backslash right)^p\backslash ,\; dx\backslash le\backslash left\; (\backslash frac\{p\}\{p-1\}\backslash right\; )^p\backslash int\_0^\backslash infty\; f(x)^p\backslash ,\; dx.$

여기서 첫 번째 부등식은 p^영어=∞일 때도 성립한다.
변수 치환을 통해 다음을 얻을 수 있다.
:$\backslash left(\backslash int\_0^\backslash infty\backslash left(\backslash frac\{1\}\{x\}\backslash int\_0^x\; f(t)\backslash ,dt\backslash right)^p\backslash \; dx\backslash right)^\{1/p\}=\backslash left(\backslash int\_0^\backslash infty\backslash left(\backslash int\_0^1\; f(sx)\backslash ,ds\backslash right)^p\backslash ,dx\backslash right)^\{1/p\},$
이는 민코프스키의 적분 부등식에 의해 $\backslash int\_0^1\backslash left(\backslash int\_0^\backslash infty\; f(sx)^p\backslash ,dx\backslash right)^\{1/p\}\backslash ,ds$보다 작거나 같다.
마지막으로, 또 다른 변수 치환을 통해 마지막 식은 다음과 같다.
:$\backslash int\_0^1\backslash left(\backslash int\_0^\backslash infty\; f(x)^p\backslash ,dx\backslash right)^\{1/p\}s^\{-1/p\}\backslash ,ds=\backslash frac\{p\}\{p-1\}\backslash left(\backslash int\_0^\backslash infty\; f(x)^p\backslash ,dx\backslash right)^\{1/p\}.$

3.3. 일반화된 1차원 형태

일반화된 가중 1차원 하디 부등식은 다음과 같다.

* 이면,
:$\backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash biggl(y^\{\backslash alpha\; -\; 1\}\; \backslash int\_0^y\; x^\{-\backslash alpha\}\; f(x)\backslash ,dx\; \backslash biggr)^p\; \backslash ,dy\; \backslash le$
\frac{1}{\bigl(1 - \alpha - \frac{1}{p}\bigr)^p} \int_0^\infty f(x)^p\, dx


* $\backslash alpha\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{p\}\; >\; 1$ 이면,
:$\backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash biggl(y^\{\backslash alpha\; -\; 1\}\; \backslash int\_y^\backslash infty\; x^\{-\backslash alpha\}\; f(x)\backslash ,dx\; \backslash biggr)^p\backslash ,dy\; \backslash le$
\frac{1}{\bigl(\alpha + \frac{1}{p} - 1\bigr)^p} \int_0^\infty f(x)^p\, dx.

4. 다차원 형태

하디 부등식은 다차원 형태로 확장될 수 있다.

4.1. 점 주변에서의 다차원 하디 부등식

$L^\{p\}$ 공간으로 확장된 다차원 하디 부등식은 다음과 같은 형태를 띤다. 여기서 $f\backslash in\; C\_\{c\}^\{\backslash infty\}(\backslash mathbb\{R\}^\{n\})$이고, 상수 $\backslash frac\{p\}\{n-p\}$는 최적 상수이다. 이 부등식은 조밀성에 의해 소볼레프 공간 $W^\{1,\; p\}\; (\backslash mathbb\{R\}^n)$으로 확장된다. $p\; >\; n\; \backslash ge\; 2$인 경우, 모든 $f\backslash in\; C\_\{c\}^\{\backslash infty\}(\backslash mathbb\{R\}^\{n\})$에 대해 다음 부등식이 성립한다.

:$$
\Big(1 - \frac{n}{p}\Big)^p \int_{\mathbb{R}^n} \frac{\vert f(x) - f (0)\vert^p}{|x|^p} dx
\le \int_{\mathbb{R}^n} \vert \nabla f\vert^p.

4.2. 경계 근처에서의 다차원 하디 부등식

$\backslash Omega\; \backslash subsetneq\; \backslash mathbb\{R\}^n$이 비어있지 않은 볼록 열린 집합이라면, 모든 $f\; \backslash in\; W^\{1,\; p\}\; (\backslash Omega)$에 대해 다음이 성립한다.

:$$
\Big(1 - \frac{1}{p}\Big)^p\int_{\Omega} \frac{\vert f (x)\vert^p}{\operatorname{dist} (x, \partial \Omega)^p}\,dx
\le \int_{\Omega}\vert \nabla f \vert^p,


이 상수는 개선될 수 없다.

5. 분수 형태

만약 1^영어 ≤ p < ∞이고 0 < λ < ∞이며, λ ≠ 1일 때, C라는 상수가 존재하여 을 만족하는 모든 f : (0, ∞) → ℝ에 대해 다음이 성립한다.

:

\int_0^\infty \frac{\vert f (x)\vert^p}{x^{\lambda}} \,dx
≤ C \int_0^\infty \int_0^\infty \frac{\vert f (x) - f (y)\vert^p}{\vert x - y\vert^{1+\lambda}} \,dx \, dy.