수렴 수열 공간

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1. 개요

수렴 수열 공간은 실수체 또는 복소수체 K에 대해, 수렴하는 K-수열들의 집합으로 정의되는 벡터 공간이다. 이 공간은 노름을 부여하여 바나흐 공간을 이루며, 이를 c(K)로 표기한다. 0으로 수렴하는 수열들로 구성된 부분 공간 c₀(K)는 c(K)의 닫힌 부분 공간으로, 역시 바나흐 공간을 이루며 영 수렴 수열 공간이라고 한다. c(K)와 c₀(K)는 위상 벡터 공간으로 동형이지만, 바나흐 공간으로는 동형이 아니며, 분해 가능 바나흐 공간이며, 연속 쌍대 공간은 르베그 공간 ℓ¹(K)과 동형이다. 또한, ℓ¹(K)에서 ℓ⁰(K)까지의 다양한 포함 관계가 성립하며, c₀(K)는 무조건 샤우데르 기저를 갖는다.

수렴 수열 공간

정의

정의	유계 수열 공간은 수열 공간의 한 유형이다.
영어	Space of bounded sequences
설명	유계 수열 공간은 모든 유계 수열의 집합이며, 수열 공간의 특별한 경우이다. 이는 수학적 분석에서 중요한 역할을 하며, 특히 함수 해석학에서 중요하게 다뤄진다.

표기법

표기	ℓ^∞

속성

노름 공간	ℓ^∞ 공간은 노름 \|\|x\|\|_∞ = sup_n \|x_n\|에 의해 바나흐 공간을 형성한다.
부분 공간	ℓ^∞는 수렴 수열 공간 c와 영 수열 공간 c₀을 부분 공간으로 포함한다. 즉, c₀ ⊆ c ⊆ ℓ^∞이다.
분리 가능성	ℓ^∞는 분리 가능 공간이 아니다. 반면, c와 c₀은 분리 가능하다.
쌍대 공간	c의 쌍대 공간은 ℓ¹이고, c₀의 쌍대 공간도 ℓ¹이다. 즉, c* = ℓ¹이고, c₀* = ℓ¹이다.
표현	c에서 스칼라 필드 F로의 유계 선형 함수 ω는 ℓ¹의 수열 (x₀,x₁,...)과 수렴하는 수열 (y₁,y₂,...) ∈ c를 사용하여 ω(y) = x₀lim y_i + Σ x_iy_i로 표현할 수 있다.
주의사항	위 식에서 수열 (x_i) ∈ ℓ¹이고 (y_i) ∈ c₀인 경우 ω(y) = Σ x_iy_i로 표현된다.

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 수렴 수열 공간
- 2.2. 영 수렴 수열 공간
3. 성질

2. 정의

$\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$ 가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

수렴하는 $\mathbb K$ -수열 (=코시 열)의 집합
: $\operatorname c(\mathbb K)=\{a\in\mathbb K^{\mathbb N}\colon\exists\lim_{i\to\infty}a_i\}$
은 자연스럽게 $\mathbb K$ -벡터 공간을 이룬다. 그 위에 다음과 같은 노름을 부여하자.
: $\|a\|_\infty=\sup_{i\in\mathbb N}|a_i|$
그렇다면 이는 $\mathbb K$ -바나흐 공간을 이룬다. 이를 수렴 수열 공간 $\operatorname c(\mathbb K)$ 라고 한다.

0으로 수렴하는 수열들로 구성된 부분 공간
: $\operatorname c_0(\mathbb K)=\{a\in\operatorname c(\mathbb K)\colon\lim_{i\to\infty}a_i=0\}$
은 $\operatorname c(\mathbb K)$ 의 닫힌 부분 벡터 공간이므로, 마찬가지로 $\mathbb K$ -바나흐 공간을 이룬다. 이를 영 수렴 수열 공간(零收斂數列空間, space of sequences converging to zero^영어) $\operatorname c_0(\mathbb K)$ 이라고 한다.

2.1. 수렴 수열 공간

$\mathbb{K}$ 가 실수체( $\mathbb{R}$ ) 또는 복소수체( $\mathbb{C}$ )일 때, 수렴하는 $\mathbb{K}$ -수열(코시 열)의 집합 $\operatorname{c}(\mathbb{K}) = \{a \in \mathbb{K}^{\mathbb{N}} : \exists \lim_{i \to \infty} a_i \}$ 는 자연스럽게 $\mathbb{K}$ -벡터 공간을 이룬다. 이 공간에 노름 $\|a\|_\infty = \sup_{i \in \mathbb{N}} |a_i|$ 을 부여하면, $\mathbb{K}$ -바나흐 공간이 되며, 이를 수렴 수열 공간 $\operatorname{c}(\mathbb{K})$ 라고 한다.

2.2. 영 수렴 수열 공간

$\mathbb{K}$ 가 실수체 또는 복소수체라고 할 때, 0으로 수렴하는 수열들로 구성된 부분 공간 $\operatorname{c}_0(\mathbb{K}) = \{a \in \operatorname{c}(\mathbb{K}) : \lim_{i \to \infty} a_i = 0 \}$ 은 $\operatorname{c}(\mathbb{K})$ 의 닫힌 부분 벡터 공간이다. 따라서 $\operatorname{c}_0(\mathbb{K})$ 역시 $\mathbb{K}$ -바나흐 공간을 이루며, 이를 영 수렴 수열 공간(零收斂數列空間, space of sequences converging to zero^영어)이라고 한다.

3. 성질

$\operatorname{c}(\mathbb{K})$ 와 $\operatorname{c}_0(\mathbb{K})$ 는 $\mathbb{K}$ -위상 벡터 공간으로서 서로 동형이지만, 바나흐 공간으로서는 서로 동형이 아니다. 즉, 둘 사이에는 전단사 연속 선형 변환은 존재하지만, 전단사 등거리 선형 변환은 존재하지 않는다.

전단사 연속 선형 변환은 다음과 같다.
: $\operatorname c(\mathbb K)\to\operatorname c_0(\mathbb K)$
: $(a_0,a_1,a_2,\ldots)\mapsto (\lim_ia_i,a_0-\lim_ia_i,a_1-\lim_ia_i,\ldots)$

$\operatorname{c}(\mathbb{K})$ 와 $\operatorname{c}_0(\mathbb{K})$ 는 분해 가능 $\mathbb{K}$ -바나흐 공간이다. $\operatorname{c}(\mathbb{K})$ 의 가산 조밀 집합은 다음과 같다.

: $f=\{a\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}}\colon \exists N\in\mathbb{N}\colon\forall i\ge N\colon a_i=a\}\cap\begin{cases}\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}&\mathbb{K}=\mathbb{R}\\(\mathbb{Q}+\mathrm{i}\mathbb{Q})^{\mathbb{N}}&\mathbb{K}=\mathbb{C}\end{cases}$

$\operatorname{c}_0(\mathbb{K})$ 는 분해 가능 거리 공간의 부분 집합이므로 분해 가능 공간이며, $f \cap \operatorname{c}_0(\mathbb{K})$ 는 $\operatorname{c}_0(\mathbb{K})$ 의 가산 조밀 집합이다.

$\operatorname{c}(\mathbb{K})$ 와 $\operatorname{c}_0(\mathbb{K})$ 의 연속 쌍대 공간은 모두 르베그 공간 $\ell^1(\mathbb{K})$ 과 동형이다.

$\operatorname{c}(\mathbb{K})$ 의 경우, 이는 다음과 같다.
: $\operatorname{c}(\mathbb{K})\times\ell^1(\mathbb{K})\to\mathbb{K}$
: $(x,y)\mapsto y_0\left(\lim_{i\to\infty}x_i\right)+\sum_{i=1}^\infty x_iy_i$

$\ell^1(\mathbb{K})$ 의 쌍대 공간은 르베그 공간 $\ell^\infty(\mathbb{K})$ 이므로, $\operatorname{c}(\mathbb{K})$ 와 $\operatorname{c}_0(\mathbb{K})$ 는 반사 바나흐 공간이 아니다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
: $\ell^1(\mathbb K)\subsetneq\ell^2(\mathbb K)\subsetneq\ell^3(\mathbb K)\subsetneq\cdots\subseteq\operatorname c_0(\mathbb K)\subsetneq\operatorname c(\mathbb K)\subsetneq\ell^\infty(\mathbb K)\subsetneq\ell^0(\mathbb K)=\mathbb K^{\mathbb N}$
여기서 $\ell^p$ 는 르베그 공간이며, $0<p<\infty$ 이다. $0<p<q<\infty$ 라면 $\ell^p(\mathbb K)\supsetneq\ell^q(\mathbb K)$ 가 성립한다.

위 포함 관계들은 $\mathbb K$ -선형 변환이지만 일반적으로 등거리 변환이 아니다. 다만, $\operatorname c_0(\mathbb K)\subsetneq\operatorname c(\mathbb K)\subsetneq\ell^\infty(\mathbb K)$ 는 등거리 변환이다.

다음과 같은 수열들을 생각하자.

: $(e_i)_j=\delta_{ij}\qquad\forall i,j\in\mathbb N$

: $e_i=(\overbrace{0,0,0,\ldots,0}^i,1,0,0,\ldots)\qquad\forall i\in\mathbb N$

여기서 $\delta_{ij}$ 는 크로네커 델타이다.

$(e_i)_{i\in\mathbb N}$ 은 $\operatorname c_0(\mathbb K)$ 의 무조건 샤우데르 기저를 이룬다.

3.1. 동형 관계

3.2. 분해 가능성

$\operatorname{c}(\mathbb{K})$ 와 $\operatorname{c}_0(\mathbb{K})$ 는 분해 가능 $\mathbb{K}$ -바나흐 공간이다. $\operatorname{c}(\mathbb{K})$ 의 가산 조밀 집합은 다음과 같다.

: $f=\{a\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}}\colon \exists N\in\mathbb{N}\colon\forall i\ge N\colon a_i=a\}\cap\begin{cases}\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}&\mathbb{K}=\mathbb{R}\\(\mathbb{Q}+\mathrm{i}\mathbb{Q})^{\mathbb{N}}&\mathbb{K}=\mathbb{C}\end{cases}$

$\operatorname{c}_0(\mathbb{K})$ 는 분해 가능 거리 공간의 부분 집합이므로 분해 가능 공간이며, $f \cap \operatorname{c}_0(\mathbb{K})$ 는 $\operatorname{c}_0(\mathbb{K})$ 의 가산 조밀 집합이다.

3.3. 연속 쌍대 공간

$\operatorname{c}(\mathbb{K})$ 와 $\operatorname{c}_0(\mathbb{K})$ 의 연속 쌍대 공간은 모두 르베그 공간 $\ell^1(\mathbb{K})$ 과 동형이다.

$\operatorname{c}(\mathbb{K})$ 의 경우, 이는 다음과 같다.
: $\operatorname{c}(\mathbb{K})\times\ell^1(\mathbb{K})\to\mathbb{K}$
: $(x,y)\mapsto y_0\left(\lim_{i\to\infty}x_i\right)+\sum_{i=1}^\infty x_iy_i$

$\ell^1(\mathbb{K})$ 의 쌍대 공간은 르베그 공간 $\ell^\infty(\mathbb{K})$ 이므로, $\operatorname{c}(\mathbb{K})$ 와 $\operatorname{c}_0(\mathbb{K})$ 는 반사 바나흐 공간이 아니다.

3.4. 포함 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
: $\ell^1(\mathbb K)\subsetneq\ell^2(\mathbb K)\subsetneq\ell^3(\mathbb K)\subsetneq\cdots\subseteq\operatorname c_0(\mathbb K)\subsetneq\operatorname c(\mathbb K)\subsetneq\ell^\infty(\mathbb K)\subsetneq\ell^0(\mathbb K)=\mathbb K^{\mathbb N}$
여기서 $\ell^p$ 는 르베그 공간이며, $0<p<\infty$ 이다. $0<p<q<\infty$ 라면 $\ell^p(\mathbb K)\supsetneq\ell^q(\mathbb K)$ 가 성립한다.

위 포함 관계들은 $\mathbb K$ -선형 변환이지만 일반적으로 등거리 변환이 아니다. 다만, $\operatorname c_0(\mathbb K)\subsetneq\operatorname c(\mathbb K)\subsetneq\ell^\infty(\mathbb K)$ 는 등거리 변환이다.

3.5. 샤우데르 기저

다음과 같은 수열들을 생각하자.

: $(e_i)_j=\delta_{ij}\qquad\forall i,j\in\mathbb N$

: $e_i=(\overbrace{0,0,0,\ldots,0}^i,1,0,0,\ldots)\qquad\forall i\in\mathbb N$

여기서 $\delta_{ij}$ 는 크로네커 델타이다.

$(e_i)_{i\in\mathbb N}$ 은 $\operatorname c_0(\mathbb K)$ 의 무조건 샤우데르 기저를 이룬다.