맨위로가기

르베그 공간

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

르베그 공간은 측도 공간과 확장된 실수를 사용하여 정의되는 위상 벡터 공간으로, p 값에 따라 정의가 달라진다. 르베그 공간은 르베그 적분 가능한 가측 함수들의 공간으로 정의되며, p 제곱의 절댓값의 적분이 르베그 적분 가능한 함수들을 다룬다. 르베그 공간은 0 < p < ∞인 경우 p-노름이 유한한 가측 함수들의 동치류로 구성되며, p = ∞인 경우 본질적으로 유계인 가측 함수들의 동치류로 구성된다. 르베그 공간은 바나흐 공간이며, p=2인 경우 힐베르트 공간이 된다. 르베그 공간은 통계학, 푸리에 변환, 양자역학 등 다양한 분야에서 응용되며, 약한 L^p 공간, 가중 L^p 공간, 벡터 값 L^p 공간 등으로 확장될 수 있다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 바나흐 공간 - 하디의 부등식
    하디 부등식은 수열과 함수의 적분 형태에 대한 부등식으로, 횔더 부등식과 변수 치환, 민코프스키 부등식을 사용하여 증명되며, 다차원 공간 및 소볼레프 공간으로 확장된다.
  • 바나흐 공간 - 수렴 수열 공간
    수렴 수열 공간은 실수체 또는 복소수체에서 수렴하는 수열들의 집합에 상한 노름을 부여하여 정의되는 바나흐 공간이며, 0으로 수렴하는 수열들의 부분 공간인 영 수렴 수열 공간은 수렴 수열 공간의 닫힌 부분 공간이고, 이들의 연속 쌍대 공간은 르베그 공간 \ell^1과 동형이다.
  • 급수 - 테일러 급수
    테일러 급수는 매끄러운 함수를 무한 멱급수로 나타내는 방법으로, 함수의 미분 계수를 사용하여 함수를 근사하며, a=0일 때의 테일러 급수를 매클로린 급수라고 한다.
  • 급수 - 멱급수
    멱급수는 실수 또는 복소수 체에서 정의되며, 수렴 영역과 반지름을 가지며 미분, 적분, 사칙연산이 가능하고 해석 함수와 관련되어 상미분 방정식의 해를 구하는 데 활용된다.
  • 측도론 - 디랙 델타 함수
    디랙 델타 함수는 원점에서 무한대 값을 갖고 그 외 지점에서 0의 값을 갖는 수학적 개념으로, 분포 또는 측도로 정의되며, 순간적인 충격이나 점 형태 현상 모델링에 활용되고 푸리에 변환, 스케일링, 평행 이동 등의 성질을 가진다.
  • 측도론 - 바이어슈트라스 함수
    바이어슈트라스 함수는 특정 조건의 상수 a와 b를 사용하여 f(x)= \sum_{n=0}^\infin a^n\cos (b^n\pi x)와 같은 무한 급수 형태로 정의되며 모든 점에서 연속이지만 어느 곳에서도 미분 불가능한 자기 유사성을 지닌 최초로 연구된 프랙탈 중 하나이다.
르베그 공간
개요
분야함수해석학, 실해석학
정의가측 함수 공간
관련 항목르베그 적분, 함수 공간, 바나흐 공간, 힐베르트 공간
정의
기본 개념측도 공간 (측도 μ가 정의된 집합 X)
가측 함수 (X에서 복소수체로 가는 함수 f)
Lp 공간||f||p = (∫X |f|p dμ)1/p < ∞ 를 만족하는 가측 함수 f들의 집합
p = ∞ 인 경우||f||∞ = ess sup |f| (essential supremum)
놈||f||p 는 Lp 공간의 놈을 정의함
성질
완비성Lp 공간은 완비 공간 (바나흐 공간)임
힐베르트 공간p = 2일 때, L2 공간은 힐베르트 공간임 (내적은 ⟨f, g⟩ = ∫X f(x)g(x) dμ(x) 로 정의)
포함 관계일반적으로 Lp 공간들 사이에는 포함 관계가 성립하지 않음. 단, 유한 측도 공간에서는 p < q 이면 Lq ⊂ Lp 임
조밀성Lp 공간에서, 단순 함수들의 집합은 조밀함
응용
확률론확률 변수의 기댓값, 분산 등을 다루는 데 사용됨
푸리에 해석함수의 푸리에 변환, 역변환 등을 다루는 데 사용됨
편미분 방정식해의 존재성, 유일성 등을 증명하는 데 사용됨
참고 문헌

2. 정의

측도 공간 (X,\Sigma,\mu)와 0\le p\le\infty 인 확장된 실수가 주어졌을 때, 르베그 공간은 p-노름이 유한한 가측 함수들의 동치류로 구성된 벡터 공간이다.

0 및 가측 함수 f\colon X\to\mathbb K에 대하여 다음과 같은 기호를 정의한다.

:\|\cdot\|_p\colon \mathcal M(X;\mathbb K)\to[0,\infty]

:\|f\|_p=\begin{cases}\sqrt[p]{\int_X|f(x)|^p\mathrm d\mu}&p<\infty\\

\inf\left\{C\in\mathbb R\colon\mu(\{x\in X\colon|f(x)|>C\})=0\right\}&p=\infty\end{cases}

여기서 \mathcal M(X;Y)는 두 측도 공간 X,Y 사이의 가측 함수의 집합이며, \mathbb K는 보렐 시그마 대수를 갖춘 것으로 간주한다.

\mathcal L^p(X;\mathbb K)는 \mathbb K에 대한 벡터 공간을 이루며, 다음과 같이 정의된다.

:\mathcal L^p(X;\mathbb K)=\{f\in \mathcal M(X;\mathbb K)\colon \|f\|_p<\infty\}

\mathcal L^p(X;\mathbb K)에서 부분 공간

:(\|\cdot\|_p)^{-1}(0)=\{f\in \mathcal M(X;\mathbb K)|\|f\|_p=0\}\subseteq\mathcal L^p(X;\mathbb K)

으로 몫공간을 취한 것을 '''르베그 공간''' \operatorname L^p(X;\mathbb K)라고 한다.[15][16]

:\operatorname L^p(X;\mathbb K)=\frac{\mathcal L^p(X;\mathbb K)}{(\|\cdot\|_p)^{-1}(0)}

p\ge1이라면, \|\cdot\|_p는 \operatorname L^p(X;\mathbb K) 위의 완비 노름을 이루며, \operatorname L^p(X;\mathbb K)는 \mathbb K-바나흐 공간을 이룬다. 그러나 p<1이라면 이는 일반적으로 노름이 되지 못한다.

L^p 공간은 절댓값의 p제곱이 르베그 적분 가능한 가측 함수들의 공간으로 정의될 수 있으며, 거의 모든 곳에서 일치하는 함수들은 동일하게 취급된다.

1 \leq p < \infty 일 때, 가측 함수 f의 집합 \mathcal{L}^p(S,\, \mu)는 p제곱한 절댓값의 적분이 유한하다.

:\|f\|_p = \left(\int_S |f|^p\;\mathrm{d}\mu\right)^{1/p} < \infty.

p = \infty 인 경우, 거의 모든 곳에서 유계인 모든 가측 함수 f의 집합은 \mathcal{L}^\infty(S,\mu)이며, \|f\|_\infty는 이러한 경계의 하한으로 정의된다.

:\|f\|_\infty = \inf \{C \in \Reals_{\geq 0} : |f(s)| \leq C \text{ for almost every } s\}.

\mu(S) \neq 0인 경우, 이는 f의 절댓값의 본질적 상한과 같다.

:\|f\|_\infty = \begin{cases}\operatorname{ess}\sup|f| & \text{if } \mu(S) > 0,\\ 0 & \text{if } \mu(S) = 0.\end{cases}

f가 거의 모든 곳에서 0과 같은 가측 함수이면[5] 모든 p에 대해 \|f\|_p = 0이므로 모든 p에 대해 f \in \mathcal{L}^p(S,\, \mu)이다.

1 \leq p \leq \infty에 대해, 가측 함수 f와 그 절댓값 |f|의 \|\cdot\|_p 값은 항상 동일하며(\|f\|_p = \||f|\|_p), 가측 함수는 절댓값에 의해서만 \mathcal{L}^p(S,\, \mu)에 속한다. \|f\|_p^p = \||f|^p\|_1은 p-노름을 1-노름과 관련시킨다.

함수들의 각 집합 \mathcal{L}^p(S,\, \mu)는 덧셈과 스칼라 곱셈이 점별로 정의될 때 벡터 공간을 형성한다.[6]

민코프스키 부등식

:\|f + g\|_p \leq \|f\|_p + \|g\|_p

에 의해 \|\cdot\|_p는 1 \leq p \leq \infty에 대해 삼각 부등식을 만족시킨다는 것을 보여준다.

\mathcal{L}^p(S,\, \mu)가 스칼라 곱셈에 대해 닫혀 있다는 것은 \|\cdot\|_p가 절대 균질성을 가지기 때문이며, 이는 모든 스칼라 s와 모든 함수 f에 대해 \|s f\|_p = |s| \|f\|_p임을 의미한다. 절대 균질성, 삼각 부등식, 그리고 비음수는 반노름의 정의 속성이다. 따라서 \|\cdot\|_p는 반노름이고 p제곱 적분 가능 함수들의 집합 \mathcal{L}^p(S,\, \mu)는 함수 \|\cdot\|_p와 함께 반노름 벡터 공간을 정의한다.

f가 가측이고 거의 모든 곳에서 0이면, 모든 p \leq \infty에 대해 \|f\|_p = 0이다.

반대로, \|f\|_p = 0인 가측 함수 f가 있으면, f = 0 (거의 모든 곳에서) 성립한다.

p \leq \infty이고 f가 임의의 가측 함수이면, \|f\|_p = 0은 f = 0 (거의 모든 곳에서) 일 때와 같다.

:\mathcal{N} = \{f : f = 0 \ \mu\text{-거의 모든 곳에서} \} = \{f \in \mathcal{L}^p(S,\, \mu) : \|f\|_p = 0\} \qquad \forall \ p.

이 집합은 모든 p \leq \infty에 대해 \mathcal{L}^p(S,\, \mu)의 벡터 부분 공간이다.

반노름 \|\cdot\|_p는 \mathcal{L}^p(S,\, \mu)의 몫 벡터 공간에 노름을 유도한다.

:\mathcal{N} = \{f \in \mathcal{L}^p(S,\, \mu) : \|f\|_p = 0\}.

이 노름 몫 공간은 르베그 공간이라고 하며, L^p 공간의 주제이다.

임의의 f \in \mathcal{L}^p(S,\, \mu)에 대해, 잉여류 f + \mathcal{N} = \{f + h : h \in \mathcal{N}\}는 f와 거의 모든 곳에서 같은 모든 가측 함수 g로 구성된다.

:\mathcal{L}^p(S, \mu) / \mathcal{N} = \{f + \mathcal{N} : f \in \mathcal{L}^p(S, \mu)\},

:L^p(S,\, \mu) = \mathcal{L}^p(S, \mu) / \mathcal{N}.

f + \mathcal{N} = g + \mathcal{N}일 때, f = g (거의 모든 곳에서) 이다.

\|f + \mathcal{N}\|_p = \|f\|_p.

f + \mathcal{N} \mapsto \|f + \mathcal{N}\|_p는 L^p(S, \mu)에 대한 노름이며, p-노름이라고 한다.

노름 벡터 공간 (L^p(S, \mu), \|\cdot\|_p)를 L^p 공간 또는 르베그 공간이라고 하며, 1 \leq p \leq \infty인 경우에 바나흐 공간이다. 기본 측도 공간 S가 이해되면 L^p(S, \mu)는 L^p(\mu) 또는 L^p로 축약된다.

일반적으로 L^p에서 \mathcal{N}의 각 잉여류의 "표준" 대표를 정의하는 일관된 방법은 없다.

2. 1. $L^p$ 공간 (0 < p ≤ ∞)

측도 공간 (X,\Sigma,\mu)와 음이 아닌 확장된 실수 0\le p\le\infty가 주어졌다고 가정하고, \mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}가 보렐 시그마 대수를 갖춘 실수체 또는 복소수체라고 하자.

0 및 가측 함수 f\colon X\to\mathbb K에 대하여 다음과 같은 기호를 정의한다.

:\|\cdot\|_p\colon \mathcal M(X;\mathbb K)\to[0,\infty]

:\|f\|_p=\begin{cases}\sqrt[p]{\int_X|f(x)|^p\mathrm d\mu}&p<\infty\\

\inf\left\{C\in\mathbb R\colon\mu(\{x\in X\colon|f(x)|>C\})=0\right\}&p=\infty\end{cases}

여기서 \mathcal M(X;Y)는 두 측도 공간 X,Y 사이의 가측 함수의 집합이며, \mathbb K는 보렐 시그마 대수를 갖춘 것으로 간주한다.

\mathcal L^p(X;\mathbb K)는 \mathbb K에 대한 벡터 공간을 이루며, 다음과 같이 정의된다.

:\mathcal L^p(X;\mathbb K)=\{f\in \mathcal M(X;\mathbb K)\colon \|f\|_p<\infty\}

\mathcal L^p(X;\mathbb K)에서 부분 공간

:(\|\cdot\|_p)^{-1}(0)=\{f\in \mathcal M(X;\mathbb K)|\|f\|_p=0\}\subseteq\mathcal L^p(X;\mathbb K)

으로 몫공간을 취한 것을 '''르베그 공간''' \operatorname L^p(X;\mathbb K)라고 한다.[15][16]

:\operatorname L^p(X;\mathbb K)=\frac{\mathcal L^p(X;\mathbb K)}{(\|\cdot\|_p)^{-1}(0)}

이 위에는 "열린 공"들을 기저로 하는 위상을 부여할 수 있다.

:\left\{\operatorname{ball}(f,r)\colon r\in\mathbb R^+,\;f\in\operatorname L^p(X;\mathbb K)\right\}

:\operatorname{ball}(f,r)=\left\{g\in\operatorname L^p(X;\mathbb K)\colon \|f-g\|_p

p\ge1이라면, \|\cdot\|_p는 \operatorname L^p(X;\mathbb K) 위의 완비 노름을 이루며, \operatorname L^p(X;\mathbb K)는 \mathbb K-바나흐 공간을 이룬다. 그러나 p<1이라면 이는 일반적으로 노름이 되지 못한다.

L^p 공간은 절댓값의 p제곱이 르베그 적분 가능한 가측 함수들의 공간으로 정의될 수 있으며, 거의 모든 곳에서 일치하는 함수들은 동일하게 취급된다. (S, \Sigma, \mu)를 측도 공간이라고 하고 1 \leq p \leq \infty라고 하자.[4]

p \neq \infty일 때, S에서 \Complex 또는 \Reals로의 모든 가측 함수 f의 집합 \mathcal{L}^p(S,\, \mu)를 고려하는데, 여기서 p제곱한 절댓값의 적분은 유한하다. 즉,

:\|f\|_p ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \left(\int_S |f|^p\;\mathrm{d}\mu\right)^{1/p} < \infty.이다.

p = \infty인 경우, S에서 정의된 두 함수 f와 g가 거의 모든 곳에서 같다는 것은 집합 \{s \in S : f(s) \neq g(s)\}가 가측이고 측도가 0임을 의미한다.

유사하게, 가측 함수 f (및 그 절댓값)가 실수 C에 의해 유계라는 것은 집합 \{s \in S : |f(s)| > C\}의 측도가 0임을 의미한다.

공간 \mathcal{L}^\infty(S,\mu)는 거의 모든 곳에서 유계인 모든 가측 함수 f의 집합이며, \|f\|_\infty는 이러한 경계의 하한으로 정의된다.

:\|f\|_\infty ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \inf \{C \in \Reals_{\geq 0} : |f(s)| \leq C \text{ for almost every } s\}.

\mu(S) \neq 0인 경우, 이는 f의 절댓값의 본질적 상한과 같다.

:\|f\|_\infty ~=~ \begin{cases}\operatorname{ess}\sup|f| & \text{if } \mu(S) > 0,\\ 0 & \text{if } \mu(S) = 0.\end{cases}

예를 들어, f가 거의 모든 곳에서 0과 같은 가측 함수이면[5] 모든 p에 대해 \|f\|_p = 0이므로 모든 p에 대해 f \in \mathcal{L}^p(S,\, \mu)이다.

모든 양수 p에 대해, 가측 함수 f와 그 절댓값 |f| : S \to [0, \infty]의 \|\,\cdot\,\|_p 아래 값은 항상 동일하며(\|f\|_p = \||f|\|_p), 가측 함수는 절댓값에 의해서만 \mathcal{L}^p(S,\, \mu)에 속한다. f \geq 0가 가측이고, r > 0이 실수이고, 0 < p \leq \infty일 때, \|f\|_p^r = \|f^r\|_{p/r}이 성립한다(여기서 p = \infty일 때 \infty / r \;\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}\; \infty). 비음수 조건 f \geq 0는 f 대신 |f|를 대입하여 제거할 수 있으며, \|\,|f|\,\|_p^r = \|\,|f|^r\,\|_{p/r}이 된다.

특히 p = r이 유한한 경우, 공식 \|f\|_p^p = \||f|^p\|_1은 p-노름을 1-노름과 관련시킨다.

함수들의 각 집합 \mathcal{L}^p(S,\, \mu)는 덧셈과 스칼라 곱셈이 점별로 정의될 때 벡터 공간을 형성한다.[6]

두 p제곱 적분 가능 함수 f와 g의 합이 다시 p제곱 적분 가능하다는 것은 민코프스키 부등식

:\|f + g\|_p \leq \|f\|_p + \|g\|_p

에 의해 나타난다. 이는 \|\cdot\|_p가 1 \leq p \leq \infty에 대해 삼각 부등식을 만족시킨다는 것을 보여준다.

\mathcal{L}^p(S,\, \mu)가 스칼라 곱셈에 대해 닫혀 있다는 것은 \|\cdot\|_p가 절대 균질성을 가지기 때문이며, 이는 모든 스칼라 s와 모든 함수 f에 대해 \|s f\|_p = |s| \|f\|_p임을 의미한다.

절대 균질성, 삼각 부등식, 그리고 비음수는 반노름의 정의 속성이다.

따라서 \|\cdot\|_p는 반노름이고 p제곱 적분 가능 함수들의 집합 \mathcal{L}^p(S,\, \mu)는 함수 \|\cdot\|_p와 함께 반노름 벡터 공간을 정의한다. 일반적으로 반노름 \|\cdot\|_p는 노름이 아닌데, \|f\|_p = 0을 만족하지만 항등적으로 0이 아닌 가측 함수 f가 존재할 수 있기 때문이다.[5]

f가 가측이고 거의 모든 곳에서 0이면, 모든 양수 p \leq \infty에 대해 \|f\|_p = 0이다.

반면에, 0 < p \leq \infty가 존재하여 \|f\|_p = 0인 가측 함수 f가 있으면, f = 0 (거의 모든 곳에서) 성립한다. p가 유한하면, 이는 p = 1 경우와 위에 언급된 공식 \|f\|_p^p = \||f|^p\|_1으로부터 따른다.

따라서 p \leq \infty가 양수이고 f가 임의의 가측 함수이면, \|f\|_p = 0은 f = 0 (거의 모든 곳에서) 일 때와 같다. 우변(f = 0 a.e.)은 p를 언급하지 않으므로, 모든 \|\cdot\|_p는 동일한 영 집합을 가진다. 따라서 이 공통 집합을 다음과 같이 나타낸다.

:\mathcal{N} \;\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}\; \{f : f = 0 \ \mu\text{-거의 모든 곳에서} \} = \{f \in \mathcal{L}^p(S,\, \mu) : \|f\|_p = 0\} \qquad \forall \ p.

이 집합은 모든 양수 p \leq \infty에 대해 \mathcal{L}^p(S,\, \mu)의 벡터 부분 공간이다.

모든 반노름과 마찬가지로 반노름 \|\cdot\|_p는 그 벡터 부분 공간에 의한 \mathcal{L}^p(S,\, \mu)의 정규 몫 벡터 공간에 노름을 유도한다.

:\mathcal{N} = \{f \in \mathcal{L}^p(S,\, \mu) : \|f\|_p = 0\}.

이 노름 몫 공간은 르베그 공간이라고 하며, 이 글에서 다루는 주제이다. 몫 벡터 공간을 먼저 정의한다.

임의의 f \in \mathcal{L}^p(S,\, \mu)에 대해, 잉여류 f + \mathcal{N} \;\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}\; \{f + h : h \in \mathcal{N}\}는 f와 거의 모든 곳에서 같은 모든 가측 함수 g로 구성된다.

모든 잉여류의 집합은 일반적으로

:\mathcal{L}^p(S, \mu) / \mathcal{N} ~~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~~ \{f + \mathcal{N} : f \in \mathcal{L}^p(S, \mu)\},

로 표기하며, 덧셈과 스칼라 곱셈이 (f + \mathcal{N}) + (g + \mathcal{N}) \;\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}\; (f + g) + \mathcal{N} 및 s (f + \mathcal{N}) \;\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}\; (s f) + \mathcal{N}로 정의될 때, 원점 0 + \mathcal{N} = \mathcal{N}을 갖는 벡터 공간을 형성한다.

이 특정 몫 벡터 공간은 다음과 같이 표기된다.

:L^p(S,\, \mu) ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \mathcal{L}^p(S, \mu) / \mathcal{N}.

두 잉여류는 f + \mathcal{N} = g + \mathcal{N}일 때, g \in f + \mathcal{N}(또는 동등하게, f - g \in \mathcal{N})일 때 같다. 이는 f = g (거의 모든 곳에서) 성립할 때 발생한다. 이 경우 f와 g는 몫 공간에서 동일하게 취급된다. 따라서 엄밀히 말하면 L^p(S,\, \mu) 는 함수의 동치류로 구성된다.[8]

임의의 f \in \mathcal{L}^p(S,\, \mu)에 대해, 잉여류 f + \mathcal{N} = \{f + h : h \in \mathcal{N}\}에 대한 반노름 \|\cdot\|_p의 값은 상수이고 \|f\|_p와 같다. 즉,

:\|f + \mathcal{N}\|_p \;\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}\; \|f\|_p.

사상 f + \mathcal{N} \mapsto \|f + \mathcal{N}\|_p는 L^p(S, \mu)에 대한 노름이며, p-노름이라고 한다.

잉여류 f + \mathcal{N}의 값 \|f + \mathcal{N}\|_p는 잉여류를 나타내기 위해 선택된 특정 함수 f에 독립적이며, 이는 \mathcal{C} \in L^p(S, \mu)가 임의의 잉여류이면, 모든 f \in \mathcal{C}에 대해 \|\mathcal{C}\|_p = \|f\|_p임을 의미한다.

노름 벡터 공간 \left(L^p(S, \mu), \|\cdot\|_p\right)를 L^p 공간 또는 르베그 공간이라고 하며, 1 \leq p \leq \infty인 모든 경우에 바나흐 공간이다.

기본 측도 공간 S가 이해되면 L^p(S, \mu)는 종종 L^p(\mu) 또는 심지어 L^p로 축약된다.

\mathcal{L}^p(S,\, \mu)의 반노름 \|\cdot\|_p가 노름인 경우 노름 공간 \left(\mathcal{L}^p(S,\, \mu), \|\cdot\|_p\right)는 노름 몫 공간 \left(L^p(S, \mu), \|\cdot\|_p\right)에 선형 등거리 동형이 될 것이다.

일반적으로, 이 과정을 되돌릴 수는 없다. L^p에서 \mathcal{N}의 각 잉여류의 "표준" 대표를 정의하는 일관된 방법은 없다. 그러나 L^\infty의 경우, 이러한 복구를 가능하게 하는 리프트 이론이 존재한다.

1 \leq p \leq \infty에 대해, \ell^p 공간은 L^p 공간의 특수한 경우이며, 이때 S는 자연수 \mathbb{N}이고 \mu는 계수 측도이다. 더 일반적으로, 계수 측도를 갖는 임의의 집합 S를 고려하면, 결과적인 L^p 공간은 \ell^p(S)로 표기된다. 예를 들어, \ell^p(\mathbb{Z})는 정수로 인덱싱된 모든 수열의 공간이며, 이러한 공간에서 p-노름을 정의할 때 모든 정수에 대해 합산한다. \ell^p(n) 공간, 여기서 n은 n개의 원소를 가진 집합이며, 위에서 정의한 p-노름을 가진 \Reals^n이다.

\ell^2 공간과 유사하게, L^2는 L^p 공간 중 유일한 힐베르트 공간이다. 복소수 공간의 경우, L^2 위의 내적은 다음과 같이 정의된다.

:\langle f, g \rangle = \int_S f(x) \overline{g(x)} \, \mathrm{d}\mu(x).

L^2에 속하는 함수는 때때로 '''제곱 적분 가능 함수'''라고 불린다.

모든 힐베르트 공간과 마찬가지로, 모든 공간 L^2는 적절한 \ell^2(I)에 선형 등거리 사상을 가지며, 여기서 집합 I의 기수는 이 특정 L^2에 대한 임의의 기저의 기수이다.

복소수 값을 갖는 함수를 사용하면, 공간 L^\infty는 점별 곱셈과 켤레 복소수를 갖는 가환 C*-대수이다. 모든 시그마 유한 공간을 포함한 많은 측도 공간의 경우, 실제로 가환 폰 노이만 대수이다. L^\infty의 원소는 곱셈 연산자에 의해 임의의 L^p 공간에 대한 유계 작용소를 정의한다.

만약 0 < p < 1이면, L^p(\mu)는 다음과 같이 정의될 수 있다.

:N_p(f) = \int_S |f|^p\, d\mu < \infty.

그러나 이 경우, p-노름 \|f\|_p = N_p(f)^{1/p}는 삼각 부등식을 만족하지 않고, 단지 준노름만을 정의한다. a, b \geq 0에 대해 유효한 부등식 (a + b)^p \leq a^p + b^p,는 다음을 의미한다.

:N_p(f + g) \leq N_p(f) + N_p(g)

따라서 함수

:d_p(f ,g) = N_p(f - g) = \|f - g\|_p^p

는 L^p(\mu)상의 거리이다. 결과적인 거리 공간은 완비이다.

이 설정에서 L^p는 '역 민코프스키 부등식'을 만족하는데, 즉 u, v \in L^p에 대해

:\Big\||u| + |v|\Big\|_p \geq \|u\|_p + \|v\|_p

이다.

0 < p < 1인 공간 L^p는 F-공간이다. 즉, 벡터 공간 연산이 연속적인 완비 병진 불변 거리를 허용한다. 이는 대부분의 합리적인 측도 공간에서 국소 볼록이 아닌 F-공간의 전형적인 예이다. \ell^p 또는 L^p([0, 1])에서 0 함수를 포함하는 모든 열린 볼록 집합은 p-준노름에 대해 무계이므로, 0 벡터는 볼록 근방의 기본 시스템을 갖지 않는다. 구체적으로, 이는 측도 공간 S가 유한한 양의 측도를 갖는 무한한 가분적인 가측 집합족을 포함하는 경우에 해당한다.

L^p([0, 1])에서 유일한 비어있는 볼록 열린 집합은 전체 공간이다. 결과적으로, L^p([0, 1])에는 비영 연속 선형 범함수가 없으며, 연속 쌍대 공간은 영 공간이다. 자연수 상의 계수 측도의 경우, \ell^p상의 유계 선형 범함수는 정확히 \ell^1상에서 유계인 것들, 즉 \ell^\infty의 수열에 의해 주어진 것들이다. 비록 \ell^p가 비자명한 볼록 열린 집합을 포함하지만, 위상에 대한 기저를 제공할 만큼 충분히 많지 않다.

분석을 수행하는 데 선형 범함수가 없다는 것은 매우 바람직하지 않다. \Reals^n에서의 르베그 측도의 경우, 0 < p < 1에 대해 L^p를 사용하는 대신, 가능하다면 하디 공간을 사용하는 것이 일반적이며, 이는 꽤 많은 선형 범함수를 가지므로, 서로 다른 점을 구별하기에 충분하다. 그러나, 한-바나흐 정리는 여전히 p < 1일 때 실패한다.

2. 2. $L^0$ 공간

L0영어 공간은 측도 수렴 위상을 갖는 가측 함수들의 동치류 공간이다. 이 공간은 유사 거리 함수의 족

:\{d_S\}_{S\in\Sigma,\;\mu(S)<\infty}

:d_S(f,g)=\int_S\min\

2. 3. $\ell^p$ 공간

ℓ^p영어 공간은 셈측도를 갖춘 자연수의 이산 공간 \mathbb N 위의 르베그 공간 \mathcal L^p(\mathbb N;\mathbb K)=\mathrm L^p(\mathbb N;\mathbb K)=\ell^p(\mathbb K)이다. 이 경우, 함수 f\in \mathcal M(\mathbb N;\mathbb K)는 \mathbb K값을 갖는 수열이 되며, \|\cdot\|_p은 다음과 같다.

:\|f\|_p=\begin{cases}\sqrt[p]{\sum_{i=0}^\infty |f_i|^p}&0
\sup_{i\in\mathbb N}|f_i|&p=\infty\end{cases}

p-노름은 무한 개의 성분을 갖는 벡터(수열)로 확장될 수 있으며, 이는 공간 \ell^p를 생성한다. 여기에는 다음이 특수한 경우로 포함된다.

수열의 공간은 스칼라 덧셈과 곱셈을 적용하여 자연스러운 벡터 공간 구조를 갖는다. 실수(또는 복소수)의 무한 수열에 대한 벡터 합과 스칼라 작용은 다음과 같다.

:\begin{align}

& (x_1, x_2, \ldots, x_n, x_{n+1},\ldots)+(y_1, y_2, \ldots, y_n, y_{n+1},\ldots) \\

= {} & (x_1+y_1, x_2+y_2, \ldots, x_n+y_n, x_{n+1}+y_{n+1},\ldots), \\[6pt]

& \lambda \cdot \left (x_1, x_2, \ldots, x_n, x_{n+1},\ldots \right) \\

= {} & (\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n, \lambda x_{n+1},\ldots).

\end{align}

p-노름은 다음과 같이 정의된다.

:\|x\|_p = \left(|x_1|^p + |x_2|^p + \cdots +|x_n|^p + |x_{n+1}|^p + \cdots\right)^{1/p}

여기서 문제는 오른쪽에 있는 급수가 항상 수렴하는 것은 아니라는 것이다. 예를 들어, 1로만 이루어진 수열 (1, 1, 1, \ldots)은 1 \leq p < \infty에 대해 무한 p-노름을 갖는다. 공간 \ell^p는 p-노름이 유한한 실수(또는 복소수)의 모든 무한 수열의 집합으로 정의된다.

p가 증가함에 따라 집합 \ell^p가 커진다. 예를 들어, 수열

:\left(1, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}, \ldots\right)

은 \ell^1에 속하지 않지만 p > 1에 대해 \ell^p에 속한다. 조화 급수는 p = 1일 때 발산하지만, p > 1일 때는 수렴하기 때문이다.

상한을 사용하여 \infty-노름을 정의한다.

:\|x\|_\infty = \sup(|x_1|, |x_2|, \dotsc, |x_n|,|x_{n+1}|, \ldots)

및 해당 공간 \ell^\infty는 모든 유계 수열의 공간이다.[1]

:\|x\|_\infty = \lim_{p \to \infty} \|x\|_p

우변이 유한하거나 좌변이 무한인 경우 위 식이 성립한다. 따라서 1 \leq p \leq \infty에 대해 \ell^p 공간을 고려한다.

\ell^p에서 정의된 p-노름은 노름이며, 이 노름과 함께 \ell^p는 바나흐 공간이 된다.

3. 성질

지표 집합 I에 대한 공간 \ell^p(I)(1 \leq p < \infty)는 다음과 같이 정의된다.

\ell^p(I) = \left\{(x_i)_{i\in I} \in \mathbb{K}^I : \sum_{i \in I} |x_i|^p < +\infty\right\},

여기서 우변의 수렴은 유한 개의 가산 합만 0이 아님을 의미한다. 노름

\|x\|_p = \left(\sum_{i\in I} |x_i|^p\right)^{1/p}

을 사용하여 공간 \ell^p(I)는 바나흐 공간이 된다.

I가 n개의 원소를 갖는 유한 집합인 경우, 위에서 정의한 p-노름을 갖는 \Reals^n이 생성된다. I가 가산 무한 집합인 경우, 수열 공간 \ell^p와 정확히 일치한다. 비가산 집합 I의 경우, 이는 \ell^p-수열 공간의 국소 볼록 직접 극한으로 볼 수 있는 비분리 가능 바나흐 공간이다.[2]

p = 2인 경우, \|\,\cdot\,\|_2-노름은 유클리드 내적이라 불리는 정규 내적 \langle \,\cdot,\,\cdot\rangle에 의해 유도된다. 모든 벡터 \mathbf{x}에 대해 \|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{\langle\mathbf{x}, \mathbf{x}\rangle}가 성립하며, 이 내적은 분극 항등식을 사용하여 노름으로 표현할 수 있다. \ell^2에서 내적은 다음과 같이 정의할 수 있다.

\langle \left(x_i\right)_{i}, \left(y_n\right)_{i} \rangle_{\ell^2} ~=~ \sum_i x_i \overline{y_i}.

p = \infty인 경우, \ell^\infty(I)는 다음과 같이 정의한다.

\ell^\infty(I)=\{x\in \mathbb K^I : \sup\operatorname{range}|x|<+\infty\},

여기서 모든 x에 대해[3]

\|x\|_\infty\equiv\inf\{C \in \Reals_{\geq 0}:|x_i| \leq C\text{ for all } i \in I\} = \begin{cases}\sup\operatorname{range}|x|&\text{if } X\neq\varnothing,\\0&\text{if } X=\varnothing.\end{cases}

지표 집합 I는 이산 σ-대수와 계수 측도를 부여함으로써 측도 공간으로 바꿀 수 있다. 그러면 공간 \ell^p(I)는 L^p-공간의 특별한 경우가 된다.

1 < p < \infty 에 대해, L^p(\mu)는 반사 공간이다. L^p(\mu)를 이중 쌍대 공간으로 매핑하는 정규 임베딩 J와 일치하며, 두 개의 위에 정의된 등거리 사상의 합성으로 인해 전사 함수가 되어 반사성을 증명한다.

만약 S에 대한 측도 \mu가 시그마-유한이라면, L^1(\mu)의 쌍대 공간은 L^\infty(\mu)와 등거리 동형이다. L^\infty(\mu)의 쌍대 공간은 \mu에 대해 절대 연속이며 S에 정의된 유계 부호 ''유한'' 가산 측도로 식별할 수 있다. 자세한 내용은 ba 공간을 참조. 선택 공리를 가정하면 이 공간은 몇 가지 자명한 경우를 제외하고는 L^1(\mu)보다 훨씬 더 크다. 섀론 셸라는 체르멜로-프렝켈 집합론 (ZF + DC + "실수의 모든 부분 집합은 베어 성질을 갖는다")의 비교적 일관된 확장이 존재하며, 이 확장에서 \ell^\infty의 쌍대 공간은 \ell^1임을 증명했다.[9]

1 ≤ *p* < ∞일 때, (*S*, *Σ*, *μ*)를 측도 공간이라고 하자. 절댓값의 *p*승의 적분이 유계인, *S*에서 '''C''' (또는 '''R''')로의 가측 함수의 집합, 즉 \|f\|_p:=\Big(\int_S |f|^p\,d\mu\Big)^{1/p}<\infty인 가측 함수의 집합은 다음 작용에 의해 벡터 공간을 구성한다.

:(f+g)(x) := f(x)+g(x) \text{ and } (\lambda f)(x) := \lambda f(x)

( *λ*는 임의의 스칼라)

두 *p*승 적분 가능 함수의 합이 다시 *p*승 적분 가능하게 되는 것은 부등식 |*f* + *g*|*p* ≤ 2*p-1* (|*f*|*p* + |*g*|*p*)에 의해 따른다. *p*승 적분 가능 함수의 집합은 함수 \mathcal{L}^p(S,\mu)를 갖는 반노름 벡터 공간이다.

이 공간은 핵에 대한 몫공간을 생각하면 표준적인 방법으로 노름 벡터 공간으로 바꿀 수 있다. 임의의 가측 함수 *f*에 대하여 \|f\|_p = 0이 되기 위한 필요 충분 조건은 거의 모든 곳에서 f = 0인 것이므로, \|\cdot\|_p의 핵은 p에 의존하지 않는다. 즉,

:N \equiv \mathrm{ker}(\|\cdot\|_p) = \{f : f = 0 \ \mu\text{-almost everywhere} \}

이다.

그러한 몫 공간에서는, 두 함수 *f*와 *g*에 대하여 거의 모든 곳에서 *f* = *g*가 성립한다면, 그것들은 동일한 것으로 간주된다. 따라서, 얻어지는 노름 벡터 공간은

:L^p(S, \mu) \equiv \mathcal{L}^p(S, \mu) / N

이다.


  • p* = ∞인 경우, 공간 *L*∞(*S*, *μ*)는 측도 0의 집합을 제외하고 유계인, *S*에서 '''C''' (또는 '''R''')로의 가측 함수 집합으로 정의된다. *L*∞(*S*, *μ*)에 포함된 *f*에 대하여, 그 본질적 상한이 적절한 노름을 제공한다.

:\|f\|_\infty \equiv \inf \{ C\ge 0 : |f(x)| \le C \mbox{ for almost every } x\}.

어떤 *q* < ∞에 대하여 *f* ∈ *L*∞(*S*, *μ*) ∩ *L**q*(*S*, *μ*)이면,

:\|f\|_\infty=\lim_{p\to\infty}\|f\|_p

이 성립한다.

1 ≤ *p* ≤ ∞인 경우, *L**p*(*S*, *μ*)는 바나흐 공간이다. *L**p*가 완비라는 것은 종종 리제-피셔 정리로 언급되며, 완비성은 르베그 적분에 대한 수렴 정리를 사용하여 확인할 수 있다. 측도 공간 *S*를 특별히 주의할 필요가 없는 경우, *L**p*(*S*, *μ*)는 *L**p*(*μ*) 또는 *L**p*로 약칭된다.

3. 1. 민코프스키 부등식

Minkowski영어 부등식에 따르면, 1 \le p \le \infty일 때 르베그 공간 \operatorname L^p(X; \mathbb K)에서 다음의 삼각 부등식이 성립한다.[15][16]

:\|f+g\|_p\le \|f\|_p+\|g\|_p\qquad(f,g\in\operatorname L^p(X;\mathbb K))

이는 \|\cdot\|_p가 \operatorname L^p(X; \mathbb K) 위의 노름이 됨을 의미하며, \operatorname L^p(X; \mathbb K)는 \mathbb K-바나흐 공간이 된다.

3. 2. 바나흐·힐베르트 공간

리스-피셔 정리(Riesz–Fischer theorem)에 따르면, 1\le p\le\infty 일 때 \operatorname L^p(X;\mathbb K)는 \mathbb K-바나흐 공간이다.[2] p=2인 경우 \operatorname L^p(X;\mathbb K)는 \mathbb K-힐베르트 공간이다. 모든 힐베르트 공간은 적절한 \ell^2(I)에 선형 등거리 사상을 가지는데, 여기서 집합 I의 기수는 이 특정 L^2에 대한 임의의 기저의 기수이다.

복소수 공간의 경우, L^2 위의 내적은 다음과 같이 정의된다.[3]

: \langle f, g \rangle = \int_S f(x) \overline{g(x)} \, \mathrm{d}\mu(x)

L^2에 속하는 함수는 때때로 '''제곱 적분 가능 함수''', '''2제곱 적분 가능 함수''' 또는 '''제곱 가합 함수'''라고 불린다.

3. 3. 연속 쌍대 공간

임의의 측도 공간 (X,\Sigma,\mu)와 \mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\} 및 1에 대하여, \operatorname L^p(X;\mathbb K)의 연속 쌍대 공간은 다음과 같다.[9]

:(\operatorname L^p(X;\mathbb K))'=\operatorname L^q(X;\mathbb K)\qquad(1/p+1/q=1)

구체적으로, 이 동형 사상은 다음과 같다.

:\operatorname L^p(X;\mathbb K)\times \operatorname L^q(X;\mathbb K)\to\mathbb K

:([f],[g])\mapsto\int_Xf(x)g(x)\mathrm d\mu(x)

1 < p < \infty일 때, L^p(\mu)의 쌍대 공간은 L^q(\mu)와 자연스러운 동형 관계를 가지며, 여기서 q는 \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1을 만족한다. 이 동형 사상은 g \in L^q(\mu)를 모든 f \in L^p(\mu)에 대해

:f \mapsto \kappa_p(g)(f) = \int f g \, \mathrm{d}\mu

로 정의되는 함수 \kappa_p(g) \in L^p(\mu)^*와 연결한다.

\kappa_p : L^q(\mu) \to L^p(\mu)^*는 횔더 부등식의 극단적인 경우에 의해 정의된 연속적인 선형 사상이며, 등거리 사상이다. 만약 (S,\Sigma,\mu)가 \sigma-유한 측도 공간이라면, 라돈-니코딤 정리를 사용하여 모든 G \in L^p(\mu)^*가 이러한 방식으로 표현될 수 있음을 보일 수 있다. 즉, \kappa_p는 바나흐 공간의 등거리 동형 사상이다.[14] 따라서, 일반적으로 L^q(\mu)가 L^p(\mu)의 연속 쌍대 공간이라고 말한다.

만약 S에 대한 측도 \mu가 시그마-유한이라면, L^1(\mu)의 쌍대 공간은 L^\infty(\mu)와 등거리 동형이다 (더 정확하게는, p = 1에 해당하는 사상 \kappa_1은 L^\infty(\mu)에서 L^1(\mu)^*로의 등거리 사상이다).

3. 4. 포함 관계

임의의 두 확장된 실수 0와 측도 공간 (X,\Sigma,\mu)에 대해, 다음과 같은 두 조건을 고려한다.[18]

  • ㈎ \sup\{\mu(S)\colon S\in\Sigma,\;\mu(S)\ne\infty\}<\infty
  • ㈏ \inf\{\mu(S)\colon S\in\Sigma,\;\mu(S)\ne0\}>0


이 조건들에 따라 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

  • ㈎ \iff\operatorname L^p(X;\mathbb K)\subseteq \operatorname L^q(X;\mathbb K)
  • ㈏ \iff\operatorname L^p(X;\mathbb K)\supseteq \operatorname L^q(X;\mathbb K)
  • ㈎와 ㈏가 동시에 성립 \iff\operatorname L^p(X;\mathbb K)=\operatorname L^q(X;\mathbb K)


대표적인 측도 공간에서 위 두 조건의 성립 여부는 아래 표와 같다.

측도 공간㈎㈏
유클리드 공간 \mathbb R^n 위의 르베그 측도 (n>0)❌❌
유한 집합 위의 셈측도⭕⭕
무한 집합 위의 셈측도❌⭕
유클리드 공간 속의, 양의 유한 측도의 르베그 가측 집합⭕❌



일반적으로 1 \leq p < q \leq \infty일 때, L^p(S, \mu)는 국소적으로 특이한 함수를 포함하는 반면, L^q(S, \mu)의 원소는 더 넓게 퍼져 있을 수 있다.[10] 예를 들어, 반직선 (0, \infty)에 대한 르베그 측도를 생각할 때, L^1의 연속 함수는 0 근처에서 발산할 수 있지만, 무한대로 충분히 빠르게 감소해야 한다. 반면, L^\infty의 연속 함수는 전혀 감소할 필요가 없지만 발산은 허용되지 않는다.

0 < p < q \leq \infty 라고 가정하면:

1. 집합 S가 유한하지만 임의로 큰 측도를 가진 집합을 포함하지 않는 경우 (예: 모든 유한 측도), L^q(S, \mu) \subseteq L^p(S, \mu)이다.

2. 집합 S가 0이 아니지만 임의로 작은 측도를 가진 집합을 포함하지 않는 경우 (예: 계수 측도), L^p(S, \mu) \subseteq L^q(S, \mu)이다.

두 조건 모두 실수선에 대한 르베그 측도에는 적용되지 않지만, 임의의 유한 집합에 대한 계수 측도에는 적용된다.

폐 그래프 정리의 결과로, 포함 관계는 연속적이다. 즉, 첫 번째 경우에서는 L^q에서 L^p로, 두 번째 경우에는 L^p에서 L^q로의 항등 연산자가 유계 선형 사상이다. 정의역 S가 유한 측도를 갖는 경우, 횔더 부등식을 사용하여 다음 계산을 할 수 있다.

:\ \|\mathbf{1}f^p\|_1 \leq \|\mathbf{1}\|_{q/(q-p)} \|f^p\|_{q/p}

이로 인해

:\ \|f\|_p \leq \mu(S)^{1/p - 1/q} \|f\|_q .

위 부등식에 나타나는 상수는 최적이며, 항등 연산자 I : L^q(S, \mu) \to L^p(S, \mu)의 연산자 노름은

:\|I\|_{q,p} = \mu(S)^{1/p - 1/q}

이고, 등호는 f = 1이 \mu-거의 모든 곳에서 정확하게 성립한다.

3. 5. 횔더 부등식

Hölderde 부등식은 르베그 공간에서 중요한 부등식 중 하나로, 주어진 조건 하에서 두 함수의 곱의 적분(또는 합)에 대한 상한을 제공한다.

$1 \leq p, q, r \leq \infty$ 이고 $\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = \tfrac{1}{r}$ 이면, $f \in L^p(S, \mu)$ 이고 $g \in L^q(S, \mu)$ 일 때, $f g \in L^r(S, \mu)$ 이며, 다음 부등식이 성립한다.[2]

:\|f g\|_r ~\leq~ \|f\|_p \, \|g\|_q.

이 부등식은 횔더 부등식이라고 불린다. 이 부등식은 어떤 의미에서는 최적이다. 왜냐하면 만약 $r = 1$이고 $f$가 다음을 만족하는 가측 함수이고, 여기서 상한은 $L^q(S, \mu)$의 닫힌 단위 구에서 취해진다면,

:\sup_{\|g\|_q \leq 1} \, \int_S |f g| \, \mathrm{d} \mu ~<~ \infty

$f \in L^p(S, \mu)$이고 다음이 성립한다.

:\|f\|_p ~=~ \sup_{\|g\|_q \leq 1} \, \int_S f g \, \mathrm{d} \mu.

3. 6. 조밀 부분 공간

$1 \leq p < \infty$일 때, $S$ 위의 적분 가능한 단순 함수 $f$는 다음과 같은 형태를 가진다.

$f = \sum_{j=1}^n a_j \mathbf{1}_{A_j}$

여기서 $a_j$는 스칼라이고, $A_j \in \Sigma$는 유한한 측도를 가지며, $\mathbf{1}_{A_j}$는 $j = 1, \dots, n$에 대해 집합 $A_j$의 지시 함수이다. 르베그 적분의 구성에 의해, 적분 가능한 단순 함수들의 벡터 공간은 $L^p(S, \Sigma, \mu)$에서 조밀 집합이다.

$S$가 정규 공간이고 $\Sigma$가 그 보렐 대수인 경우, 추가적인 성질을 얻을 수 있다.

$V \subseteq S$가 $\mu(V) < \infty$인 열린 집합이라고 가정하면, $V$에 포함된 모든 보렐 집합 $A \in \Sigma$에 대해 닫힌 집합 $F$와 열린 집합 $U$가 존재하여 다음을 만족한다.

$F \subseteq A \subseteq U \subseteq V$ 이고 $\mu(U \setminus F) = \mu(U) - \mu(F) < \varepsilon$

이는 모든 $\varepsilon > 0$에 대해 성립한다. 그 결과, $S$ 위에 $F$에서 $1$이고 $S \setminus U$에서 $0$인 유리손 함수 $0 \leq \varphi \leq 1$가 존재하여 다음을 만족한다.

$\int_S |\mathbf{1}_A - \varphi| \, \mathrm{d}\mu < \varepsilon$

$S$가 유한 측도를 갖는 열린 집합의 증가하는 수열 $(V_n)$으로 덮일 수 있다면, $p$ 적분 가능한 연속 함수들의 공간은 $L^p(S, \Sigma, \mu)$에서 조밀하다. 더 정확하게는, 열린 집합 $V_n$ 중 하나 외부에서는 사라지는 유계 연속 함수를 사용할 수 있다.

이는 특히 $S = \Reals^d$이고 $\mu$가 르베그 측도일 때 적용된다. 예를 들어, 연속이고 콤팩트하게 지지된 함수들의 공간과 적분 가능한 계단 함수들의 공간은 $L^p(\Reals^d)$에서 조밀하다.

4. 예

1 < p < \infty일 때, L^p(\mu)의 쌍대 공간은 L^q(\mu)와 자연스럽게 동형이며, 여기서 q는 \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1을 만족한다. 이 동형 사상 \kappa_p : L^q(\mu) \to L^p(\mu)^*는 g \in L^q(\mu)를 모든 f \in L^p(\mu)에 대해

f \mapsto \kappa_p(g)(f) = \int f g \, \mathrm{d}\mu

로 정의되는 함수 \kappa_p(g) \in L^p(\mu)^*와 연결한다.

\kappa_p는 횔더 부등식의 극단적인 경우에 의해 정의된 연속적인 선형 사상이며, 등거리 사상이다. 만약 (S,\Sigma,\mu)가 \sigma-유한 측도 공간이라면, 라돈-니코딤 정리를 사용하여 \kappa_p는 바나흐 공간의 등거리 동형 사상임을 보일 수 있다.[9]

S에 대한 측도 \mu가 시그마-유한이면, L^1(\mu)의 쌍대 공간은 L^\infty(\mu)와 등거리 동형이다. L^\infty(\mu)의 쌍대 공간은 \mu에 대해 절대 연속이며 S에 정의된 유계 부호 ''유한'' 가산 측도로 식별할 수 있다.

4. 1. 유한 집합

X가 유한 집합이고, 그 위에 셈측도를 부여하면, 임의의 0\le p\le\infty에 대하여

:\operatorname L^p(X;\mathbb K)=\mathbb K^X

이다. 즉, 이 경우 르베그 공간은 \mathbb K 위의 유한 차원 벡터 공간이며, 그 차원은 X의 크기이다.

p의 값에 따라, \mathbb K^X 위에 정의되는 노름은 서로 다르며, 다음과 같다.

p의 값노름
0\>f\|_p=\sqrt[p]{\sum_{x\in X}|f(x)|^p}
p = \infty\>f\|_\infty=\max_{x\in X}|f(x)|



만약 p=2일 경우 이는 힐베르트 공간을 이루며, |X|\ge2이자 1\le p\ne2일 경우 이는 힐베르트 공간이 아닌 바나흐 공간이다.

일반적으로 1 \leq p < q \leq \infty일 경우, L^p(S, \mu)는 국소적으로 특이한 함수를 포함하는 반면, L^q(S, \mu)의 원소는 더 넓게 퍼져 있을 수 있다.

집합 S가 유한하지만 임의로 큰 측도를 가진 집합을 포함하지 않는 경우 (예: 모든 유한 측도) L^q(S, \mu) \subseteq L^p(S, \mu)이다.[10]

4. 2. 수열 공간

자연수한국어 집합 위에 셈측도를 부여한 경우, 르베그 공간은 $\ell^p$ 공간이 된다.[13] $1 \leq p \leq \infty$일 때, $\ell^p$ 공간은 $L^p$ 공간의 특수한 경우이며, 이때 $S$는 자연수 $\mathbb{N}$이고 $\mu$는 계수 측도이다.

$\ell^p$ 공간은 다음과 같은 특별한 경우를 포함한다.

수열 공간은 덧셈 및 스칼라 곱을 좌표별로 적용하여 자연스러운 벡터 공간을 구성한다. 구체적으로, $x = (x_1, x_2, \dotsc, x_n, x_{n+1}, \dotsc)=(x_n)$를 실수 또는 복소수의 무한 수열이라고 할 때, 벡터의 합은 다음과 같이 정의된다.

$(x_n)+(y_n):=(x_n+y_n)$ (즉, $(x_1, x_2, \dotsc, x_n, x_{n+1},\dotsc)+(y_1, y_2, \dotsc, y_n, y_{n+1},\dotsc):=(x_1+y_1, x_2+y_2, \dotsc, x_n+y_n, x_{n+1}+y_{n+1},\dotsc)$)

스칼라 곱은 다음과 같이 정의된다.

$\lambda(x_n):=(\lambda x_n)$ (즉, $\lambda(x_1, x_2, \dotsc, x_n, x_{n+1},\dotsc) := (\lambda x_1, \lambda x_2, \dotsc, \lambda x_n, \lambda x_{n+1},\dotsc)$)

$p$-노름은 다음과 같이 정의한다.

$\|x\|_p := \left(|x_1|^p + |x_2|^p + \dotsb+|x_n|^p + |x_{n+1}|^p + \dotsb\right)^{1/p}$

여기서 우변의 급수는 반드시 수렴하는 것은 아니다. 예를 들어, 1만으로 구성된 열 (1, 1, 1, …)의 $p$-노름(길이)은 모든 유한한 $p$ ≥ 1에 대해 무한대가 된다. 이를 감안하여, 공간 ℓ$p$는 $p$-노름이 유한한 실수 또는 복소수의 무한 수열 전체의 집합으로 정의된다.

$p$가 증가함에 따라 ℓ$p$ 집합은 커진다. 예를 들어, 수열 $(1, \frac{1}{2}, \dotsc, \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1},\dotsc)$는 ℓ1에는 포함되지 않지만, $p$ > 1인 ℓ$p$에는 포함된다. 왜냐하면 급수 $1^p + \frac{1}{2^p} + \dotsb + \frac{1}{n^p} + \frac{1}{(n+1)^p}+\dotsb$는 $p$ = 1 (조화 급수)일 때는 발산하지만, $p$ > 1일 때는 수렴하기 때문이다.

∞-노름은 상한을 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

$\|x\|_\infty:=\sup\{|x_1|, |x_2|, \dotsc, |x_n|,|x_{n+1}|, \dotsc\}.$

그리고 대응하는 유계 수열의 공간 ℓ∞도 정의할 수 있다.[13]

$\|x\|_\infty = \lim_{p\to\infty}\|x\|_p$는 우변이 유한하거나 좌변이 무한할 때 성립한다. 따라서 1 ≤ $p$ ≤ ∞에 대해 ℓ$p$ 공간을 고려할 수 있다.

ℓ$p$에 대해 정의된 $p$-노름은 실제로 노름이며, 이 노름에서 ℓ$p$는 바나흐 공간이 된다.

$X=\mathbb N$일 때, $p$ 값에 따른 수열 르베그 공간 $\ell^p(\mathbb K)$의 성질은 다음과 같다.

$p$의 범위$\ell^p(\mathbb K)$의 성질
$0\le p<1$$\mathbb K$-위상 벡터 공간 ($\mathbb K$-국소 볼록 공간이 아님)
$1\le p<2$$\mathbb K$-바나흐 공간
$p=2$분해 가능 $\mathbb K$-힐베르트 공간
$2$\mathbb K$-바나흐 공간


4. 3. 디랙 측도

집합 X 속의 원소 x_0\in X가 주어졌을 때, 다음과 같이 정의되는 측도 \mu를 생각한다.

:\mu(S)=\begin{cases}

1&S\ni x_0\\

0&S\not\ni x_0

\end{cases}

이 경우, 0\le p\le\infty에 대하여, 르베그 공간 \operatorname L^p(X;\mathbb K)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:\operatorname L^p(X;\mathbb K)=\mathbb K

:\|f\|_p=|f(x_0)|\qquad(0

즉, 이 측도를 이용하면 르베그 공간은 실수 또는 복소수 공간과 동형이 된다.

5. 응용

L^p영어 공간은 수학 및 그 응용 분야에서 폭넓게 사용된다.

5. 1. 통계학

통계학에서 평균, 중앙값, 표준 편차와 같은 중심 경향이나 통계적 변동성의 척도는 ''L''''p'' 거리에 관해 정의된다. 그리고 중심 경향의 척도는 변분 문제의 해로 특징지어진다.[11]

5. 2. 하우스도르프-영 부등식

푸리에 변환(또는 주기 함수의 경우 푸리에 급수)은 1 ≤ p ≤ 2이고 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$을 만족하는 p, q에 대해 $L^p(\mathbb{R})$를 $L^q(\mathbb{R})$로 (또는 $L^p(\mathbf{T})$를 $\ell^q$로) 사상한다. 이는 리스-소린 정리의 결과이며, 하우스도르프-영 부등식으로 구체화된다.

반대로, p > 2인 경우, 푸리에 변환은 $L^q$로 사상되지 않는다.

5. 3. 힐베르트 공간

힐베르트 공간은 양자역학에서 확률 미적분에 이르기까지 많은 응용 분야에서 중심적인 역할을 한다. $L^2$ 공간과 $\ell^2$ 공간은 모두 힐베르트 공간이다. 실제로 힐베르트 기저 $E$ ($L^2$ 또는 임의의 힐베르트 공간의 최대 정규 직교 부분 집합)를 선택하면, 모든 힐베르트 공간이 $\ell^2(E)$ (위와 동일한 $E$)와 등거리적 동형임을 알 수 있다. 즉, $\ell^2$ 타입의 힐베르트 공간이다.

$p = 2$일 때, $\ell^2$ 공간처럼 $L^2$ 공간은 그 종류 중 단 하나의 힐베르트 공간이 된다. 복소수의 경우 $L^2$ 상의 내적은 다음과 같이 정의된다.

:$\langle f, g \rangle = \int_S f(x) \overline{g(x)} \, \mathrm{d}\mu(x)$

이 부가적인 내적 구조는 더욱 풍부한 이론을 제공하며, 푸리에 해석이나 양자역학 등에 응용되는 사례가 존재한다. $L^2$에 속하는 함수는 종종 '''제곱 가적분 함수''', '''자승 가적분 함수''' 또는 '''제곱 총합 가능 함수''' 등으로 불린다.

6. 확장

측도 공간 $(S, \Sigma, \mu)$가 주어졌을 때, $1 \leq p < \infty$인 경우 $L^p$ 공간을 확장하는 방법은 다음과 같다.


  • 약한 $L^p$ 공간 (Weak $L^p$ Spaces): 함수 $f$의 분포 함수를 이용해 정의한다. 마르신키에비츠 보간 정리처럼 조화해석, 특이 적분 연구에 쓰인다.
  • 가중 $L^p$ 공간 (Weighted $L^p$ Spaces): 가측 함수 $w$를 사용해 정의하며, Muckenhoupt 정리 등 조화 해석의 주요 결과를 나타내는 틀을 제공한다.
  • 다양체 위의 $L^p$ 공간 ($L^p$ Spaces on Manifolds): 밀도를 이용해 정의하며, 다양체의 '''내재적 $L^p$ 공간'''이라고 부른다.
  • 벡터 값 $L^p$ 공간 (Vector-valued $L^p$ Spaces): 함수가 완비 국소 볼록 공간 $E$의 값을 가지는 경우로 확장한다. Bochner 적분 가능 함수, Pettis 적분 가능 함수, 또는 $L^p$ 공간과 $E$의 위상적 텐서 곱을 이용해 정의할 수 있다. 알렉산더 그로텐디크는 $E$가 핵 공간일 때 이 공간들이 서로 동형임을 보였다.

6. 1. 약한 $L^p$ 공간

측도 공간 $(S, \Sigma, \mu)$와 $S$에서 정의된 가측 함수 $f$가 주어졌을 때, $f$의 분포 함수는 $t \geq 0$에 대해 다음과 같이 정의된다.

:$\lambda_f(t) = \mu(\{x \in S : |f(x)| > t\})$

만약 $f$가 $1 \leq p < \infty$인 어떤 $p$에 대해 $L^p(S, \mu)$에 속한다면, 마르코프 부등식에 의해 다음이 성립한다.

:$\lambda_f(t) \leq \frac{\|f\|_p^p}{t^p}$

함수 $f$가 '''약 $L^p(S, \mu)$''' 공간 또는 $L^{p,w}(S, \mu)$에 속한다는 것은, 모든 $t > 0$에 대해 다음을 만족하는 상수 $C > 0$가 존재한다는 것을 의미한다.

:$\lambda_f(t) \leq \frac{C^p}{t^p}$

이 부등식을 만족하는 최적의 상수 $C$는 $f$의 $L^{p,w}$-노름이며, 다음과 같이 표기한다.

:$\|f\|_{p,w} = \sup_{t > 0} ~ t \lambda_f^{1/p}(t)$

약 $L^p$ 공간은 로렌츠 공간 $L^{p,\infty}$와 일치하므로, $L^{p,\infty}$ 표기법도 사용된다.

$L^{p,w}$-노름은 삼각 부등식이 성립하지 않으므로 진정한 노름은 아니다. 그럼에도 불구하고, $L^p(S, \mu)$에 속하는 $f$에 대해 다음이 성립한다.

:$\|f\|_{p,w} \leq \|f\|_p$

특히, $L^p(S, \mu) \subset L^{p,w}(S, \mu)$이다.

$L^{p,w}$-공간을 이용한 주요 결과 중 하나는 마르신키에비츠 보간 정리이며, 이는 조화해석과 특이 적분 연구에 광범위하게 적용된다.

6. 2. 가중 $L^p$ 공간

측도 공간 $(S, \Sigma, \mu)$가 주어졌을 때, $w : S \to [a, \infty), a > 0$인 가측 함수 $w$를 생각하자. $w$ - '''가중 $L^p$ 공간'''은 $L^p(S, w \, \mathrm{d} \mu)$로 정의되며, 여기서 $w \, \mathrm{d} \mu$는 다음으로 정의된 측도 $\nu$를 의미한다.

$\nu(A) \equiv \int_A w(x) \, \mathrm{d} \mu (x), \qquad A \in \Sigma$

또는 라돈-니코딤 도함수를 사용하면 $w = \tfrac{\mathrm{d} \nu}{\mathrm{d} \mu}$이다. $L^p(S, w \, \mathrm{d} \mu)$에 대한 노름은 다음과 같이 명시적으로 나타낼 수 있다.

$\|u\|_{L^p(S, w \, \mathrm{d} \mu)} \equiv \left(\int_S w(x) |u(x)|^p \, \mathrm{d} \mu(x)\right)^{1/p}$

$L^p$ 공간으로서, 가중 공간은 $L^p(S, w \, \mathrm{d} \mu)$가 $L^p(S, \mathrm{d} \nu)$와 같기 때문에 특별한 점이 없다. 그러나 이들은 조화 해석에서 몇 가지 결과에 대한 자연스러운 틀을 제공한다.[3] 예를 들어, Muckenhoupt 정리에서 나타난다. $1 < p < \infty$에 대해, 고전적인 힐베르트 변환은 $L^p(\mathbf{T}, \lambda)$에서 정의되며, 여기서 $\mathbf{T}$는 단위 원을 나타내고 $\lambda$는 르베그 측도를 나타낸다. (비선형) 하디-리틀우드 최대 작용소는 $L^p(\Reals^n, \lambda)$에서 유계이다. Muckenhoupt의 정리는 힐베르트 변환이 $L^p(\mathbf{T}, w \, \mathrm{d} \lambda)$에서 유계로 유지되고 최대 작용소가 $L^p(\Reals^n, w \, \mathrm{d} \lambda)$에서 유계로 유지되도록 하는 가중치 $w$를 설명한다.

6. 3. 다양체 위의 $L^p$ 공간

다양체 위에도 밀도를 사용하여 $$L^p$$ 공간을 정의할 수 있으며, 이를 다양체의 '''내재적 $$L^p$$ 공간'''이라고 부른다.

6. 4. 벡터 값 $L^p$ 공간

함수가 벡터 값을 갖는 경우로 $L^p$ 공간을 확장할 수 있다. 주어진 측도 공간 $(\Omega, \Sigma, \mu)$와 완비 국소 볼록 공간 $E$가 주어졌을 때, $\Omega$에 대한 $p$차 적분 가능한 $E$ 값 함수 공간은 여러 방법으로 정의할 수 있다.

한 가지 방법은 Bochner 적분 가능 및 Pettis 적분 가능 함수 공간을 정의하고, 일반적인 $L^p$ 위상의 자연스러운 일반화인 국소 볼록 TVS-위상을 부여하는 것이다.

다른 방법은 $L^p(\Omega, \Sigma, \mu)$와 $E$의 위상적 텐서 곱을 포함한다. 벡터 공간 $L^p(\Omega, \Sigma, \mu) \otimes E$의 원소는 단순 텐서의 유한 합 $f_1 \otimes e_1 + \cdots + f_n \otimes e_n$이며, 각 단순 텐서 $f \times e$는 $x \mapsto e f(x)$를 보내는 함수 $\Omega \to E$로 식별될 수 있다. 이 텐서 곱 $L^p(\Omega, \Sigma, \mu) \otimes E$는 국소 볼록 위상을 부여받아 위상적 텐서 곱으로 변환되며, 가장 일반적인 위상은 $L^p(\Omega, \Sigma, \mu) \otimes_\pi E$로 표시되는 사영 텐서 곱과 $L^p(\Omega, \Sigma, \mu) \otimes_\varepsilon E$로 표시되는 단사 텐서 곱이다.

일반적으로 이 공간은 완비되지 않으므로 각각 $L^p(\Omega, \Sigma, \mu) \widehat{\otimes}_\pi E$ 및 $L^p(\Omega, \Sigma, \mu) \widehat{\otimes}_\varepsilon E$로 표시되는 완비가 구성된다. 이는 $\Omega$에서 스칼라 값 단순 함수 공간이 임의의 $\|\cdot\|_p$로 세미노름화될 때 완비되지 않으므로 완비를 구성하고, $\ker \|\cdot\|_p$로 몫을 취한 후 바나흐 공간 $L^p(\Omega, \mu)$와 등거리적으로 동형인 것과 유사하다.

알렉산더 그로텐디크는 $E$가 핵 공간일 때, 이 두 구성이 Bochner 및 Pettis 적분 함수 공간과 각각 정규 TVS-동형임을 보였다. 즉, 구별할 수 없다.

7. 역사

"르베그 공간"이라는 용어는 앙리 르베그의 이름을 딴 것이다. 그러나 르베그는 르베그 적분의 도입을 제외하고는 르베그 공간의 개념과 크게 관계가 없다.

$\ell^2$ 공간은 이미 19세기 푸리에 변환 이론에서 등장하였다 (파르세발 정리).[20] 이후 다비트 힐베르트가 이 수열 공간에 대하여 연구하였으며, 이는 "힐베르트 공간"으로 불리게 되었다.[20]

리스 프리제시는 힐베르트의 이론을 $p\ne2$로 일반화하여, 1910년에 르베그 공간을 도입하였다.[19][20] 이 논문에서 리스는 오늘날 사용되는 기호 $\operatorname L^p$를 도입하였고, 또한 르베그 공간의 쌍대성 $\operatorname L^p'=\operatorname L^q$ ($1/p+1/q=1$)을 증명하였다.

참조

[1] Citation Elements of Functional Analysis CUP
[2] 간행물 Long colimits of topological groups I: Continuous maps and homeomorphisms.
[3] 서적 Inequalities: A Journey into Linear Analysis Cambridge University Press 2007
[4] 문서
[5] 문서
[6] 문서
[7] 문서
[8] MathWorld L^2-Space
[9] Citation Handbook of Analysis and its Foundations Academic Press Inc.
[10] Citation Another note on the inclusion {{math|''Lp''(''μ'') ⊂ ''Lq''(''μ'')}}
[11] 서적 Statistical Learning with Sparsity: The Lasso and Generalizations CRC Press
[12] Citation Functional analysis and control theory: Linear systems D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers
[13] Citation Elements of Functional Analysis CUP
[14] Citation Real and Complex Analysis Tata McGraw-Hill
[15] 서적 Topological vector spaces Springer
[16] 서적 https://archive.org/[...] McGraw-Hill
[17] 저널
[18] 저널 Another note on the inclusion ''L''''p''(''μ'') ⊂ ''L''''q''(''μ'')
[19] 저널 Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen http://resolver.sub.[...]
[20] 서적 Espaces vectoriels topologiques (chapitres 1 à 5) Masson


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com