기저 함수

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1. 개요

기저 함수는 특정 함수 공간 내의 모든 함수를 선형 결합으로 나타낼 수 있는 함수의 집합을 의미한다. 다항식 기저로는 단항식, 라그랑주 다항식, 체비쇼프 다항식 등이 있으며, 푸리에 기저는 사인 함수와 코사인 함수를 사용하여 구성된다. 기저 함수 간의 내적을 통해 정규 직교성을 정의할 수 있으며, 웨이블릿 변환에서 내적을 활용한다.

기저 함수

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1. 개요
2. 다항식 기저
3. 푸리에 기저
- 3.1. L²[0,1] 공간에서의 푸리에 기저
4. 정규 직교 기저

2. 다항식 기저

실계수 2차 다항식에서 {1, t, t²}는 기저 함수이다. 모든 실계수 2차 다항식은 a1+bt+ct²의 꼴로 표현되므로, 이들은 기저 함수 1, t, t²의 선형결합으로 표시된다.

2.1. 단항식 기저

모든 다항식은 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $a_0 + a_1x^1 + a_2x^2 + \cdots + a_n x^n$ 으로 표현될 수 있으며, 이는 단항식들의 선형 결합이다. 따라서 단항식 기저는 다항식의 벡터 공간에 대한 기저를 형성한다.

해석 함수의 벡터 공간에 대한 단항식 기저는 다음과 같다.

: $\{x^n \mid n\in\N\}.$

이 기저는 특히 테일러 급수에서 사용된다.

2.2. 라그랑주 기저

라그랑주 기저는 다항식 공간의 또 다른 기저를 형성한다. {(t−1)(t−2)/2, −t(t−2), t(t−1)/2}의 세 함수들은 이차 다항식의 다른 기저함수가 된다.

2.3. 체비쇼프 다항식 기저

체비쇼프 다항식의 처음 몇 개 항도 다항식 공간의 기저가 될 수 있다. 예를 들어 체비쇼프 다항식의 처음 세 항은 2차 다항식 공간의 기저가 된다.

3. 푸리에 기저

사인 함수와 코사인 함수는 유계 영역에서 제곱 적분 가능 함수의 정규 직교 샤우데르 기저를 형성한다.

3.1. L<sup>2</sup>[0,1] 공간에서의 푸리에 기저

제곱해서 적분가능한 함수들의 모임에서, 사인 함수와 코사인 함수는 L²[0,1]의 정규 직교 샤우데르 기저를 형성한다. 이 함수들의 모임은 다음과 같다.

: $\{\sqrt{2}\sin(2\pi n x) \; | \; n\in\mathbb{N} \} \cup \{\sqrt{2} \cos(2\pi n x) \; | \; n\in\mathbb{N} \} \cup\{1\}$

기저 함수 간의 내적을 정의함으로써, 정규 직교계 (정규 직교 기저)인지 여부를 규정할 수 있다. 서로 다른 기저 함수의 내적이 항상 0이면 직교라고 부르고, 같은 기저 함수의 내적이 항상 1이면 정규라고 부른다.

4. 정규 직교 기저

사인과 코사인은 제곱 적분 가능 함수의 정규 직교인 Schauder 기저를 형성한다. 예를 들어, 다음 집합은 L²[0,1]의 기저를 이룬다.

: $\{\sqrt{2}\sin(2\pi n x) \mid n \in \N \} \cup \{\sqrt{2} \cos(2\pi n x) \mid n \in \N \} \cup \{1\}$

4.1. 내적과 직교성

내적을 정의함으로써, 정규 직교계(정규 직교 기저)인지 여부를 규정할 수 있다. 서로 다른 기저 함수의 내적이 0이면 직교한다고 하고, 같은 기저 함수의 내적이 1이면 정규라고 부른다.

예를 들어, 웨이블릿 변환에서는 다음과 같이 L²(R)에서의 내적을 정의한다.

: $\langle f, g \rangle = \int_{ \mathbf{R} } f(t) \overline{g(t)} dt$

4.2. 정규성

같은 기저 함수의 내적이 1이면 정규라고 부른다.

예를 들어, 웨이블릿 변환에서는 다음과 같이 L²(R)에서의 내적을 정의한다.

: $\langle f, g \rangle = \int_{ \mathbf{R} } f(t) \overline{g(t)} dt$

4.3. 웨이블릿 변환에서의 내적

기저 함수 간의 내적을 정의함으로써, 정규 직교계인지 여부를 규정할 수 있다. 서로 다른 기저 함수의 내적이 항상 0이면 직교라고 부르고, 같은 기저 함수의 내적이 항상 1이면 정규라고 부른다.

예를 들어, 웨이블릿 변환에서는 다음과 같이 L²(R)에서의 내적을 정의한다.

: $\langle f, g \rangle = \int_{ \mathbf{R} } f(t) \overline{g(t)} dt$