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활력방정식

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목차

1. 개요

활력 방정식은 케플러 궤도에서 두 물체의 상대 속도와 거리를 장반경, 중력 상수, 중심체의 질량과 관련시키는 방정식이다. 이 방정식은 궤도 에너지 보존과 각운동량 보존 법칙을 통해 유도되며, 궤도 계산, 궤도 분류, 탈출 속도 계산 등에 활용된다. 특히, 궤도 상의 한 지점에서 물체의 위치와 속도를 알면, 활력 방정식을 통해 궤도의 다른 모든 지점에서의 위치와 속도를 계산할 수 있다.

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활력방정식

2. 방정식

어떤 케플러 궤도 (타원, 포물선, 쌍곡선, 또는 방사형)에 대해서, 활력방정식(vis-viva equation|비스-비바 방정식lat)은 두 물체의 상대 속도, 거리, 궤도의 크기(장반경), 그리고 중심체의 질량 사이의 관계를 나타내는 중요한 방정식이다.[2][3] 구체적인 수식과 각 변수의 의미는 아래 하위 섹션에서 자세히 설명한다.

2. 1. 수식 표현

어떤 케플러 궤도 (타원, 포물선, 쌍곡선, 또는 방사형)에 대해서, 활력방정식은 다음과 같다:[2][3]

v^2 = GM \left({ 2 \over r} - {1 \over a}\right)

여기서 각 변수는 다음과 같다.

  • ''v''는 두 물체의 상대 속도이다.
  • ''r''은 두 물체의 질량 중심 사이의 거리이다.
  • ''a''는 장반경의 길이이다. (''a'' > 0는 타원의 경우, ''a'' = ∞ 또는 1/''a'' = 0는 포물선의 경우, ''a'' < 0는 쌍곡선의 경우)
  • ''G''는 중력 상수이다.
  • ''M''은 중심체의 질량이다.


''GM''의 곱은 그리스 문자 ''μ''를 사용하여 표준 중력 매개변수로 표현될 수도 있다.

2. 2. 변수 설명


  • v는 두 물체의 상대 속도이다.
  • r은 두 물체의 질량 중심 사이의 거리이다.
  • a는 장반경의 길이이다. (a > 0는 타원의 경우, a = ∞ 또는 1/a = 0는 포물선의 경우, a < 0는 쌍곡선의 경우)
  • G는 중력 상수이다.
  • M은 중심체의 질량이다.

GM의 곱은 그리스 문자 μ를 사용하여 표준 중력 매개변수로 표현될 수도 있다.

3. 타원 궤도에서의 유도 (0 ≤ 이심률 < 1)

타원 궤도 또는 원형 궤도의 경우, 활력 방정식은 에너지 보존 법칙과 각운동량 보존 법칙으로부터 유도될 수 있다. 이 유도 과정에서는 일반적으로 궤도를 도는 물체(예: 우주선)의 질량 ''m''이 중심체(예: 지구)의 질량 ''M''에 비해 무시할 수 있을 정도로 작다고 가정한다.

유도의 핵심은 특정 궤도 에너지 ''ε''와 비각운동량 ''h''가 궤도 전체에 걸쳐 보존된다는 점이다. 특정 궤도 에너지는 원지점(apoapsis, 거리 ''ra'', 속도 ''va'')과 근지점(periapsis, 거리 ''rp'', 속도 ''vp'')에서 다음과 같이 표현된다.

\varepsilon = \frac{v_a^2}{2} - \frac{GM}{r_a} = \frac{v_p^2}{2} - \frac{GM}{r_p}

여기서 ''G''는 중력 상수이고 ''M''은 중심체의 질량이다.

또한, 비각운동량 보존 법칙(h = r_a v_a = r_p v_p = \text{constant})과 타원 궤도의 기하학적 성질(r_a + r_p = 2a, 여기서 ''a''는 궤도 긴반지름)을 이용하면, 특정 궤도 에너지를 장반축 ''a''와 관련지을 수 있다.

\varepsilon = - \frac{GM}{2a}

이 관계를 특정 궤도 에너지의 정의와 결합하면 최종적으로 활력 방정식을 얻을 수 있다.

\frac{v^2}{2} - \frac{GM}{r} = -\frac{GM}{2a}

또는, 속도 ''v''에 대해 정리하면 다음과 같다.

v^2 = GM \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)

이 식은 중심체로부터 거리 ''r''에 있는 물체의 속도 ''v''를 궤도의 장반축 ''a''와 관련짓는다. 상세한 유도 과정과 이를 이용한 각운동량 계산은 하위 섹션에서 다룬다.

3. 1. 유도 과정

활력 방정식에서 궤도체의 질량 ''m'' (예: 우주선)은 중심체(예: 지구)의 질량 ''M''에 비해 무시할 수 있다고 가정한다. 중심체와 궤도체는 각각 주체(primary)와 입자(particle)로 불리기도 한다. 타원 궤도 또는 원형 궤도의 경우, 활력 방정식은 에너지 보존과 운동량 보존으로부터 유도될 수 있다.

특정 궤도 에너지 ''ε''는 궤도 전체에서 일정하다. 따라서 원지점(apoapsis)과 근지점(periapsis)을 각각 아래첨자 ''a''와 ''p''로 나타내면 다음과 같다.

\varepsilon = \frac{v_a^2}{2} - \frac{GM}{r_a} = \frac{v_p^2}{2} - \frac{GM}{r_p}

여기서 ''v''는 속도, ''r''은 중심체로부터의 거리, ''G''는 중력 상수, ''M''은 중심체의 질량이다.

위 식을 정리하면 다음과 같다.

\frac{v_a^2}{2} - \frac{v_p^2}{2} = \frac{GM}{r_a} - \frac{GM}{r_p}

타원 궤도(그리고 원형 궤도)에서는 속도 벡터와 반경 벡터가 원지점과 근지점에서 서로 수직이다. 각운동량 보존 법칙에 따라 특정 각운동량 ''h''는 일정하므로( h = r_pv_p = r_av_a = \text{constant}), v_p = \frac{r_a}{r_p}v_a 관계가 성립한다. 이 관계를 위 에너지 식에 대입하면 다음과 같다.

\frac{1}{2} \left( 1-\frac{r_a^2}{r_p^2} \right) v_a^2 = \frac{GM}{r_a} - \frac{GM}{r_p}

\frac{1}{2} \left( \frac{r_p^2 - r_a^2}{r_p^2} \right) v_a^2 = \frac{GM}{r_a} - \frac{GM}{r_p}

원지점에서의 운동 에너지를 분리하고 식을 단순화하면 다음과 같다.

\begin{align}

\frac{1}{2}v_a^2 &= \left( \frac{GM}{r_a} - \frac{GM}{r_p}\right) \cdot \frac{r_p^2}{r_p^2-r_a^2} \\

&= GM \left( \frac{r_p - r_a}{r_ar_p} \right) \frac{r_p^2}{(r_p-r_a)(r_p+r_a)} \\

&= GM \frac{r_p}{r_a(r_p+r_a)}

\end{align}

타원의 기하학적 성질에 따라, 원지점 거리 ''ra''와 근지점 거리 ''rp''의 합은 장반축 길이 ''a''의 두 배와 같다(2a=r_p+r_a). 이를 위 식에 대입하면 다음과 같다.

\frac{1}{2} v_a^2 = GM \frac{r_p}{r_a(2a)} = GM \frac{2a-r_a}{r_a(2a)} = GM \left( \frac{1}{r_a} - \frac{1}{2a} \right) = \frac{GM}{r_a} - \frac{GM}{2a}

이 결과를 특정 궤도 에너지에 대한 원래 표현식에 대입하면 다음을 얻는다.

\varepsilon = \frac{v^2}{2} - \frac{GM}{r} = \frac{v_p^2}{2} - \frac{GM}{r_p} = \frac{v_a^2}{2} - \frac{GM}{r_a} = - \frac{GM}{2a}

따라서 특정 궤도 에너지는 \varepsilon = - \frac{GM}{2a} 로 표현되며, 활력 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

\frac{v^2}{2} - \frac{GM}{r} = -\frac{GM}{2a}

또는

v^2 = GM \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)

이 활력 방정식을 이용하여 원지점과 근지점에서의 속도를 구할 수 있다.

v_a^2 = GM \left( \frac{2}{r_a} - \frac{1}{a} \right) = \frac{GM}{a} \left( \frac{2a-r_a}{r_a} \right) = \frac{GM}{a} \left( \frac{r_p}{r_a} \right)

v_p^2 = GM \left( \frac{2}{r_p} - \frac{1}{a} \right) = \frac{GM}{a} \left( \frac{2a-r_p}{r_p} \right) = \frac{GM}{a} \left( \frac{r_a}{r_p} \right)

또한, 타원 궤도의 단반축 ''b''에 대해 r_a r_p = b^2 관계가 성립하는 것을 이용하여 특정 각운동량 ''h''와 총 각운동량 ''L'' = ''mh''를 다음과 같이 유도할 수 있다.

h = r_p v_p = r_a v_a = r_a \sqrt{\frac{GM}{a} \frac{r_p}{r_a}} = \sqrt{\frac{GM}{a} r_a r_p} = \sqrt{\frac{GM b^2}{a}} = b \sqrt{\frac{GM}{a}}

L = mh = mb \sqrt{\frac{GM}{a}}

3. 2. 각운동량 계산

보존된 '''각운동량''' L = mh는 활력방정식의 결과와 타원의 기하학적 성질을 이용하여 계산할 수 있다. 특정 상대 각운동량 h는 원지점과 근지점에서 각각 다음과 같이 표현된다.

h = r_a v_a = r_p v_p

활력방정식 v^2 = GM \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right) 을 이용하여 원지점 속도 v_a와 근지점 속도 v_p를 구하면 다음과 같다.

v_a^2 = GM \left( \frac{2}{r_a} - \frac{1}{a} \right) = \frac{GM}{a} \left( \frac{2a-r_a}{r_a} \right) = \frac{GM}{a} \left( \frac{r_p}{r_a} \right)

v_p^2 = GM \left( \frac{2}{r_p} - \frac{1}{a} \right) = \frac{GM}{a} \left( \frac{2a-r_p}{r_p} \right) = \frac{GM}{a} \left( \frac{r_a}{r_p} \right)

여기서 a는 장반축, r_a는 원지점 거리, r_p는 근지점 거리이며, r_a + r_p = 2a 관계를 사용했다.

특정 상대 각운동량 h를 계산하기 위해 위 식들을 이용한다.

h^2 = r_a^2 v_a^2 = r_a^2 \frac{GM}{a} \left( \frac{r_p}{r_a} \right) = r_a r_p \frac{GM}{a}

h^2 = r_p^2 v_p^2 = r_p^2 \frac{GM}{a} \left( \frac{r_a}{r_p} \right) = r_p r_a \frac{GM}{a}

타원의 기하학적 성질로부터 장반축 a와 단반축 b, 그리고 원지점/근지점 거리 사이에는 다음 관계가 성립한다.

r_a r_p = b^2

따라서 특정 상대 각운동량 h는 다음과 같이 표현된다.

h^2 = b^2 \frac{GM}{a}

h = b \sqrt{\frac{GM}{a}}

최종적으로 총 각운동량 L은 궤도를 도는 물체의 질량 m과 특정 상대 각운동량 h의 곱이므로 다음과 같다.

L = mh = mb \sqrt{\frac{GM}{a}}

4. 실제 응용

활력방정식은 천체의 총 질량과 궤도상의 한 지점에서의 거리 r과 속도 v가 주어졌을 때 유용하게 활용된다. 이 정보를 바탕으로 궤도상의 다른 지점에서의 거리와 속도를 계산할 수 있으며,[4] 비 궤도 에너지 \varepsilon\,\! 또한 구할 수 있다. 계산된 비 궤도 에너지를 통해 특정 천체가 준궤도 비행을 하는지, 안정적인 궤도를 도는지, 혹은 중심 천체의 중력권을 벗어나는지 등을 판단하는 데 사용될 수 있다. 또한, 활력방정식은 특정 거리에서 천체의 중력을 벗어나기 위한 최소 속도인 탈출 속도를 계산하는 데에도 응용된다.

4. 1. 궤도 계산 및 분류

총 질량과 궤도의 한 지점에서의 거리 r과 속도 v가 주어지면 다음 값들을 계산할 수 있다.

  • 궤도상의 다른 모든 지점에서의 거리 r 및 속도 v[4]
  • 비 궤도 에너지 \varepsilon\,\!


비 궤도 에너지 \varepsilon를 통해, 특정 물체가 더 큰 물체 주위를 도는 궤도의 유형을 다음과 같이 분류할 수 있다.

  • 준궤도: 물체가 궤도를 계속 유지하기에 에너지가 충분하지 않은 경우이다. 탄도 미사일이 대표적인 예이다.
  • 궤도: 물체가 궤도를 돌기에 충분한 에너지를 가지고 있지만, 다른 물체와 충돌할 가능성이 있어 완전한 궤도를 돌지 못할 수도 있는 경우이다.
  • 탈출 궤도: 물체가 중심 천체의 중력권을 벗어나 무한히 멀리 이동하거나, 반대로 무한히 먼 곳에서 접근할 만큼 에너지가 충분한 경우이다. 유성 등이 이에 해당될 수 있다.


탈출 속도 공식은 활력방정식에서 궤도 장반경 a가 무한대(\infty)로 가는 극한 상황을 가정하여 유도할 수 있다.

v_e^2 = GM \left(\frac{2}{r}-0 \right) \rightarrow v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}

여기서 v_e는 탈출 속도, G는 만유인력 상수, M은 중심 천체의 질량, r은 중심 천체로부터의 거리이다.

4. 2. 탈출 속도 공식

탈출 속도의 공식은 궤도 장반경 a가 \infty로 접근하는 극한을 활력방정식에 적용하여 얻을 수 있다.

v_e^2 = GM \left(\frac{2}{r}-0 \right) \rightarrow v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}

참조

[1] 간행물 XXV Национална олимпиада по астрономия, Бургас, 06-08.05.2022, Полезни формули и справочни данни (Useful formulas and reference data) 2022-05-06
[2] 서적 Orbital Mechanics: Theory and Applications https://books.google[...] John Wiley & Sons
[3] 서적 Fundamental Planetary Sciences : physics, chemistry, and habitability Cambridge University Press
[4] 문서 For the [[three-body problem]] there is hardly a comparable vis-viva equation: conservation of energy reduces the larger number of [[Degrees of freedom (physics and chemistry)|degrees of freedom]] by only one.


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