활력방정식

1. 개요

활력 방정식은 케플러 궤도에서 두 물체의 상대 속도와 거리를 장반경, 중력 상수, 중심체의 질량과 관련시키는 방정식이다. 이 방정식은 궤도 에너지 보존과 각운동량 보존 법칙을 통해 유도되며, 궤도 계산, 궤도 분류, 탈출 속도 계산 등에 활용된다. 특히, 궤도 상의 한 지점에서 물체의 위치와 속도를 알면, 활력 방정식을 통해 궤도의 다른 모든 지점에서의 위치와 속도를 계산할 수 있다.

2. 방정식

어떤 케플러 궤도 (타원, 포물선, 쌍곡선, 또는 방사형)에 대해서, 활력방정식(vis-viva equation^라틴어)은 두 물체의 상대 속도, 거리, 궤도의 크기(장반경), 그리고 중심체의 질량 사이의 관계를 나타내는 중요한 방정식이다. 구체적인 수식과 각 변수의 의미는 아래 하위 섹션에서 자세히 설명한다.

2.1. 수식 표현

어떤 케플러 궤도 (타원, 포물선, 쌍곡선, 또는 방사형)에 대해서, 활력방정식은 다음과 같다:
$$v^2\; =\; GM\; \backslash left(\{\; 2\; \backslash over\; r\}\; -\; \{1\; \backslash over\; a\}\backslash right)$$
여기서 각 변수는 다음과 같다.

* v는 두 물체의 상대 속도이다.
* r은 두 물체의 질량 중심 사이의 거리이다.
* a는 장반경의 길이이다. (a > 0는 타원의 경우, a = ∞ 또는 1/a = 0는 포물선의 경우, a < 0는 쌍곡선의 경우)
* G는 중력 상수이다.
* M은 중심체의 질량이다.

GM의 곱은 그리스 문자 μ를 사용하여 표준 중력 매개변수로 표현될 수도 있다.

2.2. 변수 설명

* v는 두 물체의 상대 속도이다.
* r은 두 물체의 질량 중심 사이의 거리이다.
* a는 장반경의 길이이다. (a > 0는 타원의 경우, a = ∞ 또는 1/a = 0는 포물선의 경우, a < 0는 쌍곡선의 경우)
* G는 중력 상수이다.
* M은 중심체의 질량이다.

GM의 곱은 그리스 문자 μ를 사용하여 표준 중력 매개변수로 표현될 수도 있다.

3. 타원 궤도에서의 유도 (0 ≤ 이심률 < 1)

타원 궤도 또는 원형 궤도의 경우, 활력 방정식은 에너지 보존 법칙과 각운동량 보존 법칙으로부터 유도될 수 있다. 이 유도 과정에서는 일반적으로 궤도를 도는 물체(예: 우주선)의 질량 m이 중심체(예: 지구)의 질량 M에 비해 무시할 수 있을 정도로 작다고 가정한다.

유도의 핵심은 특정 궤도 에너지 ε와 비각운동량 h가 궤도 전체에 걸쳐 보존된다는 점이다. 특정 궤도 에너지는 원지점(apoapsis, 거리 r_a, 속도 v_a)과 근지점(periapsis, 거리 r_p, 속도 v_p)에서 다음과 같이 표현된다.
$\backslash varepsilon\; =\; \backslash frac\{v\_a^2\}\{2\}\; -\; \backslash frac\{GM\}\{r\_a\}\; =\; \backslash frac\{v\_p^2\}\{2\}\; -\; \backslash frac\{GM\}\{r\_p\}$
여기서 G는 중력 상수이고 M은 중심체의 질량이다.

또한, 비각운동량 보존 법칙($h\; =\; r\_a\; v\_a\; =\; r\_p\; v\_p\; =\; \backslash text\{constant\}$)과 타원 궤도의 기하학적 성질($r\_a\; +\; r\_p\; =\; 2a$, 여기서 a는 궤도 긴반지름)을 이용하면, 특정 궤도 에너지를 장반축 a와 관련지을 수 있다.
$\backslash varepsilon\; =\; -\; \backslash frac\{GM\}\{2a\}$

이 관계를 특정 궤도 에너지의 정의와 결합하면 최종적으로 활력 방정식을 얻을 수 있다.
$\backslash frac\{v^2\}\{2\}\; -\; \backslash frac\{GM\}\{r\}\; =\; -\backslash frac\{GM\}\{2a\}$
또는, 속도 v에 대해 정리하면 다음과 같다.
$v^2\; =\; GM\; \backslash left(\; \backslash frac\{2\}\{r\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{a\}\; \backslash right)$
이 식은 중심체로부터 거리 r에 있는 물체의 속도 v를 궤도의 장반축 a와 관련짓는다. 상세한 유도 과정과 이를 이용한 각운동량 계산은 하위 섹션에서 다룬다.

3.1. 유도 과정

활력 방정식에서 궤도체의 질량 m (예: 우주선)은 중심체(예: 지구)의 질량 M에 비해 무시할 수 있다고 가정한다. 중심체와 궤도체는 각각 주체(primary)와 입자(particle)로 불리기도 한다. 타원 궤도 또는 원형 궤도의 경우, 활력 방정식은 에너지 보존과 운동량 보존으로부터 유도될 수 있다.

특정 궤도 에너지 ε는 궤도 전체에서 일정하다. 따라서 원지점(apoapsis)과 근지점(periapsis)을 각각 아래첨자 a와 p로 나타내면 다음과 같다.
$$\backslash varepsilon\; =\; \backslash frac\{v\_a^2\}\{2\}\; -\; \backslash frac\{GM\}\{r\_a\}\; =\; \backslash frac\{v\_p^2\}\{2\}\; -\; \backslash frac\{GM\}\{r\_p\}$$
여기서 v는 속도, r은 중심체로부터의 거리, G는 중력 상수, M은 중심체의 질량이다.

위 식을 정리하면 다음과 같다.
$$\backslash frac\{v\_a^2\}\{2\}\; -\; \backslash frac\{v\_p^2\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{GM\}\{r\_a\}\; -\; \backslash frac\{GM\}\{r\_p\}$$

타원 궤도(그리고 원형 궤도)에서는 속도 벡터와 반경 벡터가 원지점과 근지점에서 서로 수직이다. 각운동량 보존 법칙에 따라 특정 각운동량 h는 일정하므로($h\; =\; r\_pv\_p\; =\; r\_av\_a\; =\; \backslash text\{constant\}$), $v\_p\; =\; \backslash frac\{r\_a\}\{r\_p\}v\_a$ 관계가 성립한다. 이 관계를 위 에너지 식에 대입하면 다음과 같다.
$$\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; 1-\backslash frac\{r\_a^2\}\{r\_p^2\}\; \backslash right)\; v\_a^2\; =\; \backslash frac\{GM\}\{r\_a\}\; -\; \backslash frac\{GM\}\{r\_p\}$$
$$\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{r\_p^2\; -\; r\_a^2\}\{r\_p^2\}\; \backslash right)\; v\_a^2\; =\; \backslash frac\{GM\}\{r\_a\}\; -\; \backslash frac\{GM\}\{r\_p\}$$

원지점에서의 운동 에너지를 분리하고 식을 단순화하면 다음과 같다.
$$\backslash begin\{align\}$$
\frac{1}{2}v_a^2 &= \left( \frac{GM}{r_a} - \frac{GM}{r_p}\right) \cdot \frac{r_p^2}{r_p^2-r_a^2} \\
&= GM \left( \frac{r_p - r_a}{r_ar_p} \right) \frac{r_p^2}{(r_p-r_a)(r_p+r_a)} \\
&= GM \frac{r_p}{r_a(r_p+r_a)}
\end{align}

타원의 기하학적 성질에 따라, 원지점 거리 r_a와 근지점 거리 r_p의 합은 장반축 길이 a의 두 배와 같다($2a=r\_p+r\_a$). 이를 위 식에 대입하면 다음과 같다.
$$\backslash frac\{1\}\{2\}\; v\_a^2\; =\; GM\; \backslash frac\{r\_p\}\{r\_a(2a)\}\; =\; GM\; \backslash frac\{2a-r\_a\}\{r\_a(2a)\}\; =\; GM\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{r\_a\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{2a\}\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{GM\}\{r\_a\}\; -\; \backslash frac\{GM\}\{2a\}$$

이 결과를 특정 궤도 에너지에 대한 원래 표현식에 대입하면 다음을 얻는다.
$$\backslash varepsilon\; =\; \backslash frac\{v^2\}\{2\}\; -\; \backslash frac\{GM\}\{r\}\; =\; \backslash frac\{v\_p^2\}\{2\}\; -\; \backslash frac\{GM\}\{r\_p\}\; =\; \backslash frac\{v\_a^2\}\{2\}\; -\; \backslash frac\{GM\}\{r\_a\}\; =\; -\; \backslash frac\{GM\}\{2a\}$$

따라서 특정 궤도 에너지는 $\backslash varepsilon\; =\; -\; \backslash frac\{GM\}\{2a\}$로 표현되며, 활력 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$\backslash frac\{v^2\}\{2\}\; -\; \backslash frac\{GM\}\{r\}\; =\; -\backslash frac\{GM\}\{2a\}$$
또는
$$v^2\; =\; GM\; \backslash left(\; \backslash frac\{2\}\{r\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{a\}\; \backslash right)$$

이 활력 방정식을 이용하여 원지점과 근지점에서의 속도를 구할 수 있다.
$$v\_a^2\; =\; GM\; \backslash left(\; \backslash frac\{2\}\{r\_a\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{a\}\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{GM\}\{a\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{2a-r\_a\}\{r\_a\}\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{GM\}\{a\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{r\_p\}\{r\_a\}\; \backslash right)$$
$$v\_p^2\; =\; GM\; \backslash left(\; \backslash frac\{2\}\{r\_p\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{a\}\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{GM\}\{a\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{2a-r\_p\}\{r\_p\}\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{GM\}\{a\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{r\_a\}\{r\_p\}\; \backslash right)$$

또한, 타원 궤도의 단반축 b에 대해 $r\_a\; r\_p\; =\; b^2$ 관계가 성립하는 것을 이용하여 특정 각운동량 h와 총 각운동량 L = mh를 다음과 같이 유도할 수 있다.
$$h\; =\; r\_p\; v\_p\; =\; r\_a\; v\_a\; =\; r\_a\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{GM\}\{a\}\; \backslash frac\{r\_p\}\{r\_a\}\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{GM\}\{a\}\; r\_a\; r\_p\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{GM\; b^2\}\{a\}\}\; =\; b\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{GM\}\{a\}\}$$
$$L\; =\; mh\; =\; mb\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{GM\}\{a\}\}$$

3.2. 각운동량 계산

보존된 각운동량 $L\; =\; mh$는 활력방정식의 결과와 타원의 기하학적 성질을 이용하여 계산할 수 있다. 특정 상대 각운동량 $h$는 원지점과 근지점에서 각각 다음과 같이 표현된다.
$h\; =\; r\_a\; v\_a\; =\; r\_p\; v\_p$

활력방정식 $v^2\; =\; GM\; \backslash left(\; \backslash frac\{2\}\{r\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{a\}\; \backslash right)$을 이용하여 원지점 속도 $v\_a$와 근지점 속도 $v\_p$를 구하면 다음과 같다.
$v\_a^2\; =\; GM\; \backslash left(\; \backslash frac\{2\}\{r\_a\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{a\}\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{GM\}\{a\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{2a-r\_a\}\{r\_a\}\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{GM\}\{a\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{r\_p\}\{r\_a\}\; \backslash right)$
$v\_p^2\; =\; GM\; \backslash left(\; \backslash frac\{2\}\{r\_p\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{a\}\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{GM\}\{a\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{2a-r\_p\}\{r\_p\}\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{GM\}\{a\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{r\_a\}\{r\_p\}\; \backslash right)$
여기서 $a$는 장반축, $r\_a$는 원지점 거리, $r\_p$는 근지점 거리이며, $r\_a\; +\; r\_p\; =\; 2a$ 관계를 사용했다.

특정 상대 각운동량 $h$를 계산하기 위해 위 식들을 이용한다.
$h^2\; =\; r\_a^2\; v\_a^2\; =\; r\_a^2\; \backslash frac\{GM\}\{a\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{r\_p\}\{r\_a\}\; \backslash right)\; =\; r\_a\; r\_p\; \backslash frac\{GM\}\{a\}$
$h^2\; =\; r\_p^2\; v\_p^2\; =\; r\_p^2\; \backslash frac\{GM\}\{a\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{r\_a\}\{r\_p\}\; \backslash right)\; =\; r\_p\; r\_a\; \backslash frac\{GM\}\{a\}$

타원의 기하학적 성질로부터 장반축 $a$와 단반축 $b$, 그리고 원지점/근지점 거리 사이에는 다음 관계가 성립한다.
$r\_a\; r\_p\; =\; b^2$

따라서 특정 상대 각운동량 $h$는 다음과 같이 표현된다.
$h^2\; =\; b^2\; \backslash frac\{GM\}\{a\}$
$h\; =\; b\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{GM\}\{a\}\}$

최종적으로 총 각운동량 $L$은 궤도를 도는 물체의 질량 $m$과 특정 상대 각운동량 $h$의 곱이므로 다음과 같다.
$L\; =\; mh\; =\; mb\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{GM\}\{a\}\}$

4. 실제 응용

활력방정식은 천체의 총 질량과 궤도상의 한 지점에서의 거리 $r$과 속도 $v$가 주어졌을 때 유용하게 활용된다. 이 정보를 바탕으로 궤도상의 다른 지점에서의 거리와 속도를 계산할 수 있으며, 비 궤도 에너지 $\backslash varepsilon\backslash ,\backslash !$ 또한 구할 수 있다. 계산된 비 궤도 에너지를 통해 특정 천체가 준궤도 비행을 하는지, 안정적인 궤도를 도는지, 혹은 중심 천체의 중력권을 벗어나는지 등을 판단하는 데 사용될 수 있다. 또한, 활력방정식은 특정 거리에서 천체의 중력을 벗어나기 위한 최소 속도인 탈출 속도를 계산하는 데에도 응용된다.

4.1. 궤도 계산 및 분류

총 질량과 궤도의 한 지점에서의 거리 r과 속도 v가 주어지면 다음 값들을 계산할 수 있다.

* 궤도상의 다른 모든 지점에서의 거리 r 및 속도 v
* 비 궤도 에너지 $\backslash varepsilon\backslash ,\backslash !$

비 궤도 에너지 $\backslash varepsilon$를 통해, 특정 물체가 더 큰 물체 주위를 도는 궤도의 유형을 다음과 같이 분류할 수 있다.

* [[준궤도]]: 물체가 궤도를 계속 유지하기에 에너지가 충분하지 않은 경우이다. 탄도 미사일이 대표적인 예이다.
* 궤도: 물체가 궤도를 돌기에 충분한 에너지를 가지고 있지만, 다른 물체와 충돌할 가능성이 있어 완전한 궤도를 돌지 못할 수도 있는 경우이다.
* 탈출 궤도: 물체가 중심 천체의 중력권을 벗어나 무한히 멀리 이동하거나, 반대로 무한히 먼 곳에서 접근할 만큼 에너지가 충분한 경우이다. 유성 등이 이에 해당될 수 있다.

탈출 속도 공식은 활력방정식에서 궤도 장반경 $a$가 무한대($\backslash infty$)로 가는 극한 상황을 가정하여 유도할 수 있다.
$$v\_e^2\; =\; GM\; \backslash left(\backslash frac\{2\}\{r\}-0\; \backslash right)\; \backslash rightarrow\; v\_e\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{2GM\}\{r\}\}$$
여기서 $v\_e$는 탈출 속도, $G$는 만유인력 상수, $M$은 중심 천체의 질량, $r$은 중심 천체로부터의 거리이다.

4.2. 탈출 속도 공식

탈출 속도의 공식은 궤도 장반경 $a$가 $\backslash infty$로 접근하는 극한을 활력방정식에 적용하여 얻을 수 있다.
$$v\_e^2\; =\; GM\; \backslash left(\backslash frac\{2\}\{r\}-0\; \backslash right)\; \backslash rightarrow\; v\_e\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{2GM\}\{r\}\}$$