쌍곡선

1. 개요

쌍곡선은 평면 위의 한 점에서 두 고정점(초점)까지의 거리 차이가 일정한 점들의 자취로 정의되는 원뿔 곡선의 일종이다. 이는 입방배적 문제를 연구하는 과정에서 발견되었으며, '넘어 던져진' 또는 '과도한'을 의미하는 그리스어에서 유래했다. 쌍곡선은 다양한 매개변수 방정식과 성질을 가지며, 과학, 공학, 측위, 해시계, 케플러 문제 등 다양한 분야에 응용된다.

2. 역사

"쌍곡선"이라는 단어는 "넘어 던져진" 또는 "과도한"을 의미하는 그리스어 ὑπερβολή^{고대 그리스어}에서 유래했으며, 영어 단어 하이퍼볼레도 같은 어원에서 나왔다. 쌍곡선, 타원, 포물선의 이름은 초기 피타고라스 학파가 사용하던 용어에서 유래했다. 이 용어들은 고정된 넓이의 직사각형과 주어진 선분을 비교하는 과정에서 나왔는데, 직사각형이 선분에 "적용될"(길이가 같음) 수 있거나, 선분보다 짧거나, 선분보다 길 수 있다는 것을 나타냈다.

2.1. 고대

쌍곡선은 메나이크무스가 입방배적 문제를 연구하는 과정에서 발견되었지만, 당시에는 둔각 원뿔의 단면이라고 불렸다. 쌍곡선이라는 용어는 페르가의 아폴로니우스(기원전 262년~190년)가 원뿔곡선에 관한 그의 저서 『원뿔곡선론』(Conics)에서 처음 사용한 것으로 여겨진다.

3. 정의

쌍곡선은 기하학적으로 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있다.

# 두 고정점(초점) $F\_1$, $F\_2$에 대해, $|PF\_1|\backslash ,,\; |PF\_2|$의 절댓값 차이가 일정한( $2a,\backslash ,\; a>0$ ) 점 $P$들의 집합이다.
# 점 $F$(초점)와, $F$를 지나지 않는 직선 $l$(준선), $e\; >\; 1$ 인 실수 $e$ 에 대해, 점과 직선까지의 거리의 비가 $e$인 점들의 집합이다.

($e\; =\; 1$이면 포물선이 되고, 이면 타원이 된다.)

첫 번째 정의에서, 초점을 잇는 선분의 중점 $M$은 쌍곡선의 중심이 된다. 초점을 지나는 직선은 장축이며, 장축에는 중심으로부터 거리가 $a$인 꼭짓점 $V\_1,\; V\_2$가 있다. 초점에서 중심까지의 거리 $c$는 초점 거리 또는 선형 이심률이라고 하며, $\backslash tfrac\; c\; a$의 비율을 이심률 $e$라고 한다.

$\backslash left|\backslash left|PF\_2\backslash right|\; -\; \backslash left|PF\_1\backslash right|\backslash right|\; =\; 2a$는 다른 관점에서 볼 수 있다(그림 참조).
$c\_2$가 중심이 $F\_2$이고 반지름이 $2a$인 원이라면, 오른쪽 가지의 점 $P$에서 원 $c\_2$까지의 거리는 초점 $F\_1$까지의 거리와 같다.
:$|PF\_1|=|Pc\_2|.$
$c\_2$를 쌍곡선의 원형 준선(초점 $F\_2$와 관련됨)이라고 한다. 쌍곡선의 왼쪽 가지를 얻으려면 $F\_1$과 관련된 원형 준선을 사용해야 한다.

두 번째 정의에서 사용되는, 중심에서 거리가 $d\; =\; \backslash frac\{a^2\}c$이고, 작은 축에 평행한 두 직선을 쌍곡선의 준선이라고 한다(그림 참조). 쌍곡선 위의 임의의 점 $P$에 대해, 한 초점까지의 거리와 대응하는 준선까지의 거리의 비(그림 참조)는 이심률과 같다.
:$\backslash frac$

👆

좌우로 밀어서 보기

📌 열 고정 해제

👆

좌우로 밀어서 보기

📌 열 고정 해제

= \frac

👆

좌우로 밀어서 보기

📌 열 고정 해제

👆

좌우로 밀어서 보기

📌 열 고정 해제

= e= \frac{c}{a} \, .

한편, 쌍곡선은 직교좌표계에서 다음과 같은 이차방정식으로 정의할 수도 있다.
:$$
A_{xx} x^{2} + 2 A_{xy} xy + A_{yy} y^{2} + 2 B_{x} x + 2 B_{y} y + C = 0


이때, 계수 A_xx, A_xy, A_yy, B_x, B_y, C 가 다음을 만족해야 한다.
:$$
D = \begin{vmatrix} A_{xx} & A_{xy}\\A_{xy} & A_{yy} \end{vmatrix} < 0\,


특별한 경우로, 교차하는 두 직선으로 이루어진 퇴화 쌍곡선(degenerate hyperbola)이 있으며, 이는 아래의 행렬식 Δ가 0일 때 발생한다.
:$$
\Delta := \begin{vmatrix} A_{xx} & A_{xy} & B_{x} \\A_{xy} & A_{yy} & B_{y}\\B_{x} & B_{y} & C \end{vmatrix} = 0

이 행렬식 Δ를 원뿔곡선의 판별식이라 부르기도 한다.

3.1. 용어

쌍곡선 관련 변수 설명:
* a — 중심 C로부터 꼭짓점까지의 거리
* b — 꼭짓점에서 횡단축에 수직하게 점근선까지 그은 선분의 길이
* c — 중심 C에서 초점, F₁ 또는 F₂까지의 거리
* θ — 점근선과 횡단축이 이루는 각

초점이 $x$축 위에 있고, 원점을 중심으로 대칭인 쌍곡선은 직교 좌표계로 표현하면 다음과 같은 식이 된다.
:$\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}\; -\; \backslash frac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1$
여기서 $a,\; b$는 고정된 상수값이다.

$\backslash textstyle\; c\; =\; \backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\}$일 때, 초점의 좌표는 $(-c,0),\; (c,0)$이다.

쌍곡선의 이심률(Eccentricity)은 $\backslash frac\{c\}\{a\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\}\}\{a\}$으로 정의된다.

쌍곡선의 점근선은 $y\; =\; \backslash pm\; \backslash frac\{b\}\{a\}\; x$으로, 두 개의 직선이 된다.

두 축을 점근선으로 하는 쌍곡선은 $xy=k$ ($k$는 고정된 상수) 식으로 표현 가능하다.

4. 방정식

* a — 중심 ‘’C’’로부터 꼭짓점 까지의 거리
* b — 꼭짓점에서 횡단축에 수직하게 점근선까지 그은 선분의 길이
* c — 중심 ‘’C’’에서 초점, F₁ 또는 F₂까지의 거리
* θ — 점근선과 횡단축이 이루는 각

두 축을 점근선으로 하는 쌍곡선은 다음과 같은 식으로 표현 가능하다.
:$xy=k$ (단, $k$는 상수)

유클리드 평면의 아핀 변환은 $\backslash vec\; x\; \backslash to\; \backslash vec\; f\_0+A\backslash vec\; x$의 형태를 갖는다. 여기서 $A$는 정칙 행렬(그 행렬식은 0이 아니다)이고 $\backslash vec\; f\_0$는 임의의 벡터이다. 만약 $\backslash vec\; f\_1,\; \backslash vec\; f\_2$가 행렬 $A$의 열 벡터라면, 단위 쌍곡선 $(\backslash pm\backslash cosh(t),\backslash sinh(t)),\; t\; \backslash in\; \backslash R,$은 다음 쌍곡선으로 사상된다.

:$$\backslash vec\; x\; =\; \backslash vec\; p(t)=\backslash vec\; f\_0\; \backslash pm\backslash vec\; f\_1\; \backslash cosh\; t\; +\backslash vec\; f\_2\; \backslash sinh\; t\; \backslash \; .$$

$\backslash vec\; f\_0$는 중심이고, $\backslash vec\; f\_0+\; \backslash vec\; f\_1$은 쌍곡선 위의 한 점이며, $\backslash vec\; f\_2$는 이 점에서의 접선 벡터이다. 크래머의 법칙을 이용하여 매개변수 표현 $\backslash cosh\; t,\; \backslash sinh\; t$를 풀고 $\backslash ;\backslash cosh^2t-\backslash sinh^2t\; -1\; =\; 0\backslash ;$를 사용하면 다음과 같은 음함수 표현을 얻는다.
:$$\backslash det\backslash left(\backslash vec\; x\backslash !-\backslash !\backslash vec\; f\backslash !\_0,\backslash vec\; f\backslash !\_2\backslash right)^2\; -\; \backslash det\backslash left(\backslash vec\; f\backslash !\_1,\backslash vec\; x\backslash !-\backslash !\backslash vec\; f\backslash !\_0\backslash right)^2\; -\; \backslash det\backslash left(\backslash vec\; f\backslash !\_1,\backslash vec\; f\backslash !\_2\backslash right)^2\; =\; 0\; .$$

방정식 에서 왼쪽 초점은 $(-ae,0)$이고 오른쪽 초점은 $(ae,0)$이다. 여기서 $e$는 이심률이다. 점 $(x,\; y)$에서 왼쪽 및 오른쪽 초점까지의 거리를 $r\_1$과 $r\_2$로 나타낸다. 오른쪽 가지의 점에 대해서는 $r\_1\; -\; r\_2\; =\; 2\; a,$이고 왼쪽 가지의 점에 대해서는 $r\_2\; -\; r\_1\; =\; 2\; a.$이다.

핀, 실, 자를 이용하여 쌍곡선의 호를 그리는 방법은 다음과 같다.
# 초점 $F\_1,F\_2$와 원형 준선 $c\_2$(반지름 $2a$의 원)을 선택한다.
# 자는 점 $F\_2$에 고정하고 $F\_2$를 중심으로 회전할 수 있게 한다. 점 $B$는 $2a$ 거리에 표시한다.
# 실의 한쪽 끝은 자의 점 $A$에 고정하고 길이는 $|AB|$로 한다.
# 실의 다른 쪽 끝은 점 $F\_1$에 고정한다.
# 펜을 사용하여 실을 자의 가장자리에 팽팽하게 고정한다.
# 자를 $F\_2$를 중심으로 회전하면 $|PF\_1|\; =\; |PB|$이므로(원형 준선을 이용한 쌍곡선의 정의 참조) 펜이 쌍곡선의 우측 가지의 호를 그린다.

슈타이너 곡선 생성을 이용하여 쌍곡선의 점들을 구성하는 방법은 다음과 같다.

쌍곡선 $\backslash tfrac\{x^2\}\{a^2\}-\backslash tfrac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1$의 점들을 생성하기 위해, 꼭짓점 $V\_1,\; V\_2$에서의 선속을 사용한다. $P\; =\; (x\_0,\; y\_0)$를 쌍곡선 위의 한 점이라고 하고, $A\; =\; (a,\; y\_0),\; B\; =\; (x\_0,\; 0)$이라고 하자. 선분 $\backslash overline\{BP\}$를 n개의 등간격으로 나누고, 이 나누기를 대각선 $AB$를 방향으로 하는 평행투영으로 선분 $\backslash overline\{AP\}$에 투영한다 (그림 참조). 이 평행투영은 $V\_1$과 $V\_2$에서의 선속 사이의 사영 사상의 일부이다. 임의의 두 관련된 직선 $S\_1\; A\_i$와 $S\_2\; B\_i$의 교점은 유일하게 정의된 쌍곡선 위의 점들이다.

참고:
* A와 B 점 너머로 세분을 확장하여 더 많은 점을 얻을 수 있지만, 교점을 결정하는 것이 더 부정확해진다. 이미 구성된 점들을 대칭으로 확장하는 것이 더 좋은 방법이다.
* 슈타이너 생성은 타원과 포물선에도 존재한다.
* 슈타이너 생성은 때때로 직사각형 대신 평행사변형으로 시작하는, 꼭짓점이 아닌 다른 점들을 사용할 수 있기 때문에 평행사변형 방법이라고 불린다.

방정식 $\backslash tfrac\{x^2\}\{a^2\}\; -\; \backslash tfrac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1$을 갖는 쌍곡선은 다음과 같은 여러 매개변수 방정식으로 나타낼 수 있다.
# 쌍곡선 삼각함수를 이용한 방법
# 유리 함수를 이용한 방법
# 원형 삼각함수를 이용한 방법
# 접선의 기울기를 매개변수로 사용하는 방법: 타원의 경우와 유사하게 쌍곡선 위의 한 점에서 접선의 기울기 m을 사용하는 매개변수 표현을 얻을 수 있다. 타원의 경우에서 b²을 −b²으로 바꾸고 쌍곡선 함수에 대한 공식을 사용하면 다음을 얻는다.
:$$
\vec c_\pm(m) = \left(-\frac{ma^2}{\pm\sqrt{m^2a^2 - b^2}}, \frac{-b^2}{\pm\sqrt{m^2a^2 - b^2}}\right),\quad |m| > b/a.

여기서 $\backslash vec\; c\_-$는 쌍곡선의 위쪽 반쪽이고, $\backslash vec\; c\_+$는 아래쪽 반쪽이다. 수직 접선을 갖는 점(꼭짓점 $(\backslash pm\; a,\; 0)$)은 이 표현에 포함되지 않는다. 점 $\backslash vec\; c\_\backslash pm(m)$에서 접선의 방정식은 $y\; =\; m\; x\; \backslash pm\backslash sqrt\{m^2a^2\; -\; b^2\}.$이다. 쌍곡선의 접선에 대한 이러한 기술은 정직교를 결정하는 데 필수적인 도구이다.

4.1. 표준형

직교 좌표계에서 초점이 $x$축 위에 있고 원점에 대해 대칭인 쌍곡선은 다음과 같은 식으로 표현된다.

:$\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}\; -\; \backslash frac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1$

여기서 $a,\; b$는 상수값이다. 이 방정식을 쌍곡선의 표준형이라고 한다.

$\backslash textstyle\; c\; =\; \backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\}$일 때, 초점의 좌표는 $(-c,0),\; (c,0)$이다. 쌍곡선의 이심률은 $\backslash frac\{c\}\{a\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\}\}\{a\}$로 정의된다. 쌍곡선의 점근선은 $y\; =\; \backslash pm\; \backslash frac\{b\}\{a\}\; x$로, 두 개의 직선이 된다.

좌표계의 원점을 쌍곡선의 중심으로 하고, x축을 장축으로 하면, 쌍곡선은 동서 방향으로 열리는 쌍곡선이 되며,

* 초점은 점 $F\_1=(c,0),\backslash \; F\_2=(-c,0)$이고,
* 꼭짓점은 $V\_1=(a,\; 0),\backslash \; V\_2=(-a,0)$이다.

임의의 점 $(x,y)$에서 초점 $(c,0)$까지의 거리는 $\backslash sqrt\{(x-c)^2\; +\; y^2\}$이고, 다른 초점 $\backslash sqrt\{(x+c)^2\; +\; y^2\}$까지의 거리이다. 따라서 점 $(x,y)$가 쌍곡선 위에 있다면 다음 조건이 성립한다.

:$$\backslash sqrt\{(x-c)^2\; +\; y^2\}\; -\; \backslash sqrt\{(x+c)^2\; +\; y^2\}\; =\; \backslash pm\; 2a\; \backslash \; .$$

제곱근을 제거하고 $b^2\; =\; c^2-a^2$의 관계를 사용하면 쌍곡선의 방정식, 즉 표준형을 얻는다.

쌍곡선은 두 좌표축에 대해 대칭이고, 따라서 원점에 대해 대칭이다.

👆

좌우로 밀어서 보기

📌 열 고정 해제

쌍곡선의 표준형

표준형	$\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}\; -\; \backslash frac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1$	$\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}\; -\; \backslash frac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; -1$
점근선	$\backslash frac\{x\}\{a\}\; \backslash pm\; \backslash frac\{y\}\{b\}\; =\; 0$	$\backslash frac\{x\}\{a\}\; \backslash pm\; \backslash frac\{y\}\{b\}\; =\; 0$
초점	$(\backslash pm\backslash sqrt\{a^2+b^2\},0)$	$(0,\backslash pm\backslash sqrt\{a^2+b^2\})$
꼭짓점	$(\backslash pm\{a\},0)$	$(0,\backslash pm\{b\})$
준선	$x\; =\; \backslash pm\backslash frac\{a^2\}\{\backslash sqrt\{a^2+b^2\}\}$	$y\; =\; \backslash pm\backslash frac\{b^2\}\{\backslash sqrt\{a^2+b^2\}\}$
이심률	$e\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{a^2+b^2\}\}\{a\}$	$e\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{a^2+b^2\}\}\{b\}$

반비례 그래프도 쌍곡선의 일종이다. 이것은 직각쌍곡선을 원점을 중심으로 $45°$만큼 회전시킨 쌍곡선과 같다.

4.2. 일반형

직교좌표계에서 쌍곡선은 다음과 같은 이차 방정식으로 표현될 수 있다.

:$A\_\{xx\}\; x^\{2\}\; +\; 2\; A\_\{xy\}\; xy\; +\; A\_\{yy\}\; y^\{2\}\; +\; 2\; B\_\{x\}\; x\; +\; 2\; B\_\{y\}\; y\; +\; C\; =\; 0$

여기서 계수 A_xx, A_xy, A_yy, B_x, B_y, C는 다음 조건을 만족해야 한다.

:

두 직선이 교차하는 형태인 퇴화 쌍곡선(degenerate hyperbola)은 특수한 경우이며, 다음 조건을 만족할 때 나타난다.

:

Δ는 판별식이라고도 불린다.

쌍곡선의 중심 (x_c, y_c)는 다음 식으로 구할 수 있다.

:

:

쌍곡선의 중심을 원점으로 평행이동한 새로운 좌표계 ξ^영어 = x - x_c 와 η^영어 = y - y_c를 사용하면, 쌍곡선의 방정식은 다음과 같이 표현된다.

:$A\_\{xx\}\; \backslash xi^\{2\}\; +\; 2A\_\{xy\}\; \backslash xi\backslash eta\; +\; A\_\{yy\}\; \backslash eta^\{2\}\; +\; \backslash frac\{\backslash Delta\}\{D\}\; =\; 0$

쌍곡선의 주축은 양의 x-축과 Φ의 각을 이루는데, 여기서 Φ는 다음 식으로 계산된다.

:$\backslash tan\; 2\backslash Phi\; =\; \backslash frac\{2A\_\{xy\}\}\{A\_\{xx\}\; -\; A\_\{yy\}\}$

좌표축을 회전하여 x-축이 횡단축과 일치하도록 하면, 앞의 이차방정식은 다음과 같은 쌍곡선의 표준형 방정식으로 바뀐다.

:$\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}\; -\; \backslash frac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1$

2차원 직교좌표계에서 두 초점의 좌표를 각각 (a, b), (c, d)라 하고, 두 초점으로부터의 거리 차의 절댓값을 k라고 하면, 쌍곡선의 방정식은 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash left|\; \backslash sqrt\{(x-a)^2\; +\; (y-b)^2\}\; -\; \backslash sqrt\{(x-c)^2\; +\; (y-d)^2\}\; \backslash ,\backslash right|\; =\; k$

이 방정식은 적절한 변형을 통해 아래와 같은 형태로 나타낼 수 있다.

:$Ax^2\; +\; Bxy\; +\; Cy^2\; +\; Dx\; +\; Ey\; +\; F\; =\; 0$ (단, A, B, C, D, E, F는 실수)

4.3. 매개변수 방정식

쌍곡선은 쌍곡선 함수를 이용하여 다음과 같이 매개변수로 표현할 수 있다.
: $$
\begin{cases}
x = \pm a \cosh t \\
y = b \sinh t
\end{cases}

또한, 왼쪽 꼭짓점 (−a, 0)을 제외하고 유리 함수를 이용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.
: $$
\begin{cases}
x = a \frac{1 + t^2}{1 - t^2} \\
y = b \frac{2t}{1 - t^2}
\end{cases}

단, $t\; \backslash ne\; \backslash pm\; 1$이다.

5. 성질

* a: 중심 ‘’C’’에서 꼭짓점까지의 거리
* b: 꼭짓점에서 횡단축에 수직으로 점근선까지 그은 선분의 길이
* c: 중심 ‘’C’’에서 초점 F₁ 또는 F₂까지의 거리
* θ: 점근선과 횡단축이 이루는 각

초점이 $x$축 위에 있고 원점을 중심으로 대칭인 쌍곡선은 직교 좌표계에서 다음과 같이 표현된다.
:$\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}\; -\; \backslash frac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1$
여기서 $a,\; b$는 상수이다.
$\backslash textstyle\; c\; =\; \backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\}$일 때, 초점의 좌표는 $(-c,0),\; (c,0)$이다.

쌍곡선의 이심률은 $\backslash frac\{c\}\{a\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\}\}\{a\}$로 정의된다.

쌍곡선의 점근선은 $y\; =\; \backslash pm\; \backslash frac\{b\}\{a\}\; x$로, 두 개의 직선이 된다.

두 축을 점근선으로 하는 쌍곡선은 $xy=k$ ($k$는 상수)로 표현 가능하다.

쌍곡선은 직교좌표계에서 이차방정식
:$$
A_{xx} x^{2} + 2 A_{xy} xy + A_{yy} y^{2} + 2 B_{x} x + 2 B_{y} y + C = 0

으로 정의할 수도 있다. 이 방정식의 계수 A_xx, A_xy, A_yy, B_x, B_y, C 가
:$$
D = \begin{vmatrix} A_{xx} & A_{xy}\\A_{xy} & A_{yy} \end{vmatrix} < 0\,

을 만족하면 쌍곡선을 나타낸다.

퇴화 쌍곡선은 교차하는 두 직선으로 이루어지며, 이차방정식의 계수를 원소로 하는 행렬식
:$$
\Delta := \begin{vmatrix} A_{xx} & A_{xy} & B_{x} \\A_{xy} & A_{yy} & B_{y}\\B_{x} & B_{y} & C \end{vmatrix} = 0

을 만족하면 퇴화 쌍곡선을 나타낸다. Δ는 원뿔곡선의 판별식이라고도 한다.

쌍곡선의 중심 (x_c, y_c)은
:$$
x_{c} = -\frac{1}{D} \begin{vmatrix} B_{x} & A_{xy} \\B_{y} & A_{yy} \end{vmatrix}


:$$
y_{c} = -\frac{1}{D} \begin{vmatrix} A_{xx} & B_{x} \\A_{xy} & B_{y} \end{vmatrix}

로 구할 수 있다.

새로운 좌표계 ξ = x - x_c 와 η = y - y_c를 이용하면 쌍곡선의 방정식은

:$$
A_{xx} \xi^{2} + 2A_{xy} \xi\eta + A_{yy} \eta^{2} + \frac{\Delta}{D} = 0

으로 쓸 수 있다.

쌍곡선의 주축은 양의 ‘’x’’-축과 Φ ($$
\tan 2\Phi = \frac{2A_{xy}}{A_{xx} - A_{yy}}
)의 각을 이룬다.

좌표축을 회전하여 ‘’x’’-축이 횡단축과 일치하도록 하면 이차방정식은 쌍곡선의 표준형 방정식

:$$
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

으로 바꿀 수 있다.

직교 좌표계에서 다음 성질들이 증명 가능하다.

* 쌍곡선 위의 모든 점은 두 초점과의 거리의 차가 일정하다.
* 한 초점에서 나온 빛은 쌍곡선에 반사되면 다른 초점에서 나온 빛처럼 보인다.
* 쌍곡선 위의 점에서 점근선에 수선의 발을 내리면 그 길이의 곱은 일정하다.
* 쌍곡선 위의 한 점을 지나며 두 점근선에 평행한 두 개의 직선과 두 점근선으로 이루어진 평행사변형의 면적은 일정하다.
* 초점이 일치하는 쌍곡선과 타원은 교점에서 각각의 접선이 수직이다.

쌍곡선 $\backslash textstyle\; \backslash frac\{x^2\}\{a^2\}\; -\; \backslash frac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1$ 위의 한 점 $(x\_1\; ,\; y\_1)$에서의 접선의 방정식은
:$\backslash frac\{xx\_1\}\{a^2\}\; -\; \backslash frac\{yy\_1\}\{b^2\}\; =\; 1$
이다. 기울기 $m$이 주어질 때의 접선의 방정식은
:$y\; =\; mx\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{a^2\; m^2\; -\; b^2\}$
이다.

5.1. 기하학적 성질

쌍곡선은 유클리드 평면에서 점들의 집합으로, 기하학적으로 다음과 같이 정의할 수 있다.

쌍곡선은 임의의 점 P에 대해 두 고정점 F₁, F₂ (초점)까지의 거리의 절댓값 차 |PF₁|, |PF₂|가 일정한 (일반적으로 2a, a>0로 표시됨) 점들의 집합이다. 초점을 잇는 선분의 중점 M을 쌍곡선의 중심이라고 한다. 초점을 지나는 직선을 장축이라고 하며, 장축에는 중심으로부터 거리가 a인 꼭짓점 V₁, V₂가 있다. 초점에서 중심까지의 거리 c를 초점 거리 또는 선형 이심률이라고 하며, c/a의 비율을 이심률 e라고 한다.

방정식 ||PF₂| - |PF₁|| = 2a는 다른 관점에서 볼 수 있다. 중심이 F₂이고 반지름이 2a인 원 c₂를 생각하면, 오른쪽 가지의 점 P에서 원 c₂까지의 거리는 초점 F₁까지의 거리와 같다. 즉, |PF₁|=|Pc₂|이다. c₂를 쌍곡선의 원형 준선(초점 F₂와 관련됨)이라고 한다. 쌍곡선의 왼쪽 가지는 F₁과 관련된 원형 준선을 사용하여 얻을 수 있다.

중심에서 거리가 d = a²/c이고, 작은 축에 평행한 두 직선을 쌍곡선의 준선이라고 한다. 쌍곡선 위의 임의의 점 P에 대해, 한 초점까지의 거리와 대응하는 준선까지의 거리의 비는 이심률과 같다. 즉, |PF₁|/|Pl₁| = |PF₂|/|Pl₂| = e = c/a이다.

역으로, 임의의 점 F(초점), F를 지나지 않는 임의의 직선 l(준선), 그리고 e > 1인 임의의 실수 e에 대해, 점과 직선까지의 거리의 비가 e인 점들의 집합은 쌍곡선이다. (e = 1이면 포물선, e < 1이면 타원이 된다.)

쌍곡선의 중심을 원점으로 하고 벡터 f₁, f₂의 길이가 같다고 가정하면, 점 p(t₀) = f₁t₀ + f₂(1/t₀)에서의 접선과 점근선의 교점은 C = 2t₀f₁, D = (2/t₀)f₂이다. 삼각형 MCD의 넓이는 A = ab로, 쌍곡선 위의 점에 무관하다.

점 P에서의 접선은 선분 PF₁, PF₂ 사이의 각을 이등분한다. 이를 쌍곡선의 광학적 성질 또는 반사 성질이라고 한다.

쌍곡선의 평행현의 중점들은 중심을 지나는 직선 위에 있다. 현의 점들은 쌍곡선의 서로 다른 가지에 있을 수 있다.

적절한 좌표계에서 임의의 쌍곡선은 방정식 x²/a² - y²/b² = 1로 나타낼 수 있다. 쌍곡선 위의 점 P₀=(x₀, y₀)에서의 접선의 방정식은 x₀x/a² - y₀y/b² = 1이다. 점 P₀=(x₀, y₀)를 원점이 아닌 임의의 점으로 허용하면, 점 P₀=(x₀, y₀) ≠ (0,0)는 쌍곡선의 중심을 지나지 않는 직선 x₀x/a² - y₀y/b² = 1에 대응된다. 이러한 점과 직선 사이의 관계를 극-극선 관계 또는 극성이라고 한다.

쌍곡선의 극-극선 관계의 성질은 다음과 같다.

* 쌍곡선 위의 점(극)에 대해, 극선은 그 점에서의 접선이다.
* 쌍곡선 외부의 극 P에 대해, 그 극선과 쌍곡선의 교점은 P를 지나는 두 접선의 접점이다.
* 쌍곡선 내부의 점에 대해, 극선은 쌍곡선과 공통점을 갖지 않는다.

5.2. 점근선

쌍곡선은 두 개의 점근선을 가지며, $|x|$가 클 때 쌍곡선은 두 직선에 접근한다. 이 두 직선은 중심(원점)에서 교차하며, 쌍곡선 $\backslash tfrac\{x^2\}\{a^2\}-\backslash tfrac\{y^2\}\{b^2\}=\; 1$의 점근선이라고 한다. 점근선의 방정식은 다음과 같다.

:$y\; =\; \backslash pm\; \backslash frac\{b\}\{a\}x$

즉, 두 개의 직선이 된다.

* 초점에서 점근선까지의 수직 거리는 $b$(반단축)이다.
* 쌍곡선 위의 한 점에서 두 점근선까지의 거리의 곱은 상수 $\backslash tfrac\{a^2b^2\}\{a^2+b^2\}$이며, 이심률 e로도 $\backslash left(\; \backslash tfrac\{b\}\{e\}\backslash right)\; ^2$로 나타낼 수 있다.
* 쌍곡선 위의 한 점에서 점근선에 평행한 직선을 따라 점근선까지의 거리의 곱은 상수 $\backslash tfrac\{a^2+b^2\}\{4\}$이다.

쌍곡선의 표준형에서 점근선의 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash frac\{x\}\{a\}\; \backslash pm\; \backslash frac\{y\}\{b\}\; =\; 0$

특히, $a\; =\; b$일 때, 점근선이 직교하는 쌍곡선을 직각쌍곡선이라고 한다.

5.3. 이심률

이심률(Eccentricity)은 쌍곡선의 모양을 결정하는 중요한 값으로, 중심에서 초점까지의 거리를 c, 중심에서 꼭짓점까지의 거리를 a라고 할 때, 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash frac\{c\}\{a\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\}\}\{a\}$

표준형으로 주어진 쌍곡선의 경우, 이심률은 다음과 같이 표현된다.

:$e=\backslash sqrt\{1+\backslash frac\{b^2\}\{a^2\}\}.$

두 쌍곡선이 닮음이 되기 위한 필요충분조건은 두 쌍곡선의 이심률이 같은 경우이다. 닮음인 쌍곡선은 평행이동, 회전, 반사, 확대 및 축소를 통해 서로 변환할 수 있다.

쌍곡선 위의 임의의 점 $P$에 대해, 한 초점까지의 거리와 대응하는 준선까지의 거리의 비는 이심률과 같다.

:$\backslash frac$

6. 응용

쌍곡선은 많은 해시계에서 볼 수 있다. 어떤 날이든 태양은 천구 위에서 원을 그리며 회전하고, 해시계의 한 점에 도달하는 태양 광선은 빛의 원뿔을 만들어낸다. 이 원뿔과 지면의 수평면이 만나는 부분은 원뿔곡선을 형성한다. 대부분의 인구 밀집 지역과 1년 중 대부분의 시간에 이 원뿔곡선은 쌍곡선이다. 실제로 막대기 끝의 그림자가 하루 동안 지면에 쌍곡선을 그리는데(이 경로를 경사선이라고 함), 이 쌍곡선의 모양은 지리적 위도와 연중 시기에 따라 달라진다. 이는 그러한 요인들이 지평선에 대한 태양 광선의 원뿔에 영향을 미치기 때문이다. 특정 위치에서 1년 동안 이러한 쌍곡선들을 모아놓은 것을 그리스인들은 이중날 도끼와 비슷하다고 하여 펠레키논(pelekinon)이라고 불렀다.

쌍곡선은 측위 문제를 푸는 기본이 된다. 측위 문제는 주어진 점들까지의 거리 차이(또는 점과 주어진 점들 사이의 동기화된 신호의 도착 시간 차이)를 이용하여 점의 위치를 찾는 작업이다. 이러한 문제는 특히 수상에서의 항해에 중요하며, 로란(LORAN)이나 GPS 송신기 신호의 도착 시간 차이를 이용해 선박의 위치를 찾을 수 있다.

현대 포트폴리오 이론에서, 평균-분산 효율적인 포트폴리오들의 자취(효율적 투자선이라고 함)는 포트폴리오 수익률의 표준편차를 수평축에, 기대수익률을 수직축에 잡았을 때, 동쪽으로 열리는 쌍곡선의 위쪽 반쪽에 해당한다.

생화학과 약리학에서 힐 방정식(Hill equation)과 힐-랭뮤어 방정식(Hill-Langmuir equation)은 각각 리간드 농도의 함수로서 생물학적 자극-반응 모델과 단백질-리간드 복합체 형성을 기술한다. 둘 다 직사각형 쌍곡선이다.

6.1. 과학

고전적인 케플러 문제에서 입자가 따라가는 경로는 원추곡선이다. 특히, 입자의 총에너지 E가 0보다 크다면 (즉, 입자가 속박되지 않았다면), 그 입자의 경로는 쌍곡선이다. 이러한 성질은 고에너지 입자의 산란을 통해 원자 및 아원자력을 연구하는 데 유용하다. 예를 들어, 러더퍼드 실험(Geiger–Marsden experiment)은 금 원자에서 알파 입자의 산란을 조사하여 원자핵의 존재를 증명했다. 단거리 핵 상호작용을 무시하면, 원자핵과 알파 입자는 반발적인 쿨롱 힘에 의해서만 상호 작용하는데, 이는 케플러 문제에 대한 역제곱 법칙 요건을 만족한다.

쌍곡선 삼각함수는 운하에서 솔리톤 파동의 운동을 기술하는 KdV 방정식의 한 해로 나타난다.

현대 포트폴리오 이론에서, 평균-분산 효율적인 포트폴리오들의 자취(효율적 투자선이라고 함)는 포트폴리오 수익률의 표준편차를 수평축에, 기대수익률을 수직축에 잡았을 때, 동쪽으로 열리는 쌍곡선의 위쪽 반쪽에 해당한다. 이 이론에 따르면, 모든 합리적인 투자자는 이 자취 위의 어떤 점으로 특징지어지는 포트폴리오를 선택할 것이다.

생화학과 약리학에서 힐 방정식(Hill equation)과 힐-랭뮤어 방정식(Hill-Langmuir equation)은 각각 리간드 농도의 함수로서 생물학적 자극-반응 모델과 단백질-리간드 복합체 형성을 기술한다. 둘 다 직사각형 쌍곡선이다.

6.2. 공학

쌍곡선은 측위 문제를 푸는 기본이 된다. 측위 문제는 주어진 점들까지의 거리 차이(또는 점과 주어진 점들 사이의 동기화된 신호의 도착 시간 차이)를 이용하여 점의 위치를 찾는 작업이다. 이러한 문제는 특히 수상에서의 항해에 중요하다. 선박은 로란(LORAN)이나 GPS 송신기로부터 신호의 도착 시간 차이를 이용하여 자신의 위치를 찾을 수 있다. 반대로, 두 개의 별도 수신국에서 신호의 도착 시간을 비교하여 호밍 비컨이나 어떤 송신기의 위치를 찾을 수 있다. 이러한 기술은 물체와 사람을 추적하는 데 사용될 수 있다. 특히, 두 주어진 점으로부터 거리 차이가 2a인 점의 가능한 위치 집합은 초점이 두 주어진 점이고 꼭짓점 간 거리가 2a인 쌍곡선이다.

현대 포트폴리오 이론에서, 평균-분산 효율적인 포트폴리오들의 자취(효율적 투자선이라고 함)는 포트폴리오 수익률의 표준편차를 수평축에, 기대수익률을 수직축에 잡았을 때, 동쪽으로 열리는 쌍곡선의 위쪽 반쪽에 해당한다. 이 이론에 따르면, 모든 합리적인 투자자는 이 자취 위의 어떤 점으로 특징지어지는 포트폴리오를 선택할 것이다.

6.3. 기타

쌍곡선은 많은 해시계에서 볼 수 있다. 어떤 날이든 태양은 천구 위에서 원을 그리며 회전하고, 해시계의 한 점에 도달하는 태양 광선은 빛의 원뿔을 만들어낸다. 이 원뿔과 지면의 수평면이 만나는 부분은 원뿔곡선을 형성한다. 대부분의 인구 밀집 지역과 1년 중 대부분의 시간에 이 원뿔곡선은 쌍곡선이다. 실제로 막대기 끝의 그림자가 하루 동안 지면에 쌍곡선을 그리는데(이 경로를 경사선이라고 함), 이 쌍곡선의 모양은 지리적 위도와 연중 시기에 따라 달라진다. 이는 그러한 요인들이 지평선에 대한 태양 광선의 원뿔에 영향을 미치기 때문이다. 특정 위치에서 1년 동안 이러한 쌍곡선들을 모아놓은 것을 그리스인들은 이중날 도끼와 비슷하다고 하여 펠레키논(pelekinon)이라고 불렀다.

페르가의 아폴로니우스가 처음으로 보여주었듯이, 쌍곡선을 이용하여 어떤 각도든지 삼등분할 수 있다. 이것은 기하학에서 잘 연구된 문제이다. 주어진 각에 대해, 먼저 꼭짓점 O를 중심으로 하는 원을 그려 각의 변과 원이 만나는 점을 A와 B라고 하자. 다음으로, A와 B를 잇는 선분과 그 수직이등분선 $\backslash ell$을 작도한다. $\backslash ell$을 준선으로 하고 B를 초점으로 하는 이심률 e=2인 쌍곡선을 작도한다. P를 쌍곡선과 원이 만나는 (윗쪽) 교점이라고 하자. 그러면 각 POB는 각 AOB를 삼등분한다.

이를 증명하기 위해, 선분 OP를 직선 $\backslash ell$에 대해 대칭이동하여 P의 대칭점을 P′이라고 하자. 대칭이동에 의해 선분 AP′의 길이는 선분 BP의 길이와 같고, 쌍곡선의 이심률에 의해 선분 PP′의 길이는 선분 BP의 길이와 같다. OA, OP′, OP 그리고 OB는 모두 같은 원의 반지름(따라서 길이가 같다)이므로 삼각형 OAP′, OPP′ 그리고 OPB는 모두 합동이다. 따라서 3×POB = AOB이므로 각이 삼등분되었다.

7. 한국의 관점

한국에서 쌍곡선은 고등학교 수학 교육과정에서 중요한 개념으로 다루어진다. 한국의 전통 건축물에서도 쌍곡선의 형태를 찾아볼 수 있는데, 경복궁 근정전의 지붕 선이 쌍곡선과 유사한 곡선 형태를 띠고 있는 것이 그 예이다. 한국의 과학 기술 분야에서도 쌍곡선은 다양한 응용 사례를 가지고 있다. 예를 들어, 위성 통신 안테나, 초음속 비행체의 설계 등에서 쌍곡선의 원리가 활용된다.

8. 추가 정보

삼각함수가 단위원을 이용하여 정의되는 것처럼, 쌍곡선 함수는 단위 쌍곡선을 이용하여 정의된다. 단위원에서 각도(라디안 단위)는 그 각도가 이루는 원의 부채꼴 넓이의 두 배와 같다. 유사하게, 쌍곡각은 쌍곡선 부채꼴의 넓이의 두 배로 정의된다.

$a$를 원점을 지나는 광선과 단위 쌍곡선의 교차점 사이의 x축과의 넓이의 두 배라고 하자. 그리고 $(x,y)\; =\; (\backslash cosh\; a,\backslash sinh\; a)\; =\; (x,\; \backslash sqrt\{x^2-1\})$을 교차점의 좌표로 정의한다. 그러면 쌍곡선 부채꼴의 넓이는 삼각형의 넓이에서 꼭짓점 $(1,0)$을 지나는 곡선 영역을 뺀 것이다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\frac{a}{2} &= \frac{xy}{2} - \int_1^x \sqrt{t^{2}-1} \, dt \\[1ex]
&= \frac{1}{2} \left(x\sqrt{x^2-1}\right) - \frac{1}{2} \left(x\sqrt{x^2-1} - \ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\right),
\end{align}

이는 [[역쌍곡선 함수|역쌍곡선 코사인]]으로 간략화된다.

:$$a=\backslash operatorname\{arcosh\}x=\backslash ln\; \backslash left(x+\backslash sqrt\{x^2-1\}\backslash right).$$

$x$에 대해 풀면 쌍곡선 코사인의 지수 형태가 된다.

:$$x=\backslash cosh\; a=\backslash frac\{e^a+e^\{-a\}\}\{2\}.$$

$x^2-y^2=1$에서

:$$y=\backslash sinh\; a=\backslash sqrt\{\backslash cosh^2\; a\; -\; 1\}=\backslash frac\{e^a-e^\{-a\}\}\{2\},$$

그리고 그 역함수인 [[역쌍곡선 함수|역쌍곡선 사인]]:

:$$a=\backslash operatorname\{arsinh\}y=\backslash ln\; \backslash left(y+\backslash sqrt\{y^2+1\}\backslash right).$$

다른 쌍곡선 함수는 쌍곡선 코사인과 쌍곡선 사인에 따라 정의되므로, 예를 들어

:$$\backslash operatorname\{tanh\}a=\backslash frac\{\backslash sinh\; a\}\{\backslash cosh\; a\}=\backslash frac\{e^\{2a\}-1\}\{e^\{2a\}+1\}.$$

쌍곡선은 쌍곡선 함수를 이용하여 다음과 같이 매개변수 표현할 수 있다.

:$$
\begin{cases}
x = \pm a \cosh t \\
y = b \sinh t
\end{cases}


또한 쌍곡선에서 왼쪽 꼭짓점 $(-a,\; 0)$을 제외하면 유리 함수를 이용하여 다음과 같이 매개변수 표현할 수도 있다.

:$$
\begin{cases}
x = a \frac{1 + t^2}{1 - t^2} \\
y = b \frac{2t}{1 - t^2}
\end{cases}


단 $t\; \backslash neq\; \backslash pm\; 1$로 한다. 오른쪽 연결 성분은 에, 왼쪽 아래 연결 성분은 $t\; >\; 1$에, 왼쪽 위 연결 성분은 에 대응한다. 이것은 두 점 $(-a,\; 0)$과 $(0,\; tb)$을 지나는 직선 $ay\; =\; tb(x\; +\; a)$과 쌍곡선과의 교점의 하나로 얻어진다.

쌍곡선은 원, 타원, 포물선과 함께 원뿔 곡선의 한 종류이다. 원뿔 곡선은 원뿔을 평면으로 자를 때 생기는 곡선으로, 이심률에 따라 분류된다. 쌍곡선은 직원뿔을 원뿔의 꼭짓점을 지나지 않고 원뿔의 위쪽과 아래쪽을 모두 지나는 평면으로 잘라서 얻는 단면의 경계이다. 이심률이 e인 원뿔곡선을 C_e라 하자. 이때, e > 1이면 C_e는 쌍곡선이 된다.

원, 타원, 포물선, 쌍곡선에 대한 균일한 설명을 제공하는 것 외에도, 원뿔곡선은 장면이 원 또는 보다 일반적으로 타원으로 구성된 경우 원근법 기하학의 자연스러운 모델로 이해될 수 있다.

쌍곡선 $\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}-\backslash frac\{y^2\}\{b^2\}=1,\; \backslash ,\; a>b$에 대해, 직교하는 접선들의 교점은 원 $x^2+y^2=a^2-b^2$ 위에 놓인다. 이 원을 주어진 쌍곡선의 직교곡선이라고 한다.

8.1. 극좌표

쌍곡선은 극좌표를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

가장 일반적으로 사용되는 쌍곡선의 극좌표는, 첫 번째 그림에 묘사된 대로, "표준 좌표계"의 원점을 향하는 x축과 초점을 원점으로 하는 데카르트 좌표계를 기준으로 정의된다. 이 경우 각도 φ는 진 이상이라고 한다.

이 좌표계를 기준으로 하면 다음과 같다.

:$$r\; =\; \backslash frac\{p\}\{1\; \backslash mp\; e\; \backslash cos\; \backslash varphi\},\; \backslash quad\; p\; =\; \backslash frac\{b^2\}\{a\}$$

그리고

:

“표준 좌표계”(두 번째 그림 참조)를 기준으로 한 극좌표를 사용하면 다음과 같다.

:$$r\; =\backslash frac\{b\}\{\backslash sqrt\{e^2\; \backslash cos^2\; \backslash varphi\; -1\}\}\; .\backslash ,$$

쌍곡선의 우측 가지에 대해 $\backslash varphi$의 범위는 다음과 같다.

:

극좌표를 사용할 때, 쌍곡선의 이심률은 $\backslash sec\backslash varphi\_\backslash text\{max\}$로 표현될 수 있다. 여기서 $\backslash varphi\_\backslash text\{max\}$는 각좌표의 극한값이다. $\backslash varphi$가 이 극한값에 접근함에 따라, r은 무한대로 접근하고 위에 언급된 방정식의 분모는 0에 접근한다.

:$$e^2\; \backslash cos^2\; \backslash varphi\_\backslash text\{max\}\; -\; 1\; =\; 0$$

:$$1\; \backslash pm\; e\; \backslash cos\; \backslash varphi\_\backslash text\{max\}\; =\; 0$$

:$$\backslash implies\; e\; =\; \backslash sec\backslash varphi\_\backslash text\{max\}$$

8.2. 쌍곡선 함수

삼각함수가 단위원을 이용하여 정의되는 것처럼, 쌍곡선 함수는 단위 쌍곡선을 이용하여 정의된다. 단위원에서 각도(라디안 단위)는 그 각도가 이루는 원의 부채꼴 넓이의 두 배와 같다. 유사하게, 쌍곡각은 쌍곡선 부채꼴의 넓이의 두 배로 정의된다.

$a$를 원점을 지나는 광선과 단위 쌍곡선의 교차점 사이의 x축과의 넓이의 두 배라고 하자. 그리고 $(x,y)\; =\; (\backslash cosh\; a,\backslash sinh\; a)\; =\; (x,\; \backslash sqrt\{x^2-1\})$을 교차점의 좌표로 정의한다. 그러면 쌍곡선 부채꼴의 넓이는 삼각형의 넓이에서 꼭짓점 $(1,0)$을 지나는 곡선 영역을 뺀 것이다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\frac{a}{2} &= \frac{xy}{2} - \int_1^x \sqrt{t^{2}-1} \, dt \\[1ex]
&= \frac{1}{2} \left(x\sqrt{x^2-1}\right) - \frac{1}{2} \left(x\sqrt{x^2-1} - \ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\right),
\end{align}

이는 [[역쌍곡선 함수|역쌍곡선 코사인]]으로 간략화된다.

:$$a=\backslash operatorname\{arcosh\}x=\backslash ln\; \backslash left(x+\backslash sqrt\{x^2-1\}\backslash right).$$

$x$에 대해 풀면 쌍곡선 코사인의 지수 형태가 된다.

:$$x=\backslash cosh\; a=\backslash frac\{e^a+e^\{-a\}\}\{2\}.$$

$x^2-y^2=1$에서

:$$y=\backslash sinh\; a=\backslash sqrt\{\backslash cosh^2\; a\; -\; 1\}=\backslash frac\{e^a-e^\{-a\}\}\{2\},$$

그리고 그 역함수인 [[역쌍곡선 함수|역쌍곡선 사인]]:

:$$a=\backslash operatorname\{arsinh\}y=\backslash ln\; \backslash left(y+\backslash sqrt\{y^2+1\}\backslash right).$$

다른 쌍곡선 함수는 쌍곡선 코사인과 쌍곡선 사인에 따라 정의되므로, 예를 들어

:$$\backslash operatorname\{tanh\}a=\backslash frac\{\backslash sinh\; a\}\{\backslash cosh\; a\}=\backslash frac\{e^\{2a\}-1\}\{e^\{2a\}+1\}.$$

쌍곡선은 쌍곡선 함수를 이용하여 다음과 같이 매개변수 표현할 수 있다.

:$$
\begin{cases}
x = \pm a \cosh t \\
y = b \sinh t
\end{cases}


또한 쌍곡선에서 왼쪽 꼭짓점 $(-a,\; 0)$을 제외하면 유리 함수를 이용하여 다음과 같이 매개변수 표현할 수도 있다.

:$$
\begin{cases}
x = a \frac{1 + t^2}{1 - t^2} \\
y = b \frac{2t}{1 - t^2}
\end{cases}


단 $t\; \backslash neq\; \backslash pm\; 1$로 한다. 오른쪽 연결 성분은 에, 왼쪽 아래 연결 성분은 $t\; >\; 1$에, 왼쪽 위 연결 성분은 에 대응한다. 이것은 두 점 $(-a,\; 0)$과 $(0,\; tb)$을 지나는 직선 $ay\; =\; tb(x\; +\; a)$과 쌍곡선과의 교점의 하나로 얻어진다.

8.3. 원뿔 곡선

쌍곡선은 원, 타원, 포물선과 함께 원뿔 곡선의 한 종류이다. 원뿔 곡선은 원뿔을 평면으로 자를 때 생기는 곡선으로, 이심률에 따라 분류된다.

쌍곡선은 직원뿔을 원뿔의 꼭짓점을 지나지 않고 원뿔의 위쪽과 아래쪽을 모두 지나는 평면으로 잘라서 얻는 단면의 경계이다.

이심률이 e인 원뿔곡선을 C_e라 하자. 이때, e > 1이면 C_e는 쌍곡선이 된다. 이 원뿔곡선을 적절히 직교변환하여 준선이 x = -f, 초점 중 하나가 F(f, 0)이 되도록 한다. 쌍곡선 위의 임의의 점 P(x, y)에 대해 방정식
:math>e(x-f) = \mathrm{PF}
가 성립한다. math>\mathrm{PF} = \sqrt{(x-f)^2 + y^2}이므로, 위 방정식의 양변을 제곱하여 정리하면,
:math>x^2 + 2 \left( \frac{e^2+1}{e^2-1} \right) fx - \frac{y^2}{e^2-1} = -f^2
여기에 x에 대해 제곱을 완성하면,
:math>\left(x+\left(\frac{e^2+1}{e^2-1}\right)f \right)^2 - \frac{y^2}{e^2-1} = \left(\frac{2e}{e^2-1}f \right)^2
이것이 원뿔곡선으로서의 쌍곡선의 기본 형태이다. 평행이동: math>X = x + \frac{e^2 + 1}{e^2-1} f, Y = y를 하고 적절히 정리하면 (*)의 형태가 된다.

꼭짓점을 지나지 않는 평면이 직선의 기울기보다 큰 기울기를 가진 직립 이중 원뿔과 교차하는 부분은 쌍곡선이다(그림 참조: 빨간색 곡선). 쌍곡선의 정의를 증명하기 위해, 원뿔을 원 c₁, c₂를 따라 교차하는 (쌍곡선) 평면을 점 F₁과 F₂에서 만나는 두 개의 단델린 구 d₁, d₂를 사용한다. 결과적으로 F₁, F₂는 쌍곡선의 초점이 된다.

# P를 교차 곡선의 임의의 점이라고 하자.
# P를 포함하는 원뿔의 모선은 원 c₁에서 점 A와 원 c₂에서 점 B와 교차한다.
# 선분 math>\overline{PF_1}과 math>\overline{PA}는 구 d₁에 접하고, 따라서 길이가 같다.
# 선분 math>\overline{PF_2}과 math>\overline{PB}는 구 d₂에 접하고, 따라서 길이가 같다.
# 결과적으로 math>|PF_1| - |PF_2| = |PA| - |PB| = |AB|는 쌍곡선 점 P와 무관하다. 왜냐하면 점 P의 위치에 관계없이, A, B는 원 c₁, c₂ 위에 있어야 하고, 선분 AB는 꼭짓점을 지나야 하기 때문이다. 따라서 점 P가 빨간색 곡선(쌍곡선)을 따라 움직일 때, 선분 math>\overline{AB}는 길이를 바꾸지 않고 단순히 꼭짓점을 중심으로 회전한다.

원, 타원, 포물선, 쌍곡선에 대한 균일한 설명을 제공하는 것 외에도, 원뿔곡선은 장면이 원 또는 보다 일반적으로 타원으로 구성된 경우 원근법 기하학의 자연스러운 모델로 이해될 수 있다. 보는 사람은 일반적으로 카메라 또는 사람의 눈이며, 장면의 영상은 영상면에 대한 중심 투영이다. 즉, 모든 투영선은 고정된 점 O(중심)를 통과한다. 렌즈면은 렌즈 O에서 영상면에 평행한 평면이다.

원 c의 영상은 다음과 같다.

* 원, 원 c가 특수한 위치에 있는 경우, 예를 들어 영상면과 평행한 경우 등(입체투영 참조).
* 타원, c가 렌즈면과 공통점이 없는 경우.
* 포물선, c가 렌즈면과 공통점이 하나인 경우.
* 쌍곡선, c가 렌즈면과 공통점이 두 개인 경우.

(원면이 점 O를 포함하는 특수한 위치는 생략된다.)

이러한 결과는 투영 과정을 두 단계로 볼 수 있다는 점을 인식하면 이해할 수 있다. 1) 원 c와 점 O는 원뿔을 생성하고, 2) 영상을 생성하기 위해 영상면이 이 원뿔을 자른다.

렌즈면에 의해 잘린 원의 일부분을 볼 때마다 쌍곡선을 볼 수 있다. 보이는 가지의 팔을 많이 볼 수 없고, 두 번째 가지가 완전히 없기 때문에, 인간의 시각 체계가 쌍곡선과의 관계를 인식하는 것은 사실상 불가능하다.

8.4. 직교접선 (Orthoptic)

쌍곡선 $\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}-\backslash frac\{y^2\}\{b^2\}=1,\; \backslash ,\; a>b$에 대해, 직교하는 접선들의 교점은 원 $x^2+y^2=a^2-b^2$ 위에 놓인다. 이 원을 주어진 쌍곡선의 직교곡선이라고 한다.

접선들은 쌍곡선의 서로 다른 가지 위의 점들에 속할 수 있다.

$a\backslash le\; b$인 경우에는 직교하는 접선 쌍이 존재하지 않는다.