후건 부정

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 어원
3. 정의
4. 설명
5. 형식적 표기법
6. 전건 긍정과의 관계
7. 진리표를 통한 정당화
8. 다른 수학적 프레임워크와의 대응
- 8.1. 확률 계산
- 8.2. 주관 논리
9. 성질
참조

1. 개요

후건 부정(Modus tollens)은 라틴어에서 유래된 추론 규칙으로, 혼합된 가언 삼단 논법의 한 유형이다. 이는 '만약 P이면 Q이다. Q가 아니다. 그러므로, P가 아니다'와 같이 두 개의 전제와 결론으로 구성된다. 이 규칙은 조건문이 참이고, 조건문의 결론이 거짓일 경우, 조건문의 전건 또한 거짓이라는 결론을 도출한다. 후건 부정은 고전 논리 및 직관 논리에서 성립하며, 형식적 표기법, 집합론, 일계 술어 논리 등 다양한 방식으로 표현될 수 있다. 또한, 전건 긍정과의 관계, 진리표를 통한 타당성 증명, 확률 계산, 주관 논리 등 다른 수학적 프레임워크와의 연관성을 가진다.

더 읽어볼만한 페이지

직관 논리 - 에밀 보렐
프랑스의 수학자이자 정치인인 에밀 보렐은 측도론과 확률론에 기여하고 보렐 집합 개념으로 알려져 있으며, 무한 원숭이 정리와 같은 사고 실험과 게임 이론 연구, 프랑스 하원 의원 및 해군부 장관 역임, 레지스탕스 운동 참여, 파리 통계 연구소 및 앙리 푸앵카레 연구소 설립 기여 등으로 다양한 업적을 남겼다.
직관 논리 - 쌍조건문 도입
쌍조건문 도입은 두 논리식 간의 함의 관계를 통해 동치를 추론하는 추론 규칙으로, 직관 논리 및 모든 초직관 논리에서 성립한다.
추론 규칙 - 드 모르간의 법칙
드 모르간의 법칙은 명제 논리, 술어 논리, 집합론, 부울 대수 등에서 결합 또는 분리의 부정을 각 요소의 부정의 분리 또는 결합으로 표현하는 논리적 원리이다.
추론 규칙 - 부정 도입
부정 도입은 기호 논리학의 추론 규칙으로, P가 참일 경우 모순된 결론이 도출되므로 P가 거짓임을 이끌어내는 방법이다.
고전 논리 - 명제 논리
명제 논리는 진릿값을 갖는 명제를 다루는 형식 논리 체계로, 논리 연결사를 사용하여 명제를 결합하고 논증을 분석하며, 다양한 논리학자들의 연구를 통해 발전하여 컴퓨터 과학 및 수리 논리학에서 활용된다.
고전 논리 - 동일성
동일성은 철학에서 자기 자신과 일치하고 자기 동일적으로 존재하며 다른 것에 의존하지 않는 개념으로, 고대부터 현대까지 다양한 철학자와 여러 분야에서 논의되고 활용되어 왔다.

후건 부정
논리 규칙
유형	연역 논증 형식 추론 규칙
분야	고전 논리 명제 논리
진술	$P$ 가 $Q$ 를 함의한다. $Q$ 가 거짓이다. 따라서, $P$ 도 거짓이어야 한다.
기호적 진술	$P ightarrow Q, eg Q$ $herefore eg P$
명칭
영어	Modus tollens, MT
라틴어 약칭	MT
의미	제거에 의한 방식

2. 어원

modus tollens^la는 modus tollendo tollens^la의 약어이다.^[10]

3. 정의

'''후건 부정'''은 다음과 같은 추론 규칙이다.^[11]

: $\begin{matrix}P\implies Q\qquad\lnot Q\\\hline\lnot P\end{matrix}$

또는

: $P\implies Q,\lnot Q\vdash\lnot P$

여기서

$P$ , $Q$ 는 논리식을 나타내는 메타 변수이다.
$\implies$ 는 함의이다.
$\lnot$ 는 부정이다.
수평선은 증명 과정의 이웃한 두 단계를 구분하는 메타 논리 기호이다.
$\vdash$ 는 왼쪽에 놓인 논리식들로부터 오른쪽에 놓인 논리식을 증명할 수 있음을 나타내는 메타 논리 기호이다.

'''반대 논법''' 논증의 형식은 혼합된 가언 삼단 논법이며, 두 개의 전제와 결론으로 구성된다.

:만약 ''P''이면 ''Q''이다.

:''Q''가 아니다.

:그러므로, ''P''가 아니다.

첫 번째 전제는 ''P''가 ''Q''를 함축하는 것과 같은 조건문 ("만약-그러면") 주장이다. 두 번째 전제는 조건문 주장의 결론인 ''Q''가 사실이 아니라는 주장이다. 이 두 개의 전제로부터 조건문 주장의 전건인 ''P'' 역시 사실이 아니라는 결론을 논리적으로 도출할 수 있다.

예를 들어,

:만약 개가 침입자를 감지하면, 개는 짖을 것이다.

:개는 짖지 않았다.

:그러므로, 개는 침입자를 감지하지 못했다.

전제가 모두 참이라고 가정하면 (개가 침입자를 감지하면 짖을 것이고, 실제로 짖지 않았다), 침입자가 감지되지 않았다는 결론이 나온다. 이는 전제가 참일 경우 결론이 거짓일 수 없으므로 타당한 논증이다. (개가 감지하지 못한 침입자가 있었을 수도 있지만, 이는 논증을 무효화하지 않는다. 첫 번째 전제는 "만약 개가 침입자를 ''감지''하면"이다. 중요한 것은 개가 침입자를 감지했는지 여부이지, 침입자가 있는지 여부가 아니다.)

예시 1:

:만약 내가 강도라면, 금고를 털 수 있다.

:나는 금고를 털 수 없다.

:그러므로, 나는 강도가 아니다.

예시 2:

:만약 렉스가 닭이라면, 그는 새이다.

:렉스는 새가 아니다.

:그러므로, 렉스는 닭이 아니다.

4. 설명

'''후건 부정'''은 다음과 같은 추론 규칙이다.^[11]

: $\begin{matrix}P\implies Q\qquad\lnot Q\\\hline\lnot P\end{matrix}$

또는

: $P\implies Q,\lnot Q\vdash\lnot P$

여기서

$P$ , $Q$ 는 논리식을 나타내는 메타 변수이다.
$\implies$ 는 함의이다.
$\lnot$ 는 부정이다.
수평선은 증명 과정의 이웃한 두 단계를 구분하는 메타 논리 기호이다.
$\vdash$ 는 왼쪽에 놓인 논리식들로부터 오른쪽에 놓인 논리식을 증명할 수 있음을 나타내는 메타 논리 기호이다.

'''반대 논법''' 논증의 형식은 혼합된 가언 삼단 논법이며, 두 개의 전제와 결론으로 구성된다.

:만약 ''P''이면 ''Q''이다.

:''Q''가 아니다.

:그러므로, ''P''가 아니다.

첫 번째 전제는 ''P''가 ''Q''를 함축하는 것과 같은 조건문 ("만약-그러면") 주장이다. 두 번째 전제는 조건문 주장의 결론인 ''Q''가 사실이 아니라는 주장이다. 이 두 개의 전제로부터 조건문 주장의 전건인 ''P'' 역시 사실이 아니라는 결론을 논리적으로 도출할 수 있다.

예를 들어,

:만약 개가 침입자를 감지하면, 개는 짖을 것이다.

:개는 짖지 않았다.

:그러므로, 개는 침입자를 감지하지 못했다.

전제가 모두 참이라고 가정하면 (개가 침입자를 감지하면 짖을 것이고, 실제로 짖지 않았다), 침입자가 감지되지 않았다는 결론이 나온다. 이는 전제가 참일 경우 결론이 거짓일 수 없으므로 타당한 논증이다. (개가 감지하지 못한 침입자가 있었을 수도 있지만, 이는 논증을 무효화하지 않는다. 첫 번째 전제는 "만약 개가 침입자를 ''감지''하면"이다. 중요한 것은 개가 침입자를 감지했는지 여부이지, 침입자가 있는지 여부가 아니다.)

이 논증에는 두 가지 전제가 있다. 첫 번째 전제는 "P이면 Q이다" 형식의 문장으로, 함의를 나타낸다. 두 번째 전제는 Q가 거짓임을 주장한다. 이 두 가지 전제로부터 논리적으로 P가 거짓이어야 한다는 결론을 이끌어낸다.

예를 들어, 다음과 같은 예가 있다.

: 여기에 불이 있다면, 여기에는 산소가 있다.

: 여기에는 산소가 없다.

: 따라서, 여기에는 불이 없다.

5. 형식적 표기법

후건 부정은 다음과 같이 표기한다.^[11]

$\begin{matrix}$

P\implies Q\qquad\lnot Q\\\hline\lnot P\end{matrix}

$P\implies Q,\lnot Q\vdash\lnot P$

여기서 사용된 기호는 다음과 같은 의미를 갖는다.

$P$ , $Q$ : 논리식을 나타내는 메타 변수
$\implies$ : 함의
$\lnot$ : 부정
수평선: 증명 과정의 이웃한 두 단계를 구분하는 메타 논리 기호
$\vdash$ : 왼쪽에 놓인 논리식들로부터 오른쪽에 놓인 논리식을 증명할 수 있음을 나타내는 메타 논리 기호

후건 부정 규칙은 다음과 같이 형식적으로 나타낼 수 있다.

:

\frac{P \to Q, \neg Q}{\therefore \neg P}

여기서

P \to Q

는 "P는 Q를 함의한다"는 명제를 나타내고,

\neg  Q

는 "Q가 아니다"를 나타낸다. "

P \to Q

"와 "

\neg Q

"가 증명의 한 줄로 나타날 때, "

\neg P

"를 다음 줄에 쓸 수 있다.

시퀀트 표기법으로는 다음과 같이 작성할 수 있다.

:

P\to Q, \neg Q \vdash \neg P

여기서

\vdash

는

\neg P

가 어떤 논리 체계에서

P \to Q

와

\neg Q

의 구문론적 결과임을 의미하는 메타논리 기호이다.

명제 논리의 함수적 동어반복 또는 정리의 명제로는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

((P \to Q) \land \neg Q) \to \neg P

여기서

P

와

Q

는 어떤 형식 체계에서 표현된 명제이다.

가정을 포함하여 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

:

\frac{\Gamma \vdash P\to Q ~~~ \Gamma \vdash \neg Q}{\Gamma \vdash \neg P}

집합론에서 후건 부정은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

P\subseteq Q

:

x\notin Q

:

\therefore x\notin P

("P는 Q의 부분집합이다. x는 Q에 없다. 따라서 x는 P에 없다.")

술어 논리에서는 다음과 같이 표현한다.

:

\forall x:~P(x) \to Q(x)

:

\neg Q(y)

:

\therefore ~\neg P(y)

("모든 x에 대해 x가 P이면 x는 Q이다. y는 Q가 아니다. 따라서 y는 P가 아니다.")

논리 연산 표기법으로는 다음과 같다.

:

((P\to Q) \land \neg Q) \vdash \neg P

여기서

\vdash

는 논리적 귀결을 나타낸다.

집합론 형식으로는 다음과 같다.

:

P\subseteq Q

:

x\notin Q

:

\therefore x\notin P

(P는 Q의 부분 집합이다. x는 Q에 속하지 않는다. 따라서, x는 P에 속하지 않는다)

자연 연역 표기법으로는 다음과 같다.

:

\frac{\vdash P\to Q ~~~ \vdash\neg Q}{\vdash \neg P}

6. 전건 긍정과의 관계

모든 후건 부정의 사용은 전건 긍정의 사용과 전제에 대한 전치를 사용하여 변환될 수 있는데, 이는 물질 함의이다. 예를 들면 다음과 같다.^[1]

:만약 ''P''라면, ''Q''이다. (전제 – 물질 함의)

:만약 ''Q''가 아니라면, ''P''가 아니다. (전치에 의해 유도됨)

:''Q''가 아니다. (전제)

:그러므로, ''P''가 아니다. (전건 긍정에 의해 유도됨)

마찬가지로, 모든 전건 긍정의 사용은 후건 부정과 전치를 사용하여 변환될 수 있다.^[1]

모두스 포넨스는 조건문 형태의 전제에 대해 대우를 취함으로써 모더스 톨렌스로 변환 가능하다. 예를 들어, 다음과 같다.^[1]

: P이면 Q이다 (전제 - 함의)

: Q가 아니면 P가 아니다 (그 대우)

: Q가 아니다 (전제)

: 따라서, P가 아니다 (모두스 포넨스에 의한 귀결)

마찬가지로, 모두스 포넨스를 대우를 사용하여 모더스 톨렌스로 변환할 수 있다.^[1]

7. 진리표를 통한 정당화

후건 부정 논증이 타당하다는 것은 진리표를 통해 증명할 수 있다.

P	Q	P → Q
참	참	참
참	거짓	거짓
거짓	참	참
거짓	거짓	참

후건 부정은 P → Q가 참이고 Q가 거짓이라는 전제를 가정한다. 진리표에서 이 두 조건을 만족하는 경우는 네 번째 행뿐이다. 이 행에서 P는 거짓이다. 따라서 P → Q가 참이고 Q가 거짓인 모든 경우에 P는 거짓이 된다.^[11]

8. 다른 수학적 프레임워크와의 대응

확률 계산에서 전확률의 법칙과 베이즈 정리를 조합하면 후건 부정을 표현할 수 있다.^[6] 주관 논리에서도 후건 부정은 귀추 연산자의 한 예시로 표현된다.^[7]

8. 1. 확률 계산

''후건 부정''은 전확률의 법칙과 베이즈 정리 조합의 한 예시를 다음과 같이 표현한다.^[6]

:

\Pr(P)=\Pr(P\mid Q)\Pr(Q)+\Pr(P\mid \lnot Q)\Pr(\lnot Q)\,,

여기서 조건부 확률

\Pr(P\mid Q)

와

\Pr(P\mid \lnot Q)

는 (확장된 형태의) 베이즈 정리를 사용하여 얻을 수 있으며, 다음과 같이 표현된다.^[6]

:

\Pr(P\mid Q) = \frac{\Pr(Q \mid P)\,a(P)}{\Pr(Q\mid P)\,a(P)+\Pr(Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}\;\;\;

and

\Pr(P\mid \lnot Q) = \frac{\Pr(\lnot Q \mid P)\,a(P)}{\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)+\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}.

위의 식에서

\Pr(Q)

는

Q

의 확률을 나타내고,

a(P)

는

P

의 기저율(일명 사전 확률)을 나타낸다. 조건부 확률

\Pr(Q\mid P)

는 논리적 명제

P \to Q

를 일반화하며, 즉 TRUE 또는 FALSE를 할당하는 것 외에도 명제에 임의의 확률을 할당할 수 있다.

\Pr(Q) = 1

은

Q

가 TRUE인 것과 동등하고,

\Pr(Q) = 0

은

Q

가 FALSE인 것과 동등하다고 가정한다. 그러면

\Pr(Q\mid P) = 1

이고

\Pr(Q) = 0

일 때

\Pr(P) = 0

임을 쉽게 알 수 있다. 이는

\Pr(\lnot Q\mid P) = 1 - \Pr(Q\mid P) = 0

이므로 마지막 식에서

\Pr(P\mid \lnot Q) = 0

이기 때문이다. 따라서 첫 번째 식의 곱셈 항에는 항상 0이 포함되어

\Pr(P) = 0

이 되며, 이는

P

가 FALSE인 것과 동등하다. 따라서 전확률의 법칙과 베이즈 정리의 조합은 ''후건 부정''의 일반화를 나타낸다.^[6]

8. 2. 주관 논리

주관 논리에서 ''후건 부정''은 다음과 같이 표현되는 귀추 연산자의 한 예시이다.

:

\omega^{A}_{P\tilde{\|}Q}= (\omega^{A}_{Q|P},\omega^{A}_{Q|\lnot P})\widetilde{\circledcirc} (a_{P},\,\omega^{A}_{Q})\,,

여기서

\omega^{A}_{Q}

는

Q

에 대한 주관적인 의견을 나타내고,

(\omega^{A}_{Q|P},\omega^{A}_{Q|\lnot P})

는 소스

A

가 표현한 이항 조건부 의견 쌍을 나타낸다. 매개변수

a_{P}

는

P

의 기저율(사전 확률)을 나타낸다.

P

에 대한 귀추된 주변 의견은

\omega^{A}_{P\tilde{\|}Q}

로 표시된다. 조건부 의견

\omega^{A}_{Q|P}

는 논리적 명제

P \to Q

를 일반화한다. 즉, 소스

A

는 참 또는 거짓을 할당하는 것 외에도 명제에 대한 임의의 주관적인 의견을 할당할 수 있다.

\omega^{A}_{Q}

가 절대적인 참 의견인 경우 소스

A

가

Q

가 참이라고 말하는 것과 동일하며,

\omega^{A}_{Q}

가 절대적인 거짓 의견인 경우 소스

A

가

Q

가 거짓이라고 말하는 것과 동일하다. 주관 논리의 귀추 연산자

\widetilde{\circledcirc}

는 조건부 의견

\omega^{A}_{Q|P}

가 절대적인 참이고 결론 의견

\omega^{A}_{Q}

가 절대적인 거짓일 때 절대적인 거짓 귀추 의견

\omega^{A}_{P\widetilde{\|}Q}

을 생성한다. 따라서 주관 논리 귀추는 ''후건 부정''과 전확률의 법칙을 베이즈 정리와 결합한 것의 일반화를 나타낸다.^[7]

9. 성질

고전 논리에서 성립하며, 보다 일반적으로 직관 논리에서도 성립한다.

참조

_[1] 웹사이트 Denying the antecedent https://www.khanacad[...] Khan academy
_[2] 서적 Latin for the Illiterati: Exorcizing the Ghosts of a Dead Language https://archive.org/[...] Routledge
_[3] 서적 If P, Then Q: Conditionals and the Foundations of Reasoning https://books.google[...] Routledge
_[4] 논문 "The Development of Modus Ponens in Antiquity" https://dx.doi.org/1[...]
_[5] 웹사이트 Ancient Logic: Forerunners of ''Modus Ponens'' and ''Modus Tollens'' http://plato.stanfor[...]
_[6] 간행물
_[7] 간행물
_[8] 서적 本当の声を求めて　野蛮な常識を疑え青山ライフ出版（SIBAA BOOKS）
_[9] 웹사이트 Logic Glossary http://www.philosoph[...] 2007-10-31
_[10] 문서 If P, Then Q: Conditionals and the Foundations of Reasoning Routledge
_[11] 서적

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com