휠러-디윗 방정식

3. 기본적인 개념

정준 양자 중력에서 시공간은 공간적 부분 다양체로 엽층화된다. 3차원 공간의 계량(metric)은 $\backslash gamma\_\{ij\}$로 주어지며, 다음과 같이 표현된다.^[8]

:$$$$

g_{\mu\nu}\,\mathrm{d}x^{\mu}\,\mathrm{d}x^\nu = (-N^2 + \beta_k\beta^k)\,\mathrm{d}t^2 + 2\beta_k\,\mathrm{d}x^k\,\mathrm{d}t + \gamma_{ij}\,\mathrm{d}x^i\,\mathrm{d}x^j.



여기서 라틴 문자 인덱스는 1, 2, 3의 값을, 그리스 문자 인덱스는 1, 2, 3, 4의 값을 가진다. 3-계량 $\backslash gamma\_\{ij\}$는 장(field)이며, 이와 켤레 운동량은 $\backslash pi^\{ij\}$로 표시한다. 해밀토니안은 제약 조건이며 (대부분의 상대론적 시스템의 특징), 다음과 같다.^[8]

:$$$$

\mathcal{H} = \frac{1}{2\sqrt{\gamma}} G_{ijkl}\pi^{ij}\pi^{kl} - \sqrt{\gamma}\,{}^{(3)}\!R = 0,



여기서 $\backslash gamma\; =\; \backslash det(\backslash gamma\_\{ij\})$이고, $G\_\{ijkl\}\; =\; (\backslash gamma\_\{ik\}\backslash gamma\_\{jl\}\; +\; \backslash gamma\_\{il\}\backslash gamma\_\{jk\}\; -\; \backslash gamma\_\{ij\}\backslash gamma\_\{kl\})$는 휠러-드윗 계량이다. 3차원 양의 정부호 2차 형식 ''g''의 공간에 대한 휠러-드윗 계량은 인덱스 없는 표기법으로 다음과 같다.^[8]

:$$$$

\operatorname{tr}((g^{-1}dg)^2) - (\operatorname{tr}(g^{-1}dg))^2.



일반 상대성 이론은 미분동형사상 불변성을 게이지 대칭으로 가진다. ADM 수식체계에서, 계량 텐서의 네 가지 게이지 자유도는 라그랑주 승수의 형태로 나타난다. 즉, 그 운동 방정식은 다음과 같다.^[8]

:$H=0$

:$P^i=0$

여기서 $H$ 및 $P^i$는 $g\_\{ij\}$와 그 켤레 운동량 $\backslash pi^\{ij\}$를 포함하는 표현이다. 정준 양자 중력에서는 이들을 연산자로 승격시킨다. 따라서 $H$와 $P^i$도 연산자로 바뀐다. 휠러-디윗 방정식은 다음과 같다.^[8]

:$\backslash hat\; H|\backslash psi\backslash rangle=0$

:$\backslash hat\; P^i|\backslash psi\backslash rangle=0$

양자화는 운동량과 장 변수에 "모자"를 씌운다. 즉, 고전적인 경우의 숫자 함수는 양자적인 경우의 상태 함수를 수정하는 연산자가 된다. 따라서 다음과 같은 연산자를 얻는다.^[8]

:$$$$

\hat{\mathcal{H}} = \frac{1}{2\sqrt{\gamma}} \hat{G}_{ijkl} \hat{\pi}^{ij} \hat{\pi}^{kl} - \sqrt{\gamma}\,{}^{(3)}\!\hat{R}.



"위치 공간"에서 작동하면, 이 연산자는 다음과 같다.^[8]

:$$\backslash begin\{align\}$$

\hat{\gamma}_{ij}(t, x^k) &\to \gamma_{ij}(t, x^k), \\

\hat{\pi}^{ij}(t,x^k) &\to -i \frac{\delta}{\delta \gamma_{ij}(t,x^k)}.

\end{align}

이 연산자를 계량의 일반적인 파동 범함수에 적용할 수 있으며, $\backslash hat\{\backslash mathcal\{H\}\}\; \backslash Psi[\backslash gamma]\; =\; 0,$ 여기서^[8]

:$$$$

\Psi[\gamma] = a + \int \psi(x)\gamma(x) \,dx^3 + \iint \psi(x, y)\gamma(x)\gamma(y) \,dx^3 \,dy^3 + \dots,



는 계수 $\backslash psi(x,\; y,\; \backslash dots)$ 사이의 제약 조건 집합을 제공한다. 즉, 특정 위치에 있는 $N$개의 중력자에 대한 진폭은 다른 위치에 있는 다른 수의 중력자에 대한 진폭과 관련이 있다. 또는, 파동 함수가 $\backslash Psi[\backslash gamma,\; \backslash omega]$가 되도록 $\backslash omega(g)$를 독립적인 장으로 취급하는 2-장 형식을 사용할 수 있다.^[8]

간단히 말하면, 휠러-디윗 방정식은 다음과 같다.^[8]

:$\backslash hat\{H\}\; |\backslash psi\backslash rangle\; =\; 0$

(단, $\backslash hat\{H\}$는 양자화된 일반 상대성 이론에서의 전체 해밀턴 연산자 제약 조건)이다.

이러한 파동 함수의 한 예가 하틀-호킹 상태이다.

기호 $\backslash hat\{H\}$ 및 $|\backslash psi\backslash rangle$는 익숙하게 보일 수도 있지만, 휠러-디윗 방정식에서의 의미는 비상대론적 양자역학과는 상당한 차이가 있다. $|\backslash psi\backslash rangle$는 더 이상 전통적인 의미에서의 공간적 파동 함수(즉, 3차원 공간상에서 정의되고, 정규화된 복소 함수)가 아니다. 대신, 이는 시공간 전체에서의 장의 배치에 대한 범함수이다. 이 파동 함수는 우주의 기하학적 구조와 그 안에 포함된 물질에 대한 모든 정보를 포함한다. $\backslash hat\{H\}$는 여전히 파동 함수의 힐베르트 공간에 작용하는 연산자이지만, 비상대론적인 경우의 힐베르트 공간과 같지 않으며, 게다가 해밀토니안은 더 이상 계의 시간 발전을 결정하지 않는다 (따라서 슈뢰딩거 방정식 $\backslash hat\{H\}\; |\backslash psi\backslash rangle\; =\; i\; \backslash hbar\; \backslash partial\; /\; \backslash partial\; t\; |\backslash psi\backslash rangle$는 더 이상 적용되지 않는다).^[8]

일반 상대성 이론에서의 일반 공변성 원리는 대국적인 발전이 그 자체로 존재하지 않음을 함의한다. $t$는 좌표축 중 하나에 우리가 적용하는 단순한 라벨이다. 즉, 우리가 임의의 물리계의 시간 발달로 생각하는 것은 단순한 게이지 변환이며, U(1) 국소 게이지 변환 $\backslash psi\; \backslash rightarrow\; e^\{i\backslash theta(\backslash vec\{r\}\; )\}\; \backslash psi$ (여기서 $\backslash theta(\backslash vec\{r\})$는 국소 시간의 역할을 한다)에 유도되는 양자 전기역학 (QED)의 그것과 유사하다. 해밀토니안의 역할은 단순히 전 우주의 "운동학적" 상태의 공간을 그 "물리적" 상태의 공간(게이지 궤도를 따르는 것)으로 제한하는 것이다. 이 조건을 "해밀토니안 구속 조건"이라고 부른다. 양자화의 경우에는, 물리적 상태는 해밀토니안 연산자의 핵 내에 놓인 파동 함수가 된다.^[8]

4. 수학적 공식화

일반 상대성 이론은 미분동형사상 불변성을 게이지 대칭으로 가지며, ADM 수식체계에서 계량 텐서의 네 게이지 자유도는 라그랑주 승수 형태로 나타난다. 정준 양자 중력에서는 이들을 연산자로 승격시켜, 휠러-디윗 방정식은 다음과 같이 표현된다.^[1]

:$\backslash hat\; H|\backslash psi\backslash rangle=0$

:$\backslash hat\; P^i|\backslash psi\backslash rangle=0$

휠러-디윗 방정식은 범함수 미분 방정식이며, 3차원 공간 메트릭 공간에 대한 범함수 미분 방정식이다. 휠러-디윗 방정식은 파동 범함수에 작용하는 연산자 형식을 가지며, 이 범함수는 우주론에서 함수로 축소된다. 미니초공간에서는 잘 정의되며, 이러한 파동 함수의 예시로 하틀-호킹 상태가 있다.

간단히 말해서, 휠러-디윗 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash hat\{H\}(x)\; |\backslash psi\backslash rangle\; =\; 0,$

여기서 $\backslash hat\{H\}(x)$는 양자화된 일반 상대성 이론에서의 해밀턴 제약이고, $|\backslash psi\backslash rangle$는 우주 파동 함수를 나타낸다. 일반적인 양자장론이나 양자역학과 달리, 해밀토니안은 물리적 상태에 대한 제1종 제약이며, 공간의 각 점에 대해 독립적인 제약이 존재한다.

$|\backslash psi\backslash rangle$는 3차원 공간 유사 표면에 정의되고 1로 정규화된 복소수 값을 갖는 함수의 전통적인 의미에서의 공간 파동 함수가 아니라, 시공간 전체의 장 배치를 함수로 나타낸 것이다. 이 파동 함수는 우주의 기하학과 물질 내용에 대한 모든 정보를 담고 있다. $\backslash hat\{H\}$는 파동 함수의 힐베르트 공간에 작용하는 연산자이지만, 비상대론적 경우와 동일한 힐베르트 공간이 아니며, 해밀토니안은 더 이상 시스템의 진화를 결정하지 않으므로, 슈뢰딩거 방정식은 더 이상 적용되지 않는다.

운동량 제약 조건은 다음과 같다.

:$\backslash vec\{\backslash mathcal\{P\}\}(x)\; |\backslash psi\backslash rangle\; =\; 0$

이는 공간적 미분 동형 사상 불변성과 관련이 있다.

미니초공간 근사에서는 무한히 많은 해밀턴 제약 조건 대신 하나의 해밀턴 제약 조건만 갖는다.

일반 공변성 원리는 일반 상대성 이론에서 그 자체로는 전역적인 진화가 존재하지 않음을 의미한다. 시간 $t$는 우리가 좌표축 중 하나에 할당하는 레이블일 뿐이며, 물리적 시스템의 시간 진화는 게이지 변환일 뿐이다. 해밀턴의 역할은 우주의 "운동학적" 상태 공간을 "물리적" 상태, 즉 게이지 궤도를 따르는 상태로 제한하는 것이며, 양자화되면 물리적 상태는 해밀턴 연산자의 커널에 있는 파동 함수가 된다.

5. 전개

정준 양자 중력에서 시공간은 공간적 부분 다양체로 엽층화된다. 3-계량(초표면의 계량)은 $\backslash gamma\_\{ij\}$로 주어지며, 다음과 같이 표현된다.

$$$$

g_{\mu\nu}\,\mathrm{d}x^{\mu}\,\mathrm{d}x^\nu = (-N^2 + \beta_k\beta^k)\,\mathrm{d}t^2 + 2\beta_k\,\mathrm{d}x^k\,\mathrm{d}t + \gamma_{ij}\,\mathrm{d}x^i\,\mathrm{d}x^j.



여기서 라틴 문자는 1, 2, 3의 값을 가지며, 그리스 문자는 1, 2, 3, 4의 값을 가진다. 3-계량 $\backslash gamma\_\{ij\}$는 장이며, 그 공액 운동량을 $\backslash pi^\{ij\}$로 표시한다. 해밀토니안은 제약 조건이며 (대부분의 상대론적 시스템의 특징), 다음과 같다.

$$$$

\mathcal{H} = \frac{1}{2\sqrt{\gamma}} G_{ijkl}\pi^{ij}\pi^{kl} - \sqrt{\gamma}\,{}^{(3)}\!R = 0,



여기서 $\backslash gamma\; =\; \backslash det(\backslash gamma\_\{ij\})$이고, $G\_\{ijkl\}\; =\; (\backslash gamma\_\{ik\}\backslash gamma\_\{jl\}\; +\; \backslash gamma\_\{il\}\backslash gamma\_\{jk\}\; -\; \backslash gamma\_\{ij\}\backslash gamma\_\{kl\})$는 휠러-드윗 계량이다. 인덱스 없는 표기법에서, 3차원 양의 정부호 2차 형식 ''g''의 공간에 대한 휠러-드윗 계량은 다음과 같다.

$$$$

\operatorname{tr}((g^{-1}dg)^2) - (\operatorname{tr}(g^{-1}dg))^2.



양자화는 운동량과 장 변수에 "모자"를 씌워 연산자로 만든다. "위치 공간"에서 작동하면, 이 연산자는

$$\backslash begin\{align\}$$

\hat{\gamma}_{ij}(t, x^k) &\to \gamma_{ij}(t, x^k), \\

\hat{\pi}^{ij}(t,x^k) &\to -i \frac{\delta}{\delta \gamma_{ij}(t,x^k)}.

\end{align}

이다.

이 연산자를 계량의 일반적인 파동 범함수에 적용할 수 있으며, $\backslash hat\{\backslash mathcal\{H\}\}\; \backslash Psi[\backslash gamma]\; =\; 0,$ 여기서

$$$$

\Psi[\gamma] = a + \int \psi(x)\gamma(x) \,dx^3 + \iint \psi(x, y)\gamma(x)\gamma(y) \,dx^3 \,dy^3 + \dots,



는 계수 $\backslash psi(x,\; y,\; \backslash dots)$ 사이의 제약 조건 집합을 제공한다. 즉, 특정 위치에 있는 $N$개의 중력자에 대한 진폭은 다른 위치에 있는 다른 수의 중력자에 대한 진폭과 관련이 있다. 또는, 파동 함수가 $\backslash Psi[\backslash gamma,\; \backslash omega]$가 되도록 $\backslash omega(g)$를 독립적인 장으로 취급하는 2-장 형식을 사용할 수 있다.

이 파동 함수는 우주의 기하학적 구조와 그 안에 포함된 물질에 대한 모든 정보를 포함한다. 해밀토니안은 더 이상 계의 시간 발전을 결정하지 않는다.

5. 1. 미니초공간 근사

6. 슈뢰딩거 방정식과의 차이점

기호 $\backslash hat\{H\}$와 $|\backslash psi\backslash rangle$는 익숙해 보일 수 있지만, 휠러-디윗 방정식에서의 해석은 비상대론적 양자역학과 실질적으로 다르다. $|\backslash psi\backslash rangle$는 더 이상 3차원 공간 유사 표면에 정의되고 1로 정규화된 복소수 값을 갖는 함수의 전통적인 의미에서의 공간 파동 함수가 아니다. 대신, 시공간 전체의 장 배치를 함수로 나타낸 것이다. 이 파동 함수는 우주의 기하학과 물질 내용에 대한 모든 정보를 담고 있다.^[1] $\backslash hat\{H\}$는 여전히 파동 함수의 힐베르트 공간에 작용하는 연산자이지만, 비상대론적 경우와 동일한 힐베르트 공간이 아니며, 해밀토니안은 더 이상 시스템의 진화를 결정하지 않으므로, 슈뢰딩거 방정식 $\backslash hat\{H\}\; |\backslash psi\backslash rangle\; =\; i\; \backslash hbar\; \backslash partial\; /\; \backslash partial\; t\; |\backslash psi\backslash rangle$는 더 이상 적용되지 않는다. 이러한 특성을 무시간성이라고 한다.^[4][5]

7. 일반 상대성 이론과의 관계

일반 상대성 이론에서 일반 공변성 원리는 전역적인 시간 진화가 존재하지 않음을 의미한다. 시간 $t$는 좌표축 중 하나에 할당하는 레이블일 뿐이며, 물리적 시스템의 시간 진화는 게이지 변환으로 볼 수 있다. 이는 U(1) 국소 게이지 변환 $\backslash psi\; \backslash to\; e^\{i\backslash theta(\backslash vec\{r\})\}\; \backslash psi$에 의해 유도된 QED의 변환과 유사하며, 여기서 $\backslash theta(\backslash vec\{r\})$는 국소 시간의 역할을 한다.^[4][5] 해밀토니안의 역할은 우주의 "운동학적" 상태 공간을 "물리적" 상태, 즉 게이지 궤도를 따르는 상태로 제한하는 것이다. 양자화에서 물리적 상태는 해밀토니안 연산자의 커널에 있는 파동 함수가 된다.

8. 문제점 및 한계

휠러-디윗 방정식은 양자 중력 이론을 구축하기 위한 지침이 되었지만, 몇 가지 중요한 문제점이 지적되었다.

• 이 방정식은 시간을 변수로 포함하지 않는다.^[8]
• 이 방정식에는 수학적인 결함이 있다는 점이 지적된다. 즉, 의미 없는 무수한 해가 얻어질 수 있다.^[8]
• 일반적인 경우에 잘 정의되지 않는 문제가 있다. 하지만, 우주론적 이론의 구성 공간과 같은 미니초공간에서는 잘 정의된다.

9. 시간 개념의 재도입

휠러-디윗 방정식은 일반적인 양자장론이나 양자역학과 달리, 해밀토니안이 물리적 상태에 대한 제1종 제약으로 작용하며, 시간에 대한 항이 존재하지 않아 시간에 따라 시스템의 진화가 결정되지 않는다. 이러한 특성을 무시간성이라고 한다. 이 문제를 해결하기 위해 "페이지-우터스 메커니즘" 등 완전한 양자 틀 내에서 시간을 포함하려는 다양한 시도가 이루어지고 있다.^[4][5] 시간의 재등장은 진화하는 시스템과 기준 양자 시계 시스템 간의 양자 상관관계에서 발생하는 것으로 제안되었으며, '''시스템-시간 얽힘''' 개념은 시스템이 실제로 겪는 구별 가능한 진화를 정량화하는 지표로 도입되었다.^[6][7]

참조

_[1] 논문 Quantum Theory of Gravity. I. The Canonical Theory https://link.aps.org[...] 1967-08-25
_[2] 웹사이트 Quantum Experiment Shows How Time 'Emerges' from Entanglement https://medium.com/t[...] The Physics arXiv Blog 2013-10-23
_[3] 서적 Notes for a brief history of quantum gravity https://archive.org/[...] 2001-01-23
_[4] 논문 Evolution without evolution: Dynamics described by stationary observables https://journals.aps[...] 1983-06-15
_[5] 논문 Quantum mechanics without time: A model https://link.aps.org[...] 1990-10-15
_[6] 논문 System-time entanglement in a discrete-time model https://link.aps.org[...] 2016-06-27
_[7] 논문 History states of systems and operators https://link.aps.org[...] 2018-09-12
_[8] 서적 すごい物理学講義 河出文庫
_[9] 간행물 "Quantum Theory of Gravity. I. The Canonical Theory" 1967