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4차 곡선

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목차

1. 개요

4차 곡선은 4차 방정식을 만족하는 평면 곡선으로, 다양한 종류가 존재한다. 4차 곡선에는 뿔꼴 곡선, 데카르트 난형선, 카시니 타원, 델토이드, 앰퍼샌드 곡선, 빈 곡선, 쌍첨점 곡선, 활선, 십자형 곡선, 스피릭 단면, 세 잎 클로버 등이 있다. 앰퍼샌드 곡선, 빈 곡선, 쌍첨점 곡선, 활선, 십자형 곡선 등은 각각 고유한 방정식과 특징을 가지며, 십자형 곡선은 유리 곡선으로 매개변수화가 가능하다. 스피릭 단면은 토릭 단면의 일종이며, 세 잎 클로버는 삼중점을 갖는 곡선이다.

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4차 곡선
개요
4차 평면 곡선의 예시
4차 평면 곡선의 예시
정의4차 다항식으로 정의되는 평면 대수 곡선
차수4
종수최대 3
특이점최대 3개의 이중점
매개변수 방정식존재 가능
방정식 형태A x⁴ + B y⁴ + C x³ y + D x² y² + E x y³ + F x³ + G y³ + H x² y + I x y² + J x² + K y² + L x y + M x + N y + P = 0
사영 평면RP¹⁴
속성
특이점4차 평면 곡선은 최대 3개의 이중점을 가질 수 있다.
종수4차 평면 곡선의 종수는 최대 3이다. 종수가 0인 4차 평면 곡선은 유리적이다.
교차점베주의 정리에 따르면, 4차 곡선은 다른 4차 곡선과 최대 16개의 점에서 교차한다. 단, 교차점은 복소 사영 평면 C, 에서 계산되어야 하고, 다중도는 고려되어야 한다.
실수 곡선실수 계수를 가진 4차 방정식은 복소수 사영 평면에서 연결되지 않은 곡선으로 정의될 수 있다. 이 경우, 곡선은 최대 4개의 연결 요소를 갖는다.
예시
베누아르 곡선방정식 (x² + y²)² = a x³ + b x² y + c x y² + d y³ 으로 정의되는 4차 평면 곡선
보 곡선방정식 x⁴ + y⁴ = 1 으로 정의되는 4차 평면 곡선
콩코이드 드 니코메데스극좌표 방정식 r = a + b sec θ 으로 정의되는 4차 평면 곡선
카시니 타원두 초점으로부터의 거리의 곱이 일정한 점들의 자취로 정의되는 4차 평면 곡선
클레이리아트의 장미극좌표 방정식 r = a sin(nθ) 또는 r = a cos(nθ) 으로 정의되는 4차 평면 곡선 (n = 2 인 경우)
렌즈 곡선두 원의 교집합으로 형성된 렌즈 모양의 곡선
말티즈 곡선십자가 모양의 4차 평면 곡선
삼잎 클로버 곡선세 개의 잎을 가진 클로버 모양의 4차 평면 곡선
스토페 곡선방정식 y² = x²(x + a) 으로 정의되는 4차 평면 곡선
호킨스 십자가방정식 x⁴ + y⁴ + a x² y² + b x² + b y² + c = 0 으로 정의되는 4차 평면 곡선
추가 정보
관련 항목대수 곡선, 삼차 평면 곡선, 원뿔 곡선

2. 4차 평면 곡선의 종류

4차 평면 곡선은 방정식의 계수 조합에 따라 다양한 형태를 띤다. 주요 곡선으로는 뿔꼴 곡선, 총알 코 곡선, 데카르트 난형선, 카시니 타원, 델토이드, 악마의 곡선, 히포페데, 에우독소스 캄필레, 클라인 사차 곡선 등이 있다. 또한 뢴니스케이트(베르누이 뢴니스케이트, 제로노 뢴니스케이트), 리마콩, 뤼로스 사차 곡선, 스피릭 단면, 스쿼클(라메의 특수 사차 곡선), 토릭 단면, 트로트 곡선 등도 4차 곡선의 예시이다.

이 중 몇 가지 곡선에 대해 간략히 설명하면 다음과 같다.


  • 앰퍼샌드 곡선: 3개의 이중점을 갖는 종수 0의 곡선이다.
  • 빈 곡선: 원점에 특이점을 갖는 종수 0의 곡선이다.
  • 쌍첨점 곡선: 두 개의 첨점을 갖는 종수 1의 곡선이다.
  • 활선: 하나의 삼중점을 갖는 종수 0의 유리 곡선이다.
  • 십자형 곡선: 실 투영 평면에서 세 개의 이중점을 갖는 유리 곡선이다.
  • 스피릭 단면: x축과 y축에 대해 대칭인 이원형 4차 곡선으로, 토릭 단면의 일종이다.
  • 세 잎 클로버: 원점에서 삼중점을 갖는 특수한 형태의 장미 곡선이다.

2. 1. 앰퍼샌드 곡선 (Ampersand curve)

앰퍼샌드 곡선은 다음 방정식으로 표현되는 4차 평면 곡선이다.[1]

:(y² - x²)(x - 1)(2x - 3) = 4(x² + y² - 2x)²

이 곡선은 종수가 0이며, 실수 평면에 세 개의 일반적인 이중점을 갖는다.[1]

2. 2. 빈 곡선 (Bean curve)

빈 곡선은 다음 방정식을 갖는 4차 평면 곡선이다.

:x^4+x^2y^2+y^4=x(x^2+y^2)영어

빈 곡선은 종수 0을 갖는다. 원점에 하나의 특이점이 있으며, 이는 일반 삼중점이다.

2. 3. 쌍첨점 곡선 (Bicuspid curve)

'''쌍첨점 곡선'''(Bicuspid curve)은 다음 방정식을 갖는 4차 평면 곡선이다.[4]

:(x^2-a^2)(x-a)^2+(y^2-a^2)^2=0

여기서 ''a''는 곡선의 크기를 결정한다.

쌍첨점 곡선은 특이점으로 두 개의 첨점만을 가지므로 종수 1의 곡선이다.[4]

2. 4. 활선 (Bow curve)

'''활선'''(Bow curve)은 다음과 같은 방정식으로 표현되는 4차 평면 곡선이다.

:math>x^4=x^2y-y^3. \,/math>

활선은 ''x''=0, ''y''=0에서 단일 삼중점을 가지며, 결과적으로 종수 0의 유리 곡선이다.

활 곡선

2. 5. 십자형 곡선 (Cruciform curve)

'''십자형 곡선'''(Cruciform curve) 또는 '''교차 곡선'''은 다음 방정식으로 주어지는 사차 평면 곡선이다.

:x^2y^2-b^2x^2-a^2y^2=0 \,

여기서 ''a''와 ''b''는 곡선의 모양을 결정하는 두 개의 매개변수이다.

십자형 곡선은 표준 2차 변환, ''x'' ↦ 1/''x'', ''y'' ↦ 1/''y''에 의해 타원 ''a''2''x''2 + ''b''2''y''2 = 1과 관련되며, 따라서 유리 평면 대수 곡선이다. 십자형 곡선은 실 투영 평면에서 세 개의 이중점을 가지는데, 이는 ''x''=0, ''y''=0, ''x''=0, ''z''=0, 그리고 ''y''=0, ''z''=0에서 발생한다.[6]

이 곡선은 유리 곡선이므로 유리 함수로 매개변수화할 수 있다. 예를 들어 ''a''=1이고 ''b''=2이면,

:x = -\frac{t^2-2t+5}{t^2-2t-3},\quad y = \frac{t^2-2t+5}{2t-2}

는 분모가 0이 되는 예외적인 경우를 제외하고 곡선 위의 점을 매개변수화한다.

역 피타고라스 정리와 정규 피타고라스 정리의 그림


역 피타고라스 정리는 위 방정식에서 ''x''를 ''AC''로, ''y''를 ''BC''로, 각 ''a''와 ''b''를 ''CD''로 대체하여 얻어진다. 여기서 ''A'', ''B''는 직각삼각형 ''ABC''의 빗변의 끝점이고, ''D''는 직각의 꼭짓점인 ''C''에서 빗변으로 내린 수선의 발이다.

:\begin{align}

AC^2 BC^2 - CD^2 AC^2 - CD^2 BC^2 &= 0

\\ AC^2 BC^2 &= CD^2 BC^2 + CD^2 AC^2

\\ \frac{1}{CD^2} &= \frac{BC^2}{AC^2 \cdot BC^2} + \frac{AC^2}{AC^2 \cdot BC^2}

\\ \therefore \;\; \frac{1}{CD^2} &= \frac{ 1 }{AC^2 } + \frac{ 1 }{ BC^2}

\end{align}

매개변수 (b,a)가 빨간색 (1,1), 녹색 (2,2), 파란색 (3,3)인 십자형 곡선


매개변수 (b,a)가 빨간색 (1,1), 녹색 (2,1), 파란색 (3,1)인 십자형 곡선

2. 6. 스피릭 단면 (Spiric section)

스피릭 단면은 ''x''축과 ''y''축에 대해 대칭인 이원형 4차 곡선으로 정의할 수 있다. 토릭 단면의 일종이며, 히포페데와 카시니 타원을 포함한다. 이름은 고대 그리스어로 토러스를 의미하는 σπειρα에서 유래되었다.

2. 7. 세 잎 클로버 (Three-leaved clover, Trifolium)

'''세 잎 클로버''' 또는 '''트리폴리움'''[7]은 다음의 4차 평면 곡선이다.

:y영어에 대해 풀면, 이 곡선은 다음 함수로 나타낼 수 있다.

:여기서 ±의 두 번의 출현은 서로 독립적이어서, 각 x영어에 대해 최대 4개의 서로 다른 y영어 값을 제공한다.

이 곡선의 매개변수 방정식은 다음과 같다.

:x = \cos(3t) \cos t,\quad y = \cos(3t) \sin t.[8]

극좌표( ''x'' = ''r'' cos φ, ''y'' = ''r'' sin φ)에서 이 방정식은

:

이며, 이는 ''k'' = 3인 장미 곡선의 특수한 경우이다.

이 곡선은 원점 (0, 0)에서 삼중점을 가지며 세 개의 이중 접선을 갖는다.

3. 기타 4차 곡선

위에 언급된 곡선 외에도 다음과 같은 다양한 4차 곡선이 있다.

3. 1. 목록


  • 뿔꼴 곡선
  • 총알 코 곡선
  • 데카르트 난형선
  • 카시니 타원
  • 델토이드
  • 악마의 곡선
  • 히포페데
  • 에우독소스 캄필레
  • 클라인 사차 곡선
  • 뢴니스케이트
  • * 베르누이 뢴니스케이트
  • * 제로노 뢴니스케이트
  • 리마콩
  • 뤼로스 사차 곡선
  • 스피릭 단면
  • 스쿼클
  • * 라메의 특수 사차 곡선
  • 토릭 단면
  • 트로트 곡선

앰퍼샌드 곡선


참조

[1] MathWorld Ampersand Curve
[2] 서적 Mathematical models Clarendon Press, Oxford
[3] MathWorld Bean Curve
[4] MathWorld Bicuspid Curve
[5] MathWorld Bow
[6] MathWorld Cruciform curve
[7] MathWorld Trifolium
[8] 서적 Elementary Geometry of Algebraic Curves, an Undergraduate Introduction Cambridge University Press


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