Q.E.D.

3. 철학에서의 사용

바뤼흐 스피노자는 그의 저서 《윤리학》에서 Q.E.D.를 사용하여 자신의 철학적 논증을 마무리했다.

4. Q.E.F.와의 차이점

Q.E.F.(Quod Erat Faciendum)는 "해야 할 일이었다"라는 의미로, Q.E.D.와는 약간 다른 의미를 가진다. 유클리드는 정리가 아닌 기하학적 객체의 구성을 증명하는 명제를 끝맺을 때 Q.E.F.의 그리스어 원본을 사용했다.^[14] 예를 들어, 한 변이 주어졌을 때 정삼각형을 어떻게 구성하는지 보여주는 유클리드의 첫 번째 명제가 이런 방식으로 결론이 난다.^[15]

4. 1. 기원 및 용법

4. 2. Q.E.D.와 Q.E.F.의 구분

5. 다른 표현들

영어권에서는 Q.E.D.를 "Quite Easily Done" 등의 다른 표현으로 사용하기도 한다. "Quod erat faciendum"(이렇게 되었다)의 약자인 '''Q.E.F.'''를 사용하기도 하지만, Q.E.D.가 더 많이 쓰인다. Q.E.D.와 Q.E.F.는 "hoper edei poiēsai"라는 그리스어를 라틴어로 번역한 결과이다.^[1]

"Which Was What We Wanted"의 약자를 사용하기도 한다.^[1] "이것이 행해져야 할 일이었다"라는 의미를 가진 라틴어 표현으로 Quod erat faciendum^la가 있는데, 사용 빈도는 낮으며 보통 Q.E.F.로 약칭된다. Q.E.F.는 그리스 수학자들이 사용한 에서 유래했다. 유클리드는 이 말을 예시적인 구성 등의 결어로서 사용했다. Q.E.D.와 Q.E.F.의 차이는 완전한 증명과 작도 문제의 차이에서 기인한다.

Q.E.D.는 프랑스어의 C.Q.F.D. ("ce qu'il fallait démontrer"), 독일어의 w. z. b. w. ("was zu beweisen war") 등 다양한 언어로 번역되었다. 영어와 일본어에는 정해진 번역어가 없지만, 증명 마지막에 "this completes the proof", "이것으로 증명이 완성된다"와 같은 문구를 덧붙이기도 한다.

5. 1. Q.E.D.의 다른 영어 표현

6. 현대적 사용 및 기호

수학 증명에서 증명의 시작과 끝을 구분하기 위해 다양한 기호가 사용되어 왔다. 전통적으로 정리, 보조정리, 명제는 이탤릭체로 작성되었고, 증명 시작은 "증명"이라는 단어로 표시되었다. 증명 끝을 나타내는 기호로는 고전적인 약어 Q.E.D.가 있었지만, 현대에는 다른 기호들이 더 많이 사용된다.

폴 헐모스는 증명 마지막에 검은색 사각형(■)을 사용하는 방식을 도입했는데, 이는 널리 퍼지지는 않았지만 표준적인 관행이 되었다.^[16] 이 기호는 '묘비', '헐모스 기호' 등으로 불리며, 잡지에서 기사 끝을 나타내는 기호에서 유래했다.^[17][18]

그 외에도 두 개의 슬래시(//)나 네 개의 슬래시(////)를 사용하거나, 증명을 들여쓰기된 블록으로 표시하여 구분하기도 한다.^[20][21]

6. 1. 증명 종료 기호

6. 2. 묘비 기호 (Halmos Symbol)

참조

_[1] 웹사이트 Definition of QUOD ERAT DEMONSTRANDUM https://www.merriam-[...] 2017-09-03
_[2] LSJ δείκνυμι https://www.perseus.[...]
_[3] 서적 Euclid's Elements translated from Greek by Thomas L. Heath Green Lion Press 2003
_[4] Euclid Elements 2.5 https://www.perseus.[...] 2005-07-16
_[5] 웹사이트 Georgii Vallae Placentini viri clariss. De expetendis, et fugiendis rebus opus. 1 https://www.digitale[...]
_[6] 웹사이트 Ioannis Praetorii Ioachimici Problema, quod iubet ex Quatuor rectis lineis datis quadrilaterum fieri, quod sit in Circulo https://www.digitale[...]
_[7] 웹사이트 Antonii Deusingii Med. ac Philos. De Vero Systemate Mundi Dissertatio Mathematica : Quâ Copernici Systema Mundi reformatur: Sublatis interim infinitis penè orbibus, quibus in Systemate Ptolemaico humana mens distrahitur https://www.digitale[...]
_[8] 웹사이트 Elementa geometrie : libri XV. https://www.digitale[...]
_[9] 웹사이트 Earliest Known Uses of some of the Words of Mathematics (Q) http://jeff560.tripo[...] 2019-11-04
_[10] 서적 Triangulorum Geometriæ https://archive.org/[...] Apud Zachariam Roman
_[11] 웹사이트 Baruch Spinoza (1632–1677) – Modern Philosophy https://opentextbc.c[...] 2019-11-04
_[12] 서적 The Chief Works of Benedict De Spinoza
_[13] 서적 Disquisitiones Arithmeticae https://books.google[...] Springer 2018-02-07
_[14] 웹사이트 Q.E.F. http://mathworld.wol[...] 2019-11-04
_[15] 웹사이트 Euclid's Elements, Book I, Proposition 1 https://mathcs.clark[...] 2019-11-04
_[16] 문서
_[17] 서적 I Want to Be a Mathematician: An Automathography https://books.google[...] Springer
_[18] 웹사이트 The complete manual of typography : a guide to setting perfect type https://archive.org/[...] Berkeley, CA : Peachpit Press 2003
_[19] 문서
_[20] 서적 Real and Complex Analysis McGraw-Hill
_[21] 서적 Principles of Mathematical Analysis McGraw-Hill
_[22] 서적 Catch-22 https://books.google[...] S. French 2011-07-15
_[23] 서적 The argument of mathematics https://books.google[...] Springer
_[24] 웹사이트 Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (Q) http://jeff560.tripo[...] 2016-02-18
_[25] 문서 The Chief Works of Benedict De Spinoza
_[26] 서적 I want to be a mathematician: An automathography https://books.google[...] Springer
_[27] 서적 SIAM style manual https://www.siam.org[...]