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가역층

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목차

1. 개요

가역층은 환 달린 공간 위의 연접층으로, 텐서곱에 대한 역원을 갖거나 1차원 국소 자유 가군층인 경우를 말한다. 가역층은 선 다발과 밀접한 관련이 있으며, 대수기하학 및 복소다양체론에서 중요한 역할을 한다. 스킴을 통한 정의에서는 대수적 선다발의 단면으로 주어진다. 가역층의 동형류는 텐서곱 아래에서 아벨 군을 형성하며, 이를 피카르 군이라고 한다. 피카르 군은 층 코호몰로지류와 연관되며, 카르티에 인자와의 관계를 통해 가역층을 구성할 수 있다.

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가역층

2. 정의

환 달린 공간 (X,\mathcal O_X) 위의 연접층 S에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이 경우 S를 '''가역층'''이라고 한다.


  • S는 텐서곱에 대한 역원을 갖는다. 즉, 어떤 연접층 T에 대하여, S\otimes S^{-1}\cong\mathcal O_X이다.
  • S는 1차원 국소 자유 가군층이다.


환 달린 공간 (X, \mathcal O_X)에서, \mathcal O_X-가군들의 층의 동형류는 \mathcal O_X-가군의 텐서 곱 연산에 대해 모노이드를 이룬다. 이 연산의 항등원은 \mathcal O_X 자체이다. 가역 층은 이 모노이드의 가역 원소이다. 구체적으로, L이 \mathcal O_X-가군의 층이라면, 다음의 동치 조건 중 하나를 만족할 때 L을 '''가역'''이라고 부른다.[1][2]

  • 어떤 층 M이 존재하여 L \otimes_{\mathcal{O}_X} M \cong \mathcal{O}_X가 성립한다.
  • 자연 준동형 사상 L \otimes_{\mathcal{O}_X} L^\vee \to \mathcal{O}_X가 동형 사상이다. 여기서 L^\vee는 쌍대 층 \underline{\operatorname{Hom}}(L, \mathcal{O}_X)를 나타낸다.
  • F \mapsto F \otimes_{\mathcal{O}_X} L로 정의되는 \mathcal O_X-가군에서 \mathcal O_X-가군으로의 함자는 범주의 동치이다.


계수가 1인 모든 국소 자유 층은 가역적이다. 만약 X가 국소 환 달린 공간이면, L이 가역적인 것은 그것이 계수가 1인 국소 자유 층인 것과 동치이다.

가역층은 선 다발과 밀접한 관련이 있으며, 두 용어가 때때로 혼용되기도 한다. 대수기하학과 복소다양체론에서 오는 경우가 가장 중요하며, 이러한 이론에서의 가역층은 실제로는 적절하게 공식화된 선형 다발이다.

가역층은 스키마론에서 '국소 자유이고 랭크 1'이라는 조건으로 정의할 수 있다. 즉, 텐서의 역원 조건은 X 위에서 국소적으로, S가 가환환 위의 랭크 1의 자유 가군을 이루는 층임을 이끌어낸다. 대수적 정수론에서의 분수 아이디얼이 그 예시이며, 정의는 그 이론을 포착한다. 더 일반적으로, X가 아핀 스키마 \operatorname{Spec}(R)일 때, 가역층은 R 위의 랭크 1의 사영 가군으로부터 온다.

2. 1. 스킴을 통한 정의

스킴 위의 층의 경우, 가역층은 '''대수적 선다발'''(algebraic line bundle영어)의 단면으로 주어진다.

스킴 X 위의 '''대수적 선다발'''은 1차원 대수적 선다발이다. 즉, 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 스킴 E
  • 전사 함수인 스킴 사상 \pi\colon E\to X
  • X의 어떤 열린 덮개 \mathcal U
  • 각 U\in \mathcal U에 대하여, 스킴 동형 사상 \pi^{-1}(U)\to \mathbb A^1_U = (\operatorname{Spec}\mathbb Z[x]) \times U


이 조건은 다음을 만족시켜야 한다.

  • 임의의 U,V\in \mathcal U 및 아핀 열린 부분 스킴 \operatorname{Spec}R \hookrightarrow U \cap V에 대하여, 이로 유도되는 가환환 준동형 R[x] \to R[x]은 어떤 가역원 m\in\operatorname{Unit}(R)에 대하여 r\mapsto r\forall r\in R\subseteq R[x], x\mapsto mx의 꼴로 주어지는 가환환 동형 사상이다.


같은 스킴 X 위의 두 대수적 선다발 (E,\pi,\mathcal U), (E',\pi',\mathcal U') 사이의 '''동형 사상'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • X-스킴의 동형 사상 \iota\colon E/X\to E'/X


이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

  • (E,\pi, \mathcal U\cap\mathcal U')은 대수적 선다발을 이룬다.


그렇다면, 대수적 선다발의 단면들은 가역층을 이룬다. 반대로, 임의의 스킴 위의 임의의 가역층은 어떤 대수적 선다발의 단면층과 동형이다.

3. 예시

''X''를 아핀 스킴 이라고 하자. 그러면 ''X'' 위의 가역층은 ''R'' 위의 랭크 1 사영 가군에 연관된 층이다. 예를 들어, 이는 분수 아이디얼을 포함하는데, 이는 수체 정수환 위의 랭크 1 사영 가군이기 때문이다. 대수적 정수론에서의 분수 아이디얼 또한 가역층의 예시이며, 가역층의 정의는 이 이론을 포착한다. 더 일반적으로, 가 아핀 스키마 일 때, 가역층은 위의 랭크 1의 사영 가군으로부터 온다.

4. 성질

''X'' 상의 가역층의 동형류는 텐서곱 아래에서 아벨 군을 형성한다. 이 군은 아이디얼 유군을 일반화한다. ''X''에 대한 데이터를 사용하여 가역층을 직접 구성하면 카르티에 제수의 개념이 도출된다.[3]

4. 1. 피카르 군

''X'' 상의 가역층들의 동형류는 텐서곱 아래에서 아벨 군을 이룬다. 이 군은 아이디얼 유군을 일반화하며, 보통 다음과 같이 표기한다.

:\mathrm{Pic}(X)\

여기서 ''Pic''는 피카르 함자이다. 이는 대수 곡선의 야코비 다양체 이론을 포함하고 있어, 이 함자에 대한 연구는 대수 기하학의 주요 연구 대상이다.

''X''에 대한 데이터를 사용하여 가역층을 직접 구성하면 카르티에 제수의 개념이 도출된다.

4. 2. 호몰로지와의 관계

환 달린 공간 X 위의 가역층에 대하여, 층 코호몰로지류 \operatorname H^1(X;\mathcal O^\times_X)의 원소를 대응시킬 수 있다. 이는 표준적이며 전단사이고, 텐서곱을 보존한다. X 위의 가역층들의 동형류의 아벨 군을 '''피카르 군''' \operatorname{Pic}(X)이라고 하는데, 이에 따라 표준적으로 아벨 군의 동형

:\operatorname{Pic}(X) \cong\operatorname H^1(X;\mathcal O_X^\times)

이 존재한다.

일반적으로, ''X'' 상의 가역 층의 동형 사상은 텐서 곱 아래에서 아벨 군을 형성한다. 이 군은 아이디얼 유수 군을 일반화한다. 일반적으로 다음과 같이 표기한다.

:\mathrm{Pic}(X)\

여기서 ''Pic''는 피카르 함자이다. 이는 또한 대수 곡선의 야코비 다양체 이론을 포함하므로, 이 함자에 대한 연구는 대수 기하학의 주요 쟁점이다.

''X''에 대한 데이터를 사용하여 가역 층을 직접 구성하면 카르티에 제수의 개념이 도출된다.

4. 3. 인자와의 관계

임의의 국소 뇌터 스킴 $X$ 위의 카르티에 인자 $D$가 주어졌다면, 이에 대응되는 가역층을 정의할 수 있다. 카르티에 인자 $D \in \Gamma(\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)$가 열린 덮개 $\{U_i\}_{i\in I}$에서 $f\in\Gamma(\mathcal K_X^\times,U_i)$로 표현된다고 하자. (여기서 $\mathcal K_X$는 유리 함수층이다.) 그렇다면, $D$에 대응되는 가역층 $\mathcal O_X(D)\subseteq\mathcal K_X$은 $(f_i^{-1})_{i\in I}$로 생성되는 부분 가군층이다. 이 경우, 임의의 카르티에 주인자 $D$에 대하여 $\mathcal O_X(D) \cong\mathcal O_X$이므로, 이는 카르티에 인자류군에서 피카르 군으로 가는 군 준동형

:$\operatorname{CaCl}(X) \to \operatorname{Pic}(X)$

을 정의한다.

뇌터 가환환 $K$ 위의 사영 스킴 $X$가 주어졌다고 하자. ($X$는 축소 스킴일 필요는 없다.) 그렇다면, $X$ 위의 모든 가역층은 카르티에 인자로 정의되는 가역층과 동형이다. 즉, 이 경우 피카르 군은 카르티에 인자류군과 동형이다. 반면, 임의의 뇌터 스킴의 경우, 카르티에 인자로 표현될 수 없는 가역층이 존재할 수 있다.[3]

참조

[1] 문서 EGA 0I, 5.4
[2] 웹사이트 Stacks Project https://stacks.math.[...]
[3] 웹인용 Divisors and invertible sheaves on Noetherian schemes http://martapr.webs.[...]


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