고립 특이점

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1. 개요
2. 정의
3. 분류
4. 예
5. 비고립 특이점
6. 전해석 함수
참조

1. 개요

고립 특이점은 복소해석학에서 정의되는 개념으로, 함수가 특정 점에서 정칙 함수가 되지 않는 경우를 말한다. 고립 특이점은 제거 가능 특이점, 극점, 본질적 특이점으로 분류되며, 무한대에서의 고립 특이점도 정의된다. 고립 특이점 외에 집적점과 자연 경계와 같은 비고립 특이점도 존재한다. 전해석 함수는 무한대를 고립 특이점으로 가지며, 상수 함수는 제거 가능 특이점, 다항 함수는 극점, 초월 전해석 함수는 본질적 특이점을 갖는다.

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고립 특이점
정의
설명	복소함수에서 특이점 근방에서 해석적이지 않지만, 다른 특이점이 없는 점을 말한다.
종류
제거 가능 특이점	제거 가능 특이점(可除特異點, removable singularity)은 특이점 주위에서 함수가 유계인 경우이다.
극	극(極, pole)은 로랑 급수 전개의 principal part가 유한한 항을 갖는 경우이다.
본질적 특이점	본질적 특이점(本質的特異點, essential singularity)은 로랑 급수 전개의 principal part가 무한한 항을 갖는 경우이다.
성질
리만 제거 가능 특이점 정리	리만 제거 가능 특이점 정리(Riemann's theorem on removable singularities)에 따르면, 함수가 특이점 주위에서 유계이고 해석적이면, 그 특이점은 제거 가능하다.
카소라티-바이어슈트라스 정리	카소라티-바이어슈트라스 정리(Casorati–Weierstrass theorem)에 따르면, 함수가 본질적 특이점을 가지면, 그 특이점 근방에서 함수의 치역은 복소평면에서 조밀하다.
피카르 정리	피카르 정리(Picard theorem)에 따르면, 함수가 본질적 특이점을 가지면, 그 특이점 근방에서 함수는 기껏해야 하나의 값을 제외한 모든 값을 무한히 많이 취한다.

2. 정의

연결 열린집합 $D\subseteq\mathbb C$ 및 점 $z_0\in D$ 및 함수 $f\colon D\setminus\{z_0\}\to\mathbb C$ 에 대하여, $f|_{N\cap D\setminus\{z_0\}}$ 가 정칙 함수가 되는 근방 $N\ni z_0$ 이 존재한다면, $z_0$ 을 $f$ 의 '''고립 특이점'''이라고 한다.

만약 0이 $z\mapsto f(1/z)$ 의 고립 특이점이라면, 무한대 $\widehat\infty$ 를 $f$ 의 '''고립 특이점'''이라고 한다.

3. 분류

고립 특이점은 제거 가능 특이점, 극점, 본질적 특이점으로 분류된다.^[1]

구체적으로, 연결 열린집합 $D\subseteq\mathbb C$ 및 점 $z_0\in D$ 와 함수 $f\colon D\setminus\{z_0\}\to\mathbb C$ 가 주어졌고, $z_0$ 이 $f$ 의 고립 특이점이라고 할 때, 다음과 같이 분류할 수 있다.

'''제거 가능 특이점''': $z_0$ 에서 함수 $f$ 가 해석적 연속을 갖거나, 극한값 $\lim_{z\to z_0}f(z)$ 가 존재하는 등 여러 조건을 만족하는 특이점이다.
'''극점''': $f$ 가 $z_0$ 에서 해석적 연속을 갖지 않으며, $1/f$ 는 $z_0$ 에서 해석적 연속을 갖는 등 여러 조건을 만족하는 특이점이다.
'''본질적 특이점''': $f$ 와 $1/f$ 가 $z_0$ 에서 해석적 연속을 갖지 않고, 극한값 $\lim_{z\to z_0}f(z)$ 가 존재하지 않는 등 여러 조건을 만족하는 특이점이다.

무한대

\widehat\infty

에서

f

의 고립 특이점으로서의 분류는

z\mapsto f(1/z)

가 0에서 갖는 고립 특이점의 분류와 일치한다.

3. 1. 제거 가능 특이점

그렇다면, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는

z_0

을

f

의 '''제거 가능 특이점'''이라고 한다.^[1]

$f$ 는 $z_0$ 에서 해석적 연속을 갖는다. 즉, $g|_{N\cap D\setminus\{z_0\}}=f|_{N\cap D\setminus\{z_0\}}$ 인 근방 $N\ni z_0$ 및 정칙 함수 $g\colon N\cap D\to\mathbb C$ 가 존재한다.
$\lim_{z\to z_0}f(z)$ 는 $\mathbb C$ 에서 존재한다.
$f$ 는 $z_0$ 에서 국소 유계 함수이다. 즉, $f|_{N\cap D\setminus\{z_0\}}$ 가 유계 함수가 되는 근방 $N\ni z_0$ 이 존재한다.
$\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)=0$
$f$ 의 $z_0$ 에서의 로랑 급수 전개의 주요 부분은 0이다.

3. 2. 극점

다음 세 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는

z_0

을

f

의 '''극점'''이라고 한다.^[1]

$f$ 는 $z_0$ 에서 해석적 연속을 갖지 않으며, $1/f$ 는 $z_0$ 에서 해석적 연속을 갖는다.
$\lim_{z\to z_0}f(z)=\widehat\infty$
$f$ 의 $z_0$ 에서의 로랑 급수 전개의 주요 부분의 0이 아닌 계수의 개수는 적어도 하나이며, 많아야 유한하다.

3. 3. 본질적 특이점

다음은 서로 동치인 세 조건이며, 이 조건을 만족하는

z_0

를

f

의 '''본질적 특이점'''이라고 한다.^[1]

$f$ 와 $1/f$ 는 $z_0$ 에서 해석적 연속을 갖지 않는다.
$\lim_{z\to z_0}f(z)$ 는 $\overline\mathbb C$ 에서 존재하지 않는다.
$f$ 의 $z_0$ 에서의 로랑 급수 전개의 주요 부분의 0이 아닌 계수의 개수는 무한하다.

3. 4. 무한대의 경우

무한대

\widehat\infty

에서

f

의 고립 특이점으로서의 분류는

z\mapsto f(1/z)

가 0에서 갖는 고립 특이점의 분류와 일치한다.

4. 예

: $f_1(z)=\frac{\sin z}z$ 는 $z=0$ 에서 제거 가능 특이점을 갖는다.

: $f_2(z)=\frac 1z$ 는 $z=0$ 에서 극점을 갖는다.

: $f_3(z)=e^{1/z}$ 는 $z=0$ 에서 본질적 특이점을 갖는다.

코시컨트 함수 $\csc \left(\pi z\right)$ 는 모든 정수에서 고립 특이점을 갖는다.

5. 비고립 특이점

한 변수의 복소 함수는 고립 특이점 외에 다른 특이한 현상을 보일 수 있다. 비고립 특이점에는 다음 두 종류가 있다.

'''집적점''': 극한점인 고립 특이점의 집적점이다.
'''자연 경계''': 함수가 해석적으로 연속될 수 없는 비고립 집합(예: 곡선)이다. 리만 구에서 닫힌 곡선인 경우 그 외부에서 함수가 해석적으로 연속될 수 없다.

5. 1. 집적점

극한점인 고립 특이점의 집적점은, 각각의 특이점에 대해 로랑 급수 전개가 가능하더라도, 그 극한에서는 로랑 급수 전개가 불가능하다.

5. 2. 자연 경계

한 변수의 복소 함수는 고립 특이점 외에 다른 특이한 현상을 보일 수 있다. 비고립 특이점에는 다음 두 종류가 있다.

'''집적점''': 고립 특이점의 극한점이다. 모든 특이점이 극점이라 로랑 급수 전개가 가능하더라도, 극한에서는 불가능하다.
'''자연 경계''': 함수가 해석적으로 연속될 수 없는 비고립 집합(예: 곡선)이다. 리만 구에서 닫힌 곡선인 경우, 그 외부에서 함수가 해석적으로 연속될 수 없다.

5. 3. 예

함수 $\tan\left(\frac{1}{z}\right)$ 는 $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 에서 메로모픽이며, 모든 $n\in\mathbb{N}_0$ 에 대해 $z_n = \left(\frac{\pi}{2}+n\pi\right)^{-1}$ 에서 단순 극점을 갖는다. $z_n\rightarrow 0$ 이므로, $0$ 을 중심으로 하는 모든 천공된 원반은 내부에 무한히 많은 특이점을 가지므로, $0$ 주위에서 $\tan\left(\frac{1}{z}\right)$ 에 대한 로랑 급수는 사용할 수 없다. 이는 실제로 극점의 집합점이다.
함수 $\csc \left(\frac {\pi} {z}\right)$ 는 0에서 특이점을 가지며, 이는 고립되어 있지 ''않다''. 왜냐하면 모든 역수의 정수에 추가적인 특이점이 있기 때문이며, 이는 0에 임의로 가깝게 위치한다(이러한 역수에서의 특이점 자체는 고립되어 있지만).
매클로린 급수 $\sum_{n=0}^{\infty}z^{2^n}$ 로 정의된 함수는 $0$ 을 중심으로 하는 열린 단위 원 내부에서 수렴하며, 단위 원을 자연 경계로 갖는다.

6. 전해석 함수

전해석 함수 $f\colon\mathbb C\to\mathbb C$ 는 $\widehat\infty$ 를 고립 특이점으로 갖는다. 이는 $f$ 가 상수 함수라면 제거 가능 특이점이며, $f$ 가 1차 이상의 다항 함수라면 극점이며, 초월 전해석 함수라면 본질적 특이점이다.

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