골트바흐의 추측

3. 골드바흐 추측의 종류

골드바흐의 추측은 크게 '강한 골드바흐 추측'과 '약한 골드바흐 추측' 두 가지로 나뉜다. 강한 골드바흐 추측이 참이면 약한 골드바흐 추측은 자동적으로 참이 된다.

현대적인 버전의 골드바흐 추측은 다음과 같다.

• 오일러가 제시한 골드바흐의 오래된 추측 (현대적 버전): 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 표현될 수 있다.
• 여백 추측 (현대적 버전): 5보다 큰 모든 정수는 세 소수의 합으로 표현될 수 있다.

• 7보다 큰 모든 홀수는 세 개의 홀수 소수의 합으로 표현될 수 있다.

3. 1. 강한 골드바흐 추측 (Strong Goldbach Conjecture)

• 4 이상의 모든 짝수는 두 개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다.
• 6 이상의 모든 짝수는 두 개의 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 7 + 3 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 = 3 + 11 = 7 + 7

16 = 3 + 13 = 5 + 11

18 = 5 + 13 = 7 + 11

20 = 3 + 17 = 7 + 13

22 = 11 + 11 = 19 + 3 = 17 + 5

3. 2. 약한 골드바흐 추측 (Weak Goldbach Conjecture)

4. 확인된 수치적 결과

컴퓨터로 짝수가 두 소수의 합으로 표현되는지 확인하는 시도는 예전부터 있었다. T. Oliveirae Silva는 10E 이하에서 골트바흐의 추측이 참임을 확인했다.^[25]

5. 최근의 결과

• 1930년, 소련의 수학자 레프 슈니렐만은 브룬의 체를 이용하여 모든 자연수가 최대 k개의 소수의 합이 되는 k가 존재한다는 것을 보였다. 그는 1보다 큰 모든 자연수는 C개 이하의 소수의 합으로 표현될 수 있으며, 여기서 C는 효과적으로 계산 가능한 상수임을 증명했다.^[11][12] 슈니렐만 자신은 C < 800000을 얻었다.
• 1937년, 소련의 수학자 이반 비노그라도프는 세 소수의 문제에 관하여, 삼각합 방법을 이용하여, 일반화된 리만 가설을 가정하지 않고도, 충분히 큰 수 이상의 홀수에 대해 약한 골트바흐의 추측이 참이라는 것을 증명하였다. 여기서 충분히 큰 수는 $3^\{3^\{15\}\}$이었다.^[8]
• 1938년경, 영국의 에스터먼, 소련의 수학자 추다코프, 네덜란드의 수학자 반 데르 코르프트 등은 각각 독립적으로, 어떠한 가정도 없이 거의 모든 짝수는 두 개의 홀수 소수의 합이라는 것을 증명했다.^[9][10]
• 1947년, 헝가리의 수학자 레니 알프레드는 큰 체라는 새로운 방법을 사용하여, 모든 자연수를 소수와 최대 ''k'' 개의 소수의 곱인 수의 합으로 나타낼 수 있는 ''k'' 가 존재한다는 것을 증명했다.
• 1975년, 휴 로웰 몽고메리와 로버트 찰스 본은 "대부분"의 짝수가 두 소수의 합으로 표현될 수 있음을 보였다. 더 정확히 말하면, 그들은 충분히 큰 모든 수 N에 대해 c와 C라는 양의 상수가 존재하여 N보다 작은 모든 짝수가 두 소수의 합이며, 최대 $CN^\{1-c\}$개의 예외가 있음을 보였다. 특히, 두 소수의 합이 아닌 짝수의 집합은 자연 밀도가 0이다.^[17]
• 1995년, 프랑스의 수학자 올리비에 라마레는 모든 짝수가 최대 6개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 것을 증명했다.^[13]
• 중국의 수학자 천징룬은 1978년까지, 충분히 큰 모든 짝수는 소수와 최대 두 개의 소수의 곱인 수의 합으로 표현된다는 것을 증명했다.^[18]
• 2002년, 로저 히스브라운과 얀 크리스토프 슐라게-푸흐타는 충분히 큰 모든 짝수는 2개의 소수와 13개의 2의 거듭제곱의 합으로 표현되며, 일반화된 리만 가설이 옳다면, 충분히 큰 모든 짝수는 2개의 소수와 7개의 2의 거듭제곱의 합으로 표현된다는 것을 보였다.
• 2013년, 하랄드 헬프고트은 충분히 큰 수 이하의 홀수들에 대해 약한 골트바흐의 추측이 참임을 증명하였고, 따라서 약한 골트바흐의 추측은 참임이 증명되었다.^{[50][51][52][53]}
• 2015년, 4 × 10¹⁸까지의 4 이상의 모든 짝수에 대해 성립하는 것이 확인되었다.^[41]

6. 쌍둥이 소수 추측과의 관계

쌍둥이 소수 추측과 골트바흐의 추측은 구조적으로 유사하다. 쌍둥이 소수 추측은 $p$와 $p+2$가 모두 소수인 경우가 무한히 많다는 것이다. 다시 말해, $k(k+2)$가 정확히 두 개의 소인수를 가지는 경우가 무한히 많다는 추측이다. 골트바흐 추측은 4 이상의 모든 짝수는 두 소수의 합으로 표현 가능하다는 것, 다시 말해, 모든 4 이상의 짝수 $n$에 대해 $k(n-k)$가 두 개의 소인수를 가지는 1과 $n-1$ 사이의 k가 반드시 존재한다는 추측이다. 이러한 구조적 유사성 때문에 두 추측은 같이 다루어져 왔으며, 지금까지 검증된 수치적 자료들도 이를 뒷받침하는 듯 보인다.

7. 휴리스틱한 정당화

소수의 확률적 분포에 초점을 맞춘 통계적 고려는 (약한 형태와 강한 형태 모두에서) 충분히 큰 정수에 대해 골드바흐의 추측을 뒷받침하는 비공식적인 증거를 제시한다. 정수가 클수록 해당 숫자를 다른 두세 개의 숫자의 합으로 나타낼 수 있는 방법이 많아지고, 이러한 표현 중 적어도 하나가 소수로만 구성될 "가능성"이 더 커진다.

(골드바흐 추측의 강한 형태에 대한) 확률적 인수의 매우 조잡한 버전은 다음과 같다. 소수 정리는 임의로 선택된 정수 m이 소수일 확률이 대략 1/ln m이라고 주장한다. 따라서 n이 큰 짝수이고 m이 3과 n/2 사이의 숫자라면, m과 n-m이 동시에 소수일 확률은 1/(ln m ln(n-m))이 될 것으로 예상할 수 있다.

이 휴리스틱을 따르면 큰 짝수 n을 두 홀수 소수의 합으로 쓸 수 있는 총 방법의 수는 대략 다음과 같이 추정할 수 있다.

:$\backslash sum\_\{m=3\}^\backslash frac\{n\}\{2\}\; \backslash frac\{1\}\{\backslash ln\; m\}\; \backslash frac\{1\}\{\backslash ln(n\; -\; m)\}\; \backslash approx\; \backslash frac\{n\}\{2\; (\backslash ln\; n)^2\}.$

ln n ≪ n^(1/2)이므로, 이 양은 n이 증가함에 따라 무한대로 가고, 모든 큰 짝수는 두 소수의 합으로 나타내는 방법이 하나가 아니라 사실 매우 많은 표현을 가질 것으로 예상할 수 있다.

하지만 이 휴리스틱 인수는 m과 n-m이 소수인 사건이 서로 통계적 독립임을 가정하기 때문에 약간 부정확하다. 예를 들어 m이 홀수이면 n-m도 홀수이고, m이 짝수이면 n-m도 짝수이며, 이는 2 외에는 홀수만 소수가 될 수 있다는 비자명한 관계이다.

마찬가지로 n이 3으로 나누어지고 m이 3이 아닌 소수였다면 n-m도 3과 상호 소수가 되어 일반 숫자보다 소수일 가능성이 약간 더 높을 것이다.

이러한 유형의 분석을 더 신중하게 수행한 G. H. 하디(G. H. Hardy)와 존 리틀우드(John Edensor Littlewood)는 1923년에 (그들의 ''하디-리틀우드 소수 튜플 추측''의 일부로) 다음과 같이 추측했다. 모든 고정된 c ≥ 2에 대해, 큰 정수 n을 c개의 소수의 합으로 나타내는 표현의 수는 점근적으로 다음과 같아야 한다.

:$\backslash left(\backslash prod\_p\; \backslash frac\{p\; \backslash gamma\_\{c,p\}(n)\}\{(p\; -\; 1)^c\}\backslash right)$

\int_{2 \leq x_1 \leq \cdots \leq x_c: x_1 + \cdots + x_c = n} \frac{dx_1 \cdots dx_{c-1}}{\ln x_1 \cdots \ln x_c},

여기서 곱은 모든 소수 p에 대한 것이고, γ_c,p(n)는 방정식 n = q₁ + ⋯ + q_c mod p의 해의 수이며 모듈러 산술에서 제약 조건 q₁, …, q_c ≠ 0 mod p을 따른다.

이 공식은 이반 므라체비치 비노그라도프(Ivan Matveevich Vinogradov)의 연구에서 c ≥ 3에 대해 점근적으로 유효한 것으로 엄밀하게 증명되었지만, c = 2일 때는 여전히 추측에 불과하다. 후자의 경우, 위 공식은 n이 홀수일 때는 0으로, n이 짝수일 때는 다음과 같이 단순화된다.

:$$

2 \Pi_2 \left(\prod_{p \mid n; p \geq 3} \frac{p - 1}{p - 2}\right) \int_2^n \frac{dx}{(\ln x)^2}

\approx 2 \Pi_2 \left(\prod_{p \mid n; p \geq 3} \frac{p - 1}{p - 2}\right) \frac{n}{(\ln n)^2}



여기서 Π₂는 하디-리틀우드의 쌍둥이 소수 상수이다.

:$\backslash Pi\_2\; :=\; \backslash prod\_\{p\backslash ;\{\backslash rm\; prime\}\; \backslash ge\; 3\}\; \backslash left(1\; -\; \backslash frac\{1\}\{(p-1)^2\}\backslash right)\; \backslash approx\; 0.66016\backslash ,18158\backslash ,46869\backslash ,57392\backslash ,78121\backslash ,10014\backslash dots$

이것은 때때로 ''확장된 골드바흐 추측''이라고 알려져 있다. 강한 골드바흐 추측은 실제로 쌍둥이 소수 추측과 매우 유사하며, 두 추측은 대략적으로 비슷한 난이도를 갖는 것으로 여겨진다.

8. 관련 문제

골드바흐의 추측과 유사하게, 소수가 아닌 다른 특정 숫자 집합(예: 제곱수)으로 대체하는 경우에도 비슷한 문제가 존재한다.

• 라그랑주는 모든 양의 정수가 네 개의 제곱수의 합임을 증명했다. 와링의 문제와 소수의 거듭제곱의 합에 대한 관련 와링-골드바흐 문제를 참고하라.
• 하디와 리틀우드는 "모든 큰 홀수 (n>5)는 소수와 소수의 두 배의 합이다."라고 추측했다.^[31] 이 추측은 르모인의 추측(레비의 추측)으로 알려져 있다.
• 정수와 유사한 소수 수열인 실용수에 대한 골드바흐 추측은 1984년 마르겐슈테른에 의해 제기되었고,^[32] 1996년 멜피에 의해 증명되었다:^[33] 모든 짝수는 두 개의 실용수의 합이다.
• 하비 덥너는 4208보다 큰 모든 짝수가 두 개의 쌍둥이 소수의 합이라는 골드바흐 추측의 강화된 버전을 제안했다.^[34] 4208보다 작은 34개의 짝수 정수만이 두 쌍둥이 소수의 합이 아니며, 덥너는 이 목록이 2 x 10¹⁰까지 계산적으로 완성되었음을 확인했다.^[35] 이보다 더 강력한 추측이 증명된다면 골드바흐의 추측뿐만 아니라 쌍둥이 소수 추측도 함의할 것이다.
• 베르트랑의 공준에 따르면, 모든 정수 n > 1에 대해, 항상 n < p < 2n인 소수 p가 적어도 하나 존재한다. 만약 이 공준이 거짓이라면, n과 2n 사이에 소수가 존재하지 않아 2n을 두 소수의 합으로 표현하는 것이 불가능한 정수 n이 존재할 것이다.

9. 대중문화 속 골드바흐 추측

《골드바흐의 추측》(哥德巴赫猜想|가덕파혁시상^중국어)은 쉬치가 저술한 중국의 수학자이자 수론가인 천징룬의 전기 제목이다.

이 추측은 아포스톨로스 독시아디스의 1992년 소설 《페트로스 아저씨와 골드바흐의 추측》, 아이작 아시모프의 단편 소설 "6천만 조 조합", 미셸 리치먼드의 2008년 미스터리 소설 《네가 아는 사람은 아무도 없다》의 중심 소재이다.^[27]

골드바흐의 추측은 2007년 스페인 영화 《페르마의 밀실》의 줄거리 일부를 구성하며, 2023년 프랑스-스위스 영화 《마르그리트의 정리》에서 배우 엘라 룸프가 연기한 마르그리트의 주요 연구 주제로 등장한다.^[28]

참조

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