연속체 가설

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 다른 정의
- 2.2. 프라일링 대칭 공리
3. 성질
4. 역사
- 4.1. 이스턴의 정리
- 4.2. 특이 기수 문제와 pcf 이론
5. 연속체 가설에 대한 찬반 논쟁
참조

1. 개요

연속체 가설은 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)에서 자연수와 실수 크기 사이의 집합이 존재하지 않는다는 명제이다. 이는 가산 무한 집합의 크기와 실수 집합의 크기 사이에 다른 기수가 없다는 것과 동치이며, 일반화 연속체 가설은 모든 순서수에 대해 알레프 수와 베트 수 사이의 관계를 정의한다. 연속체 가설은 ZFC와 독립적이며, ZFC에서 증명하거나 반증할 수 없다. 쿠르트 괴델은 연속체 가설이 거짓이라고 주장했으며, 폴 코헨은 강제법을 사용하여 가설의 독립성을 증명했다. 연속체 가설은 구성 가능성 공리 하에서 참이 되며, 오메가 논리나 고유 강제법 공리를 가정하면 거짓이 된다. 이스턴의 정리는 정칙 기수의 멱집합 크기에 대한 제한을 제시하고, 특이 기수의 멱집합 크기는 pcf 이론을 통해 연구된다. 연속체 가설의 진위에 대한 논쟁은 계속되고 있으며, 수학적 플라톤주의, 형식주의, 직관 등 다양한 관점에서 논의가 이루어지고 있다.

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연속체 가설
개요
무한대 기호
분야	집합론, 수리논리학
관련 개념	가산 집합, 비가산 집합, 멱집합, 기수, 공리적 집합론, ZFC, 모형 이론
정의
내용	자연수 집합의 멱집합의 기수는 자연수 집합의 기수와 실수 집합의 기수 사이에 놓인 기수를 갖는 집합이 존재하지 않는다는 명제이다.
설명	다시 말해, 실수 집합의 부분 집합은 유한 집합이거나, 가산 무한 집합이거나, 실수 집합과 크기가 같다는 주장이다.
역사
제안자	게오르크 칸토어(1878)
증명 가능성	쿠르트 괴델 (1940): ZFC로부터 증명 불가능 폴 코언 (1963): ZFC로부터 부정 불가능
결론	ZFC와 독립적인 공리

2. 정의

체르멜로-프렝켈 집합론에 선택 공리를 추가한 공리계(ZFC)에서, 다음 명제들은 서로 동치이며, 이를 '''연속체 가설'''이라고 한다.

$\aleph_1=2^{\aleph_0}=\beth_1$ . 즉, $\aleph_0$ (가산 무한 집합의 크기)과 $2^{\aleph_0}$ (실수 집합의 크기) 사이에는 다른 기수가 존재하지 않는다.
임의의 실수의 집합 $S\subseteq\mathbb R$ 에 대하여, $S$ 가 가산 집합이 아니라면, $|S|=\mathbb R$ 이다.
다항식환 $\mathbb C[x,y,z]$ 위의 유리 함수 가군 $\mathbb C(x,y,z)$ 의 사영 차원이 2이다. (반대로, 연속체 가설이 거짓이라면 이 가군의 사영 차원은 3이다.)^[31]^[32]
가산 개의 체들의 직접곱의 대역 차원은 항상 2이다.^[32]
(웨첼 문제 Wetzel’s problem^영어) 다음 두 조건을 만족시키는 전해석 함수들의 족 $\{f_i\colon\mathbb C\to\mathbb C\}_{i\in I}$ 이 존재한다.^[33]^[34]
임의의 $z\in\mathbb C$ 에 대하여, $\{f_i(z)\}_{i\in I}$ 는 가산 집합이다.
$\{f_i\}_{i\in I}$ 는 비가산 집합이다.

ZFC에서, 다음 명제들은 서로 동치이며, 이를 '''일반화 연속체 가설'''(GCH)이라고 한다.

임의의 순서수 $\alpha\in\operatorname{Ord}$ 에 대하여, $\aleph_{\alpha+1}=2^{\aleph_\alpha}$ . 여기서 $\aleph$ 는 알레프 수이다.
임의의 순서수 $\alpha\in\operatorname{Ord}$ 에 대하여, $\aleph_\alpha=\beth_\alpha$ . 여기서 $\beth$ 는 베트 수이다.
임의의 무한 기수 $\kappa$ 에 대하여, $\kappa<\lambda<2^\kappa$ 인 기수 $\lambda$ 가 존재하지 않는다.
임의의 기수 $\kappa$ 에 대하여, $|\{A\subseteq\kappa\colon |A|\in S\}|=\kappa^+$ 가 되는 기수 집합 $S\subset\operatorname{Card}$ 가 존재한다.^[35] (이 조건은 위와 달리 유한 기수에 대해서도 적용된다.) 여기서 $\kappa^+=\min\{\lambda\in\operatorname{Card}\colon\kappa<\lambda\}$ 이다.

두 집합이 동일한 기수를 갖는다는 것은 두 집합 사이에 전단사 함수 (일대일 대응)가 존재한다는 것을 의미한다. 직관적으로 설명하면, 두 집합의 원소를 서로 짝지어 줄 수 있다는 것이다.

정수 또는 유리수 집합과 같은 무한 집합의 경우, 두 집합 간의 전단사 함수의 존재를 증명하는 것이 더 어려워진다. 칸토어의 대각선 논증에 따르면 실수 집합은 정수 집합보다 크기가 크다는 것을 알 수 있다.

연속체 가설은 실수 집합이 정수 집합의 기수보다 큰 최소 가능한 기수를 갖는다고 주장한다. 즉, 실수 집합의 모든 부분집합은 정수 집합과 일대일 대응이 되거나, 실수 집합과 일대일 대응이 된다는 것이다. 실수는 정수의 멱집합과 동치수이므로,

|\mathbb{R}|=2^{\aleph_0}

이다. 따라서 연속체 가설은

2^{\aleph_0} = \aleph_1

과 동등하다.

자연수나 실수는 무한 개 존재한다. 농도를 고려함으로써 두 무한은 구별된다. 무한 집합의 농도 중 가장 작은 것은 가산 농도(자연수 전체 집합의 농도)이다. 가산 농도의 무한 집합에 원소를 1개 추가한 집합도 역시 가산 농도이며, 유한 집합의 경우처럼 새로운 농도가 되지는 않는다. 가산 농도의 무한 집합끼리의 합집합도 가산 농도이다. 그러나 실수 전체 집합은 가산 농도가 아님이 밝혀졌다. 가산 농도보다 큰 최소 농도는 연속체 농도(실수 집합의 농도)일 것이라고 생각되었고, 이것이 연속체 가설이다.

연속체 가설은

\aleph_0 < \mbox{card}\,\Omega < \aleph

를 만족하는 집합

\Omega

가 존재하지 않는다는 주장이다.

'''N'''(자연수 전체)의 멱집합의 농도

\mathfrak{P}(\aleph_0)

는 연속체 농도와 같다는 것이 증명되었다. 따라서 알레프 수 개념을 사용하면, 연속체 가설은 체르멜로-프렝켈 공리계(ZFC) 하에서

\mathfrak{P}(\aleph_0)=\aleph_1=\aleph

이 성립하는 것이라고 표현할 수 있다.

2. 1. 다른 정의

다음은 연속체 가설과 동치인 명제들이다.

$\aleph_1=2^{\aleph_0}=\beth_1$ . 즉, $\aleph_0$ (가산 무한 집합의 크기)과 $2^{\aleph_0}$ (실수 집합의 크기) 사이에는 다른 기수가 존재하지 않는다.
임의의 실수의 집합 $S\subseteq\mathbb R$ 에 대하여, $S$ 가 가산 집합이 아니라면, $|S|=\mathbb R$ 이다.
다항식환 $\mathbb C[x,y,z]$ 위의 유리 함수 가군 $\mathbb C(x,y,z)$ 의 사영 차원이 2이다. (반대로, 연속체 가설이 거짓이라면 이 가군의 사영 차원은 3이다.)^[31]^[32]
가산 개의 체들의 직접곱의 대역 차원은 항상 2이다.^[32]
(웨첼 문제 Wetzel’s problem^영어) 다음 두 조건을 만족시키는 전해석 함수들의 족 $\{f_i\colon\mathbb C\to\mathbb C\}_{i\in I}$ 이 존재한다.^[33]^[34]
임의의 $z\in\mathbb C$ 에 대하여, $\{f_i(z)\}_{i\in I}$ 는 가산 집합이다.
$\{f_i\}_{i\in I}$ 는 비가산 집합이다.

다음은 일반화 연속체 가설과 동치인 명제들이다.

임의의 순서수 $\alpha\in\operatorname{Ord}$ 에 대하여, $\aleph_{\alpha+1}=2^{\aleph_\alpha}$ . 여기서 $\aleph$ 는 알레프 수이다.
임의의 순서수 $\alpha\in\operatorname{Ord}$ 에 대하여, $\aleph_\alpha=\beth_\alpha$ . 여기서 $\beth$ 는 베트 수이다.
임의의 무한 기수 $\kappa$ 에 대하여, $\kappa<\lambda<2^\kappa$ 인 기수 $\lambda$ 가 존재하지 않는다.
임의의 기수 $\kappa$ 에 대하여, $|\{A\subseteq\kappa\colon |A|\in S\}|=\kappa^+$ 가 되는 기수 집합 $S\subset\operatorname{Card}$ 가 존재한다.^[35] (이 조건은 위와 달리 유한 기수에 대해서도 적용된다.) 여기서 $\kappa^+=\min\{\lambda\in\operatorname{Card}\colon\kappa<\lambda\}$ 이다.

연속체 가설은 집합

\Omega

에 대해

\aleph_0 < \mbox{card}\,\Omega < \aleph

가 되는 경우가 존재하지 않는다는 주장이다.

또한 '''N'''의 멱집합의 농도

\mathfrak{P}(\aleph_0)

에 대해서, 이것이 연속체 농도와 같다는 것이 증명되었으므로, 알레프 수의 개념을 사용하면 연속체 가설은 공리계 ZFC (자세한 내용은 공리적 집합론 참조) 하에서

\mathfrak{P}(\aleph_0)=\aleph_1=\aleph

이 성립하는 것이라고 표현할 수도 있다.

2. 2. 프라일링 대칭 공리

집합

X

와 기수

\kappa

에 대하여, 명제

\mathsf{AX}(X,\kappa)

는 다음과 같이 정의된다.

:임의의 함수

f\colon X\to\mathcal P_{\le\kappa}(X)

에 대하여,

x\not\in f(y)

이자

y\not\in f(x)

인

x,y\in X

가 존재한다.

여기서

\mathcal P_{\le\kappa}(X)=\{S\subseteq X\colon |S|\le\kappa\}

는 크기가

\kappa

이하인

X

의 부분 집합들의 집합족이다.

\mathsf{ZFC}

아래에서 다음이 성립한다.

:

\mathsf{AX}(2^\kappa,\kappa)\iff 2^\kappa\ne\kappa^+

즉,

\lnot\mathsf{CH}\iff\mathsf{AX}(2^{\aleph_0},\aleph_0)

이며,

\lnot\mathsf{GCH}\iff\forall\kappa\in\operatorname{Card}\colon\mathsf{AX}(2^\kappa,\kappa)

이다. 특히,

\mathsf{AX}(2^{\aleph_0},\aleph_0)

를 '''프라일링 대칭 공리'''(Freiling’s axiom of symmetry^영어)라고 한다. 이는 크리스토퍼 프랜시스 프라일링(Christopher Francis Freiling^영어)이 도입하였다.^[36] 프라일링은 대칭 공리가 확률론적으로 직관적이라고 주장하였으나, 이는 오늘날 논란이 되고 있다.

3. 성질

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)이 무모순적이라면, 일반화 연속체 가설은 ZFC와 독립적이다. 즉, ZFC로 일반화 연속체 가설을 증명할 수도, 반증할 수도 없다.^[1] ZFC에 알려진 모든 큰 기수 공리를 추가하여도 마찬가지이다.^[1] 연속체의 기수는 쾨니히 정리와 일치하는 모든 기수가 될 수 있다.

두 집합이 동일한 ''기수''를 갖는다는 것은 두 집합 사이에 전단사 함수(일대일 대응)가 존재한다는 것을 의미한다. 예를 들어, {바나나, 사과, 배} 집합은 {노란색, 빨간색, 녹색} 집합과 동일한 기수를 갖는다.

정수나 유리수 집합과 같은 무한 집합의 경우, 전단사 함수의 존재를 증명하는 것이 더 어려워진다. 유리수는 정수와 일대일 대응을 이룰 수 있으며, 따라서 가산 집합이다.

칸토어는 정수 집합의 기수가 실수 집합의 기수보다 엄격하게 작다는 두 가지 증명을 제시했다 (칸토어의 제1 비가산성 증명, 칸토어의 대각선 논법). 연속체 가설은 실수 집합이 정수 집합의 기수보다 큰 최소 가능한 기수를 갖는다고 주장한다. 실수는 정수의 멱집합과 동치수이므로, 연속체 가설은 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\nexists S\colon\aleph_0 < |S| < 2^{\aleph_0}$ .

선택 공리를 가정하면 $\aleph_0$ 보다 큰 고유한 최소 기수 $\aleph_1$ 이 존재하며, 연속체 가설은 $2^{\aleph_0} = \aleph_1$ 과 동등하다.

체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)에서 연속체 가설(CH)의 독립성은 쿠르트 괴델과 폴 코헨의 연구로 밝혀졌다. 괴델^[1]은 선택 공리(AC)를 추가해도(ZFC) ZF에서 CH를 반증할 수 없음을 보였다. 코헨은 ZFC에서 CH를 증명할 수 없음을 보였고, 1966년 필즈상을 수상했다.

일반화된 연속체 가설(GCH)은 무한 집합 ''S''와 ''S''의 멱집합 $\mathcal{P}(S)$ 사이에는 다른 농도가 존재하지 않는다는 것이다. 즉, 모든 무한 기수 $\lambda$ 에 대해 $\lambda <\kappa <2^{\lambda}$ 를 만족하는 기수 $\kappa$ 는 존재하지 않는다. GCH는 다음과 동치이다.

: $\aleph_{\alpha+1}=2^{\aleph_\alpha}$ 모든 서수 $\alpha$ 에 대해 (칸토어의 알레프 가설).

CH와 마찬가지로 GCH 역시 ZFC와 독립적이지만, 시에르핀스키는 ZF + GCH가 선택 공리(AC)를 함의함을 보였다. 쿠르트 괴델은 GCH가 ZF + V=L의 결과이며, 따라서 ZFC와 일치함을 보였다.

3. 1. 연속체 가설을 함의하는 명제

ZFC에 구성 가능성 공리(

V=L

)를 추가하면 일반화 연속체 가설이 참이다.

일반화된 연속체 가설은 밑수가 2인 기수 지수 연산뿐만 아니라 모든 경우에 기수 지수 연산

\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}}

의 값을 추론할 수 있게 한다.^[1] GCH는 서수 ''α''와 ''β''에 대해 다음을 함축한다.^[2]

:

\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} = \aleph_{\beta+1}

(''α'' ≤ ''β''+1일 때)

:

\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} = \aleph_{\alpha}

(''β''+1 < ''α'' 이고

\aleph_{\beta} < \operatorname{cf} (\aleph_{\alpha})

일 때, '''cf'''는 공종도 연산)

:

\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} = \aleph_{\alpha+1}

(''β''+1 < ''α'' 이고

\aleph_{\beta} \ge \operatorname{cf} (\aleph_{\alpha})

일 때)

첫 번째 등식(''α'' ≤ ''β''+1일 때)은 다음으로부터 유도된다.

:

\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} \le \aleph_{\beta+1}^{\aleph_{\beta}} =(2^{\aleph_{\beta}})^{\aleph_{\beta}} = 2^{\aleph_{\beta}\cdot\aleph_{\beta}} = 2^{\aleph_{\beta}} = \aleph_{\beta+1}

, 반면:

:

\aleph_{\beta+1} = 2^{\aleph_{\beta}} \le \aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}}

세 번째 등식(''β''+1 < ''α''이고

\aleph_{\beta} \ge \operatorname{cf}(\aleph_{\alpha})

일 때)은 다음으로부터 유도된다.

:

\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}}  \ge \aleph_{\alpha}^{\operatorname{cf}(\aleph_{\alpha})} > \aleph_{\alpha}

, 쾨니그 정리에 의해, 반면:

:

\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} \le \aleph_{\alpha}^{\aleph_{\alpha}} \le (2^{\aleph_{\alpha}})^{\aleph_{\alpha}} = 2^{\aleph_{\alpha}\cdot\aleph_{\alpha}} = 2^{\aleph_{\alpha}} = \aleph_{\alpha+1}

3. 2. 연속체 가설의 부정을 함의하는 명제

윌리엄 휴 우딘은 '''오메가 논리'''(Ω-logic^영어)를 도입하여, 연속체 가설이 거짓이며

\aleph_2=2^{\aleph_0}

이라는 주장을 펼쳤다.^[37]^[38] 그러나 이는 수학적 증명은 아니다. 우딘의 주장은 현재까지도 논란이 되고 있다.

고유 강제법 공리(proper forcing axiom^영어)를 가정하면,

2^{\aleph_0}=\aleph_2

이므로, 연속체 가설은 부정된다.

3. 3. (일반화) 연속체 가설이 함의하는 명제

연속체 가설은 마틴 공리를 자명하게 함의한다.^[39]

체르멜로-프렝켈 집합론에 일반화 연속체 가설을 추가하면, 선택 공리를 증명할 수 있다.

일반화 연속체 가설은 기수의 산술을 완전히 결정한다. 체르멜로-프렝켈 집합론에 일반화 연속체 가설을 가정하면, 모든 기수

\kappa

에 대하여, 기멜 함수는 다음과 같다.^[39]

:

\gimel(\kappa)=\kappa^+

또한, 특이 기수 가설이 (자명하게) 성립하게 된다.

연속체 가설은 '''커플랜스키 추측'''의 부정을 함의한다.^[41] 여기서 커플랜스키 추측은 ZFC와 독립적이다.^[40]

4. 역사

게오르크 칸토어는 연속체 가설을 처음 제기하였으며, 참이라고 믿고 증명하기 위해 노력했다.^[42] 1900년 다비트 힐베르트는 세계 수학자 대회에서 연속체 가설을 힐베르트의 문제들 중 첫 번째 문제로 선정하였다. 1905년에는 필립 조던(Philip Jourdain)이 일반화 연속체 가설을 제기하였다.^[43]

연속체 가설에 대한 초기 학계의 의견은 통일되지 않았다. 다비트 힐베르트와 조던은 긍정적이었지만, 힐베르트는 연속체 가설이 ZFC로부터 증명될 수 있다고 기대하지 않았다. 쾨니그는 이를 반증하려고 시도했지만, 실수(實數)의 정렬 정리가 거짓이라고 믿었기 때문이었다. 괴델에 따르면, 루진과 시에르핀스키는 대체로 부정적인 견해를 가졌다고 한다.^[44]

쿠르트 괴델은 1938년에 일반화 연속체 가설이 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)에서 반증될 수 없음을 보였다.^[45]^[46] 괴델은 구성 가능 전체가 ZFC의 모형이며, 이 모형에서는 일반화 연속체 가설이 성립함을 보였다.

폴 코언은 1963년에 강제법을 도입하여 연속체 가설이 ZFC에서 증명될 수 없음을 보였다.^[47]^[48]^[49] 코언은 이 공로로 1966년 필즈상을 수상하였다.

1980년대 집합론자들 사이에서는 연속체 가설에 대한 의견이 엇갈렸다. 당시 로스앤젤레스 근처 여러 대학교의 집합론자들이 주최한 학회인 "비밀 조직"(Cabal)의 원로 회원들은 연속체 가설이 거짓이라고 생각했지만, 젊은 회원들 사이에서는 연속체 가설에 긍정적인 주장이 인기를 얻고 있었다.^[44]

2006년에 얀 미치엘스키(Jan Mycielski)는 일반화 연속체 가설이 무한 기수의 이론을 크게 단순화하며, 무한 집합의 조합론의 다양한 흥미로운 정리들을 가능하게 하므로, 집합론의 공리계에 추가하는 것이 합리적이라고 평가했다.^[50]

4. 1. 이스턴의 정리

윌리엄 B. 이스턴은 ZFC의 모델에서 정칙 기수의 멱집합의 농도는 다음 두 조건 이외의 제한을 받지 않는다는 이스턴의 정리를 증명했다.^[1]

$\kappa\leq\lambda$ 이면 $2^\kappa\leq 2^\lambda$
$\mbox{cf}(2^\kappa)>\kappa$ (쾨니히의 정리)

여기서

\kappa

및

\lambda

는 임의의 정칙 기수,

2^\kappa

는

\kappa

의 멱집합의 기수,

\mbox{cf}(\kappa)

는

\kappa

의 공종수이다.

이스턴의 증명은 무한히 많은 강제법을 동시에 수행하는 것으로, 그 수법은 현재에도 활발하게 응용되고 있다.^[1]

4. 2. 특이 기수 문제와 pcf 이론

실버의 정리는 특이 기수의 멱집합의 농도가 그것보다 작은 정규 기수의 농도에 크게 영향을 받는다는 것을 보여준다. 정칙 기수의 멱집합의 기수에 대해 이스턴의 정리에 의해 무모순성이 증명되었지만, 특이 기수의 멱집합의 기수는 아직 명확하게 밝혀지지 않았다.^[1]

이 분야에서 중요한 결과로는 마기도르에 의한 마기도의 정리가 있다. 정규 기수의 멱집합의 농도가 강제법으로 매우 자유롭게 움직일 수 있다는 점으로부터, 특이 기수의 멱집합의 농도에 관해서도 마찬가지라고 예상되었으나, 사하론 셸라 (셰라)의 PCF theory|pcf 이론^영어은 그러한 예상을 뒤집었다. pcf 이론은 특이 기수의 멱집합에 대한 연구에 중요한 기여를 했다.^[1] 예를 들어, 다음은 pcf 이론의 한 성과이다.^[1]

모든 자연수 ''n''에 대하여, $2^{\aleph_n}<\aleph_\omega$ 이 성립할 때, $2^{\aleph_\omega}\leq\aleph_{\omega_4}$ ^[1]

5. 연속체 가설에 대한 찬반 논쟁

쿠르트 괴델은 연속체 가설(CH)이 거짓이라고 믿었으며, CH가 체르멜로-프렝켈 공리계(ZFC)와 일치한다는 그의 증명은 단지 체르멜로-프렝켈 공리가 집합의 우주를 적절하게 특징짓지 못한다는 것을 보여줄 뿐이라고 생각했다. 괴델은 수학적 플라톤주의자였으므로 증명 가능성과 관계없이 명제의 진위 여부를 따지는 데 문제가 없었다. 수학적 형식주의자였던 코언도 CH를 거부하는 경향이 있었다.^[2]

역사적으로, "풍부하고" "큰" 우주의 집합을 선호하는 수학자들은 CH에 반대했고, "깔끔하고" "제어 가능한" 우주를 선호하는 사람들은 CH를 지지했다. CH를 함축하는 구성 가능성 공리에 대해서도 유사한 주장이 제기되었다. 최근 매튜 포먼은 존재론적 극대주의가 CH를 옹호하는 데 사용될 수 있다고 지적했는데, 같은 실수를 가진 모델들 중에서 실수의 "더 많은" 집합을 가진 모델들이 CH를 만족시킬 가능성이 더 높기 때문이다.

집합의 개념이 CH의 진위를 결정하기에 충분히 구체적이지 않다는 관점도 있다. 이 관점은 1923년에 토랄프 스콜렘이 스콜렘의 역설을 바탕으로 처음 주장했고, 나중에 ZFC의 공리로부터 CH의 독립성이 지지되었는데, 이는 이 공리들이 집합과 기수의 기본 속성을 확립하기에 충분하기 때문이다. 이 관점에 반대하려면 직관에 의해 뒷받침되고 CH를 어느 방향으로든 해결하는 새로운 공리를 증명하면 된다. 구성 가능성 공리가 CH를 해결하지만, 일반적으로 CH가 거짓으로 간주되는 것 이상으로 직관적으로 참이라고 간주되지는 않는다.^[2]

1986년, 크리스 프릴링은 CH의 부정이 프릴링의 대칭성 공리와 동치임을 보여줌으로써 CH에 반대하는 주장을 제시했다. 프릴링은 이 공리가 "직관적으로 명확하다"고 믿지만, 다른 사람들은 동의하지 않았다.

W. 휴 우딘은 2000년 이후 "별 공리"라는 새로운 가설을 제안했다. 별 공리는 $2^{\aleph_0}$ 이 $\aleph_2$ 임을 함축하여 CH를 거짓으로 만든다. 그러나 우딘은 2010년대에 자신의 새로운 "궁극적인 L" 추측에 대한 믿음을 바탕으로 CH가 참이라고 믿는다고 말했다.^[2]^[3]

솔로몬 페퍼만은 CH가 명확한 수학적 문제가 아니라고 주장했다. 조엘 데이비드 햄킨스는 멀티버스 접근 방식을 제안하며, CH가 멀티버스 관점에서 해결될 수 있다고 주장한다. 사하론 쉘라는 ZFC에 부합하는 많은 가능한 집합론이 있다는 견해를 밝혔다.

참조

_[1] 논문 The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis 1938
_[2] 뉴스 How Many Numbers Exist? Infinity Proof Moves Math Closer to an Answer. https://www.quantama[...] 2021-12-30
_[3] 논문 How Woodin changed his mind: new thoughts on the Continuum Hypothesis 2015-03
_[4] 논문 Throwing a dart at Freiling's argument against the continuum hypothesis https://projecteucli[...]
_[5] 논문 Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre http://www.digizeits[...]
_[6] 서적 The Consistency of the Continuum-Hypothesis Princeton University Press
_[7] 서적 Georg Cantor: His mathematics and philosophy of the infinite https://archive.org/[...] Princeton University Press
_[8] 논문 The independence of the Continuum Hypothesis, [part I] 1963-12-15
_[9] 서적 Classic Set Theory Chapman & Hall
_[10] 논문 The independence of the Continuum Hypothesis, [part] II 1964-01-15
_[11] 논문 Does mathematics need new axioms? 1999-02
_[12] 논문 The Continuum Hypothesis, Part I https://www.ams.org/[...]
_[13] 논문 The Continuum Hypothesis, Part II https://www.ams.org/[...]
_[14] 웹사이트 The Continuum Hypothesis http://logic.harvard[...]
_[15] 웹사이트 Feferman on the indefiniteness of CH http://logic.harvard[...]
_[16] 논문 Mathematics as an objective science
_[17] 서적 Set Theory: An Introduction to Independence Proofs North-Holland
_[18] 논문 Axioms of Symmetry: Throwing darts at the real number line Association for Symbolic Logic
_[19] 웹사이트 Has the Continuum Hypothesis been settled? http://www.math.hels[...] 2006-02-25
_[20] 웹사이트 Is the Continuum Hypothesis a definite mathematical problem? http://math.stanford[...]
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