국소 제타 함수

3. 예시

모든 ''N_k''가 1이라고 가정하면, 이는 ''X'' = 0과 같은 방정식으로 시작하여 기하학적으로 ''V''를 점으로 간주하는 경우에 해당한다. 그러면

:$G(t)\; =\; -\; \backslash log(1\; -\; t)$

는 로그의 전개(|''t''| < 1)이고, 이 경우

:$Z(t)\; =\; \backslash frac\{1\}\{(1\; -\; t)\}$

이다.

''V''를 ''F'' 위의 사영선으로 두면, ''F''가 ''q''개의 원소를 가질 때 무한대 점을 포함하여 ''q'' + 1개의 점을 갖는다. 따라서

:$N\_k\; =\; q^k\; +\; 1$

이고,

:$G(t)\; =\; -\; \backslash log(1\; -\; t)\; -\; \backslash log(1\; -\; qt)$

(|''t''|가 충분히 작을 때) 이므로,

:$Z(t)\; =\; \backslash frac\{1\}\{(1\; -\; t)(1\; -\; qt)\}$

이다.

이러한 함수에 대한 최초의 연구는 에밀 아르틴의 1923년 논문에서 이루어졌다. 그는 초타원 곡선의 경우에 대한 결과를 얻었고, 곡선에 적용되는 이론의 주요 점들을 추측했다. 이 이론은 그 후 F. K. 슈미트와 헬무트 하세에 의해 발전되었다.^[2] 국소 제타 함수의 가장 초기의 알려진 비자명한 경우는 카를 프리드리히 가우스의 ''산술 연구'' 제358조에 암시되어 있었다. 거기에서 복소수 곱셈을 갖는 유한체 위의 특정 타원 곡선 예는 원분법을 통해 점이 계산된다.^[3]

3. 1. 한 점

3. 2. 사영 직선

4. 역사

이러한 함수에 대한 최초의 연구는 1923년 에밀 아르틴의 논문에서 이루어졌다. 아르틴은 초타원 곡선의 경우에 대한 결과를 얻었고, 곡선에 적용되는 이론의 주요 점들을 추측했다. 이 이론은 그 후 F. K. 슈미트와 헬무트 하세에 의해 발전되었다.^[2] 카를 프리드리히 가우스의 ''산술 연구'' 제358조에는 복소수 곱셈을 갖는 유한체 위의 특정 타원 곡선 예가 암시되어 있었는데, 여기에서 사이클로토미를 통해 점을 계산한다.^[3]

5. 유한체 위의 곡선에 대한 리만 가설

유한체 ''F'' 위의 비특이점 사영 곡선 ''C''에 대해, 다음이 성립한다.

:$Z(t)\; =\; \backslash frac\{P(t)\}\{(1\; -\; t)(1\; -\; qt)\}$

여기서 ''P''(''t'')는 종수 ''g''를 갖는 곡선 ''C''의 2''g''차 다항식이다. 이를 다시 쓰면 다음과 같다.

:$P(t)=\backslash prod^\{2g\}\_\{i=1\}(1-\backslash omega\_i\; t)$

'''유한체 위의 곡선에 대한 리만 가설'''은 다음과 같다.

:$|\backslash omega\_i|=q^\{1/2\}$

예를 들어, 타원 곡선의 경우 두 개의 근이 있으며, 근의 절대값이 ''q''^1/2임을 쉽게 보일 수 있다. 하세의 정리는 그들이 같은 절대값을 가진다는 것이며, 이는 점의 개수에 즉각적인 영향을 미친다.

앙드레 베유는 1940년경(1940년 4월 ''Comptes Rendus'' 노트)에 일반적인 경우에 대해 이를 증명했다. 그는 그 이후 수년간 관련 대수 기하학을 작성하는 데 많은 시간을 보냈다. 이는 그를 일반적인 베유 추측으로 이끌었다. 알렉산더 그로텐디크는 이를 해결하기 위해 스킴 이론을 개발했다. 한 세대 후 피에르 들리뉴가 증명을 완성했다.

6. 일반 공식

유한체 ''F''가 주어지면, 다음을 만족하는 체 ''F_k''는 동형 사상을 제외하고 유일하게 존재한다.

:$[\; F\_k\; :\; F\; ]\; =\; k\; \backslash ,$

여기서 ''k'' = 1, 2, ... 이다. ''F''가 ''q''개의 원소를 가진 유한체일 때, ''F_k''는 $q^k$개의 원소를 가진다. ''F'' 위에서 정의된 대수적 다양체 ''V''가 주어지면, ''F_k''에서의 해의 개수 $N\_k\; \backslash ,$를 셀 수 있고, 이를 이용하여 생성 함수

:$G(t)\; =\; N\_1t\; +N\_2t^2/2\; +\; N\_3t^3/3\; +\backslash cdots\; \backslash ,$

를 만들 수 있다.

국소 제타 함수 ''Z''(''t'')는 log ''Z'' = ''G''를 만족하도록 정의된다. 즉,

:$Z=\; \backslash exp\; (G(t))\; \backslash ,$

이다. ''G''(0) = 0이므로 ''Z''(0) = 1이고, ''Z''(''t'')는 형식적 멱급수이다.

''Z''(''t'')의 로그 미분

:$Z\text{'}(t)/Z(t)\; \backslash ,$

는 생성 함수

:$G\text{'}(t)\; =\; N\_1\; +N\_2t^1\; +\; N\_3t^2\; +\backslash cdots\; \backslash ,$

와 같다.

프로베니우스 사상에 대한 레프셰츠 흔적 공식은 다음과 같다.

:$Z(X,t)=\backslash prod\_\{i=0\}^\{2\backslash dim\; X\}\backslash det\backslash big(1-t\; \backslash mbox\{Frob\}\_q\; |H^i\_c(\backslash overline\{X\},\{\backslash mathbb\; Q\}\_\backslash ell)\backslash big)^\{(-1)^\{i+1\}\}.$

여기서 $X$는 유한체 ''F'' 위의 유한형 분리 스킴이고, Frob_q는 $\backslash overline\{X\}$의 콤팩트한 지지체를 가진 $\backslash ell$-adic 에탈 코호몰로지에 작용하는 기하학적 프로베니우스이다. $\backslash overline\{X\}$는 ''F''의 대수적 폐포로의 $X$의 리프트이다. 이는 제타 함수가 $t$의 유리 함수임을 보여준다.

$Z(X,\; t)$에 대한 무한 곱 공식은 다음과 같다.

:$Z(X,\; t)=\backslash prod\backslash \; (1-t^\{\backslash deg(x)\})^\{-1\}.$

여기서 곱은 ''X''의 모든 닫힌 점 ''x''에 걸쳐 있으며, deg(''x'')는 ''x''의 차수이다.

국소 제타 함수 ''Z(X, t)''는 변수 ''q^−s''의 변환을 통해 복소 변수 ''s''의 함수로 간주된다.

''X''가 다양체 ''V''인 경우, 닫힌 점은 $\backslash overline\{V\}$의 점 ''P''의 동치 클래스 ''x=[P]''이며, 두 점은 ''F'' 위에서 켤레 관계에 있다. ''x''의 차수는 ''P''의 좌표에 의해 생성된 ''F''의 체 확장의 차수이다. 무한 곱 ''Z(X, t)''의 로그 미분은 위에서 논의된 생성 함수

:$N\_1\; +N\_2t^1\; +\; N\_3t^2\; +\backslash cdots\; \backslash ,$

와 같다.

참조

_[1] 서적 The arithmetic of elliptic curves Springer-Verlag
_[2] 서적 Algebraic Geometry
_[3] 간행물 Eigenvalues of Frobenius
_[4] 서적 Algebraic Geometry Springer
_[5] 서적 Algebraic Geometry
_[6] 간행물 Eigenvalues of Frobenius acting on algebraic varieties over finite fields
_[7] 서적 Algebraic Geometry Springer