프로베니우스 사상

1. 개요

프로베니우스 사상은 표수가 소수인 가환환에서 정의되는 환 준동형 사상으로, 거듭제곱 연산을 통해 표현된다. 이는 '신입생의 꿈'으로 불리는 특징적인 성질을 가지며, 복소수 체와 같은 체에서는 성립하지 않는다. 프로베니우스 사상은 절대 프로베니우스 사상, 산술·기하 프로베니우스 사상, 상대 프로베니우스 사상 등 스킴에 대한 다양한 정의를 제공하며, 수론에서 중요한 역할을 한다. 특히, 대수적 수론에서 프로베니우스 원소는 국소체 및 대역체의 비분기 확대에 대해 정의되며, 유체론의 아르틴 기호 정의에 핵심적으로 사용된다. 페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1896년에 처음 도입했다.

2. 정의

가환환 $R$의 환의 표수가 소수 $p$라고 하자. 그렇다면 $R$의 프로베니우스 사상 $\backslash operatorname\{Frob\}\_R\backslash colon\; R\backslash to\; R$은 다음과 같이 정의된다.
:$\backslash operatorname\{Frob\}\_R\backslash colon\; r\backslash mapsto\; r^p$
이는 환 준동형을 이룬다. 이는 다음과 같은 신입생의 꿈(新入生-, freshman’s dream^영어) 또는 1학년의 꿈이라고 불리는 항등식 때문이다.
:$(r+s)^p=\backslash sum\_\{i=0\}^p\; \backslash binom\{p\}\{i\}\; r^is^\{p-i\}=r^p+s^p\backslash qquad\backslash forall\; r,s\backslash in\; R\backslash qquad\backslash left(\backslash because\; p\backslash mid\; \backslash binom\; pi\backslash qquad\backslash forall\; 1\backslash le\; i\backslash le\; p-1\backslash right)$
이 항등식은 복소수체 위에서는 성립하지 않는다 (예를 들어, $(1+1)^p=2^p\backslash ne\; 2=1^p+1^p$이다).

프로베니우스 자기 사상 F는 다음과 같이 정의된다.
:$F(r)\; =\; r^p$

3. 스킴의 프로베니우스 사상

유한체 \(\mathbb F_p\) 위의 스킴 \(X\)에 대한 프로베니우스 사상에는 다음과 같은 종류가 있다.

* 절대 프로베니우스 사상: 스킴 \(X\)의 구조 층의 각 아핀 부분 스킴에서 프로베니우스 사상을 정의하고, 이를 짜깁기하여 얻는 사상이다.
* 산술 프로베니우스 사상: \(X\)와 \(S\)의 절대 프로베니우스 사상의 올곱으로 정의되는 사상이다.
* 기하 프로베니우스 사상: \(S\)의 절대 프로베니우스 사상이 자기 동형 사상일 때, 그 역함수와의 올곱으로 정의되는 사상이다.
* 상대 프로베니우스 사상: 올곱의 보편 성질을 이용하여 정의되는 사상으로, 절대 프로베니우스 사상을 상대적인 상황으로 확장한 개념이다.

\(S = \operatorname{Spec} \mathbb F_p\)인 경우(또는 \(\operatorname{Frob}_S = \operatorname{id}_S\)인 경우) 상대 프로베니우스 사상은 절대 프로베니우스 사상과 같다.

3.1. 절대 프로베니우스 사상

소수 $p$가 주어졌을 때, 유한체 $\backslash mathbb\; F\_p$ 위의 스킴 $X/\backslash operatorname\{Spec\}\backslash mathbb\; F\_p$를 생각하자. $X$의 임의의 아핀 부분 스킴 $U$에 대하여, $\backslash Gamma(U,\backslash mathcal\; O\_X)$는 $K$-단위 결합 대수이므로 프로베니우스 사상을 갖는다. 프로베니우스 사상은 자연 변환이므로, 이러한 아핀 부분 스킴들의 프로베니우스 사상들을 서로 짜깁기할 수 있다. 이렇게 짜깁기하여 얻어지는 $\backslash mathbb\; F\_p$-스킴 사상 $\backslash operatorname\{Frob\}\_X\backslash colon\; X\backslash to\; X$을 $X$의 절대 프로베니우스 사상이라고 한다.

절대 프로베니우스 사상은 다음과 같은 자연 변환을 이룬다.
:$\backslash operatorname\{Frob\}\_\{/\backslash mathbb\; F\_p\}\backslash colon\backslash operatorname\{Id\}\_\{\backslash operatorname\{Sch\}/\backslash operatorname\{Spec\}\backslash mathbb\; F\_p\}\backslash Rightarrow\; \backslash operatorname\{Id\}\_\{\backslash operatorname\{Sch\}/\backslash operatorname\{Spec\}\backslash mathbb\; F\_p\}$
여기서 $\backslash operatorname\{Id\}\_\{\backslash operatorname\{Sch\}/\backslash operatorname\{Spec\}\backslash mathbb\; F\_p\}$는 $\backslash mathbb\; F\_p$-스킴의 범주 $\backslash operatorname\{Sch\}/\backslash operatorname\{Spec\}\backslash mathbb\; F\_p$의 항등 함자이다.

절대 프로베니우스 사상은 차수 $p$의 순전히 분리 불가능한 사상이며, 미분은 0이다. 또한 곱을 보존한다. 즉, 임의의 두 스킴 $X$와 $Y$에 대해 $F\_\{X\backslash times\; Y\}\; =\; F\_X\; \backslash times\; F\_Y$이다.

만약 $X$가 $S$-스킴이고 $S$의 프로베니우스 사상이 항등 사상이라면, 절대 프로베니우스 사상은 $S$-스킴의 사상이 된다. 그러나 일반적으로는 그렇지 않다. 예를 들어, 링 $A\; =\; \backslash mathbf\{F\}\_\{p^2\}$를 생각하고, $X$와 $S$를 모두 $\backslash operatorname\{Spec\}\; A$로, 구조 사상 $X\; \backslash to\; S$를 항등 사상으로 설정하면, $A$에서의 프로베니우스 사상은 $a$를 $a^p$로 보내는 것이 되는데, 이는 $\backslash mathbf\{F\}\_\{p^2\}$-대수의 사상이 아니다.

3.1.1. 산술·기하 프로베니우스 사상

$\backslash mathbb\; F\_p$-스킴 $S$ 위의 스킴 $f\backslash colon\; X\backslash to\; S$가 주어졌을 때, $S$의 절대 프로베니우스 사상 $\backslash operatorname\{Frob\}\_S\backslash colon\; S\backslash to\; S$와의 올곱을 취하여 함자
:$X^\{(p/S)\}=X\backslash times\_S\backslash operatorname\{Frob\}\_S$
를 정의할 수 있다. 이를 프로베니우스 스칼라 확대(extension of scalars by Frobenius^영어)라고 한다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상
:$\backslash operatorname\{Frob\}\_\{\backslash operatorname\; a,X/S\}\backslash colon\; X^\{(p/S)\}\backslash to\; X$
을 산술 프로베니우스 사상(arithmetic Frobenius morphism^영어)이라고 한다.

:$\backslash begin\{matrix\}$
X^{(p/S)}&\overset{\operatorname{Frob_a}}\to&X\\
\downarrow&&\downarrow\\
S&\underset{\operatorname{Frob}}\to&S
\end{matrix}

만약 $S$의 절대 프로베니우스 사상 $\backslash operatorname\{Frob\}\_S\backslash colon\; S\backslash to\; S$이 자기 동형 사상이라면 (예를 들어, $S$가 완전체의 스펙트럼이라면), $\backslash operatorname\{Frob\}\_S^\{-1\}$에 대한 올곱
:$X^\{(p^\{-1\}/S)\}=X\backslash times\_S\backslash operatorname\{Frob\}\_S^\{-1\}$
을 생각할 수 있다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상
:$\backslash operatorname\{Frob\}\_\{\backslash operatorname\; g,X/S\}\backslash colon\; X^\{(p^\{-1\}/S)\}\backslash to\; X$
을 기하 프로베니우스 사상(geometric Frobenius morphism^영어)이라고 한다.

:$\backslash begin\{matrix\}$
X^{(p^{-1}/S)}&\overset{\operatorname{Frob_g}}\to&X\\
\downarrow&&\downarrow\\
S&\underset{\operatorname{Frob}^{-1}}\to&S
\end{matrix}

산술 프로베니우스와 기하 프로베니우스에서, 스키마 $X/S$의 산술 프로베니우스 사상은 다음과 같은 사상이다.
:$F^a\_\{X/S\}\; :\; X^\{(p)\}\; \backslash to\; X\; \backslash times\_S\; S\; \backslash cong\; X$
이는
:$F^a\_\{X/S\}\; =\; 1\_X\; \backslash times\; F\_S$
로 정의된다. 즉, $1\_X$에 의한 $F\_S$의 밑변환이다.

$R\; =\; A[X\_1,\; \backslash ldots,\; X\_n]\; /\; (f\_1,\; \backslash ldots,\; f\_m)$이고,
:$R^\{(p)\}\; =\; A[X\_1,\; \backslash ldots,\; X\_n]\; /\; (f\_1,\; \backslash ldots,\; f\_m)\; \backslash otimes\_A\; A\_F$
일 때, 산술 프로베니우스는 다음과 같은 준동형사상이다.
:$\backslash sum\_i\; \backslash left(\backslash sum\_\backslash alpha\; a\_\{i\backslash alpha\}\; X^\backslash alpha\backslash right)\; \backslash otimes\; b\_i\; \backslash mapsto\; \backslash sum\_i\; \backslash sum\_\backslash alpha\; a\_\{i\backslash alpha\}\; b\_i^p\; X^\backslash alpha$
만약 $R^\{(p)\}$을
:$R^\{(p)\}\; =\; A[X\_1,\; \backslash ldots,\; X\_n]\; /\; \backslash left\; (f\_1^\{(p)\},\; \backslash ldots,\; f\_m^\{(p)\}\; \backslash right\; )$
와 같이 다시 쓰면, 이 준동형사상은
:$\backslash sum\; a\_\backslash alpha\; X^\backslash alpha\; \backslash mapsto\; \backslash sum\; a\_\backslash alpha^p\; X^\backslash alpha$
가 된다.

$S$의 절대 프로베니우스 사상이 $F\_S^\{-1\}$로 역전가능하다고 가정하고, $S\_\{F^\{-1\}\}$를 $S$-스키마 $F\_S^\{-1\}\; :\; S\; \backslash to\; S$로 표기하면, $F\_S^\{-1\}$에 의한 $X$의 스칼라 확장
:$X^\{(1/p)\}\; =\; X\; \backslash times\_S\; S\_\{F^\{-1\}\}$
이 존재한다.

만약
:$R\; =\; A[X\_1,\; \backslash ldots,\; X\_n]\; /\; (f\_1,\; \backslash ldots,\; f\_m)$
이라면, $F\_S^\{-1\}$에 의한 스칼라 확장은
:$R^\{(1/p)\}\; =\; A[X\_1,\; \backslash ldots,\; X\_n]\; /\; (f\_1,\; \backslash ldots,\; f\_m)\; \backslash otimes\_A\; A\_\{F^\{-1\}\}$
이다.

또한,
:$f\_j\; =\; \backslash sum\_\backslash beta\; f\_\{j\backslash beta\}\; X^\backslash beta$
이면,
:$f\_j^\{(1/p)\}\; =\; \backslash sum\_\backslash beta\; f\_\{j\backslash beta\}^\{1/p\}\; X^\backslash beta$
와 같이 쓸 수 있고, 다음과 같은 동형사상이 존재한다.
:$R^\{(1/p)\}\; \backslash cong\; A[X\_1,\; \backslash ldots,\; X\_n]\; /\; (f\_1^\{(1/p)\},\; \backslash ldots,\; f\_m^\{(1/p)\})$

$S$-스키마 $X$의 기하 프로베니우스 사상은 다음과 같은 사상이다.
:$F^g\_\{X/S\}\; :\; X^\{(1/p)\}\; \backslash to\; X\; \backslash times\_S\; S\; \backslash cong\; X$
이는
:$F^g\_\{X/S\}\; =\; 1\_X\; \backslash times\; F\_S^\{-1\}$
로 정의된다. 즉, $1\_X$에 의한 $F\_S^\{-1\}$의 밑변환이다.

A와 R의 예를 계속해서 보면, 기하 프로베니우스는
:$\backslash sum\_i\; \backslash left(\backslash sum\_\backslash alpha\; a\_\{i\backslash alpha\}\; X^\backslash alpha\backslash right)\; \backslash otimes\; b\_i\; \backslash mapsto\; \backslash sum\_i\; \backslash sum\_\backslash alpha\; a\_\{i\backslash alpha\}\; b\_i^\{1/p\}\; X^\backslash alpha$
와 같이 정의된다.

$\backslash \{f\_j^\{(1/p)\}\backslash \}$의 관점에서 $R^\{(1/p)\}$을 다시 쓰면, 기하 프로베니우스는
:$\backslash sum\; a\_\backslash alpha\; X^\backslash alpha\; \backslash mapsto\; \backslash sum\; a\_\backslash alpha^\{1/p\}\; X^\backslash alpha$
가 된다.

3.1.2. 상대 프로베니우스 사상

$\backslash mathbb\; F\_p$-스킴 $S$ 위의 스킴 $f\backslash colon\; X\backslash to\; S$가 주어졌을 때, 올곱의 보편 성질에 따라 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 유일한 스킴 사상 $\backslash operatorname\{Frob\}\_\{/S\}\backslash colon\; X\backslash to\; X^\{(p/S)\}$가 존재한다.

:$\backslash begin\{matrix\}$
&&X\\
&{\scriptstyle f}\swarrow&\downarrow\scriptstyle\exists!&\searrow\scriptstyle{\operatorname{Frob}}\\
S&\leftarrow&X^{(p/S)}&\underset{\operatorname{Frob_a}}\to&X\\
&\scriptstyle{\operatorname{Frob}}\searrow&&\swarrow\scriptstyle f\\
&&S
\end{matrix}

이를 상대 프로베니우스 사상(relative Frobenius morphism^영어)이라고 한다. 이는 다음과 같은 자연 변환을 이룬다.

:$\backslash operatorname\{Frob\}\_\{/S\}\backslash colon\backslash operatorname\{Id\}\_\{\backslash operatorname\{Sch\}/S\}\backslash to\backslash operatorname\{Id\}\_\{\backslash operatorname\{Sch\}/S\}$

$S=\backslash operatorname\{Spec\}\backslash mathbb\; F\_p$인 경우(또는 $\backslash operatorname\{Frob\}\_S=\backslash operatorname\{id\}\_S$인 경우) 상대 프로베니우스 사상은 절대 프로베니우스 사상과 같다.

$S$-스킴 $X$의 상대 프로베니우스 사상은 다음과 같이 정의된다.

:$F\_\{X/S\}\; =\; (F\_X,\; 1\_S)$
:$F\_\{X/S\}\; :\; X\; \backslash to\; X^\{(p)\}$

절대 프로베니우스 사상은 자연스러우므로, 상대 프로베니우스 사상은 $S$-스킴의 사상이다.

예를 들어, $A$-대수

:$R\; =\; A[X\_1,\; \backslash ldots,\; X\_n]\; /\; (f\_1,\; \backslash ldots,\; f\_m)$

을 생각하면,

:$R^\{(p)\}\; =\; A[X\_1,\; \backslash ldots,\; X\_n]\; /\; (f\_1^\{(p)\},\; \backslash ldots,\; f\_m^\{(p)\})$

을 얻는다. 상대 프로베니우스 사상은

:$\backslash sum\_i\; \backslash sum\_\backslash alpha\; X^\backslash alpha\; \backslash otimes\; a\_\{i\backslash alpha\}\; \backslash mapsto\; \backslash sum\_i\; \backslash sum\_\backslash alpha\; a\_\{i\backslash alpha\}X^\{p\backslash alpha\}$

에 의해 정의되는 준동형 사상 $R^\{(p)\}\; \backslash to\; R$이다.

상대 프로베니우스 사상은 밑 변환과 일관성을 가지는데, $X^\{(p/S)\}\; \backslash times\_S\; S\text{'}$와 $(X\; \backslash times\_S\; S\text{'})^\{(p/S\text{'})\}$의 자연스러운 동형 아래에서

:$F\_\{X\; /\; S\}\; \backslash times\; 1\_\{S\text{'}\}\; =\; F\_\{X\; \backslash times\_S\; S\text{'}\; /\; S\text{'}\}$

이 성립한다.

상대 프로베니우스 사상은 보편적인 위상 동형 사상이다. $X\; \backslash to\; S$가 열린 매장이면 항등 사상이 된다. $X\; \backslash to\; S$가 $O\_S$의 아이디얼 $I$에 의해 결정되는 닫힌 매장이면, $X^\{(p)\}$는 아이디얼 층 $I^p$에 의해 결정되며, 상대 프로베니우스는 강화된 사상 $O\_S/I^p\; \backslash to\; O\_S/I$이다.

$X$가 $S$ 위에서 불분지라는 것과 $F\_\{X/S\}$가 불분지라는 것, $F\_\{X/S\}$가 단사 준동형이라는 것은 동치이다. $X$가 $S$ 위에서 에탈이라는 것과 $F\_\{X/S\}$가 에탈이라는 것, $F\_\{X/S\}$가 동형이라는 것은 동치이다.

4. 성질

프로베니우스 사상은 소수 $p$를 표수로 갖는 가환환에서 정의되는 특별한 환 준동형 사상이다. 이 사상은 환의 각 원소 $r$을 $r^p$으로 보낸다.

프로베니우스 사상은 곱셈에 대해 잘 작동하며, 덧셈에 대해서도 "1학년의 꿈"이라고 불리는 특별한 성질을 만족한다. 즉, $(r+s)^p\; =\; r^p\; +\; s^p$가 성립한다. 이는 이항 전개에서 $r^p$와 $s^p$를 제외한 모든 항의 계수가 $p$로 나누어지기 때문이다.

프로베니우스 사상 $F$는 환 준동형 사상이며, 표수 $p$의 가환환의 범주에서 항등 관수상의 자연 변환을 이룬다. 즉, 환 준동형 사상 $\backslash phi\backslash colon\; R\backslash to\; S$에 대해, $\backslash phi(x^p)\; =\; \backslash phi(x)^p$가 성립한다.

프로베니우스 사상은 피약환(체와 같은 정역 등)에서 단사 함수가 된다. 이는 $r^p\; =\; 0$이면 $r$이 멱영원이 되어 자명해지기 때문이다.

프로베니우스 사상은 체에서 전사 함수가 아닐 수도 있다. 예를 들어, $\backslash mathbb\{F\}\_p(t)$ (유리함수체)에서 $t$는 프로베니우스 사상의 상에 포함되지 않는다.

완전체는 표수가 0이거나, 양의 표수이고 프로베니우스 사상이 전사인 체를 말한다. 모든 유한체는 완전체이다.

4.1. 단사 함수 조건

소수 표수의 가환환 $R$ 위의 프로베니우스 사상이 단사 함수일 필요충분조건은 $R$가 축소환인 것이다. 특히, 양의 표수의 체 위의 프로베니우스 사상은 단사 함수이다.

4.2. 완전체 조건

양의 표수를 갖는 체 $K$에 대하여 프로베니우스 사상이 전단사 함수(즉, 자기 동형)가 되기 위한 필요충분조건은 $K$가 완전체인 것이다.

4.3. 고정점

유한체 $\backslash mathbb\; F\_p$ 위의 프로베니우스 사상은 항등 함수이다 (페르마 소정리). 즉, 다음이 성립한다.
:$a^p=a\backslash qquad\backslash forall\; a\backslash in\backslash mathbb\; F\_p$
양의 표수 $p>0$의 체 $K/\backslash mathbb\; F\_p$ 위의 프로베니우스 사상의 고정점은 다항식 $x^p-x\backslash in\; K[x]$의 근을 이룬다. 대수학의 기본 정리에 따라 $p$차 다항식의 근의 수는 $p$개 이하이며, $\backslash mathbb\; F\_p\backslash subseteq\; K$는 이미 $p$개의 근을 이루므로, $K$ 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합은 $\backslash mathbb\; F\_p$이다.

보다 일반적으로, 양의 표수 $p>0$의 정역 $D$에 대해서, 항상 분수체 $\backslash operatorname\{Frac\}D\backslash supseteq\; D\backslash supseteq\backslash mathbb\; F\_p$를 취할 수 있으므로, 표수 $p$의 정역 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합 역시 $\backslash mathbb\; F\_p$이다.
:$\backslash \{a\backslash in\; D\backslash colon\; a^p=a\backslash \}=\backslash mathbb\; F\_p$

페르마 소정리에 의해, $\backslash mathbb\; F\_p$의 모든 원소는 $x^p\; =\; x$를 만족하며, 이는 다항식 $X^p\; -\; X$의 근이다. 따라서 $\backslash mathbb\; F\_p$의 원소들은 이 방정식의 $p$개의 근을 결정하며, 이 방정식은 차수가 $p$이므로 어떤 확대체에서도 $p$개 이상의 근을 가질 수 없다. 특히, $K$가 $\backslash mathbb\; F\_p$의 대수적 확대(대수적 폐포 또는 다른 유한체와 같은)라면, $\backslash mathbb\; F\_p$는 $K$의 프로베니우스 자기 사상의 고정체이다.

$R$이 표수 $p>0$인 환이라고 할 때, $R$이 정역이라면, 동일한 논리에 의해 프로베니우스 사상의 고정점은 소체의 원소이다. 그러나 $R$이 정역이 아니라면, $X^p\; -\; X$는 $p$개 이상의 근을 가질 수 있다.

유한체 $\backslash mathbf\{F\}\_\{p^n\}$에서도 프로베니우스 자기 사상의 n번째 반복에 의해 비슷한 성질이 나타난다.

4.4. 갈루아 군

유한체 $\backslash mathbb\; F\_p$의 유한 확대 $\backslash mathbb\; F\_\{p^n\}/\backslash mathbb\; F\_p$의 갈루아 군은 순환군이다.
:$\backslash operatorname\{Gal\}(\backslash mathbb\; F\_\{p^n\}/\backslash mathbb\; F\_p)\backslash cong\backslash mathbb\; Z/n$
프로베니우스 자기 동형
:$\backslash operatorname\{Frob\}\_\{\backslash mathbb\; F\_\{p^n\}\}\backslash in\backslash operatorname\{Gal\}(\backslash mathbb\; F\_\{p^n\}/\backslash mathbb\; F\_p)$
은 이 갈루아 군의 생성원을 이룬다.

마찬가지로, 유한체 $\backslash mathbb\; F\_\{p^m\}$의 유한 확대 $\backslash mathbb\; F\_\{p^\{mn\}\}/\backslash mathbb\; F\_\{p^m\}$의 갈루아 군은 순환군
:$\backslash operatorname\{Gal\}(\backslash mathbb\; F\_\{p^\{mn\}\}/\backslash mathbb\; F\_\{p^m\})\backslash cong\backslash mathbb\; Z/n$
이며, 프로베니우스 자기 동형의 $m$제곱
:$\backslash overbrace\{$
\operatorname{Frob}_{\mathbb F_{p^m}}
\circ
\cdots
\circ
\operatorname{Frob}_{\mathbb F_{p^m}}}^m\in\operatorname{Gal}(\mathbb F_{p^{mn}}/\mathbb F_m)
은 그 생성원을 이룬다.

4.5. 스킴 위의 갈루아 군의 작용

유한체 $\backslash mathbb\; F\_\{p^n\}$ 위의 스킴 $X/\backslash mathbb\; F\_\{p^n\}$가 주어졌다고 하자.
$\backslash mathbb\; F\_\{p^n\}$은 완전체이므로 프로베니우스 사상은 자기 동형 사상이며, $X^\{(p/\backslash mathbb\; F\_\{p^n\})\}$ 및 $X^\{(p^\{-1\}/\backslash mathbb\; F\_\{p^n\})\}$은 $X$와 동형이다. 즉, 산술·기하 프로베니우스 사상은 $X$ 위의 자기 사상으로 생각할 수 있다.

$X$의 $\backslash mathbb\; F\_\{p^n\}$-점들의 집합 $X(\backslash mathbb\; F\_\{p^n\})$ 위에는 갈루아 군 $\backslash operatorname\{Gal\}(\backslash mathbb\; F\_\{p^n\}/\backslash mathbb\; F\_p)\backslash cong\backslash mathbb\; Z/n$(의 생성원인 프로베니우스 자기 동형)이 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.
:$(\backslash operatorname\{Spec\}\backslash mathbb\; F\_\{p^n\}\backslash xrightarrow\; x\; X)\backslash mapsto\; (\backslash operatorname\{Spec\}\backslash mathbb\; F\_\{p^n\}\backslash xrightarrow\{\backslash operatorname\{Frob\}\}\backslash operatorname\{Spec\}\backslash mathbb\; F\_\{p^n\}\backslash xrightarrow\; x\; X)$
또한, $X(\backslash mathbb\; F\_\{p^n\})$ 위에는 산술 프로베니우스 사상으로 생성되는 순환군이 자연스럽게 작용한다.
:$(\backslash operatorname\{Spec\}\backslash mathbb\; F\_\{p^n\}\backslash xrightarrow\; x\; X)\backslash mapsto\; (\backslash operatorname\{Spec\}\backslash mathbb\; F\_\{p^n\}\backslash xrightarrow\; x\; X\backslash xrightarrow\{\backslash operatorname\{Frob\_a\}\}X)$
이 두 작용은 서로 일치한다.

따라서, 산술 프로베니우스 사상 $\backslash operatorname\{Frob\}\_\{\backslash operatorname\; a,X/\backslash mathbb\; F\_\{p^n\}\}\backslash colon\; (X^\{(p/\backslash mathbb\; F\_\{p^n\})\}\backslash cong\; X)\backslash to\; X$은 $\backslash mathbb\; F\_\{p^n\}$-점의 집합 위의 갈루아 군 $\backslash operatorname\{Gal\}(\backslash mathbb\; F\_\{p^n\}/\backslash mathbb\; F\_p)\backslash cong\backslash mathbb\; Z/n$의 작용을 나타낸다.

4.6. 에탈 코호몰로지 위의 프로베니우스 사상

finite field $\backslash mathbb\; F\_p$ 위의 scheme $X/\backslash mathbb\; F\_p$가 주어졌다고 하자. $\backslash bar\; X=X\backslash otimes\_\{\backslash mathbb\; F\_p\}\backslash operatorname\{Spec\}\backslash bar\{\backslash mathbb\; F\}\_p$ 위의 small étale site $\backslash bar\; X\_\{\backslash operatorname\{\backslash acute\; et\}\}$를 생각하자. 그렇다면, $X$ 위의 상대 프로베니우스 사상
:$\backslash operatorname\{Frob\}\_\{X/\backslash bar\{\backslash mathbb\; F\}\_p\}\backslash colon\; \backslash bar\; X\backslash to\backslash bar\; X$
과 기하 프로베니우스 사상
:$\backslash operatorname\{Frob\}\_\{\backslash operatorname\; g,X/\backslash bar\{\backslash mathbb\; F\}\_p\}X\backslash colon\; \backslash bar\; X\backslash to\backslash bar\; X$
은 topos $\backslash bar\; X\_\{\backslash operatorname\{\backslash acute\; et\}\}$ 위의 같은 geometric morphism
:$f\backslash colon\backslash operatorname\{Frob\}\_\{X/\backslash bar\{\backslash mathbb\; F\}\_p\}=\backslash operatorname\{Frob\}\_\{\backslash operatorname\; g,X/\backslash bar\{\backslash mathbb\; F\}\_p\}\backslash colon$
\bar X_{\operatorname{\acute et}}\to \bar X_{\operatorname{\acute et}}을 유도한다.

특히, $\backslash bar\; X\_\{\backslash operatorname\{\backslash acute\; et\}\}$ 위의 abelian group 값의 sheaf $\backslash mathcal\; F$이 주어졌다고 하면, 상대 프로베니우스 사상과 기하 프로베니우스 사상은 $\backslash mathcal\; F$의 étale cohomology 위에 똑같이 작용한다.
:$\backslash operatorname\{Frob\}\_\{X/\backslash bar\{\backslash mathbb\; F\}\_p\}^*$
=\operatorname{Frob}_{\operatorname g,X/\bar{\mathbb F}_p}^*
\colon\operatorname H_{\operatorname{\acute et}}^\bullet(\bar X;\mathcal F)
\to\operatorname H_{\operatorname{\acute et}}^\bullet(\bar X;f^*\mathcal F)

5. 수론적 성질

대수적 수론에서 프로베니우스 원소는 국소체 또는 대역체의 비분기 확대에 대해 정의되며, 잉여류체 갈루아 군의 특별한 원소이다. 이는 유체론에서 아르틴 기호를 정의하는 데 사용된다.

프로베니우스 원소는 국소체와 대역체의 경우로 나누어 정의할 수 있다. 국소체의 경우, 비분기 유한 갈루아 확대에 대하여 잉여류체의 확대에서 프로베니우스 자기 사상을 유도하는 방식으로 정의된다. 대역체의 경우에는 갈루아 확대와 대수적 정수환의 소 아이디얼에서 정의된다.

5.1. 국소체

대수적 수론에서, 국소체의 비분기 확대에 대하여 잉여류체 갈루아 군의 특별한 원소인 프로베니우스 원소(Frobenius element^영어)를 정의할 수 있다.

두 비아르키메데스 국소체 $L$, $K$ 사이의 비분기 유한 갈루아 확대 $L/K$가 주어졌다고 하자. 대수적 정수환 $\backslash mathcal\; O\_L$의 유일한 극대 아이디얼을 $\backslash mathfrak\; P\backslash in\backslash operatorname\{Spec\}\backslash mathcal\; O\_L$, $\backslash mathcal\; O\_K$의 유일한 극대 아이디얼을 $\backslash mathfrak\; p\backslash in\backslash operatorname\{Spec\}\backslash mathcal\; O\_K$라고 하자.

그러면, 잉여류체 $\backslash mathcal\; O\_L/\backslash mathfrak\; P$와 $\backslash mathcal\; O\_K/\backslash mathfrak\; p$는 둘 다 유한체이며, 다음이 성립한다.
:$[\backslash mathcal\; O\_L/\backslash mathfrak\; P:\backslash mathcal\; O\_K/\backslash mathfrak\; p]=[L:K]$
(여기서 $[:]$는 체의 확대의 차수이다.)

이때, 다음 조건을 만족시키는 유일한 원소
:$\backslash operatorname\{Frob\}\_\{L/K\}\backslash in\backslash operatorname\{Gal\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathcal\; O\_L/\backslash mathfrak\; P\}\{\backslash mathcal\; O\_K/\backslash mathfrak\; p\}\backslash right)$
가 존재하며, 이를 $L/K$의 프로베니우스 원소라고 한다.
:$\backslash operatorname\{Frob\}\_\{L/K\}(x)\backslash equiv\; x^$

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