그린 관계

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 동치류와 그린 정리
- 3.2. 쉬첸베르제 군
4. 역사
5. 예시
- 5.1. 유한 모노이드의 계란통 그림
- 5.2. 자연수의 덧셈 모노이드
6. 일반화
참조

1. 개요

그린 관계는 모노이드 M 위에 정의되는 다섯 가지 표준적인 동치 관계를 의미하며, 이들은 왼쪽 아이디얼, 오른쪽 아이디얼, 양쪽 아이디얼, H 관계, D 관계를 통해 원소들을 분류한다. 이 관계들은 모노이드의 구조를 이해하는 데 중요한 역할을 하며, 특히 그린 정리를 통해 H-클래스의 성질을 파악할 수 있다. 그린 관계는 반군 및 모노이드의 조합론 연구에 활용되며, 유한 모노이드의 구조를 시각적으로 나타내는 데 사용되는 계란통 그림으로 표현될 수 있다. 이 개념은 반군, 환, 그리고 일반적인 대수적 구조를 연구하는 데 활용되며, 이론을 확장하고 일반화하는 데 기여한다.

2. 정의

임의의 모노이드 $M$ 위에는 다음과 같이 5개의 표준적인 동치 관계가 존재하며, 이를 '''그린 관계'''라고 한다.^[9]

$m \;\mathcal L\; n\iff Mm=Mn$
$m \;\mathcal R\; n\iff mM=nM$
$m \;\mathcal J\; n\iff MmM=MnM$
$m \;\mathcal H\; n\iff (m \;\mathcal{L}\; n)\land(m \;\mathcal{R}\; n)$
$m \;\mathcal D\; n\iff\exists p\in M\colon m\;\mathcal L\;p\;\mathcal R\;n\iff \exists q\in M\colon m\;\mathcal R\;q\;\mathcal L\;n$

즉, 풀어 쓰면 다음과 같다.

$\mathcal L$ 은 두 원소가 생성하는 왼쪽 아이디얼이 같은지 여부이다.
$\mathcal R$ 는 두 원소가 생성하는 오른쪽 아이디얼이 같은지 여부이다.
$\mathcal J$ 는 두 원소가 생성하는 양쪽 아이디얼이 같은지 여부이다.
$\mathcal H$ 는 두 원소가 생성하는 왼쪽·오른쪽 아이디얼이 둘 다 같은지 (즉, $\mathcal L$ 과 $\mathcal R$ 가 동시에 성립하는지) 여부이다.
$\mathcal D$ 는 첫째가 생성하는 왼쪽 아이디얼이 둘째가 생성하는 오른쪽 아이디얼과 교차하는지 여부이다.

''S''의 원소 ''a''와 ''b''에 대해, 그린 관계 ''L'', ''R'', ''J''는 다음과 같이 정의된다.

''a'' ''L'' ''b''는 만약 그리고 오직 만약 ''S''¹ ''a'' = ''S''¹ ''b''일 경우.
''a'' ''R'' ''b''는 만약 그리고 오직 만약 ''a'' ''S''¹ = ''b'' ''S''¹일 경우.
''a'' ''J'' ''b''는 만약 그리고 오직 만약 ''S''¹ ''a'' ''S''¹ = ''S''¹ ''b'' ''S''¹일 경우.

다시 말해, ''a''와 ''b''는 같은 왼쪽 아이디얼을 생성하면 ''L'' 관계에 있고, 같은 오른쪽 아이디얼을 생성하면 ''R'' 관계에 있으며, 같은 양면 아이디얼을 생성하면 ''J'' 관계에 있다. 이들은 ''S'' 상의 동치 관계이므로, 각각 ''S''를 동치 클래스로 분할한다. ''a''의 ''L'' 클래스는 ''L''_''a''로 표기된다 (다른 관계도 마찬가지). ''L'' 클래스와 ''R'' 클래스는 ''S''¹의 왼쪽 및 오른쪽 케일리 그래프의 강결합 성분으로 동일하게 이해될 수 있다.^[1] 또한, ''L'', ''R'', ''J'' 관계는 세 개의 전순서 ≤_''L'', ≤_''R'', ≤_''J''를 정의하며, 여기서 ''a'' ≤_''J'' ''b''는 ''S''의 두 원소 ''a''와 ''b''에 대해 ''a''에 의해 생성된 아이디얼이 ''b''의 아이디얼에 포함될 경우, 즉 ''S''¹ ''a'' ''S''¹ ⊆ ''S''¹ ''b'' ''S''¹일 경우 성립하며, ≤_''L''과 ≤_''R''은 유사하게 정의된다.^[2]

그린은 이러한 관계에 소문자 고딕체

\mathfrak{l}

,

\mathfrak{r}

및

\mathfrak{f}

를 사용했으며, ''a'' ''L'' ''b''를

a \equiv b (\mathfrak{l})

로 표기했다 (''R''과 ''J''도 마찬가지). 오늘날의 수학자들은

\mathcal{R}

과 같은 필기체를 사용하는 경향이 있으며, 그린의 모듈러 산술 스타일 표기를 여기서 사용된 중위 표기법으로 대체한다. 보통 글자는 동치 클래스에 사용된다.

''L''과 ''R'' 관계는 서로 좌우 이중적이다. 한 관계에 대한 정리는 다른 관계에 대한 유사한 명제로 변환될 수 있다. 예를 들어, ''L''은 ''오른쪽 호환''이다: 만약 ''a'' ''L'' ''b''이고 ''c''가 ''S''의 또 다른 원소이면, ''ac'' ''L'' ''bc''이다. 이중적으로, ''R''은 ''왼쪽 호환''이다: 만약 ''a'' ''R'' ''b''이면, ''ca'' ''R'' ''cb''이다.

만약 ''S''가 가환적이면, ''L'', ''R'', ''J''는 일치한다.

나머지 관계는 ''L''과 ''R''에서 파생된다. 그들의 교집합은 ''H''이다.

:''a'' ''H'' ''b'' if and only if ''a'' ''L'' ''b'' and ''a'' ''R'' ''b''.

이것은 또한 ''S''에 대한 동치 관계이다. 클래스 ''H''_''a''는 ''L''_''a''와 ''R''_''a''의 교집합이다. 더 일반적으로, 임의의 ''L''-클래스와 임의의 ''R''-클래스의 교집합은 ''H''-클래스이거나 공집합이다.

''그린의 정리''(Green's Theorem)는 반군 S의 모든

\mathcal H

-클래스 ''H''에 대해 (i)

H^2 \cap H = \emptyset

또는 (ii)

H^2 \subseteq H

이고 ''H''가 ''S''의 부분군임을 명시한다. 중요한 따름 정리는 멱등원인 ''e''에 대한 동치 클래스 ''H''_''e''가 ''S''의 부분군(항등원은 ''e''이고 모든 원소는 역원을 가짐)이며, 실제로 ''e''를 포함하는 ''S''의 가장 큰 부분군이라는 것이다. 하나의

\mathcal H

-클래스는 둘 이상의 멱등원을 포함할 수 없으므로

\mathcal H

는 ''멱등 분리''(idempotent separating)이다. 모노이드 ''M''에서 클래스 ''H''₁은 전통적으로 '''단위군'''이라고 불린다.^[3] (단위는 이 맥락에서 항등원을 의미하는 것이 아님에 유의해야 한다. 즉, 일반적으로 ''H''₁에는 비항등원 소자가 있다. "단위" 용어는 환 이론에서 유래되었다.) 예를 들어, ''n''개 원소에 대한 변환 모노이드 ''T''_''n''에서 단위군은 대칭군 ''S''_''n''이다.

마지막으로, ''D''는 다음과 같이 정의된다. ''a'' ''D'' ''b'' if and only if ''S''에 ''a'' ''L'' ''c'' and ''c'' ''R'' ''b''를 만족하는 ''c''가 존재한다. 격자의 언어에서 ''D''는 ''L''과 ''R''의 결합이다. (동치 관계의 결합은 일반적으로 정의하기 어렵지만, 이 경우 어떤 ''c''에 대해 ''a'' ''L'' ''c'' and ''c'' ''R'' ''b''이면 어떤 ''d''에 대해 ''a'' ''R'' ''d'' and ''d'' ''L'' ''b''라는 사실에 의해 단순화된다.)

''D''는 ''L''과 ''R''을 모두 포함하는 가장 작은 동치 관계이므로, ''a'' ''D'' ''b''는 ''a'' ''J'' ''b''를 의미한다—그래서 ''J''는 ''D''를 포함한다. 유한 반군에서 ''D''와 ''J''는 같으며,^[4] 유리 모노이드에서도 마찬가지이다.^[5] 또한 모든 에피군에서도 일치한다.^[6]

또한 위에 정의된 것을 직접적으로 사용하여 동치 클래스의 관점에서 ''D''를 공식화하는 방법이 있다.^[7]

: ''a'' ''D'' ''b'' if and only if the intersection of ''R''_''a'' and ''L''_''b'' is not empty.

결과적으로, 반군의 ''D''-클래스는 ''L''-클래스의 합집합, ''R''-클래스의 합집합 또는 ''H''-클래스의 합집합으로 볼 수 있다.

3. 성질

그린 관계에는 다음과 같은 성질이 있다.

: $\begin{matrix}\mathcal H&\implies&\mathcal L\\\Downarrow&&\Downarrow\\\mathcal R&\implies&\mathcal D&\implies&\mathcal J\end{matrix}$

여기서 $\mathcal H$ 는 $\mathcal L$ 과 $\mathcal R$ 를 함의하는 가장 섬세한 동치 관계이며, $\mathcal D$ 는 $\mathcal L$ 과 $\mathcal R$ 를 함의하는 가장 거친 동치 관계이다.

유한 모노이드에서는 $\mathcal D$ 와 $\mathcal J$ 가 서로 동치이지만, 무한 모노이드에서는 그렇지 않을 수 있다. 가환 모노이드와 군에서는 5개의 그린 관계가 모두 서로 동치이다. 군의 경우, 동치류는 군 전체가 된다.^[1]

''S''의 원소 ''a''와 ''b''에 대해, 그린 관계 ''L'', ''R'', ''J''는 다음과 같이 정의된다.

''a'' ''L'' ''b''는 ''S''¹ ''a'' = ''S''¹ ''b''일 때 (그리고 그때만) 성립한다.
''a'' ''R'' ''b''는 ''a'' ''S''¹ = ''b'' ''S''¹일 때 (그리고 그때만) 성립한다.
''a'' ''J'' ''b''는 ''S''¹ ''a'' ''S''¹ = ''S''¹ ''b'' ''S''¹일 때 (그리고 그때만) 성립한다.

즉, ''a''와 ''b''가 같은 왼쪽 아이디얼을 생성하면 ''L'' 관계, 같은 오른쪽 아이디얼을 생성하면 ''R'' 관계, 같은 양면 아이디얼을 생성하면 ''J'' 관계이다. 이들은 ''S''를 동치 클래스로 분할하며, ''a''의 ''L'' 클래스는 ''L''_''a''로 표기한다(다른 관계도 마찬가지).^[2]

''L''과 ''R'' 관계는 서로 좌우 이중적이다. ''L''은 오른쪽 호환이고, ''R''은 왼쪽 호환이다. ''S''가 가환적이면 ''L'', ''R'', ''J''는 일치한다.

''H''는 ''L''과 ''R''의 교집합으로 정의된다.

:''a'' ''H'' ''b'' if and only if ''a'' ''L'' ''b'' and ''a'' ''R'' ''b''.

''D''는 ''L''과 ''R''의 결합으로, ''a'' ''D'' ''b''는 ''S''에 ''a'' ''L'' ''c'' and ''c'' ''R'' ''b''를 만족하는 ''c''가 존재함을 의미한다. 유한 반군과 유리 모노이드에서 ''D''와 ''J''는 같다.^[4]^[5] 또한 모든 에피군에서도 일치한다.^[6]

반군의 조합론에서 그린 관계는 특정 속성을 가진 반군을 열거하는 데 사용된다. 예를 들어, 순서가 8인 비동치 반군은 1,843,120,128개이며, 그 중 221,805개가 가환적이다.^[8]

3. 1. 동치류와 그린 정리

주어진

\mathcal D

-동치류 속에 포함된

\mathcal H

-동치류들의 크기는 모두 같다.

'''그린 정리'''(Green’s theorem^영어)에 따르면, 임의의 모노이드의 임의의

\mathcal H

-동치류

H

에 대하여, 다음 두 조건 가운데 정확히 하나가 성립한다.^[1]

$H^2 \cap H = \varnothing$
$H^2 = H$ 이며 $H$ 는 군을 이룬다.

그린 정리는 반군 S의 모든

\mathcal H

-클래스 ''H''에 대해 (i)

H^2 \cap H = \emptyset

또는 (ii)

H^2 \subseteq H

이고 ''H''가 ''S''의 부분군임을 명시한다. 중요한 따름 정리는 멱등원인 ''e''에 대한 동치 클래스 ''H''_''e''가 ''S''의 부분군(항등원은 ''e''이고 모든 원소는 역원을 가짐)이며, 실제로 ''e''를 포함하는 ''S''의 가장 큰 부분군이라는 것이다. 하나의

\mathcal H

-클래스는 둘 이상의 멱등원을 포함할 수 없으므로

\mathcal H

는 멱등 분리이다. 모노이드 ''M''에서 클래스 ''H''₁은 전통적으로 '''단위군'''이라고 불린다.^[3]

''D''-클래스 내에서 모든 ''H''-클래스는 크기가 동일함을 알 수 있다.

3. 2. 쉬첸베르제 군

모노이드

M

의

\mathcal H

-동치류

H

가 주어졌을 때,

:

T(H)=\{t\in M\colon Ht\subseteq H\}

를 정의한다. 이는

M

의 부분 모노이드를 이룬다. 이 위에 다음과 같은 동치 관계를 부여한다.

:

t\sim t'\iff \forall h\in H\colon ht=ht'

그러면

\Gamma(H)=T(H)/{\sim}

역시 모노이드를 이루며, 이는 사실 군을 이룬다. 이를

H

의 '''쉬첸베르제 군'''(Schützenberger group^영어)이라고 한다.

일반적으로

|H|=|\Gamma(H)|

이다. 만약

H

가 군을 이룬다면

\Gamma(H)=T(H)=H

이다. 같은

\mathcal D

-동치류에 속하는

\mathcal H

-동치류들의 쉬첸베르제 군은 서로 동형이다. 오른쪽 작용 대신 왼쪽 작용을 사용하여 쉬첸베르제 군을 정의할 수 있으며, 이들은 서로 반대군을 이루므로 서로 동형이다.

4. 역사

1951년에 제임스 알렉산더 그린(James Alexander Green^영어, 1926〜2014)이 그린 관계를 도입하였다.^[9] 그린은 이 동치 관계들을 오늘날 사용되는 표기 대신 합동 산술과 유사하게 표기하였다.

그린의 기호	오늘날의 기호
$x \equiv y\quad(\mathfrak l)$	$x\;\mathcal L\;y$
$x \equiv y\quad(\mathfrak r)$	$x\;\mathcal R\;y$
$x \equiv y\quad(\mathfrak r\cap\mathfrak l)$	$x\;\mathcal H\;y$
$x \equiv y\quad(\mathfrak d)$	$x\;\mathcal D\;y$
$x \equiv y\quad(\mathfrak f)$	$x\;\mathcal J\;y$

쉬첸베르제 군은 프랑스의 수학자 마르셀폴 쉬첸베르제(Marcel-Paul Schützenberger^프랑스어, 1920〜1996)가 1957년에 도입하였다.^[10]

수학자 존 매킨토시 하위(John Mackintosh Howie^영어)는 그린 관계의 중요성에 대하여 다음과 같이 평하였다.

: 새 반군을 접하게 되면, 거의 최초로 묻는 질문은 “그린 관계가 어떤가?”이다.^[11]

5. 예시

유한 모노이드의 그린 관계는 보통 '계란통 그림'(eggbox diagram^영어)으로 표현한다. 예를 들어, 집합 {1, 2, 3}에서 자신으로 가는 자기 함수들의 모노이드나, 덧셈에 대한 자연수 집합 $\mathbb N=\{0,1,2,\dotsc\}$ 의 모노이드를 들 수 있다.

5. 1. 유한 모노이드의 계란통 그림

(2 1 1)(1 3 3)
(3 1 1)(2 3 3)
(3 2 2)(2 1 2)
(1 2 1)(3 1 3)
(1 3 1)(3 2 3)
(2 3 2)(2 2 1)
(1 1 2)(3 3 1)
(1 1 3)(3 3 2)
(2 2 3)