근방

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 점의 근방
- 2.2. 집합의 근방
3. 거리 공간에서의 근방
4. 근방계
- 4.1. 근방계를 이용한 위상 정의
5. 균등 공간에서의 근방
6. 예시
참조

1. 개요

'''근방'''은 위상 공간에서 주어진 점 또는 집합을 포함하는 특정 조건을 만족하는 부분 집합을 의미한다. 위상 공간 X의 점 p의 근방은 p를 포함하는 열린 집합 U를 포함하는 X의 부분 집합 V를 말하며, V는 열린 집합일 필요는 없다. 점의 근방 전체를 근방계라고 한다. 거리 공간에서는 열린 공을 포함하는 집합을 근방으로 정의하며, 균등 근방과 r-근방의 개념도 사용된다. 실수선과 유클리드 공간에서 근방은 구체적인 형태로 정의되며, 근방계는 위상을 정의하는 데 사용될 수 있다.

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근방

2. 정의

$X$ 가 위상 공간이고 $p$ 가 $X$ 의 점이라면, $p$ 의 '''근방'''은 $p$ 를 포함하는 열린 집합 $U$ 를 포함하는 $X$ 의 부분 집합 $V$ 이다.

: $p \in U \subseteq V \subseteq X.$

이는 $p \in X$ 가 $X$ 에서 $V$ 의 위상 내부에 속하는 것과 같다.

근방 $V$ 는 $X$ 의 열린 부분 집합일 필요는 없으며, $V$ 가 $X$ 에서 열려있을 때(resp. 닫혀있을 때, 컴팩트일 때 등) '''열린 근방'''^[1] (resp. 닫힌 근방, 컴팩트 근방 등)이라고 부른다. 일부 저자들은 근방이 열려있을 것을 요구하므로, 그들의 관례에 유의해야 한다.

닫힌 사각형은 모서리나 경계에 열린 집합이 없으므로, 어떤 모서리에도 근방을 갖지 않는다.

각 점의 근방인 집합은 각 점을 포함하는 열린 집합들의 합집합으로 표현될 수 있으므로 열려있다. 그림의 닫힌 사각형은 모든 점의 근방이 아닌데, 이는 사각형의 모서리나 꼭짓점은 사각형 내에 포함된 어떤 열린 집합에도 포함되지 않기 때문이다.

한 점의 모든 근방의 집합을 그 점에서의 근방 계라고 한다.

위상 공간의 부분 집합

S

의 '''근방'''은

S

를 포함하는 열린 집합

U

를 포함하는 집합

V

이다.

:

S \subseteq U \subseteq V \subseteq X.

따라서 집합

V

가

S

의 근방인 것은

S

의 모든 점의 근방인 것과 필요충분 조건이며,

S

가

V

의 내부의 부분 집합인 것과 필요충분 조건이다.

S

의 근방이기도 한

X

의 열린 부분 집합을

S

의 '''열린 근방'''이라고 부른다. 점의 근방은 집합의 근방의 특별한 경우이다.

2. 1. 점의 근방

위상 공간

X

의 점

x \in X

의 '''근방'''은

x

를 열린 부분집합의 원소로 포함하는 집합이다. 즉, 어떤 열린 집합

U

에 대하여

x \in U \subseteq V \subseteq X

가 성립할 경우,

V \subset X

를

x

의 근방이라고 한다.

점

x\in X

의 '''열린 근방'''은 열린집합인 근방이다. 즉, 어떤 열린 집합

U

가

U \ni x

를 만족시킨다면,

U

는

x

의 열린 근방을 이룬다.

x

의 '''빠진 근방'''(deleted neighborhood^영어)은

V\setminus\{x\}

꼴의 집합이다. 빠진 근방은 이름과 달리 근방이 아니다. 예를 들어, 구간

(-1, 1) = \{y : -1 < y < 1\}

는 실수선에서

p = 0

의 근방이므로, 집합

(-1, 0) \cup (0, 1) = (-1, 1) \setminus \{0\}

은

0

의 빠진 근방이다.^[2] 빠진 근방의 개념은 함수의 극한 정의와 극한점의 정의 등에 나타난다.^[2]

2. 2. 집합의 근방

위상 공간

X

의 부분 집합

S

의 근방은

S

를 포함하는 어떤 열린집합

U

를 포함하는 집합

V

이다. 즉,

S \subseteq U \subseteq V \subseteq X

를 만족하는

V

이다.

V

가

S

의 모든 점의 근방인 것은

V

가

S

의 근방이기 위한 필요충분 조건이다. 또한,

V

가

S

의 근방인 것은

S

가

V

의 내부의 부분 집합인 것과 필요충분 조건이다.

S

의 근방이기도 한

X

의 열린 부분 집합을

S

의 '''열린 근방'''이라고 부른다.

점의 근방은 이 정의의 특별한 경우이다.

3. 거리 공간에서의 근방

거리 공간 $M = (X, d)$ 에서, 집합 $V$ 가 점 $p$ 의 '''근방'''이 되려면 중심이 $p$ 이고 반지름이 $r>0$ 인 열린 공

: $B_r(p) = B(p; r) = \{ x \in X : d(x, p) < r \}$

이 $V$ 에 포함되어야 한다.

$V$ 가 집합 $S$ 의 '''균등 근방'''이면, 모든 $S$ 의 원소 $p$ 에 대해, 양수 $r$ 이 존재하여

: $B_r(p) = \{ x \in X : d(x, p) < r \}$

가 $V$ 에 포함된다.

$r > 0$ 에 대해, 집합 $S$ 의 ''' $r$ -근방''' $S_r$ 는 $S$ 로부터 거리가 $r$ 미만인 $X$ 의 모든 점들의 집합이다. (또는 $S_r$ 는 $S$ 의 점을 중심으로 하는 반지름 $r$ 의 모든 열린 공의 합집합이다.)

: $S_r = \bigcup\limits_{p\in{}S} B_r(p).$

$r$ -근방은 균등 근방이고, 집합이 균등 근방이 되려면 어떤 $r$ 값에 대한 $r$ -근방을 포함해야 한다.

3. 1. 실수선에서의 근방

실수 x와 양의 실수 r에 대해, x의 r-근방 N(x;r)은 x와의 거리가 r보다 작은 모든 실수 y의 집합이며, 다음과 같이 정의된다.

:

N(x;r) = \{ y \in \mathbb{R} :  | y - x | < r \}

이는 개구간 (x-r, x+r)과 같다.

x가 빠진 집합은 '''빠진 근방'''(deleted neighborhood) N'(x;r)이라 하고 다음과 같이 정의한다.

:

N' (x;r) = N(x;r) \setminus \{ x \}

3. 2. 유클리드 공간에서의 근방

n

차원 유클리드 공간

\mathbb{R}^n

의 점

\mathbf{x}

와 양의 실수

r

에 대해,

\mathbf{x}

의

r

-근방

N(\mathbf{x};r)

은

||\mathbf{y}-\mathbf{x}|| 을 만족하는 모든 점 \mathbf{y} 의 집합 이다.

:

N(\mathbf{x};r) = \{ \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n :  || \mathbf{y} - \mathbf{x} || < r \}

n = 2

일 때는

\mathbf{x}

를 중심으로 하고 반지름이

r

인 경계가 없는 원판을 의미하며,

n = 3

일 때는

\mathbf{x}

를 중심으로 하고 반지름이

r

인 경계가 없는 구를 의미한다.

3. 3. 균등 근방

거리 공간 (''X'', ''d'')에서, ''X''의 부분 집합 ''V''가 ''X''의 부분 집합 ''S''의 '''균등 근방'''이라는 것은, 양의 실수 ''r'' > 0이 존재하여, ''S''의 임의의 점 ''p''에 대하여

:

B_r(p) = \{ x \in X \mid d(x,p) < r \}

가 ''V''에 포함될 때를 말한다.

각 ''r'' > 0에 대하여, 집합 ''S''의 ''' ''r''-근방''' ''S''_''r''은 ''S''로부터의 거리가 ''r''보다 작은 ''X''의 점 전체의 집합을 말한다. 이것은 ''S''의 각 점을 중심으로 하는 반지름 ''r''의 열린 공 전체의 합집합이 ''S''_''r''이라고 말해도 같다.

따라서, ''r''-근방이 균등 근방이라는 것, 그리고 어떤 집합이 균등 근방이기 위한 필요충분조건이 그 집합이 적당한 값의 ''r''에 대한 ''r''-근방을 포함하는 것이라는 것을 알 수 있다.

4. 근방계

한 점의 모든 근방의 집합을 그 점에서의 '''근방계'''라고 한다. 근방계를 이용하여 위상을 정의할 수 있다.^[1]

열린 집합 개념이 이미 정의되어 있는 경우에 근방계를 정의하는 것이 유용하다. 하지만, 근방계를 먼저 정의한 다음, 각 점의 근방을 포함하는 집합을 열린 집합으로 정의하여 위상을 정의하는 방법도 있다.^[1]

열린 집합을 사용하여 정의된 근방계에서 얻은 위상은 원래의 위상과 같으며, 근방계에서 시작하는 경우에도 마찬가지로 두 정의는 서로 호환된다.^[1]

4. 1. 근방계를 이용한 위상 정의

열린 집합 개념이 이미 정의된 경우 근방계를 정의하는 것이 유용하다. 하지만, 근방계를 먼저 정의한 다음, 각 점의 근방을 포함하는 집합을 열린 집합으로 정의하여 위상을 정의할 수도 있다.

집합

X

위의 근방계는

X

의 각 점

x

에 필터

N(x)

를 할당하는 것이다. 이때 다음 조건들이 만족되어야 한다.

점 $x$ 는 $N(x)$ 의 모든 원소 $U$ 에 포함된다.
$N(x)$ 의 각 원소 $U$ 에 대해, $V$ 의 각 원소 $y$ 에 대해 $U$ 가 $N(y)$ 에 속하는 $N(x)$ 의 원소 $V$ 가 존재한다.

열린 집합을 사용하여 정의된 근방계에서 얻은 위상은 원래의 위상과 같으며, 근방계에서 시작하는 경우에도 마찬가지로 두 정의는 서로 호환된다.

5. 균등 공간에서의 근방

균등 공간 $S = (X, \Phi)$ 에서 $V$ 가 $P$ 의 '''균등 근방'''이라는 것은, $P$ 의 어떤 점과 $U$ 에 의해 가까운 $X$ 의 모든 점들을 $V$ 가 포함하는 근방 $U \in \Phi$ 가 존재하여, $U[x] \subseteq V$ ( $x \in P$ )가 성립하는 경우를 말한다.

균등 공간 (''X'', δ)에서 ''X''의 부분 집합 ''V''가 ''X''의 점 ''P''의 '''균등 근방'''이라는 것은, ''P''가 ''X'' ∖ ''V''에 가깝지 않다는 것, 즉 ''P''와 ''X'' ∖ ''V''를 모두 포함하는 근원이 존재하지 않는 것을 의미한다.

6. 예시

집합 M은 숫자 ''a''의 근방이다. 왜냐하면 M의 부분 집합인 a의 ε-근방이 있기 때문이다.

일반적인 유클리드 거리를 가진 실수 집합

\mathbb{R}

에서 다음과 같이 정의된 부분 집합

V

가 주어졌을 때,

:

V := \bigcup_{n \in \mathbb{N}} B\left(n\,;\,1/n \right),

V

는 자연수 집합

\mathbb{N}

의 근방이지만, 이 집합의 균등 근방은 아니다.

참조

_[1] 서적 General Topology https://archive.org/[...] Springer
_[2] 웹사이트 Professor Charles Peters https://www.math.uh.[...] 2022

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