기약 공간

3. 성질

모든 기약 공간은 연결 공간이며, 국소 연결 공간이다. 그러나 경로 연결 공간이거나 국소 경로 연결 공간일 필요는 없다.

두 개 이상의 점을 갖는 기약 공간은 하우스도르프 공간이 아니다. 따라서, 하우스도르프 공간의 기약 성분들은 한 점만을 갖는 부분 집합들이다.

기약 공간의 연속 함수에 대한 상은 기약 공간이다. 따라서, 기약 공간에서 하우스도르프 공간으로 가는 연속 함수는 상수 함수밖에 없다.

임의의 기약 집합의 폐포는 기약이다.^[7]

어떤 공간 X를 U1 ∩ U2 ≠ ∅인 열린 기약 집합 U1, U2 ⊂ X로 쓸 수 있다면, X는 기약이다.^[8]

4. 예시

대수다양체(기약 대수 집합)는 자리스키 위상을 주었을 때 정의에 따라 기약 공간을 이룬다. 아핀 공간과 사영 공간이 그 예이다.

점 집합 위상수학에서 초연결 공간의 두 가지 예로는 무한 집합에 대한 공유한 위상과 $\backslash mathbb\{R\}$에 대한 오른쪽 순서 위상이 있다.

모든 기약 스키마는 유일한 생성점, 즉 폐포가 공간 전체가 되는 점을 갖는다. 그러나 일반적인 기약 공간에서는 항상 성립하지 않는다. 예를 들어 기약 대수적 집합은 1개의 점으로 구성된 경우를 제외하고 생성점을 갖지 않는다.

4. 1. 위상수학

• 대우를 통해 기약이면 연결임을 쉽게 알 수 있다.
• ''X''가 무한 집합이고 보유한 위상(여집합이 유한하거나 ''X''인 열린 집합을 갖는 위상)이 주어지면 기약 공간이다.
• 다항식 환의 근기 이데알 ''I''에 대응하는 대수적 집합이 기약인 것과 ''I''가 소 이데알인 것은 동치이다.
• ''A''를 단위적 가환환이라 하고, ''X''를 자리스키 위상을 갖는 ''A''의 스펙트럼이라 한다. 이때, ''X''의 기약 성분은 ''A''의 극소 소 이데알과 일대일 대응한다.
• ''Z''를 ''X''의 기약 부분 집합으로 하면, ''X''에서의 폐포도 기약이다(폐포의 모든 공집합이 아닌 열린 집합은 ''Z''와 교차하고, 따라서 ''Z''에서 조밀하고, 결과적으로 폐포에서도 조밀하다).
• ''X''가 기약이면, ''X''의 모든 조밀한 부분 집합 ''Z''는 기약이다. ''U₁'', U₂''가 ''Z''의 공집합이 아닌 열린 집합이고, 각각 ''X''의 열린 집합 ''V₁'', V₂''와 ''Z''의 교집합이라면, 교집합 $V\_1\backslash cap\; V\_2$는 ''X''의 기약성에 의해 ''X''의 공집합이 아닌 열린 집합이고, ''Z''의 조밀성에 의해 ''Z''와 교차하므로, $U\_1\backslash cap\; U\_2\backslash ne\backslash emptyset$이다.
• 국소 기약(임의의 점 $x\; \backslash in\; X$에 대해 기약인 열린 근방을 취할 수 있는 것)인 위상 공간에서는 기약 성분과 연결 성분이 동치이다. 실제로, $X$의 연결 성분$\backslash cal\; I$는 모든 $\backslash cal\; I$와 교차하는 열린 집합이자 닫힌 집합이고, 따라서 $\backslash cal\; I$와 교차하는 기약 성분에 포함된다. 기약이면 연결이므로, $\backslash cal\; I$는 극대성에 의해 기약이어야 한다.

4. 2. 대수기하학

• $\backslash text\{Spec\}\backslash left(\; \backslash frac\{\backslash mathbb\{Z\}[x,y,z]\}\{x^4\; +\; y^3\; +\; z^2\}\; \backslash right)$
• $\backslash text\{Proj\}\backslash left(\; \backslash frac\{\backslash mathbb\{C\}[x,y,z]\}\{(y^2z\; -\; x(x-z)(x-2z))\}\; \backslash right)$

• $\backslash text\{Spec\}\backslash left(\; \backslash frac\{\backslash mathbb\{C\}[x,y,z]\}\{(xyz)\}\; \backslash right)$

• $\backslash text\{Proj\}\backslash left(\; \backslash frac\{\backslash mathbb\{C\}[x,y,z,w]\}\{(xy,\; f\_4)\}\; \backslash right)$

• $\backslash operatorname\{Spec\}K[x,y]/(xy)$는 ''x''축 $\backslash operatorname\{Spec\}K[x,y]/(x)$와 ''y''축 $\backslash operatorname\{Spec\}K[x,y]/(y)$의 합집합이므로, 기약 공간이 아니다.

5. 기약 성분

위상 공간에서 '''기약 성분'''^[9]은 극대 기약 부분 집합이다. 즉, 더 큰 기약 집합에 포함되지 않는 기약 집합이다. 기약 성분은 항상 닫혀 있다.

공간 ''X''의 모든 기약 부분 집합은 ''X''의 (반드시 유일하지는 않은) 기약 성분에 포함된다.^[10] 특히, ''X''의 모든 점은 ''X''의 어떤 기약 성분에 포함된다. 공간의 연결 성분과 달리, 기약 성분은 서로소일 필요는 없다(즉, 분할을 형성할 필요가 없다). 일반적으로 기약 성분은 겹치게 된다.

하우스도르프 공간의 기약 성분은 단순히 싱글톤 집합이다.

모든 기약 공간은 연결되어 있으므로 기약 성분은 항상 연결 성분에 속한다.

모든 뇌터 위상 공간은 유한 개의 기약 성분을 갖는다.^[11] 위상 공간을 기약 부분 공간으로 분해하는 것을 생각한다. 위상 공간 ''X''의 기약 성분은 포함 관계에 대해 극대인 ''X''의 기약 부분 공간이다. 초른의 보조정리에 의해 ''X''의 임의의 점을 포함하는 기약 성분이 존재한다는 것을 알 수 있다. 또한, 극대성에 의해 기약 성분이 닫힌 집합임을 쉽게 알 수 있다.

하우스도르프 공간의 경우, 기약 성분은 싱글톤(1개의 원소로 이루어진 집합)이다. 따라서 기약 공간의 개념은 자리스키 위상과 같은 유형의 위상에서만 유용하다.

뇌터 스킴에서 기약 성분은 유한 개이다. 일반적으로 모든 뇌터 위상 공간의 기약 성분은 유한 개이다.^[12]

참조

_[1] 문서 Steen & Seebach
_[2] 논문 An anti-Hausdorff Fréchet space in which convergent sequences have unique limits
_[3] 웹사이트 Section 5.8 (004U): Irreducible components—The Stacks project https://stacks.math.[...]
_[4] 서적 Commutative Algebra: Chapters 1-7 Springer
_[5] 서적 Commutative Algebra: Chapters 1-7 Springer
_[6] 서적 Algebraic Geometry. An introduction Springer
_[7] 웹사이트 Lemma 5.8.3 (004W)—The Stacks project https://stacks.math.[...]
_[8] 서적 Commutative Algebra: Chapters 1-7 Springer
_[9] 웹사이트 Definition 5.8.1 (004V)—The Stacks project https://stacks.math.[...]
_[10] 웹사이트 Lemma 5.8.3 (004W)—The Stacks project https://stacks.math.[...]
_[11] 웹사이트 Section 5.9 (0050): Noetherian topological spaces—The Stacks project https://stacks.math.[...]
_[12] 간행물 Algèbre commutative, II, §4, n°2, Proposition 10