나블라

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1. 개요
2. 역사
3. 현대적 사용
4. 한국에서의 사용 및 의의
5. 같이 보기
참조

1. 개요

나블라는 ∇로 표기하며, 벡터 미적분학에서 기울기, 발산, 회전을 나타내는 미분 연산자이다. 1831년 윌리엄 로언 해밀턴이 ◁ 기호로 처음 도입했으며, 이후 P. G. 테이트와 제임스 클러크 맥스웰에 의해 하프를 뜻하는 '나블라'라는 이름으로 불리게 되었다. 이 기호는 미분 기하학에서 접속을 나타내고, 유한 차분법에서는 후진 차분 연산자로 사용되기도 한다. 또한, 격자 이론, 추상 해석, APL 프로그래밍 언어, 철학적 논리, 조선 공학 등 다양한 분야에서 활용된다.

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나블라
기호 정보
명칭	나블라
다른 이름	델
유니코드	U+2207
유니코드 이름	DEL
역사
유래	고대 그리스어 단어 'νάβλα' (나블라) 또는 'ανάδελτα' (아나델타) 히브리어 단어 'נֵּבֶל' (네벨)
모양 유래	하프 아시리아의 현악기 '네벨'
수학적 의미
용도	미분 연산자
표기	∇
관련 연산	기울기 발산 회전 라플라스 연산자

2. 역사

데카르트 좌표계 $\{x,y,z\}$ 에서 3차원 유클리드 공간의 미분 연산자는 다음과 같다.

: $\mathbf{i}\frac{\partial}{\partial x} + \mathbf{j}\frac{\partial}{\partial y} + \mathbf{k}\frac{\partial}{\partial z}$

이는 1831년 아일랜드의 수학자이자 물리학자인 윌리엄 로언 해밀턴이 도입했으며, ◁라고 불렀다.^[8] P. G. 테이트가 ∇의 수학을 완벽하게 설명했다.^[9]^[10]

1884년 윌리엄 톰슨(켈빈 경)은 강연에서 이 용어를 미국 청중에게 소개했고,^[2] 1904년 영국과 미국에서 해당 강연 노트가 출판되었다.^[11]

1891년 올리버 헤비사이드는 나블라 기호의 중요성을 인정하면서도, '나블라'라는 이름이 비효율적이라고 비판했다:^[12]

: 가상의 벡터 ∇는 다음과 같이 주어진다.

: $\nabla = \mathbf{i}\nabla_1 + \mathbf{j}\nabla_2 + \mathbf{k}\nabla_3 = \mathbf{i}\frac{d}{dx} + \mathbf{j}\frac{d}{dy} + \mathbf{k}\frac{d}{dz}$

: 이것은 ''매우'' 중요하다. 물리학적 수학은 ∇의 수학이 매우 크다. 따라서 나블라라는 이름은 우스꽝스럽게 비효율적으로 보인다.

헤비사이드와 조시아 윌라드 기브스는 오늘날 가장 널리 사용되는 벡터 미적분학 버전을 개발한 것으로 인정받고 있다.^[13]

1901년 에드윈 비드웰 윌슨은 조시아 윌라드 기브스의 강의를 바탕으로 쓴 ''벡터 분석''에서 "델"이라는 이름을 옹호했다:^[14]

: 이 상징적 연산자 ∇는 W. R. 해밀턴 경이 도입했으며 현재 보편적으로 사용되고 있다. 그러나 이 기호가 자주 나타나기 때문에 실용적인 필요성에도 불구하고, 보편적으로 인정되는 이름은 없는 것으로 보인다. 경험상 단음절 ''del''은 너무 짧고 발음하기 쉬워서 ∇가 여러 번 나오는 복잡한 공식에서도 화자나 청취자가 반복에 불편함을 느끼지 않는다. ∇''V''는 단순히 "del ''V''"로 읽는다.

이 책은 학부 물리학, 특히 전자기학 교과서에서 이 연산자의 수학이 현재 일반적으로 표현되는 형태를 담당한다.

2. 1. 해밀턴의 도입

윌리엄 로언 해밀턴은 1831년 3차원 유클리드 공간에서 미분 연산자를 표현하기 위해 ◁ 기호를 도입했다.^[8] 그는 단위 벡터

\{\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\}

를 사용하여 이 연산자를 표현했으며, 이는 그의 사원수 개념에서 비롯된 것이다.^[8]

2. 2. 나블라 명칭의 유래

나블라라는 명칭은 윌리엄 로언 해밀턴의 동료인 P. G. 테이트와 제임스 클러크 맥스웰 사이의 서신에서 처음 등장했다.^[5] 그들은 이 기호의 모양이 고대 악기인 나블라(하프)와 닮았다는 점에 착안하여 유머러스하게 이 이름을 붙였다. C. G. 노트의 ''피터 거스리 테이트의 삶과 과학적 업적''에는 다음과 같은 내용이 있다.^[5]

: 맥스웰이 나블라라는 용어를 진지한 글에서 사용하는 것을 꺼렸기 때문에 테이트가 그 단어를 이전보다 일찍 사용하지 못했을 것이다. 맥스웰이 이 단어를 한 번 출판한 것은 유머러스한 틴달릭 오드의 제목에서였는데, 이 오드는 "나블라의 수석 음악가", 즉 테이트에게 헌정되었다.

1884년, 윌리엄 톰슨(켈빈 경)은 강연에서 이 용어를 미국 청중에게 소개하면서^[2] 나블라라는 이름이 널리 알려지게 되었다.^[11] 조시아 윌라드 기브스와 에드윈 비드웰 윌슨은 1901년에 다음과 같이 기록했다.^[19]

: W.R. 해밀턴 경이 도입한 이 기호 연산자

\nabla

는 현재 널리 사용되고 있지만, 아직 일반적인 명칭은 없는 듯합니다. 'del'은 단음절로 발음하기 쉽고, 복잡한 수식에서

\nabla

가 여러 번 등장하더라도 번거롭지 않습니다.

\nabla

V는 단순히 "델 V"로 읽습니다.

2. 3. 기호의 발전과 비판

올리버 헤비사이드는 1891년에 나블라 기호의 중요성을 인정하면서도, "나블라"라는 이름이 비효율적이라고 비판했다.^[12] 조시아 윌라드 기브스와 헤비사이드는 오늘날 가장 널리 사용되는 벡터 미적분학 버전을 개발한 것으로 인정받고 있다.^[13]

2. 4. 델(Del) 명칭의 제안

에드윈 비드웰 윌슨은 1901년, 조시아 윌라드 기브스의 강의를 바탕으로 쓴 책 "벡터 분석"에서 나블라 기호(∇) 대신 "델(Del)"이라는 짧고 발음하기 쉬운 이름을 제안했다.^[14] ∇''V''는 "del ''V''"로 읽는다.^[14] 이 책은 현대 물리학, 특히 전자기학 교과서에서 나블라 연산자를 사용하는 방식에 큰 영향을 미쳤다.^[14]

3. 현대적 사용

나블라는 현대 과학 및 공학 분야에서 다양하게 활용된다. 벡터 미적분학에서 기울기, 발산, 회전을 나타내는 것 외에도, 미분 기하학에서 접속을 나타내거나 유한 차분법에서 후진 차분 연산자를 나타내는 데 사용된다.

다음은 나블라 기호(∇)가 사용되는 다양한 분야를 정리한 표이다.

분야	사용 용도	비고
벡터 미적분학	기울기(∇), 발산(∇⋅), 회전(∇×) 연산자	외적을 사용하는 회전은 3차원에서만 의미 있음
미분 기하학	접속
유한 차분법	후진 차분 연산자	전진 차분(Δ)의 역
추상 해석	확대 연산자	프로그램 정적 분석의 유한 시간 내 종료 보장
APL 프로그래밍 언어	함수 정의 마커 및 자기 참조(재귀)
철학적 논리	불확정성의 지표
조선 공학	선박의 배수량	무게 배수량은 델타(Δ)로 표기

3. 1. 벡터 미적분학

나블라(∇)는 벡터 미적분학에서 기울기(∇), 발산(∇⋅), 회전(∇×)과 같은 세 가지 미분 연산자를 나타내는 데 사용된다.^[15] 이 중 회전 연산자는 외적을 사용하기 때문에 3차원에서만 의미가 있지만, 기울기와 발산은 일반적인 차원에서 사용 가능하다. 이러한 연산자들은 원래 고전 전자기학 이론에서 연구되었으며, 현대 대학교 물리학 과정에서는 기브스와 윌슨의 ''Vector Analysis''에 나오는 개념과 표기법을 사용하여 다루는 것이 일반적이다.^[19]

1837년 아일랜드의 수학자이자 물리학자인 해밀턴이 이 기호를 처음 도입했다.^[17] 1884년 윌리엄 톰슨은 맥스웰이 이 기호를 이집트 하프의 모양을 본떠 '나블라'라고 부를 것을 제안했다고 언급했다.^[18]

3. 2. 미분 기하학

미분 기하학에서 나블라(

\nabla

)는 접속을 나타내는 데 사용된다.^[17] 접속은 다양체 위에서 벡터장이나 텐서장을 미분하는 방법을 정의하는 개념이다.

3. 3. 유한 차분법

유한 차분법에서 나블라 기호(∇)는 후진 차분 연산자를 나타내는 데 사용된다.^[15] 후진 차분은 함수의 이산적인 점에서의 변화율을 근사하는 데 사용되며, 전진 차분(Δ)의 역에 해당한다.

3. 4. 기타 분야

추상 해석: 프로그램의 정적 분석이 유한 시간 내에 종료될 수 있도록 하는 확대 연산자로 사용된다.^[15]
APL 프로그래밍 언어: 함수 정의 마커 및 자기 참조(재귀)로 사용된다.^[15]
철학적 논리: 불확정성의 지표로 사용된다.^[15]
조선 공학(선박 설계): 선박 또는 기타 수면 위의 선박의 배수량을 지정하는 데 사용되며, 시각적으로 유사한 델타는 무게 배수량(선박에 의해 배수된 물의 총 무게)을 지정하는 데 사용된다.^[15]

4. 한국에서의 사용 및 의의

한국에서 나블라 기호(∇)는 이공계 학문 분야에서 널리 사용되며, 특히 수학, 물리학, 공학 분야의 교육 및 연구에서 중요한 역할을 한다. 벡터 미적분학, 미분 기하학, 수치 해석 등 다양한 분야에서 나블라 기호를 활용한 수식과 이론이 전개되며, 이는 과학 기술 발전에 기여하고 있다. 특히, 전자기학, 유체 역학, 구조 역학 등 공학 분야에서 나블라 연산자를 이용한 모델링 및 해석은 필수적이다.^[17]

5. 같이 보기

기울기 (벡터 미적분학)

발산 (벡터 미적분학)

회전 (벡터 미적분학)

미분 연산자

벡터 미적분학

참조

_[1] 번역 anadelta
_[2] OED nabla
_[3] LSJ nabla
_[4] 문서 Letter from Smith to Tait, 10 November 1870
_[5] 서적 Life and Scientific Work of Peter Guthrie Tait https://archive.org/[...] Cambridge University Press 1911
_[6] 웹사이트 History of Nabla https://www.mat.univ[...]
_[7] OED nable
_[8] 논문 On Differences and Differentials of Functions of Zero http://www.maths.tcd[...] 1831
_[9] 인용
_[10] 간행물 An elementary treatise on quaternions, edition 3 https://archive.org/[...] 1890
_[11] 서적 Baltimore Lectures on Molecular Dynamics and the Wave Theory of Light https://archive.org/[...] 1904
_[12] 간행물 On the Forces, Stresses, and Fluxes of Energy in the Electromagnetic Field. http://www.fisicafun[...] 1891
_[13] 서적 A History of Vector Analysis 1967
_[14] 서적 Vector analysis: a text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs by Edwin Bidwell Wilson https://archive.org/[...] 1901
_[15] 서적 The Nonexistent https://books.google[...] 2013
_[16] 사전 魚群 (なむら) https://dictionary.g[...] デジタル大辞泉
_[17] 논문 1837
_[18] 강의 Notes Lect. Molecular Dynamics & Wave Theory of Light 1884
_[19] 서적 Vector analysis: a text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs by Edwin Bidwell Wilson 1901

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