외적

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 행렬에서의 정의
  - 2.1.1. 내적과의 비교
- 2.2. 추상적 정의
  - 2.2.1. 내적과의 비교
3. 텐서의 외적
- 3.1. 크로네커 곱과의 관계
- 3.2. 행렬 곱과의 관계
4. 성질
5. 프로그래밍 언어에서의 외적
6. 응용
- 6.1. 스피너
- 6.2. 개념 분석
7. 기타 곱셈
8. 쌍대성
참조

1. 개요

외적은 두 벡터를 곱하여 행렬을 생성하는 연산이다. 크기가 m×1과 n×1인 두 벡터 u와 v의 외적은 m×n 행렬이며, u의 각 원소와 v의 각 원소의 곱으로 정의된다. 외적은 행렬 곱셈 u v^T와 동일하며, 복소수 벡터의 경우 켤레 전치를 사용한다.

외적은 텐서 곱이라고도 하며, 크로네커 곱과 밀접한 관련이 있다. 두 행렬 A와 B의 행렬 곱은 A의 열 벡터와 B의 행 벡터의 외적의 합으로 표현할 수 있다. 외적은 관성 텐서 계산, 신호 및 이미지 처리, 통계적 분석, 양자 이론, 신호 처리, 이미지 압축 등 다양한 분야에 응용된다. 프로그래밍 언어에서는 다양한 방식으로 외적을 계산할 수 있으며, 스피너 이론, 개념 분석 등에서도 활용된다.

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외적
개요
종류	텐서곱
분야	선형대수학
표기법	a ⊗ b abᵀ a ∧ b
정의
정의	두 벡터 공간 사이의 선형 사상
성질	쌍선형성 결합 법칙 분배 법칙

2. 정의

두 벡터의 외적 $\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}$ 은 $\mathbf{u} \mathbf{v}^T$ 와 같이 두 벡터를 곱하는 것을 말한다. 여기서 $\mathbf{u}$ 는 실수공간 $\mathbf{R}^m$ 에서 정의되는 $m\times 1$ 열벡터, $\mathbf{v}$ 는 $\mathbf{R}^n$ 에서 정의되는 $n \times 1$ 열벡터를 말한다.

예를 들어 $m = 4$ , $n = 3$ 인 경우 다음과 같이 외적을 쓸 수 있다.

: $\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u} \mathbf{v}^T =\begin{bmatrix}u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}u_1v_1 & u_1v_2 & u_1v_3 \\ u_2v_1 & u_2v_2 & u_2v_3 \\ u_3v_1 & u_3v_2 & u_3v_3 \\ u_4v_1 & u_4v_2 & u_4v_3\end{bmatrix}$

복소수공간 $\mathbf{C}^m$ 과 $\mathbf{C}^n$ 에서 정의되는 벡터의 경우, 외적은 전치연산 $\mathbf{v}^T$ 대신에 복소켤레전치 $\mathbf{v}^\dagger$ 를 사용해 $\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u} \mathbf{v}^\dagger$ 로 정의된다.

$m \times 1$ 크기의 벡터 $\mathbf{u}$ 와 $n \times 1$ 크기의 벡터 $\mathbf{v}$ 가 주어졌을 때,

: $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_m \end{bmatrix},\quad\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$

이들의 외적 $\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}$ 는 $m \times n$ 행렬 $\mathbf{A}$ 로 정의된다.

: $\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{A} =\begin{bmatrix}u_1v_1 & u_1v_2 & \dots & u_1v_n \\u_2v_1 & u_2v_2 & \dots & u_2v_n \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\u_mv_1 & u_mv_2 & \dots & u_mv_n\end{bmatrix}$

지수 표기법으로는 $(\mathbf{u} \otimes \mathbf{v})_{ij} = u_i v_j$ 와 같이 표현할 수 있다.

내적을 $\,\cdot,\,$ 로 표시하면, $n \times 1$ 벡터 $\mathbf{w}$ 가 주어졌을 때 $(\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}) \mathbf{w} = (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}) \mathbf{u}$ 가 성립한다. $1 \times m$ 벡터 $\mathbf{x}$ 가 주어졌을 때 $\mathbf{x} (\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}) = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{u}) \mathbf{v}^{\operatorname{T}}$ 가 성립한다.

2. 1. 행렬에서의 정의

두 벡터의 외적

\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}

는

\mathbf{u}

를

m \times 1

열벡터,

\mathbf{v}

를

n \times 1

열벡터로 간주하여 행렬 곱

\mathbf{u} \mathbf{v}^T

로 표현할 수 있다.^[14] 예를 들어

m = 4

,

n = 3

인 경우 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u} \mathbf{v}^T =\begin{bmatrix}u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}u_1v_1 & u_1v_2 & u_1v_3 \\ u_2v_1 & u_2v_2 & u_2v_3 \\ u_3v_1 & u_3v_2 & u_3v_3 \\ u_4v_1 & u_4v_2 & u_4v_3\end{bmatrix}

복소수 벡터의 경우,

\mathbf{v}

의 켤레 전치

\mathbf{v}^\dagger

를 사용하여 외적을

\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u} \mathbf{v}^\dagger

로 정의한다.

\mathbf{u}

와

\mathbf{v}

가 모두 영벡터가 아니고, 1보다 큰 같은 차원의 벡터인 경우,

\det (\mathbf{u} \otimes\mathbf{v}) = 0

이다.

2. 1. 1. 내적과의 비교

m = n

인 경우, 행렬 곱을 반대 방향으로 취하여 스칼라(또는

1 \times 1

행렬)를 얻을 수 있다. 이는 유클리드 공간의 표준 내적이며,^[3] 일반적으로 점곱으로 더 잘 알려져 있다. 점곱은 외적의 대각합이다.^[5] 점곱과는 달리 외적은 교환적이지 않다.

벡터

\mathbf{w}

에 행렬

\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}

를 곱하는 것은 내적을 사용하여

\left(\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}\right)\mathbf{w} = \mathbf{u}\left\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\right\rangle

관계식으로 표현할 수 있다.

2. 2. 추상적 정의

벡터 공간

V

와 그 쌍대 공간

W^*

의 원소를 이용하여 외적을 선형 사상으로 정의할 수 있다.

주어진 벡터

v \in V

와 코벡터

w^* \in W^*

의 텐서곱

v \otimes w^*

은 동형사상

\mathrm{Hom}(W,V) = W^* \otimes V

하의 사상

A\colon W \to V

를 준다. 구체적으로, 외적은 주어진

w \in W

에 대해

:

A(w) = w^*(w)v

로 정의된다. 여기서

w^*(w)

는 스칼라 값이며, 이 값을

v

와 곱한다.

다시 말하면, 외적은

w^*\colon W \to K

와

v\colon K \to V

의 합성이다.

만약

V

가 내적 공간이라면, 외적을 선형 맵

V \to W

로 정의할 수 있다. 이 경우, 선형 맵

\mathbf x \mapsto \langle \mathbf v, \mathbf x\rangle

는

V

의 쌍대 공간의 원소이며, 이는 벡터를 해당 체로 선형적으로 매핑하고, 여기서

\langle \mathbf v, \mathbf x\rangle

는 원소이다. 외적

V \to W

는 다음과 같이 주어진다.

:

(\mathbf w \otimes \mathbf v) (\mathbf x) = \left\langle \mathbf v, \mathbf x \right\rangle \mathbf w.

이는 복소수의 경우에

\mathbf v

의 켤레 전치를 일반적으로 사용하는 이유를 설명한다.

벡터 공간

V, W

와

W^*

(

W

의 쌍대 공간)에서, 벡터

x \in V

및

y^* \in W^*

에 대해 텐서 곱

y^* \otimes x

는

:

w \mapsto y^*(w)x

로 주어지는 사상

A\colon W \to V

에 대응한다. 여기서

y^*(w)

는 선형 범함수

y^*

를 벡터

w \in W

에서 평가한 스칼라 값이며, 이 값을

V

의 원소인

x

에 곱한다.

벡터 공간

V, W

가 유한 차원이라면,

W

에서

V

로의 선형 변환 전체 공간

\mathrm{Hom}(W, V)

는 외적으로 생성된다. 행렬의 계수는 외적을 합으로 나타내기 위해 필요한 항의 최소 수(행렬의 텐서 계수)와 일치한다. 이 경우,

\mathrm{Hom}(W, V)

는

W^* \otimes V

와 선형 동형이다.

2. 2. 1. 내적과의 비교

vector space|벡터 공간^영어 와 vector space|벡터 공간^영어 의 쌍대 공간에 대해, 만약

W =V\,

이면, 코벡터

w^* \in V^*

와 벡터

v \in V

를

V

와

V

의 쌍대의 쌍대연산

(w^*,v)\mapsto w^*(v)

를 통해 곱할 수 있는데, 이 연산은 내적이라 불리기도 한다.

W = V

일 때, 여벡터

w^* \in V^*

와 벡터

v \in V

를 사상

(w^*, v) \mapsto w^*(v)

를 통해 짝지을 수 있다. 이것은

V

와 그 쌍대 공간 사이에 정해지는 쌍대성을 나타내는 내적이다.

3. 텐서의 외적

외적은 벡터뿐만 아니라 텐서로 일반화될 수 있으며, 이 경우 텐서곱이라고 불린다.^[17] 텐서곱은 두 텐서의 각 성분을 곱하여 더 높은 차원의 텐서를 생성한다.

크기가 각각 $m \times 1$ 과 $n \times 1$ 인 두 벡터 $\mathbf{u}$ , $\mathbf{v}$ 가 주어졌을 때, 이들의 외적은 $\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}$ 로 표시되며, 그 값은 다음과 같다.

: $\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{A} =\begin{bmatrix}u_1v_1 & u_1v_2 & \dots & u_1v_n \\u_2v_1 & u_2v_2 & \dots & u_2v_n \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\u_mv_1 & u_mv_2 & \dots & u_mv_n\end{bmatrix}$

여기서 $\mathbf{A}$ 는 $\mathbf{u}$ 의 각 원소를 $\mathbf{v}$ 의 각 원소에 곱하여 얻은 $m \times n$ 행렬이다. 지수 표기법으로는 $(\mathbf{u} \otimes \mathbf{v})_{ij} = u_i v_j$ 와 같다.

내적을 $\,\cdot,\,$ 로 표시하면, $n \times 1$ 벡터 $\mathbf{w}$ 가 주어졌을 때 $(\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}) \mathbf{w} = (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}) \mathbf{u}$ 가 성립한다. $1 \times m$ 벡터 $\mathbf{x}$ 가 주어졌을 때 $\mathbf{x} (\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}) = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{u}) \mathbf{v}^{\operatorname{T}}$ 가 성립한다. $\mathbf{u}$ 와 $\mathbf{v}$ 가 1보다 큰 같은 차원의 벡터인 경우, $\det (\mathbf{u} \otimes\mathbf{v}) = 0$ 이다.

외적 $\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}$ 는 $\mathbf{u}$ 가 $m \times 1$ 열 벡터로, $\mathbf{v}$ 가 $n \times 1$ 열 벡터로 표현될 때 행렬 곱셈 $\mathbf{u} \mathbf{v}^{\operatorname{T}}$ 와 동일하다. 복소수 벡터의 경우, $\mathbf{v}$ 의 켤레 전치 $\mathbf{v}^\dagger$ 또는 $\left(\mathbf{v}^\textsf{T}\right)^*$ 를 취하여 $\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u} \mathbf{v}^\dagger = \mathbf{u} \left(\mathbf{v}^\textsf{T}\right)^*$ 로 표현한다.

두 텐서 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 의 차원이 각각 $(k_1, k_2, \dots, k_m)$ 과 $(l_1, l_2, \dots, l_n)$ 일 때, 이들의 외적 $\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}$ 는 차원이 $(k_1, k_2, \dots, k_m, l_1, l_2, \dots, l_n)$ 인 텐서이며, 각 성분은 $(\mathbf{u} \otimes \mathbf{v})_{i_1, i_2, \dots i_m, j_1, j_2, \dots, j_n} = u_{i_1, i_2, \dots, i_m} v_{j_1, j_2, \dots, j_n}$ 이다.

3. 1. 크로네커 곱과의 관계

외적과 크로네커 곱은 밀접하게 관련되어 있으며, 실제로 동일한 기호를 사용하여 두 연산을 모두 나타내는 경우가 많다.

만약

\mathbf{u} = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\end{bmatrix}^\textsf{T}

이고

\mathbf{v} = \begin{bmatrix}4 & 5\end{bmatrix}^\textsf{T}

이면, 다음과 같다.

:

\begin{align}\mathbf{u} \otimes_\text{Kron} \mathbf{v} &= \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \\ 10 \\ 12 \\ 15\end{bmatrix}, &\mathbf{u} \otimes_\text{outer} \mathbf{v} &= \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 8 & 10 \\ 12 & 15\end{bmatrix}\end{align}

열 벡터의 경우, 크로네커 곱은 외적의 벡터화(또는 평탄화) 형태로 볼 수 있다. 특히, 두 열 벡터

\mathbf{u}

와

\mathbf{v}

에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\mathbf{u} \otimes_{\text{Kron}} \mathbf{v} = \operatorname{vec}(\mathbf{v} \otimes_\text{outer} \mathbf{u})

(벡터의 순서는 방정식의 오른쪽에서 반대로 되어 있다.)

두 연산 간의 유사성을 더욱 강조하는 또 다른 유사한 항등식은 다음과 같다.

:

\mathbf{u} \otimes_{\text{Kron}} \mathbf{v}^\textsf{T} = \mathbf u \mathbf{v}^\textsf{T} = \mathbf{u} \otimes_{\text{outer}} \mathbf{v}

여기서 벡터의 순서를 바꿀 필요가 없다. 중간 표현은 행렬 곱셈을 사용하며, 여기서 벡터는 열/행렬로 간주된다. 텐서에 대한 외적은 일반적으로 텐서 곱이라고 불린다.^[17]

3. 2. 행렬 곱과의 관계

두 행렬

\mathbf{A}

의 크기가

m\times p

이고

\mathbf{B}

의 크기가

p\times n

일 때, 행렬 곱

\mathbf{C} = \mathbf{A}\,\mathbf{B}

는 크기가

m\times n

인 행렬이다.

\mathbf A

의

k

번째 열 벡터를

\mathbf a^\text{col}_k

,

\mathbf B

의

k

번째 행 벡터를

\mathbf b^\text{row}_k

라고 하면,

\mathbf{C}

는 열과 행의 외적 합으로 표현할 수 있다.

:

\mathbf{C} = \mathbf{A}\, \mathbf{B} =\left(\sum_{k=1}^p {A}_{ik}\, {B}_{kj}\right)_{\begin{matrix} 1\le i \le m \\[-20pt] 1 \le j\le n \end{matrix}} =\begin{bmatrix} & & \\ \mathbf a^\text{col}_{1} & \cdots & \mathbf a^\text{col}_{p} \\ & & \end{bmatrix}\begin{bmatrix} & \mathbf b^\text{row}_{1} & \\ & \vdots & \\ & \mathbf b^\text{row}_{p} & \end{bmatrix}= \sum_{k=1}^p \mathbf a^\text{col}_k \mathbf b^\text{row}_k

이 표현은

C_{ij} = \langle{\mathbf a^\text{row}_i,\,\mathbf b_j^\text{col}}\rangle

와 같이 행과 열의 내적(또는 점 곱)으로 구성된 행렬의 더 일반적인 표현과 이중성을 갖는다.

이러한 관계는 특이값 분해(SVD)(및 특별한 경우인 스펙트럼 분해)의 적용과 관련이 있다.^[6] 특히, 특이값 분해는 각 왼쪽(

\mathbf{u}_k

) 및 오른쪽(

\mathbf{v}_k

) 특이 벡터의 외적의 합으로 해석할 수 있으며, 해당 0이 아닌 특이값

\sigma_k

로 스케일링된다.

:

\mathbf{A} = \mathbf{U \Sigma V^T} = \sum_{k=1}^{\operatorname{rank}(A)}(\mathbf{u}_k \otimes \mathbf{v}_k) \, \sigma_k

이는

\mathbf{A}

가 스펙트럼 노름

\sigma_k

를 내림차순으로 갖는 랭크-1 행렬의 합으로 표현될 수 있음을 의미한다. 이는 일반적으로 마지막 항의 기여도가 적은 이유를 설명하며, 이는 근사로서 잘린 SVD의 사용을 동기 부여한다. 첫 번째 항은 벡터의 외적에 대한 행렬의 최소 제곱 적합이다.

4. 성질

벡터의 외적은 다음 성질을 만족한다.

: $(\mathbf{u} \otimes \mathbf{v})^\textsf{T} = (\mathbf{v} \otimes \mathbf{u})$ (전치)

: $(\mathbf{v} + \mathbf{w}) \otimes \mathbf{u} = \mathbf{v} \otimes \mathbf{u} + \mathbf{w} \otimes \mathbf{u}$ (분배 법칙)

: $\mathbf{u} \otimes (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} + \mathbf{u} \otimes \mathbf{w}$ (분배 법칙)

: $c (\mathbf{v} \otimes \mathbf{u}) = (c\mathbf{v}) \otimes \mathbf{u} = \mathbf{v} \otimes (c\mathbf{u})$ (스칼라 곱)

텐서의 외적은 결합법칙을 만족한다.

: $(\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}) \otimes \mathbf{w} = \mathbf{u} \otimes (\mathbf{v} \otimes \mathbf{w})$

만약 u와 v가 모두 0이 아니면, 외적 행렬 uv^T는 항상 행렬 계수 1을 갖는다.

5. 프로그래밍 언어에서의 외적

APL에서는 중위 이항 연산자 `∘.f`로, J에서는 후위 부사 `f/`로, R에서는 함수 `outer(A, B, f)` 또는 특수 `%o%`로,^[7] Mathematica에서는 `Outer[f, A, B]`로 표현된다. MATLAB에서는 함수 `kron(A, B)`가 이 곱에 사용된다. 이들은 종종 다차원 인수와 2개 이상의 인수로 일반화된다.

파이썬 라이브러리 NumPy에서 외적은 함수 `np.outer()`로 계산할 수 있다.^[8] 반면, `np.kron`은 평면 배열을 반환한다. 다차원 배열의 외적은 `np.multiply.outer`를 사용하여 계산할 수 있다.

6. 응용

외적은 크로네커 곱과 밀접하게 관련되어 있어, 양자 이론, 신호 처리, 이미지 압축 등 다양한 분야에 응용된다.^[9] 관성 텐서와 같은 물리량을 계산하거나, 디지털 신호 처리 및 디지털 이미지 처리에서 변형 연산을 수행하는 데에도 유용하다. 또한 통계적 분석에서 두 확률 변수의 공분산 및 자기 공분산 행렬을 계산하는 데에도 활용된다.

6. 1. 스피너

만약 s^영어, t^영어, w^영어, z^영어 ∈ '''C'''이고 (s, t)^영어와 (w, z)^영어가 에 있다고 가정하자. 그러면 이 복소 2-벡터들의 외적은 2 × 2 복소 행렬인 의 원소이다.

:

\begin{pmatrix} sw & tw \\ sz & tz \end{pmatrix}.

이 행렬의 행렬식은 인데, 이는 의 교환 법칙 때문이다.

3차원 스피너 이론에서, 이 행렬들은 이러한 영(null) 속성으로 인해 등방성 벡터와 연관된다. 엘리 카르탕은 1937년에 이 구성을 설명했지만,^[10] 볼프강 파울리가 1927년에 도입했기 때문에^[11] 는 파울리 대수라고 불리게 되었다.

6. 2. 개념 분석

외적의 블록 형태는 분류에 유용하다. 개념 분석은 특정 외적에 의존하는 연구이다.

벡터가 0과 1만 엔트리로 가질 때, 이를 ''논리 벡터''라고 하며, 이는 논리 행렬의 특수한 경우이다. 논리 연산 ''and''는 곱셈을 대신한다. 두 논리 벡터 u|i^영어와 v|j^영어의 외적은 논리 행렬

\left(a_{ij}\right) = \left(u_i \land v_j\right)

로 주어진다. 이러한 유형의 행렬은 이항 관계 연구에 사용되며, ''직사각형 관계'' 또는 '''교차 벡터'''라고 한다.^[1]

7. 기타 곱셈

데카르트 곱
외적
외부 곱
아다마르 곱 (행렬)

8. 쌍대성

켤레 복소수, 켤레 전치, 전치 행렬, 브라-켓 표기법(외적)에서 확인할 수 있다.

참조

_[1] 서적 Encyclopaedia of Physics https://archive.org/[...] VHC
_[2] 서적 Linear Algebra McGraw-Hill
_[3] 웹사이트 Algebraic Properties of Matrices; Transpose; Inner and Outer Product https://www.inf.ed.a[...] 2020-02-23
_[4] 서적 Matrix Theory: A Second Course Plenum Press
_[5] 서적 Optimal Control and Estimation https://books.google[...] Dover Publications
_[6] 서적 Numerical linear algebra Society for Industrial and Applied Mathematics
_[7] 웹사이트 outer function {{!}} R Documentation https://www.rdocumen[...] 2020-09-07
_[8] 웹사이트 numpy.outer — NumPy v1.19 Manual https://numpy.org/do[...] 2020-09-07
_[9] 서적 Matrix Calculus and Kronecker Product: A Practical Approach to Linear and Multilinear Algebra World Scientific
_[10] 서적 The Theory of Spinors Hermann, Paris
_[11] 서적 Clifford Algebras and Spinors Cambridge University Press
_[12] 서적 Boolean Matrix Theory and Applications Marcel Dekker
_[13] MathWorld Tensor Direct Product
_[14] 서적 Linear Algebra McGraw Hill (USA)
_[15] MathWorld Kronecker Product
_[16] 서적 Encyclopaedia of Physics VHC publishers
_[17] 서적 Mathematical methods for physics and engineering Cambridge University Press

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