대응 정리

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1. 개요
2. 정의
3. 예
참조

1. 개요

대응 정리는 대수 구조와 합동 관계에 관한 정리로, 몫 대수 위의 합동 관계 격자와 원래 대수의 합동 관계 격자 사이의 동형성을 설명한다. 이 정리는 군, 환, 가군 등 다양한 대수 구조에 적용 가능하며, 특히 몫 대수와 관련된 부분 구조 간의 관계를 파악하는 데 유용하다.

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대응 정리
개요
이름	대응 정리
영어 이름	Correspondence theorem
독일어 이름	Korrespondenzsatz
군론
관련 항목	격자 정리 (lattice theorem) 또는 네 번째 동형 정리 (fourth isomorphism theorem) 라고도 한다.

2. 정의

대수 구조 $A$ 와 그 위의 합동 관계 ${\sim}\in\operatorname{Cong}(A)$ 가 주어졌을 때, '''대응 정리'''에 따르면 다음 두 격자는 동형이다.^[20]

몫 대수 위의 합동 관계들의 격자 $\operatorname{Cong}(A/{\sim})$
$A$ 의 합동 관계들 가운데, ${\sim}$ 에 의하여 함의되는 것들의 격자 $\mathop\uparrow{\sim}=\{{\sim}'\in\operatorname{Cong}(A)\colon\forall a,b\in A\colon a\sim b\implies a\sim'b\}$ . 이는 $A$ 의 합동 관계 격자 $\operatorname{Cong}(A)$ 의 부분 격자를 이룬다.

두 격자 사이의 동형 사상은 다음과 같이 주어진다.

:

\mathop\uparrow{\sim}\to\operatorname{Cong}(A/{\sim})

:

{\sim}'\mapsto{\sim}'/{\sim}

여기서

{\sim}'/{\sim}

은

A/{\sim}

위의 이항 관계이며 다음과 같이 정의된다.

:

[a]_\sim\mathrel[b]_\sim\iff a\sim'b

대응 정리에 따르면 다음 명제들이 성립한다.

만약 ${\sim}'$ 이 ${\sim}$ 을 포함하는 $A$ 위의 합동 관계라면, ${\sim}'/{\sim}$ 은 $A/{\sim}$ 위의 합동 관계이다.
$A/{\sim}$ 위의 모든 합동 관계는 어떤 ${\sim}$ 을 포함하는 $A$ 위의 합동 관계 ${\sim}'$ 에 대하여 ${\sim}'/{\sim}$ 의 꼴로 나타낼 수 있다.
${\sim}$ 을 포함하는 $A$ 위의 합동 관계 ${\sim}_1,{\sim}_2\in\mathop\uparrow{\sim}$ 에 대하여 다음이 성립한다.
$a\sim_1b$ 가 $a\sim_2b$ 를 함의하는 것과 $a\mathrelb$ 는 $a\mathrelb$ 를 함의하는 것은 서로 필요충분조건이다.
$({\sim}_1\vee{\sim}_2)/{\sim}={\sim}_1/{\sim}\vee{\sim}_2/{\sim}$ . 여기서 ${\sim}_1\vee{\sim}_2$ 는 $\sim_1$ 과 $\sim_2$ 로 생성되는 합동 관계이다.
$({\sim}_1\cap{\sim}_2)/{\sim}={\sim}_1/{\sim}\cap{\sim}_2/{\sim}$ . 여기서 ${\sim}_1\cap{\sim}_2$ 는 $a\mathrel{{\sim}_1\cap{\sim}_2}b\iff a\sim_1b\land a\sim_2b$ 로 정의된다.

3. 예

대응 정리는 군, 환, 가군 등 다양한 대수 구조에 적용된다. 일부 대수 구조에서는 합동 관계가 특정한 부분 대수와 일대일 대응을 이루며, 대응 정리에 나타나는 동형 사상을 몫 대수의 부분 대수에 대해 확장할 수 있다.

3. 1. 군

군

G

및 정규 부분군

N\vartriangleleft G

에 대하여,

N

을 포함하는

G

의 부분군의 격자와 몫군의 부분군들의 격자 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

함수

\mathop\uparrow N=\{H\le G\colon N\subseteq H\}\to\operatorname{Sub}(G/N)

에서

H\mapsto H/N=\{hN\colon h\in H\}

를 생각하면, 다음이 성립한다.

$H\mapsto H/N$ 은 격자의 동형 사상이다. 즉,
* 임의의 $N\le H\le G$ 에 대하여, $H/N\le G/N$
* 임의의 $K\le G/N$ 에 대하여, $K=H/N$ 인 $N\le H\le G$ 가 존재한다.
* 임의의 $N\le H,K\le G$ 에 대하여,
** $H\le K$ 일 필요충분조건은 $H/N\le K/N$ 이다.
** $\langle H\cup K\rangle/N=\langle H/N\cup K/N\rangle$ . 여기서 $\langle H\cup K\rangle$ 는 $H\cup K$ 로 생성된 부분군이다.
** $(H\cap K)/N=H/N\cap K/N$
$H\vartriangleleft G$ 일 필요충분조건은 $H/N\vartriangleleft G/N$ 이다.

핵

N

을 갖는 전사 군 준동형 사상

φ: G \rarr H

를 고려하면,

U \mapsto \varphi(U)

는

N

을 포함하는

G

의 부분군과

H

의 부분군 사이의 전단사이다.

V \mapsto \varphi^{-1}(V)

는 그 역함수이다. 이 때 정규 부분군은 정규 부분군에 대응한다.

이 주장을

G/N \cong H

의 경우에 적용하면,

G/N

의 (정규) 부분군은

N \le U \le G

를 만족하는 (정규) 부분군

U

를 사용하여

U/N

으로 표시되는 것과 정확히 일치한다.^[1] 이 대응은 단조이다. 즉, 부분군

N \le U_1, U_2 \le G

에 대해

U_1 \le U_2

인 것은

U_1/N \le U_2/N

일 때, 그리고 그 때에만 성립한다.

만약

G/N

이 단순군이라면 정규 부분군

N

은 정규 부분군 중에서 극대이다.

3. 2. 환

환

R

및 아이디얼

\mathfrak a\subset R

에 대하여,

\mathfrak a

를 포함하는 부분군의 격자와 몫환의 부분환 격자 사이의 함수

:

\mathop\uparrow\mathfrak a=\{S\in\operatorname{Sub}(R)\colon\mathfrak a\subset S\}\to\operatorname{Sub}(R/\mathfrak a)

:

S\mapsto S/\mathfrak a=\{s+\mathfrak a\colon s\in S\}

를 생각하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

$S\mapsto S+\mathfrak a$ 는 격자의 동형 사상이다. 즉,
* 임의의 부분환 $\mathfrak a\subset S\subset R$ 에 대하여, $S/\mathfrak a$ 는 $R/\mathfrak a$ 의 부분환이다.
* 임의의 부분환 $T\subset R/\mathfrak a$ 에 대하여, $T=S/\mathfrak a$ 인 부분환 $\mathfrak a\subset S\subset R$ 가 존재한다.
* 임의의 부분환 $\mathfrak a\subset S,T\subset R$ 에 대하여,
** $S\subset T$ 일 필요충분조건은 $S/\mathfrak a\subset T/\mathfrak a$ 이다.
** $\langle S\cup T\rangle/\mathfrak a=\langle S/\mathfrak a\cup T/\mathfrak b\rangle$ . 여기서 $\langle S\cup T\rangle$ 는 $S\cup T$ 로 생성된 부분환이다.
** $(S\cap T)/\mathfrak a=S/\mathfrak a\cap T/\mathfrak a$
$S$ 가 $R$ 의 아이디얼일 필요충분조건은 $S/\mathfrak a$ 가 $R/\mathfrak a$ 의 아이디얼인 것이다.

R

을 단위원을 포함하는 환이라 하고,

I \sube R

을 (양쪽) 아이디얼이라고 하자. 이때, 대응

:

J \mapsto J/I

은

I

를 포함하는

R

의 왼쪽 아이디얼과

R/I

의 왼쪽 아이디얼 사이의 전단사이다. 이 대응은 단조이다. 즉, 왼쪽 아이디얼

I \sube J_1, J_2 \sube R

에 대해

J_1 \sube J_2

가 성립하는 것은

J_1/I \sube J_2/I

가 성립할 때와 같으며, 그때에만 같다.

3. 3. 가군

환

R

위의 왼쪽 가군

M

및 부분 가군

N\subset M

에 대하여,

N

을 포함하는 부분 가군의 격자와 몫 가군의 부분 가군 격자 사이의 함수

:

\mathop\uparrow N=\{N'\in\operatorname{Sub}(M)\colon N\subset N'\}\to\operatorname{Sub}(M/N)

:

N'\mapsto N'/N=\{m+N\colon m\in N'\}

는 격자의 동형 사상이다. 즉, 다음이 성립한다.

임의의 부분 가군 $N\subset N'\subset M$ 에 대하여, $N'/N$ 는 $M/N$ 의 부분 가군이다.
임의의 부분 가군 $N''\subset M/N$ 에 대하여, $N''=N'/N$ 인 부분 가군 $N\subset N'\subset M$ 가 존재한다.
임의의 부분 가군 $N\subset N',N''\subset M$ 에 대하여,
* $N'\subset N''$ 일 필요충분조건은 $N'/N\subset N''/N$ 이다.
* $(N'+N'')/N=N'/N+N''/N$
* $(N'\cap N'')/N=N'/N\cap N''/N$

M

을 왼쪽

R

가군이라 하고,

N \subset M

을 부분 가군이라고 하자. 이 때 대응

:

V \mapsto V/N

은

N

을 포함하는

M

의 부분 가군과

M/N

의 부분 가군 사이의 전단사이다. 이 대응은 단조이다. 즉 부분 가군

N \subset V_1, V_2 \subset M

에 대해

V_1 \subset V_2

가 되는 것은

V_1/N \subset V_2/N

가 될 때와 동치이다.

참조

_[1] 서적 An Introduction to Abstract Algebra https://archive.org/[...] Walter de Gruyter
_[2] 서적 A Course in Group Theory https://archive.org/[...] Oxford University Press
_[3] 서적 A Course on Finite Groups https://archive.org/[...] Springer
_[4] 서적 Groups and Representations https://archive.org/[...] Springer
_[5] 서적 Algebra: A Graduate Course https://archive.org/[...] American Mathematical Soc.
_[6] 서적 An Introduction to the Theory of Groups https://archive.org/[...] Springer
_[7] 서적 Introduction to Abstract Algebra John Wiley & Sons
_[8] 서적 Fundamentals of Group Theory: An Advanced Approach Springer Science & Business Media
_[9] 서적 Group Theory Prentice Hall
_[10] 서적 Abstract Algebra: An Inquiry Based Approach CRC Press
_[11] 서적 An Introduction to Abstract Algebra https://archive.org/[...] Walter de Gruyter
_[12] 서적 A Course in Group Theory https://archive.org/[...] Oxford University Press
_[13] 서적 A Course on Finite Groups https://archive.org/[...] Springer
_[14] 서적 Groups and Representations https://archive.org/[...] Springer
_[15] 서적 Algebra: A Graduate Course https://archive.org/[...] American Mathematical Soc.
_[16] 서적 An Introduction to the Theory of Groups https://archive.org/[...] Springer
_[17] 서적 Introduction to Abstract Algebra John Wiley & Sons
_[18] 서적 Fundamentals of Group Theory: An Advanced Approach Springer Science & Business Media
_[19] 서적 Abstract Algebra: An Inquiry Based Approach CRC Press
_[20] 서적 A course in universal algebra https://www.math.uwa[...] Springer 1981

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