데버러 수
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1. 개요
데보라 수(Deborah number)는 물질의 완화 시간과 관찰 시간의 비율로 정의되는 무차원 수이다. 이 값은 물질의 고체 또는 액체 거동을 예측하는 데 사용되며, 물질이 외부 응력에 적응하는 데 걸리는 시간인 완화 시간과 실험 또는 현상에서 물질의 반응을 관찰하는 시간 척도인 관찰 시간의 비율로 계산된다. 데보라 수는 재료의 탄성과 점성을 모두 통합하며, 값이 낮을수록 유체, 높을수록 고체와 같은 거동을 보인다. 이스라엘의 마르쿠스 라이너 교수가 제안했으며, 시간-온도 중첩 원리를 이해하는 데 중요한 개념으로 사용된다. 콜타르 피치 방울 실험, 지구 맨틀, 빙하 등 다양한 예시를 통해 데보라 수의 개념을 설명할 수 있다.
데버러 수(De)는 물질의 고유한 반응 시간인 완화 시간(''t''c)과 외부 변화가 일어나는 시간 척도인 관찰 시간(''t''p)의 비율로 정의된다.[5] 즉, 물질이 가해진 응력이나 변형에 적응하는 데 걸리는 시간과, 그 반응을 관찰하는 실험이나 현상의 시간 척도를 비교하는 값이다.
데보라 수(Deborah number, De)는 어떤 물질이 주어진 조건 하에서 얼마나 고체처럼 또는 액체처럼 행동하는지를 나타내는 중요한 무차원 수이다.[2][3] 이는 물질 고유의 특성인 완화 시간(외부에서 가해진 응력이나 변형에 적응하는 데 걸리는 시간)과, 외부에서 변화를 관찰하거나 실험을 진행하는 시간 척도(관찰 시간) 사이의 비율로 결정된다.[5]
2. 정의
완화 시간은 물질이 외부 자극에 대해 평형 상태로 돌아가는 데 필요한 시간이며, 물질의 점성과 강성률의 비율로도 이해할 수 있다. 관찰 시간은 외부에서 힘이 가해지거나 변형이 일어나는 속도, 혹은 우리가 관심을 가지는 현상이 진행되는 시간의 길이를 나타낸다.[1]
데버러 수는 물질이 주어진 시간 동안 얼마나 유체처럼 흐를 수 있는지, 혹은 고체처럼 탄성을 보일지를 가늠하는 척도가 된다. 데버러 수가 낮으면 물질은 관찰 시간 동안 충분히 완화되어 유체와 유사하게 거동하는 경향을 보인다. 반면, 데버러 수가 높으면 물질이 완화될 시간이 부족하여 탄성이 두드러지고 고체와 유사한 거동을 나타낸다.[2][3] 예를 들어, 이상적인 후크 탄성 고체는 완화 시간이 무한대에 가까워 데버러 수가 매우 크고, 이상적인 뉴턴 유체는 완화 시간이 0에 가까워 데버러 수가 매우 작다. 실제 물질들은 관찰 시간에 따라 다양한 데버러 수를 가지며 유체와 고체의 중간적인 점탄성 거동을 보인다.[4]
2. 1. 수학적 정의
데버러 수(''De'')는 근본적으로 서로 다른 특성 시간의 비율이다. 재료가 가해진 응력이나 변형에 적응하는 데 걸리는 시간과 재료의 반응을 탐구하는 실험(또는 컴퓨터 시뮬레이션)의 특성 시간 척도의 비율로 정의된다.
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여기서 ''t''c는 완화 시간이고, ''t''p는 일반적으로 프로세스의 시간 척도로 간주되는 "관찰 시간"이다.[5]
데버러 수는 재료의 탄성과 점성을 모두 통합하여 나타내는 지표이다.
예를 들어, 이상적인 후크 탄성 고체의 경우 완화 시간 ''t''c는 무한대(''De'' → ∞)가 되며, 이상적인 뉴턴 점성 유체의 경우 0(''De'' → 0)이 된다. 실제 액체 물의 경우 ''t''c는 일반적으로 10−12 s로 매우 짧지만, 고압에서 기어 톱니를 통과하는 윤활유의 경우 10−6 s 정도이며, 플라스틱 가공을 거치는 폴리머의 경우 완화 시간은 몇 초 정도가 될 수 있다. 따라서 관찰 시간이 매우 짧아지면(즉, 매우 빠른 변형이 일어나면) 물이나 윤활유 같은 액체도 탄성 특성을 나타내며 순수한 점성 거동에서 벗어날 수 있다.[4]
''De''는 바이스켄베르그 수와 유사하며 기술 문헌에서 종종 혼동되지만 물리적 해석이 다르다. 바이스켄베르그 수는 변형에 의해 생성된 이방성 또는 배향의 정도를 나타내며 단순 전단과 같이 일정한 신장 이력을 가진 흐름을 설명하는 데 적합하다. 반대로, 데버러 수는 일정한 신장 이력이 없는 흐름을 설명하는 데 사용해야 하며, 물리적으로 탄성 에너지가 저장되거나 방출되는 속도를 나타낸다.[5]
3. 물리적 의미
만약 관찰하는 시간이 물질의 완화 시간보다 매우 길다면(즉, 데보라 수가 1보다 매우 작다면, ''De'' ≪ 1), 물질은 충분히 흘러 유체와 같은 거동을 보인다. 반대로 관찰 시간이 완화 시간보다 매우 짧다면(즉, 데보라 수가 1보다 매우 크다면, ''De'' ≫ 1), 물질은 변형에 적응할 시간적 여유가 없어 탄성을 가진 고체처럼 행동하게 된다.[2][3] 따라서 같은 물질이라도 관찰하는 시간 척도에 따라 유체처럼 보이기도 하고 고체처럼 보이기도 하는 상대적인 특성을 가진다. 예를 들어, 매우 긴 시간에 걸쳐 관찰하면 단단한 암석도 유체처럼 흐르는 현상을 보일 수 있으며, 반대로 짧은 순간의 충격에는 물과 같은 액체도 고체와 같은 반응을 나타낼 수 있다.
3. 1. 데보라 수의 크기에 따른 물질의 특성
데보라 수(Deborah number, De)는 근본적으로 서로 다른 특성 시간의 비율로 정의된다. 재료가 가해진 응력이나 변형에 적응하는 데 걸리는 시간과, 재료의 반응을 관찰하는 실험(또는 컴퓨터 시뮬레이션)의 특성 시간 척도의 비율이다.
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여기서 ''t''c는 완화 시간이고, ''t''p는 관찰 시간(프로세스의 시간 척도)을 나타낸다.[5]
완화 시간 ''t''c는 물질에 갑자기 기준 하중이 가해졌을 때 기준 변형이 발생하는 데 필요한 시간이다. 따라서 더 유체와 같은 물질은 흐르는 데 시간이 덜 걸리므로, 동일한 하중 속도에 노출된 고체에 비해 데보라 수가 낮아진다. 또는, 갑자기 가해진 기준 변형에 의해 유도된 응력이 특정 기준량만큼 감소하는 데 필요한 시간이기도 하다. 완화 시간은 실제로는 갑자기 가해진 하중의 순간에 존재하는 완화 속도를 기반으로 한다.
관찰 시간 ''t''p는 주어진 기준 변형에 도달하는 데 필요한 시간이다.[1] 따라서 더 빠른 하중 속도는 기준 변형에 더 빨리 도달하게 하므로 데보라 수가 더 높아진다.
데보라 수는 물질의 탄성과 점성을 모두 통합하는 개념이다.
예를 들어, 이상적인 후크 탄성 고체의 경우 완화 시간 ''t''c는 무한대가 되며, 이상적인 뉴턴 점성 유체의 경우 사라진다. 실제 물질의 예를 들면 다음과 같다.[4]
따라서 이러한 액체들도 관찰 시간 ''t''p가 매우 짧은 상황(예: 매우 빠른 변형)에서는 데보라 수가 커져 탄성 특성을 나타낼 수 있으며, 순수한 점성 거동에서 벗어날 수 있다.[4]
''De''는 바이스켄베르그 수와 유사하며 기술 문헌에서 종종 혼동되지만, 물리적 해석이 다르다. 바이스켄베르그 수는 변형에 의해 생성된 이방성 또는 배향의 정도를 나타내며, 단순 전단과 같이 일정한 신장 이력을 가진 흐름을 설명하는 데 적합하다. 반대로, 데보라 수는 일정한 신장 이력이 없는 흐름을 설명하는 데 사용해야 하며, 물리적으로 탄성 에너지가 저장되거나 방출되는 속도를 나타낸다.[5]
결론적으로 물질의 고체·액체 구분은 절대적인 것이 아니라, 관찰 시간 척도와 물질 고유의 완화 시간 사이의 관계, 즉 데보라 수에 따라 상대적으로 결정된다.
4. 역사
데보라 수는 이스라엘 테크니온의 교수였던 마르쿠스 라이너가 처음 제안했다. 그는 성경 판관기에 나오는 예언자 드보라의 노래 구절 "산들이 주 앞에서 흘렀다" (הָרִ֥ים נָזְל֖וּ מִפְּנֵ֣י יְהוָ֑הheb)에서 영감을 받아 이 이름을 지었다.[2][7] 라이너는 1964년에 발표한 논문(1962년 제4회 국제 레올로지 학회 만찬 연설을 바탕으로 함)에서[8][9] 데보라 수의 기원에 대해 다음과 같이 설명했다.
“드보라는 두 가지를 알고 있었다. 첫째, 모든 것이 흘러가듯이 산도 흐른다는 것이다. 그러나 둘째, 그 산들은 인간이 아닌 주 앞에서 흘렀는데, 그 이유는 인간은 짧은 생애 동안 그들이 흐르는 것을 볼 수 없지만, 신의 관찰 시간은 무한하기 때문이다. 따라서 무차원 수인 데보라 수를 다음과 같이 정의할 수 있다. D = 완화 시간/관찰 시간.”
5. 시간-온도 중첩
데보라 수는 특히 시간-온도 중첩 원리를 개념화하는 데 유용하다. 시간-온도 중첩 원리는 기준 온도를 사용하여 고분자의 온도에 따른 기계적 특성 변화를 예측하는 방법으로, 이는 실험 시간을 조절하는 것과 관련이 있다. 예를 들어, 낮은 온도에서 긴 실험 시간 또는 이완 시간을 갖는 재료는, 데보라 수가 동일하게 유지된다면 높은 온도에서 짧은 실험 시간 또는 이완 시간을 갖는 동일한 재료와 유사하게 거동한다. 이는 특정 온도에서 오랜 시간에 걸쳐 이완되는 재료의 특성을 파악해야 할 때 특히 유용할 수 있다. 이러한 개념의 실제적인 적용은 윌리엄스-랜드엘-페리 방정식에서 찾아볼 수 있다. 시간-온도 중첩 원리는 데보라 수를 활용하여, 특정 온도에서 장기간에 걸쳐 고분자의 거동을 직접 측정해야 하는 비효율적인 과정을 피할 수 있게 해준다.[10]
6. 예시
데버러 수는 관찰하는 시간의 길이에 따라 물질의 상태가 상대적으로 다르게 보일 수 있음을 나타내는 무차원 수이다. 어떤 물질은 짧은 시간 동안에는 고체처럼 보이지만, 매우 긴 시간 동안 관찰하면 액체처럼 흐르는 성질을 보일 수 있다. 이러한 현상은 우리 주변의 다양한 물질에서 관찰된다.
예를 들어, 콜타르의 피치는 상온에서 고체처럼 보이지만, 수년에 걸쳐 아주 천천히 흐르는 모습을 피치 방울 실험을 통해 확인할 수 있다. 지구의 맨틀 역시 평소에는 단단한 암석으로 느껴지지만, 수백만 년이라는 지질학적 시간 규모에서는 유동성을 가지며 대륙을 이동시키는 원동력이 된다. 또한, 단단한 얼음으로 이루어진 빙하도 산비탈을 따라 서서히 흘러내리는 현상을 통해 데버러 수의 개념을 이해할 수 있다.
6. 1. 콜타르 (피치 방울 실험)
파넬은 콜타르의 피치를 깔때기에서 떨어뜨리는 실험을 1927년에 시작했다. 2000년까지 단 8방울만이 깔때기에서 떨어지는 것이 관찰되었으며, 이를 통해 피치의 점도는 108 Pa·s로 계산되었다. 피치는 일반적인 관찰 시간(수십 초 정도)으로 보면 고체처럼 보이며 망치로 깨뜨릴 수도 있지만, 매우 긴 시간 척도에서는 액체처럼 흐르는 특성을 보인다. 이 실험은 (노벨상의 패러디인) 이그노벨상 물리학상을 2005년에 수상했다. (이그노벨상 수상자 목록#2005년 참조).6. 2. 맨틀
지구과학에서 맨틀은 매우 높은 점성을 가진 물질로 간주된다. 일반적인 관찰 시간에서는 맨틀이 단단한 고체처럼 보이지만, 베게너의 대륙 이동설에 따르면 산이나 대륙은 1년에 수 밀리미터(mm)에서 수 센티미터(cm)씩 이동하며 마치 "흐르는" 것처럼 움직인다.실제로 맨틀의 점도는 1020~1022 Pa·s 사이로 매우 높으며, 전단 탄성률은 약 100 GPa로 알려져 있다. 이러한 물리적 특성을 바탕으로 맨틀의 완화 시간은 약 1010초에서 300년 정도로 추정된다. 이 시간은 인간의 일상적인 경험에 비추어 볼 때는 매우 길지만, 수억 년에 달하는 지구과학적 시간 척도에서 보면 상대적으로 짧다. 따라서 맨틀은 이러한 장구한 시간 동안에는 점성을 가진 액체처럼 유동성을 보이며 움직이는 것으로 간주될 수 있다. 즉, 맨틀은 짧은 시간 관찰 시에는 고체적 특성을 나타내지만, 지질학적 시간 규모에서는 유체처럼 행동하여 대륙 이동과 같은 거대한 지각 변동을 가능하게 하는 중요한 요인이 된다.
6. 3. 빙하
빙하는 얼음으로 이루어져 있어 일반적으로 고체로 여겨진다. 하지만 매우 긴 시간 동안 관찰하면 마치 액체처럼 "흐르는" 현상을 보인다. 이는 얼음의 고유한 물리적 특성 때문이다. Husmann 등의 2002년 연구에 따르면, 얼음은 조건에 따라 달라지지만 약 1014 Pa·s의 점도와 109 Pa의 강성률을 가진다. 얼음의 완화 시간은 105 초에서 약 1일 사이로 상대적으로 짧다. 따라서 얼음은 평상시에는 고체 상태를 유지하지만, 이처럼 짧은 완화 시간 때문에 빙하와 같이 오랜 시간에 걸쳐서는 유동성을 나타내며 흐르게 된다.참조
[1]
웹사이트
Viscoelasticity and dynamic mechanical testing
http://tainstruments[...]
TA Instruments Germany
2019-03-26
[2]
간행물
The Deborah Number
[3]
웹사이트
The Deborah Number
http://rrc.engr.wisc[...]
2011-04-13
[4]
서적
An introduction to rheology
https://archive.org/[...]
Elsevier
1989
[5]
논문
The Deborah and Weissenberg numbers
http://pcwww.liv.ac.[...]
[6]
기타
Judges 5:5
KJV
[7]
서적
Judges and Saviors, Deborah and Samson: Reflections of a World in Chaos
https://books.google[...]
Hamilton Books
[8]
논문
The Deborah Number
http://dx.doi.org/10[...]
1964-01-01
[9]
논문
The British Society of Rheology Midwinter Meeting: Complex Fluids and Complex Flows
2012-12-01
[10]
서적
The Elements of Polymer Science and Engineering
Academic Press
2013
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