등변다각형

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1. 개요
2. 예시
3. 측정
4. 최적성
참조

1. 개요

등변다각형은 모든 변의 길이가 같은 다각형이다. 모든 정다각형은 등변다각형이며, 등변다각형이면서 원에 내접하는 다각형은 정다각형이다. 등변 사각형은 마름모이며, 볼록 등변 오각형은 두 개의 연속적인 각으로 결정될 수 있다. 변의 개수가 홀수인 접선 다각형이 등변다각형이면 정다각형이다. 등변다각형 내부의 한 점에서 각 변까지의 수직 거리의 합은 점의 위치와 관계없이 일정하다. 정삼각형이 뢰뢰 다각형에 내접할 때 레인하르트 다각형을 형성하며, 이는 같은 변의 개수를 가진 모든 볼록 다각형 중에서 지름, 둘레, 폭에 대해 가장 큰 값을 갖는다.

2. 예시

모든 정다각형은 등변다각형이다. 등변다각형이면서 원에 내접하는 다각형은 정다각형이다. 등변 사각형은 마름모(정사각형 포함)이다.

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볼록 등변 오각형은 두 개의 연속적인 각으로 결정될 수 있으며, 이 각들은 나머지 각들을 함께 결정한다. 하지만 등변 오각형과 5개 이상의 변을 가진 등변 다각형은 오목할 수도 있으며, 오목 오각형을 허용하면 두 각만으로는 오각형의 모양을 결정하기에 충분하지 않다.

접선 다각형(모든 변에 접하는 내접원을 갖는 다각형)은 변의 개수가 홀수인 경우에 정다각형일 때 등변다각형이다.^[1]

3. 측정

비비아니의 정리는 등변다각형으로 일반화될 수 있다.^[2] 등변다각형 내부의 한 점에서 각 변까지의 수직 거리의 합은 점의 위치와 관계없이 일정하다.

육각형의 주 대각선은 각각 육각형을 사각형으로 나눈다. 공통 변 ''a''를 가진 임의의 볼록 등변육각형에서, 다음을 만족하는 주 대각선 ''d''₁이 존재한다.^[3]

: $\frac{d_1}{a} \leq 2$

그리고 다음을 만족하는 주 대각선 ''d''₂가 존재한다.

: $\frac{d_2}{a} > \sqrt{3}$ .

4. 최적성

정삼각형이 뢰뢰 다각형에 내접하면 레인하르트 다각형이 만들어진다. 변의 개수가 같은 볼록 다각형 중에서 레인하르트 다각형은 지름에 대한 둘레의 비율, 지름에 대한 폭의 비율, 둘레에 대한 폭의 비율이 가장 크다.^[4]

참조

_[1] 간행물 Equi-angled cyclic and equilateral circumscribed polygons https://web.archive.[...] 2015-04-29
_[2] 간행물 An illustration of the explanatory and discovery functions of proof http://www.pythagora[...]
_[3] 문서 Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum” http://www.imomath.c[...]
_[4] 간행물 Most Reinhardt polygons are sporadic

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