레드헤퍼 행렬

3. 주요 성질

레드헤퍼 행렬은 여러 흥미로운 성질을 가지며, 특히 수론과 깊은 관련이 있다.

• '''가역성과 메르텐스 함수:''' ''n'' × ''n'' 정사각 레드헤퍼 행렬의 행렬식은 메르텐스 함수 ''M''(''n'')과 같다.^[1] 특히, 메르텐스 함수가 0이 될 때 행렬은 가역적이지 않다. 메르텐스 추측이 반증됨에 따라, 메르텐스 함수는 부호를 무한히 바꾸고 0이 되므로, 레드헤퍼 행렬은 무한히 많은 자연수에서 특이 행렬이 된다.
• '''램버트 급수와의 관계:''' 램버트 급수의 인수분해와 관련하여, 고정된 산술 함수 ''f''에 대해 ''f''의 램버트 급수 전개의 계수는 레드헤퍼 행렬을 통해 표현될 수 있다.^[2]
• '''스펙트럼 반지름과 고유 공간:''' $A\_n$의 스펙트럼 반지름을 $\backslash rho\_n$으로 표기하면, 이는 $A\_n$의 스펙트럼에서 가장 큰 절댓값 고유값이다. 이며, 정밀한 분석을 통해 $\backslash rho\_n\; =\; \backslash sqrt\{n\}\; +\; \backslash log\backslash sqrt\{n\}\; +\; O(1)$임을 알 수 있다.^[5]
• $A\_n$은 고유값 1을 중복도 $n\; -\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash log\_2(n)\; \backslash right\backslash rfloor\; -\; 1$로 갖는다.
• 고유값 $\backslash lambda\; :=\; 1$에 해당하는 고유 공간 $E\_\{\backslash lambda\}(A\_n)$의 차원은 $\backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{n\}\{2\}\; \backslash right\backslash rfloor\; -\; 1$이다. 따라서 $n\; \backslash geq\; 5$이면 $A\_n$은 대각화 가능하지 않다.
• $A\_n$의 다른 모든 고유값 $\backslash lambda\; \backslash neq\; 1$에 대해, 해당 고유 공간 $E\_\{\backslash lambda\}(A\_n)$의 차원은 1이다.
• '''고유 벡터의 특징:''' $[a\_1,\; a\_2,\; \backslash ldots,\; a\_n]$이 $A\_n$의 스펙트럼에서 고유값 $\backslash lambda\; \backslash in\; \backslash sigma(A\_n)$에 해당하는 $A\_n^\{T\}$의 고유벡터가 되기 위한 조건을 만족한다.

3. 1. 가역성과 메르텐스 함수

3. 2. 램버트 급수와의 관계

3. 3. 스펙트럼 반지름과 고유 공간

• $A\_n$은 고유값 1을 중복도 $n\; -\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash log\_2(n)\; \backslash right\backslash rfloor\; -\; 1$로 갖는다.
• 고유값 $\backslash lambda\; :=\; 1$에 해당하는 고유 공간 $E\_\{\backslash lambda\}(A\_n)$의 차원은 $\backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{n\}\{2\}\; \backslash right\backslash rfloor\; -\; 1$이다. 따라서 $n\; \backslash geq\; 5$이면 $A\_n$은 대각화 가능하지 않다.
• $A\_n$의 다른 모든 고유값 $\backslash lambda\; \backslash neq\; 1$에 대해, 해당 고유 공간 $E\_\{\backslash lambda\}(A\_n)$의 차원은 1이다.

3. 4. 고유 벡터의 특징

4. 응용 및 일반화

레드헤퍼 행렬은 증가하는 인덱스 집합의 포함 여부를 나타내는 (0,1) 행렬로 해석할 수 있으며, 이는 여러 분야에서 유용하게 사용된다.^[7][8] 이러한 해석은 메르텐스 함수와 리만 가설의 동치 명제에 대한 행렬식의 관계를 보여준다. 레드헤퍼 행렬의 일반화는 산술 함수와 관련하여 연구되고 있으며, 역행렬 항은 일반화된 뫼비우스 함수라고 불린다.^[9] 또한, 레드헤퍼 행렬은 토플리츠 행렬을 사용하여 잘린 거듭제곱 급수 표현을 나타내는 형태로 볼 수도 있다.

4. 1. 디리클레 합성곱과 디리클레 역

4. 2. GCD 합과 특수 행렬

5. 예시

다음은 12 × 12 레드헤퍼 행렬이다.

$A\_\{12\}\; :=\; C\_\{12\}\; +\; D\_\{12\}$에 대한 분할 행렬 합 표기법에서, $C\_n$에서 1의 초기 열에 해당하는 항목은 아래와 같이 파란색으로 표시된다.

뫼비우스 반전 공식을 적용하면 $n$번째 레드헤퍼 전치 행렬은 항상 가역적이며, 그 역행렬은 다음과 같이 주어진다.

:$R\_n^\{-1\}\; =\; \backslash left[M\_j(i)\; \backslash cdot\; \backslash mu\backslash left(\backslash frac\{i\}\{j\}\backslash right)\backslash right]\_\{1\; \backslash leq\; i,j\; \backslash leq\; n\},$

여기서 $\backslash mu(n)$는 뫼비우스 함수를 나타낸다. 12 × 12 역 레드헤퍼 전치 행렬은 다음과 같다.

참조

_[1] 논문 Disproof of the Mertens conjecture http://www.dtc.umn.e[...]
_[2] 간행물 Factorization Theorems for Generalized Lambert Series and Applications 2018
_[3] 간행물 Generating Special Arithmetic Functions by Lambert Series Factorizations
_[4] 간행물 Factorization Theorems for Relatively Prime Divisor Sums, GCD Sums and Generalized Ramanujan Sums
_[5] 웹사이트 Eigenvalues of the Redheffer matrix and their relation to the Mertens function https://sites.math.w[...] 2018-12-12
_[6] 웹사이트 The Jordan l-Structure of a Matrix of Redheffer https://core.ac.uk/d[...] 2018-12-12
_[7] 웹사이트 Extending Redheffer's Matrix to Arbitrary Arithmetic Functions https://honors.libra[...] 2018-12-12
_[8] 간행물 Divisibility of matrices associated with multiplicative functions https://ac.els-cdn.c[...] 2018-12-12
_[9] 서적 Handbook of Number Theory II Kluwer Academic Publishers 2004