뤼드베리 상수

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1. 개요
2. 뤼드베리 공식
- 2.1. 수소 원자의 스펙트럼
- 2.2. 일반적인 원자의 스펙트럼
3. 뤼드베리 상수
- 3.1. 뤼드베리 상수의 값
- 3.2. 뤼드베리 단위
4. 보어 모형
5. 뤼드베리 상수의 정밀 측정
- 5.1. 측정 방법
- 5.2. 중요성
6. 뤼드베리 원자와 뤼드베리 상태
참조

1. 개요

뤼드베리 상수는 원자 스펙트럼 연구에서 중요한 역할을 하는 물리 상수이다. 뤼드베리 상수는 뤼드베리 공식에서 나타나며, 이 공식은 원자 스펙트럼의 파수를 계산하는 데 사용된다. 닐스 보어의 원자 모형에서 유도될 수 있으며, 수소 원자 스펙트럼을 설명하는 데 핵심적인 역할을 한다. 뤼드베리 상수는 에너지, 주파수, 파장 등 다양한 단위로 표현될 수 있으며, CODATA에서 제공하는 값은 대략 1.097 × 10^7 m⁻¹이다. 뤼드베리 상수는 뤼드베리 원자와 뤼드베리 상태와도 관련이 있으며, 가장 정밀하게 측정된 물리 상수 중 하나로, 다른 물리 상수 값에 제약을 가한다.

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뤼드베리 상수
기본 정보
이름	뤼드베리 상수
영어 이름	Rydberg constant
기호	R
값	10973731.568157(12) m⁻¹
불확실성	1.1e-12
어원	요하네스 뤼드베리
상수
뤼드베리	Ry
단위계	뤼드베리 원자 단위계
물리량	에너지
SI 단위	2.1798723611030(24) × 10⁻¹⁸ J
정의	기저 상태에 있는 수소 원자의 전자 궤도의 고유 에너지
어원 (단위)	요하네스 뤼드베리

2. 뤼드베리 공식

뤼드베리 공식은 원자, 특히 수소 원자의 선 스펙트럼 파장을 설명하는 공식이다.

요한 야코프 발머는 가시광선 영역의 수소 스펙트럼 파장 $\lambda$ 가 특정 공식으로 표현될 수 있음을 발견했다. 이후 뤼드베리는 다른 원자들의 선 스펙트럼 파장도 적당한 양의 정수를 사용하여 나타낼 수 있음을 발견하고, 뤼드베리 공식을 제시했다.^[8]

뤼드베리 공식 유도는 다음과 같다.

: $h\nu=E_1 - E_2$ :에너지 차이

: $mvr=n\frac{h}{2\pi}$ :가정 (각 운동량이 $\frac{h}{2 \pi}$ 의 정수배이다.)

: $\frac{Ze^2}{4\pi \varepsilon_0 r^2}=\frac{m_ev^2}{r}$ :전자기력=구심력

위의 가정과 식을 통하여 다음과 같이 뤼드베리 공식을 유도 할 수 있다.

: $\frac{1}{\lambda}=- \frac{Z^2e^4m_e}{8\varepsilon_0^2h^3c}(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2})$

(n>m 은 양의 정수)

보어 모형에서 수소 원자 전이의 파장은 다음과 같다.

: $\frac{1}{\lambda} = \frac{m_\text{e} e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3 c} \left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right)$

여기서 ''n''₁과 ''n''₂는 서로 다른 두 개의 양의 정수(1, 2, 3, ...)이고, $\lambda$ 는 방출되거나 흡수되는 빛의 파장(진공 중)이다.

원자는 특유의 선 스펙트럼 배열을 가지는데, 뤼드베리 공식에서 원자의 종류에 의존하지 않는 보편 상수 $R_\infty$ 가 바로 뤼드베리 상수이다.

2. 1. 수소 원자의 스펙트럼

수소 원자는 가장 간단한 선 스펙트럼 배열을 가지고 있으며, 요한 야코프 발머는 가시광선 영역의 수소 스펙트럼 파장(

\lambda

)이 특정 공식으로 표현될 수 있음을 발견했다. 뤼드베리는 다른 원자들의 선 스펙트럼 파장도 적당한 양의 정수를 사용하여 나타낼 수 있음을 발견하고, 뤼드베리 공식을 제시했다.^[8] 뤼드베리 공식에서 원자의 종류에 의존하지 않는 보편 상수

R_\infty

가 바로 뤼드베리 상수이다.

수소 원자의 경우, 뤼드베리 공식은 다음과 같이 표현된다.

:

\tilde{\nu} \equiv \frac{1}{\lambda} = \frac{\nu}{c} = R_\infty \left( \frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2} \right)

(m, n은 양의 정수, n>m)

이 공식에 따라 수소 원자의 다양한 스펙트럼 계열이 예측되었고, 실제로 다음과 같이 관측되었다.

m=1, n=2, 3, 4,... : 라이먼 계열(1906년) (121.6nm 원자외선 영역)
m=2, n=3, 4, 5,... : 발머 계열(1885년) (656.3nm 자외선가시광선 영역)
m=3, n=4, 5, 6,... : 파셴 계열(1908년) (1875.1nm 적외선 영역)
m=4, n=5, 6, 7,... : 브래킷 계열(1922년) (4050.0nm 근적외선 영역)
m=5, n=6, 7, 8,... : 푼트 계열(1924년) (7460.0nm 원적외선 영역)
m=6, n=7, 8, 9,... : 험프리스 계열(1953년) (12370nm 원적외선 영역)

2. 2. 일반적인 원자의 스펙트럼

요한 야코프 발머는 가시광선 영역의 선 스펙트럼의 파장

\lambda

가

\lambda =\frac{n^2}{n^2-4}\times 364.56\ \text{nm}

로 나타낼 수 있음을 발견했다.

뤼드베리는 다른 원자의 선 스펙트럼의 파장

\lambda

가 적당한 양의 정수

m, n (n>m)

를 사용하여 파수

\tilde{\nu}

가

\tilde{\nu} \equiv \frac{1}{\lambda} =\frac{\nu}{c}=R_\infty \left( \frac{1}{(m+a)^2} -\frac{1}{(n+b)^2} \right)

로 나타낼 수 있음을 발견했다^[8]。 이것이 '''뤼드베리 공식'''이라고 불린다.

계수

R_\infty

는 원자의 종류에 의존하지 않는 보편 상수이며, 이것이 '''뤼드베리 상수'''이다.

a, b

는 원자마다의 선 스펙트럼 계열에 따라 근사적으로 일정한 값을 갖는 상수이다.

수소 원자에서는

a=b=0

이며, 발머가 나타낸 식은

m=2

의 특별한 경우이다.

3. 뤼드베리 상수

뤼드베리 상수( $R_\infty$ )는 원자 물리학에서 중요한 물리 상수 중 하나로, 수소 원자 스펙트럼을 설명하는 데 핵심적인 역할을 한다. 20세기에 양자역학이 발전하면서 닐스 보어와 아르놀트 조머펠트에 의해 뤼드베리 상수가 다른 물리 상수들과 관계가 있다는 것이 밝혀졌다. 뤼드베리 상수는 보어의 원자 모형 및 여러 가지 물리 상수를 통해 유도될 수 있다.^[9]^[10]

3. 1. 뤼드베리 상수의 값

CODATA에서 제공하는 뤼드베리 상수의 값은 다음과 같다.^[2]

:

R_\infty = \frac{m_\text{e} e^4}{8 \varepsilon_{0}^{2} h^3 c} =

여기서,

$m_\text{e}$ 는 전자의 정지 질량(전자 질량)이다.
$e$ 는 기본 전하이다.
$\varepsilon_0$ 는 진공 유전율이다.
$h$ 는 플랑크 상수이다.
$c$ 는 진공에서의 광속이다.

기호

\infty

는 핵의 질량이 무한히 크다고 가정함을 의미하며, 실제 원자에서는 환산 질량을 사용하여 값을 보정할 수 있다.^[2]

:

\mu = \frac{ 1 }{ \frac{1}{m_\text{e}} + \frac{1}{M} }

여기서

M

은 핵의 질량이다. 수정된 뤼드베리 상수는 다음과 같다.

:

R_\text{M} = \frac{ \mu }{ m_\text{e} }R_\infty

수소의 경우,

M

이 양성자의 질량

m_\text{p}

이므로 다음과 같다.

:

R_\text{H} = \frac{ m_\text{p} }{ m_\text{e}+m_\text{p} }R_\infty  \approx 1.09678 \times 10^7 \text{ m}^{-1} ,

이 수정은 서로 다른 동위 원소 간의 동위 원소 이동으로 이어진다. 예를 들어, 양성자와 중성자로 구성된 핵을 가진 수소의 동위 원소인 중수소(

M = m_\text{p} + m_\text{n}\approx 2m_\text{p}

)는 약간 이동된 스펙트럼 덕분에 발견되었다.^[2]

보어의 원자 모형에 따르면 뤼드베리 상수는 전자의 질량, 전하량, 광속, 플랑크 상수, 진공 유전율을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[9]

:

R_\infty  =\frac{m_\text{e} e^4}{8\epsilon_0^2h^3c}

미세 구조 상수를 사용하면 다음과 같이 간략화할 수 있다.

:

R_\infty = \frac{\alpha^2 m_\text{e} c}{2h}

또한, 하트리 에너지를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

:

R_\infty = \frac{E_\text{h}}{2hc}

파수를 에너지로 환산한 값은 뤼드베리 원자 단위계에서 에너지 단위 뤼드베리(rydberg, 기호 Ry)로 사용되며, 그 값은

:

\text{Ry} = hcR_\infty = 13.605~693~122~990(15) ~\text{eV}

이다.^[10] 1 뤼드베리는 (1/2) 하트리 에너지에 해당한다.

3. 2. 뤼드베리 단위

뤼드베리 에너지 단위는 다음과 같이 정의된다.

:

1 \ \text{Ry} \equiv h c\, R_\infty = \alpha^2 m_\text{e} c^2 /2

^[2]

여기서,

$h$ 는 플랑크 상수
$c$ 는 진공에서의 광속
$R_\infty$ 는 뤼드베리 상수
$\alpha$ 는 미세 구조 상수
$m_\text{e}$ 는 전자 정지 질량

뤼드베리 상수는 주파수와 파장 단위로도 표현될 수 있다.

뤼드베리 주파수: $c R_\infty$
뤼드베리 파장: $\frac 1 {R_\infty} = 9.112\;670\;505\;826(10) \times 10^{-8}\ \text{m}$
뤼드베리 각파장: $\frac 1 {2\pi R_\infty} = 1.450\;326\;555\;77(16) \times 10^{-8}\ \text{m}$

뤼드베리 상수는 아래와 같이 다른 물리 상수를 통해 표현할 수도 있다.

:

R_\infty = \frac{\alpha^2 m_\text{e} c}{2h} = \frac{\alpha^2}{2 \lambda_{\text{e}}} = \frac{\alpha}{4\pi a_0}

여기서,

$\lambda_{\text{e}}$ 는 전자의 컴프턴 파장
$a_0$ 는 보어 반지름

에너지 단위로 표현하면 다음과 같다.

:

\text{Ry} = h c R_\infty = \frac{1}{2} m_{\text{e}} c^2 \alpha^2 = \frac{1}{2} \frac{e^4 m_{\text{e}}}{(4 \pi \varepsilon_0)^2 \hbar^2} = \frac{1}{2} \frac{m_{\text{e}} c^2 r_{\text{e}}}{a_0} = \frac{1}{2} \frac{h c \alpha^2}{\lambda_{\text{e}}} = \frac{1}{2} h f_{\text{C}} \alpha^2 = \frac{1}{2} \hbar \omega_{\text{C}} \alpha^2 = \frac{1}{2 m_{\text{e}}}\left(\dfrac{\hbar}{a_0}\right)^2 = \frac{1}{2}\frac{e^2}{(4\pi\varepsilon_0)a_0} ,

여기서,

$e$ 는 전자의 전하
$\hbar= h/2\pi$ 는 환원 플랑크 상수
$\varepsilon_0$ 는 전기 상수 (진공 유전율)
$f_{\text{C}}$ 는 전자의 컴프턴 주파수
$\omega_{\text{C}}=2\pi f_{\text{C}}$ 는 전자의 컴프턴 각주파수
$r_\mathrm{e}$ 는 고전 전자 반지름

위 식에서 첫 번째 방정식의 마지막 표현은 수소 원자를 이온화하는 데 필요한 빛의 파장이 원자 보어 반지름의 4''π''/''α'' 배임을 나타낸다.

두 번째 방정식은 수소 원자의 원자 궤도 에너지에 대한 계수와 관련이 있다.:

E_n = -h c R_\infty / n^2

.

파수를 에너지로 환산한 값은 뤼드베리 원자 단위계에서 에너지 단위 뤼드베리(rydberg, 기호 Ry)로 사용되며, 그 값은 다음과 같다.

:

\text{Ry} = hcR_\infty = 13.605~693~122~990(15) ~\text{eV}

^[10]

4. 보어 모형

보어 모형은 보어가 수소 원자의 스펙트럼을 설명하기 위해 제안한 원자 모형이다. 전자가 원자핵 주위를 특정 궤도에서만 회전하며, 궤도 사이를 이동할 때 에너지를 흡수하거나 방출한다는 가정을 기반으로 한다.^[3] 보어 모형은 완벽하지 않지만, 양자역학 발전의 중요한 역할을 했다.

보어 모형에서 뤼드베리 상수는 다음과 같이 여러 물리 상수를 통해 표현될 수 있다.

: $R_\infty =\frac{m_\text{e} e^4}{8\epsilon_0^2h^3c}$

4. 1. 보어 모형의 가정

보어의 원자 모형에서 전자는 특정 궤도에서만 원자핵 주위를 돌 수 있다는 조건(양자화 조건)과 궤도 사이를 이동할 때 에너지를 흡수하거나 방출한다는 조건(에너지 준위)을 가정했다.^[3] 이 가정들은 다음과 같은 식으로 표현된다.

:

h\nu=E_1 - E_2

(에너지 차이)

:

mvr=n\frac{h}{2\pi}

(각 운동량이

\frac{h}{2 \pi}

의 정수배)

:

\frac{Ze^2}{4\pi \varepsilon_0 r^2}=\frac{m_ev^2}{r}

(전자기력=구심력)

위 식들을 통해 뤼드베리 상수를 유도할 수 있다.

4. 2. 보어 모형에서 뤼드베리 상수 유도

보어 모형의 가정과 고전 물리학 법칙을 이용하여 뤼드베리 상수를 유도할 수 있다. 우선 보어의 원자모델에서 에너지 차이는 다음과 같다.^[3]

:

h\nu=E_1 - E_2

--1

그리고 전자의 각운동량은 다음과 같은 가정을 만족한다.

:

mvr=n\frac{h}{2\pi}

--2

또한 전자기력과 구심력은 평형을 이룬다.

:

\frac{Ze^2}{4\pi \varepsilon_0 r^2}=\frac{m_ev^2}{r}

--3

2번 식을 3번 식에 나누면 다음과 같다.

:

\frac{v}{r^2}=\frac{Ze^2}{2nh\varepsilon_0r^2}

이를 통해 전자의 속도와 궤도 반지름을 구할 수 있다.

:

v=\frac{Ze^2}{2nh\varepsilon_0}

:

r=\frac{\varepsilon_0n^2h^2}{\pi Ze^2m_e}

전자의 에너지는 운동 에너지와 위치 에너지의 합으로 다음과 같이 표현된다.

:

E=\frac{1}{2}mv^2- \frac{Ze^2}{4\pi \varepsilon_0r}=-\frac{Z^2e^4m_e}{8\varepsilon_0^2h^2n^2}

1번 식에서 진동수는 다음과 같이 표현된다.

:

\nu=- \frac{Z^2e^4m_e}{8\varepsilon_0^2h^3}(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2})

(n>m 은 양의 정수)

파수(wave number)는 다음과 같다.

:

\frac{1}{\lambda}=- \frac{Z^2e^4m_e}{8\varepsilon_0^2h^3c}(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2})

수소 원자에서 뤼드베리 상수는 Z=1 이므로, 다음과 같이 표현된다.

:

R_\infty=\frac{e^4m_e}{8\varepsilon_0^2h^3c}

4. 3. 보어 모형과 뤼드베리 공식

보어 모형은 뤼드베리 공식을 이론적으로 설명하고, 뤼드베리 상수를 기본 물리 상수들의 조합으로 표현하였다. 보어 모형은 수소 원자뿐만 아니라 다양한 다른 원자 및 이온의 스펙트럼도 어느 정도 설명할 수 있다.^[3]

보어의 원자 모델에서 뤼드베리 상수를 유도하는 과정은 다음과 같다.

:1. 에너지 차이:

h\nu=E_1 - E_2

:2. 가정 (각운동량이

\frac{h}{2 \pi}

의 정수배):

mvr=n\frac{h}{2\pi}

:3. 전자기력 = 구심력:

\frac{Ze^2}{4\pi \varepsilon_0 r^2}=\frac{m_ev^2}{r}

2번 식을 3번 식에 나누면 다음과 같다.

:

\frac{v}{r^2}=\frac{Ze^2}{2nh\varepsilon_0r^2}

:

v=\frac{Ze^2}{2nh\varepsilon_0}

:

r=\frac{\varepsilon_0n^2h^2}{\pi Ze^2m_e}

:

E=\frac{1}{2}mv^2- \frac{Ze^2}{4\pi \varepsilon_0r}=-\frac{Z^2e^4m_e}{8\varepsilon_0^2h^2n^2}

1번 식에서

\nu=- \frac{Z^2e^4m_e}{8\varepsilon_0^2h^3}(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2})

(단, n>m 인 양의 정수)

:

\frac{1}{\lambda}=- \frac{Z^2e^4m_e}{8\varepsilon_0^2h^3c}(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2})

수소에서 뤼드베리 상수이므로 Z=1 이다. 따라서,

\therefore R_\infty=\frac{e^4m_e}{8\varepsilon_0^2h^3c}

보어 모형의 가장 단순한 버전에서, 원자핵의 질량은 전자의 질량에 비해 무한하다고 간주된다.^[3] 따라서 시스템의 질량 중심은 핵의 중심에 위치한다. 보어 모형은 수소 원자 전이의 파장이 다음과 같다고 예측한다.

:

\frac{1}{\lambda} =  R_M\left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right)

여기서

R_M = \frac{R_\infty}{1+\frac{m_{\text{e}}}{M}},

이고 ''M''은 핵의 총 질량이다. 이 공식은 전자의 환산 질량을 대입하여 얻는다.

보어의 원자 모형에 따르면 뤼드베리 상수는 전자의 질량 , 전하량 , 광속 , 플랑크 상수 , 진공 유전율 를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

R_\infty  =\frac{m_\text{e} e^4}{8\epsilon_0^2h^3c}

5. 뤼드베리 상수의 정밀 측정

QED의 정밀 검증

뤼드베리 상수는 가장 정밀하게 측정된 물리 상수 중 하나로, 상대 표준 불확실성이 매우 낮다.^[4] 이러한 정밀도는 뤼드베리 상수를 정의하는 다른 물리 상수 값에 제약을 가한다.^[4]

보어 모형은 미세 구조, 초미세 구조 등 여러 효과로 인해 완벽하게 정확하지 않다. 따라서 뤼드베리 상수 $R_{\infty}$ 는 수소의 원자 전이 주파수만으로는 매우 높은 정확도로 ''직접'' 측정할 수 없다. 대신, 수소, 중수소, 반양성자 헬륨과 같은 세 가지 다른 원자의 원자 전이 주파수 측정을 통해 추론된다. 양자 전기역학(QED) 이론을 바탕으로 한 정밀한 계산을 통해 유한 핵 질량, 미세 구조, 초미세 구조 등의 효과를 보정하고, 측정값을 이론에 최적 맞춤하여 $R_{\infty}$ 값을 결정한다.^[5]

5. 1. 측정 방법

뤼드베리 상수(

R_{\infty}

)는 보어 모형이 미세 구조, 초미세 구조 등 여러 효과를 고려하지 않아 완벽하게 정확하지 않기 때문에, 수소의 원자 전이 주파수만으로는 매우 높은 정확도로 직접 측정할 수 없다.^[5] 대신, 뤼드베리 상수는 수소, 중수소, 반양성자 헬륨과 같은 세 가지 다른 원자의 원자 전이 주파수 측정값을 통해 추론한다.^[5] 양자 전기역학(QED) 이론을 사용하여 유한 핵 질량, 미세 구조, 초미세 구조와 같은 효과를 보정한다.^[5] 최종적으로

R_{\infty}

값은 측정값을 이론에 최적 맞춤하여 결정한다.^[5]

5. 2. 중요성

뤼드베리 상수는 가장 정밀하게 측정된 물리 상수 중 하나로, 상대 표준 불확실성은 매우 낮다. 이러한 정밀도는 뤼드베리 상수를 정의하는 다른 물리 상수 값에 제약을 가한다.^[4]

보어 모형은 미세 구조, 초미세 구조 등 여러 효과로 인해 완벽하게 정확하지 않다. 따라서 뤼드베리 상수

R_{\infty}

는 수소의 원자 전이 주파수만으로는 매우 높은 정확도로 직접 측정할 수 없다. 대신, 수소, 중수소, 반양성자 헬륨과 같은 세 가지 다른 원자의 원자 전이 주파수 측정을 통해 추론된다. 양자 전기역학(QED) 이론을 바탕으로 한 정밀한 계산을 통해 유한 핵 질량, 미세 구조, 초미세 구조 등의 효과를 보정하고, 측정값을 이론에 최적 맞춤하여

R_{\infty}

값을 결정한다.^[5] 뤼드베리 상수의 정밀 측정은 QED의 정밀 검증에 중요한 역할을 한다.

6. 뤼드베리 원자와 뤼드베리 상태

원자나 분자에서 전자를 주 양자수가 큰 원자 궤도로 여기시키면 수소형의 여기 상태가 된다. 이 상태를 '''뤼드베리 상태'''라고 하며, 그 상태에 있는 원자를 '''뤼드베리 원자'''라고 한다.^[11] 뤼드베리 원자는 궤도 반지름이 커지는 등 여러 특성을 가지는데, 이러한 특성으로 인하여 바닥 상태의 원자, 분자와는 크게 다른 성질을 나타낸다.

6. 1. 뤼드베리 원자

뤼드베리 원자는 전자가 주 양자수(''n'')가 큰 원자 궤도에 여기된 상태의 원자를 말한다. 뤼드베리 원자에서 궤도 반지름은 ''n''²에 비례하여 매우 커지며, 원자, 분자에서 가장 간단한 계이면서 길이, 시간, 에너지의 척도에 대해 바닥 상태의 원자, 분자와는 크게 다른 성질을 나타낸다.^[11]

6. 2. 뤼드베리 상태

뤼드베리 상태는 원자나 분자에서 전자가 주 양자수가 큰 원자 궤도로 여기된 상태를 의미한다. 이 상태에 있는 원자를 뤼드베리 원자라고 한다.^[11]

뤼드베리 원자에서 궤도 반지름은 n²에 비례하여 매우 커지며, 원자, 분자에서 가장 간단한 계이면서 길이, 시간, 에너지의 척도에 대해 바닥 상태의 원자, 분자와는 크게 다른 성질을 나타낸다.^[11]

6. 3. 특징

뤼드베리 원자에서 궤도 반지름은 n²에 비례하여 매우 커지며, 원자, 분자에서 가장 간단한 계이면서 길이, 시간, 에너지의 척도에 대해 바닥 상태의 원자, 분자와는 크게 다른 성질을 나타낸다.^[11]

참조

_[1] 논문 The size of the proton
_[2] 서적 Quantum Mechanics Prentice Hall publishers
_[3] 논문 Correction to the Rydberg Constant for Finite Nuclear Mass
_[4] 간행물 The 2014 CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants http://physics.nist.[...]
_[5] 논문 CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2006
_[6] 문서 rydberg in J
_[7] 문서 CODATA Value
_[8] 문서 朝永『量子力学１』 p.90
_[9] 문서 IUPAC Gold Book
_[10] 문서 rydberg in eV
_[11] 웹사이트 Rydberg Atom http://krishna.th.ph[...]

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