리 대수 값 미분 형식

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. L∞-대수 값의 1차 미분 형식
3. 연산
4. 보조 다발에서의 형식 (Forms with values in an adjoint bundle)
참조

1. 개요

리 대수 값 미분 형식은 매끄러운 다양체 M과 유한 차원 실수 리 대수 g에 대해 정의되는 미분 형식의 일종이다. 이 형식은 g 값 미분 형식, L∞-대수 값 1차 미분 형식 등으로 분류되며, 리 대수 준동형사상, 리 괄호, 외적 등의 연산을 통해 다른 형식으로 변환될 수 있다. 특히, 리 괄호는 g 값 미분 형식들의 실수 등급 대수를 정의하며, 외적은 리 대수 값을 갖는 미분 형식의 쌍에 리 괄호를 적용하여 새로운 형식을 생성한다. 또한, 보조 다발을 사용하여 정의되기도 한다.

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리 대수 값 미분 형식

2. 정의

매끄러운 다양체 $M$ 과 유한 차원 실수 리 대수 $\mathfrak g$ 가 주어졌을 때, $\mathfrak g$ 값 미분 형식은 $M\times\mathfrak g\twoheadrightarrow M$ 으로 정의되는 자명한 벡터 다발의 벡터 값 미분 형식이다. 이는 다음과 같이 표현된다.

: $\alpha\in\Gamma\left(M;\mathfrak g\otimes_{\mathbb R}\bigvee^\bullet\mathrm T^*M\right)$

여기서 $\mathfrak{g}$ 는 리 대수, $T^*M$ 은 $M$ 의 여접다발, $\wedge^k$ 는 $k$ 차 외대수를 나타낸다. 다양체 $M$ 위의 리 대수 값 미분 $k$ -형식은 $(\mathfrak{g} \times M) \otimes \wedge^k T^*M$ 번들의 매끄러운 단면이다.^[1] 이는 일반적인 미분 형식을 리 대수 값으로 확장한 개념이다.

2. 1. L∞-대수 값의 1차 미분 형식

1차 미분 형식은 L∞-대수로 일반화될 수 있다. 이는 가환 미분 등급 대수와 베유 대수를 통해 정의된다.

구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.

매끄러운 다양체 $M$
유한형 (즉, 각 차수별 차원이 유한한) 실수 L∞-대수 $\mathfrak g$ . 이는 코쥘 쌍대성에 따라 가환 미분 등급 대수 $\operatorname{CE}(\mathfrak g)$ 로 여겨질 수 있다.

그렇다면, 다음을 구성할 수 있다.

$M$ 위의 미분 형식들의 공간은 가환 미분 등급 대수 $\Omega(M)$ 를 이룬다.
$\mathfrak g$ 의 베유 대수 $\operatorname W(\mathfrak g)$ 역시 가환 미분 등급 대수를 이룬다.

그렇다면,

M

위의 '''

\mathfrak g

값의 미분 형식'''은 미분 등급 대수의 준동형

:

\alpha \colon \operatorname W(\mathfrak g) \to \Omega(M)

이다.

만약

\mathfrak g

가 리 대수일 경우 (즉,

\mathfrak g

의 모든 등급이 0차일 경우, 또는 마찬가지로

\operatorname{CE}(\mathfrak g)

의 생성원의 모든 등급이 1차일 경우), 이 정의는

\mathfrak g

값의 1차 미분 형식의 정의로 귀결된다.

리 대수

\mathfrak g

의 기저가

(t_i)_{i\in I}

라고 하고, 그 베유 대수

(\operatorname W(\mathfrak g),\mathrm d)

의 등급 1의 생성원이

(t^i)_{i\in I}

, 등급 2의 생성원이

(\delta t^i)_{i\in I}

라고 하자. 즉, 다음과 같다.

:

\delta \mathrm d_{\operatorname{CE}(\mathfrak g)} + \mathrm d_{\operatorname{CE}(\mathfrak g)} \delta = 0

:

\delta^2 = 0

:

\mathrm d_{\operatorname{CE}}t^i(t_j,t_k) = -\frac12 t^i([t_j,t_k])

그렇다면, 준동형

:

\phi\colon\operatorname W(\mathfrak g)\to\Omega(M)

은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

$\mathfrak g$ 값의 1차 미분 형식 $\textstyle\sum_{i\in I}t_i\phi(t^i) \in \Omega^1(M;\mathfrak g)$
$\mathfrak g$ 값의 2차 미분 형식 $\textstyle\sum_{i\in I}t_i\phi(\delta t^i) \in \Omega^2(M;\mathfrak g)$

그런데, 후자는 전자로서 다음과 같이 결정된다.

:

\begin{aligned}\mathrm d\sum_{i\in I}t_i\phi(t^i)& = \mathrm d\sum_{i\in I}t_i\left(\phi(\delta t^i)+\phi(\mathrm d_{\operatorname{CE}}t^i)\right) \\&= \sum_{i\in I}t_i\phi(\delta t^i) -\frac12\sum_{j,k\in I}[t_j,t_k]\phi(t^j)\wedge\phi(t^k) \\&=\sum_{i\in I}t_i\phi(\delta t^i)

\left[

\sum_{i\in I}t_i\phi(t^i)\wedge\sum_{i\in I}t_i\phi(t^i)\right]\end{aligned}

즉, 이는 임의의

\mathfrak g

값의 1차 미분 형식

\textstyle\sum_{i\in I}t_i\phi(t^i)

만으로 완전히 결정된다.

3. 연산

리 대수 값 미분 형식에는 다음과 같은 연산들이 정의된다.

'''리 괄호:''' 매끄러운 다양체 $M$ 위의 실수 리 대수 $\mathfrak g$ 값의 미분 형식들에 대해 정의되는 연산이다.
'''준동형:''' 실수 리 대수의 준동형 $\phi\colon\mathfrak g\to\mathfrak h$ 가 주어졌을 때, $\mathfrak g$ 값 미분 형식을 $\mathfrak h$ 값 미분 형식으로 변환하는 연산이다.
'''외적:''' 일반적인 실수 값 미분 형식의 외적과 유사하게 정의되지만, 리 대수의 리 괄호를 사용하여 정의된다.

이 연산들은 하위 섹션에서 더 자세히 설명된다.

3. 1. 리 괄호

매끄러운 다양체

M

위의, 실수 리 대수

\mathfrak g

값의,

m

차 미분 형식

\alpha

와

n

차 미분 형식

\beta

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 '''리 괄호'''는 다음과 같은,

\mathfrak g

값의

m+n

차 미분 형식이다.

:

[\alpha\wedge\beta](v_1,\dotsc,v_{m+n}) = \frac1{(m+n)!}\sum_{\sigma\in\operatorname{Sym}(m+n)}(-)^\sigma[\alpha(v_1,\dotsc,v_m),\beta(v_{m+1},\dotsc,v_{m+n})]\qquad\forall x\in M,\;v_1,\dotsc,v_{m+n}\in\mathrm T_xM

이에 따라,

M

위의

\mathfrak g

값의 미분 형식들은 실수 등급 대수를 이룬다.

일반적인 실수 값 미분 형식의 외적은 실수의 곱셈을 사용하여 정의된다. 리 대수 값을 갖는 미분 형식의 쌍에 대해, 외적은 유사하게 정의될 수 있지만, 다른 리 대수 값 형식을 얻기 위해 쌍선형 리 괄호 연산을 대입한다.

\mathfrak{g}

값을 갖는

p

-형식

\omega

와

\mathfrak{g}

값을 갖는

q

-형식

\eta

에 대해, 이들의 외적

[\omega\wedge\eta]

는 다음과 같다.

:

[\omega\wedge\eta](v_1, \dotsc, v_{p+q}) = {1 \over p!q!}\sum_{\sigma} \operatorname{sgn}(\sigma) [\omega(v_{\sigma(1)}, \dotsc, v_{\sigma(p)}), \eta(v_{\sigma(p+1)}, \dotsc, v_{\sigma(p+q)})],

여기서

v_i

는 접선 벡터이다. 이 표기법은 관련된 두 연산을 모두 나타내기 위한 것이다. 예를 들어,

\omega

와

\eta

가 리 대수 값을 갖는 1-형식인 경우, 다음을 얻는다.

:

[\omega\wedge\eta](v_1,v_2) = [\omega(v_1), \eta(v_2)] - [\omega(v_2),\eta(v_1)].

연산

[\omega\wedge\eta]

는 또한 모든

g, h \in \mathfrak{g}

및

\alpha, \beta \in \Omega(M, \mathbb R)

에 대해 다음을 만족하는

\Omega(M, \mathfrak{g})

상의 쌍선형 연산으로 정의될 수 있다.

:

[(g \otimes \alpha) \wedge (h \otimes \beta)] = [g, h] \otimes (\alpha \wedge \beta)

일부 저자는

[\omega\wedge\eta]

대신

[\omega, \eta]

표기법을 사용했다. 교환자와 유사한

[\omega, \eta]

표기법은 리 대수

\mathfrak g

가 행렬 대수일 경우

[\omega\wedge\eta]

가

\omega

와

\eta

의 등급 교환자와 다름없다는 사실로 정당화된다. 즉,

\omega \in \Omega^p(M, \mathfrak g)

이고

\eta \in \Omega^q(M, \mathfrak g)

인 경우

:

[\omega\wedge\eta] = \omega\wedge\eta - (-1)^{pq}\eta\wedge\omega,

여기서

\omega \wedge \eta,\ \eta \wedge \omega \in \Omega^{p+q}(M, \mathfrak g)

는

\mathfrak g

상의 행렬 곱셈을 사용하여 형성된 외적이다.

3. 2. 준동형

실수 리 대수의 준동형

\phi\colon\mathfrak g\to\mathfrak h

및

\mathfrak g

값의

m

차 미분 형식

\alpha

가 주어졌을 때, 다음과 같이 정의한다.

:

\phi(\alpha)(v_1,\dotsc,v_m) = \phi(\alpha(v_1,\dotsc,v_m))\qquad\forall x\in M,\;v_1,\dotsc,v_m \in \mathrm T_xM

그러면

\phi(\alpha)

는

M

위의

\mathfrak h

값의

m

차 미분 형식을 이룬다.

f : \mathfrak{g} \to \mathfrak{h}

가 리 대수 준동형사상일 때, 다양체 위의

\mathfrak{g}

값 형식

\varphi

에 대해

f(\varphi)

는

\varphi

의 값에

f

를 적용하여 얻은, 동일한 다양체 위의

\mathfrak{h}

값 형식이다.

:

f(\varphi)(v_1, \dotsc, v_k) = f(\varphi(v_1, \dotsc, v_k))

.

마찬가지로,

f

가

\textstyle \prod_1^k \mathfrak{g}

에 대한 다중 선형 함수라면, 다음과 같이 정의한다.^[1]

:

f(\varphi_1, \dotsc, \varphi_k)(v_1, \dotsc, v_q) = {1 \over q!} \sum_{\sigma} \operatorname{sgn}(\sigma) f(\varphi_1(v_{\sigma(1)}, \dotsc, v_{\sigma(q_1)}), \dotsc, \varphi_k(v_{\sigma(q - q_k + 1)}, \dotsc, v_{\sigma(q)}))

여기서

q = q_1 + \ldots + q_k

이고

\varphi_i

는

\mathfrak{g}

값

q_i

형식이다.

벡터 공간

V

와 다중 선형 사상

f: \mathfrak{g} \times V \to V

가 주어지고,

\varphi

가

\mathfrak{g}

값 형식,

\eta

가

V

값 형식일 때, 위와 동일한 공식을 사용하여

V

값 형식

f(\varphi, \eta)

를 정의할 수 있다.

f([x, y], z) = f(x, f(y, z)) - f(y, f(x, z)) {,} \qquad (*)

를 만족하는

f

는

\mathfrak{g}

의

V

에 대한 작용을 제공한다. 즉,

f

는 표현

:

\rho: \mathfrak{g} \to V, \rho(x)y = f(x, y)

를 결정하고, 반대로 모든 표현

\rho

는 조건

(*)

으로

f

를 결정한다.

예를 들어

f(x, y) = [x, y]

(

\mathfrak{g}

의 괄호)인 경우,

[\cdot \wedge \cdot]

의 정의가 복구되며,

\rho = \operatorname{ad}

(수반 표현)을 사용한다. (

f

와

\rho

간의 관계는 괄호와

\operatorname{ad}

간의 관계와 같다.)

일반적으로

\alpha

가

\mathfrak{gl}(V)

값

p

형식이고

\varphi

가

V

값

q

형식일 때,

f(T, x) = T x

이면

\alpha \cdot \varphi = f(\alpha, \varphi)

로 쓴다. 이를 명시적으로 표현하면 다음과 같다.

:

(\alpha \cdot \phi)(v_1, \dotsc, v_{p+q}) = {1 \over (p+q)!} \sum_{\sigma} \operatorname{sgn}(\sigma) \alpha(v_{\sigma(1)}, \dotsc, v_{\sigma(p)}) \phi(v_{\sigma(p+1)}, \dotsc, v_{\sigma(p+q)}).

이 표기법을 사용하면

\operatorname{ad}(\alpha) \cdot \phi = [\alpha \wedge \phi]

를 얻는다.

예를 들어

\omega

가

\mathfrak{g}

값 1-형식(예: 접속 형식)이고,

\rho

가 벡터 공간

V

에 대한

\mathfrak{g}

의 표현이며,

\varphi

가

V

값 0-형식인 경우, 다음이 성립한다.

:

\rho([\omega \wedge \omega]) \cdot \varphi = 2 \rho(\omega) \cdot (\rho(\omega) \cdot \varphi).

^[2]

3. 3. 외적 (Wedge Product)

일반적인 실수 값 미분 형식의 외적은 실수의 곱셈을 사용하여 정의된다. 리 대수 값을 갖는 미분 형식의 쌍에 대해, 외적은 유사하게 정의될 수 있지만, 다른 리 대수 값 형식을 얻기 위해 쌍선형 리 괄호 연산을 대입한다. g^영어 값을 갖는 ''p''-형식 ω^영어와 g^영어 값을 갖는 ''q''-형식 η^영어에 대해, 이들의 외적 [ω^영어∧η^영어]는 다음과 같다.

:[ω^영어∧η^영어](''v''₁, …, ''v''_''p''+''q'') = Σ_σ^영어 sgn(σ^영어) [ω^영어(''v''_σ^영어(1), …, ''v''_{σ^영어(''p'')}), η^영어(''v''_{σ^영어(''p''+1)}, …, ''v''_{σ^영어(''p''+''q'')})]

여기서 ''v''_i는 접선 벡터이다. 이 표기법은 관련된 두 연산을 모두 나타내기 위한 것이다. 예를 들어, ω^영어와 η^영어가 리 대수 값을 갖는 1-형식인 경우, 다음을 얻는다.

:[ω^영어∧η^영어](''v''₁,''v''₂) = [ω^영어(''v''₁), η^영어(''v''₂)] - [ω^영어(''v''₂),η^영어(''v''₁)].

연산 [ω^영어∧η^영어]는 또한 모든 ''g'', ''h'' ∈ g^영어 및 α^영어, β^영어 ∈ Ω(''M'', ℝ)에 대해 다음을 만족하는 Ω(''M'', g^영어) 상의 쌍선형 연산으로 정의될 수 있다.

:[( ''g'' ⊗ α^영어) ∧ (''h'' ⊗ β^영어)] = [''g'', ''h''] ⊗ (α^영어 ∧ β^영어)

일부 저자는 [ω^영어∧η^영어] 대신 [ω^영어, η^영어] 표기법을 사용했다. 교환자와 유사한 [ω^영어, η^영어] 표기법은 리 대수 g^영어가 행렬 대수일 경우 [ω^영어∧η^영어]가 ω^영어와 η^영어의 등급 교환자와 다름없다는 사실로 정당화된다. 즉, ω^영어 ∈ Ω^''p''(''M'', g^영어)이고 η^영어 ∈ Ω^''q''(''M'', g^영어)인 경우

:[ω^영어∧η^영어] = ω^영어∧η^영어 - (-1)^''pq''η^영어∧ω^영어

여기서 ω^영어 ∧ η^영어, η^영어 ∧ ω^영어 ∈ Ω^''p''+''q''(''M'', g^영어)는 g^영어 상의 행렬 곱셈을 사용하여 형성된 외적이다.

4. 보조 다발에서의 형식 (Forms with values in an adjoint bundle)

보조 다발도 참조

$P$ 를 구조군이 $G$ 이고 $\mathfrak{g} = \operatorname{Lie}(G)$ 인 매끄러운 주다발이라고 하자. $G$ 는 수반 표현을 통해 $\mathfrak{g}$ 에 작용하며, 따라서 다음과 같은 연관된 다발을 구성할 수 있다.

: $\mathfrak{g}_P = P \times_{\operatorname{Ad}} \mathfrak{g}.$

$P$ 의 기저 공간에 대한 모든 $\mathfrak{g}_P$ 값 형식은 수반 형식을 갖는 모든 텐서 형식과 자연스럽게 일대일 대응을 이룬다.

참조

_[1] 서적 Kobayashi-Nomizu Chapter XII, § 1
_[2] 문서

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