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메르텐스 정리 (수론)

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목차

1. 개요

메르텐스 정리는 소수와 관련된 세 개의 정리로 구성되며, 소수의 분포에 대한 정보를 제공한다. 제1정리는 소수 p에 대해 ∑(log p)/p를 log n으로 근사할 수 있음을 나타내며, 제2정리는 소수 p에 대해 ∑1/p를 log log n으로 근사할 수 있음을 보여준다. 제3정리는 소수 p에 대해 ∏(1 - 1/p)를 log n으로 근사할 수 있음을 나타내며, 오일러-마스케로니 상수와 관련이 있다. 각 정리는 란다우 기호를 사용하여 표현되며, 메르텐스 제2정리와 제3정리에서는 부호 변화에 대한 연구 결과도 제시된다.

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메르텐스 정리 (수론)

2. 메르텐스의 제1정리

메르텐스 제1 정리는 다음과 같다.

: \sum_{p \le n} \frac{\log p}{p} - \log n

위 식의 값은 임의의 n\ge 2에 대해 절댓값이 2를 초과하지 않는다.

p가 소수를 나타낼 때, 메르텐스의 제1정리는 다음 평가식으로 표현될 수도 있다.

:\sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p}=\log n+O(1)

여기서 O는 란다우 기호이다.

3. 메르텐스의 제2정리

마이셀-메르텐스 상수 M은 다음과 같이 정의된다.

\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{p\le n}\frac1p -\ln\ln n\right) = M \approx 0.2614972128\ldots

'''메르텐스 제2정리'''는 이 상수를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{p\le n}\frac1p -\ln\ln n-M\right) =0

이는 n이 커짐에 따라 합 \sum_{p\le n}\frac1p과 \ln\ln n + M의 차이가 0에 수렴함을 의미한다. 메르텐스는[1] 이 차이의 절댓값이 임의의 n\ge 2에 대해 다음 값을 넘지 않음을 증명했다.

: \left| \sum_{p\le n}\frac1p -\ln\ln n-M \right| \le \frac 4{\ln(n+1)} +\frac 2{n\ln n}

메르텐스의 세 가지 정리는 소수의 분포에 관한 중요한 결과들을 담고 있으며, 점근적인 형태로 표현된다. p가 소수를 나타낼 때, 각 정리는 다음과 같이 요약될 수 있다. 여기서 O와 o는 란다우 기호이다.


  • 제1정리: \sum_{p\leq n}\frac{\ln p}{p}=\ln n+O(1)
  • 제2정리: \sum_{p\leq n}\frac{1}{p}=\ln\ln n+M+o(1)
  • 제3정리: \prod_{p\leq n}\left(1-\frac{1}{p}\right)=\frac{e^{-\gamma}+o(1)}{\ln n} (여기서 \gamma는 오일러-마스케로니 상수이다.)

3. 1. 메르텐스 제2정리의 부호 변화

1983년에 발표된 논문[2]에서 가이 로빈은 메르텐스 제2정리에서 나타나는 차이

:\sum_{p\le n}\frac1p -\log\log n-M

가 무한히 자주 부호를 바꾼다는 사실을 증명했다. 여기서 M은 마이셀-메르텐스 상수이다. 또한, 메르텐스 제3정리에서 나타나는 차이

:\log n\prod_{p\le n}\left(1-\frac1p\right)-e^{-\gamma}

역시 무한히 자주 부호를 바꾼다는 것을 증명했다. 여기서 \gamma는 오일러-마스케로니 상수이다.

로빈의 이러한 결과는 소수 정리와 관련된 함수 \pi(x) - \operatorname{li}(x)의 차이가 무한히 자주 부호를 바꾼다는 리틀우드의 유명한 정리와 유사하다. (\pi(x)는 소수 계량 함수, \operatorname{li}(x)는 로그 적분 함수이다.) 하지만 메르텐스 제2정리와 제3정리의 경우, 스큐어스 수 (\pi(x) > \operatorname{li}(x)를 만족하는 첫 번째 자연수 x의 상한)와 같은 구체적인 부호 변경 지점에 대한 결과는 아직 알려져 있지 않다.

4. 메르텐스의 제3정리

'''메르텐스 제3 정리'''는 다음과 같이 표현된다.

:\lim_{n\to\infty}\log n\prod_{p\le n}\left(1-\frac1p\right)=e^{-\gamma} \approx 0.561459483566885

여기서 p는 소수를 나타내고, \gamma는 오일러-마스케로니 상수이다.

메르텐스의 정리들은 소수의 분포에 관한 세 가지 주요 평가식을 포함한다. p가 소수를 나타낼 때, 충분히 큰 n에 대해 다음 평가가 성립한다.

:\sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p}=\log n+O(1)

:\sum_{p\leq n}\frac{1}{p}=\log\log n+b+o(1)

:\prod_{p\leq n}\left(1-\frac{1}{p}\right)=\frac{e^{-\gamma}+o(1)}{\log n}

여기서 O와 o는 란다우 기호이다. 이 세 부등식을 순서대로 메르텐스의 제1정리, 제2정리, 제3정리라고 부른다. 제2정리에 나타나는 상수 b는 마이셀-메르텐스 상수(Meissel–Mertens constant영어)라고 한다.

4. 1. 메르텐스 제3정리의 부호 변화

p를 소수라 하고, \gamma를 오일러-마스케로니 상수라 하면, 다음 등식이 성립한다.

:\lim_{n\to\infty}\ln n\prod_{p

이것은 제타 함수와 관계가 있는 유명한 식이다.

또는 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:\prod_{p\leq n}\left(1-\frac{1}{p}\right) \sim \frac{e^{-\gamma}}{\ln n}

5. 증명

메르텐스의 세 가지 정리에 대한 증명은 각각 아래의 하위 섹션에서 자세히 다룬다.

5. 1. 메르텐스 제1정리의 증명

소수 p가 n의 팩토리얼 n!을 나누는 횟수를 e(p, n)이라고 하면, 르장드르 공식에 의해 다음 식이 성립한다.

: e(n, p)=\sum_{i=1}^{\infty} \left \lfloor \frac{n}{p^i} \right \rfloor

이 식으로부터 e(n, p)에 대한 다음 부등식을 얻는다.

: \frac{n}{p}-1\leq e(n, p)<\frac{n}{p-1}

한편, \log n!은 소수들의 거듭제곱으로 인수분해하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

: \log n!=\sum_{p\leq n} e(n, p)\log p

위의 e(n, p)에 대한 부등식을 이용하면 \log n!에 대해 다음 부등식이 성립한다.

: \sum_{p\leq n}\log p\left(\frac{n}{p}-1\right)\leq \log n! < \sum_{p\leq n}\frac{n\log p}{p-1}

이 부등식의 좌변과 우변을 각각 정리하여 \sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p}에 대한 상계와 하계를 유도할 수 있다.
상계 유도:좌변 부등식 \sum_{p\leq n}\log p\left(\frac{n}{p}-1\right)\leq \log n! 을 정리하면 다음과 같다.

: n\sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p} - \sum_{p\leq n}\log p \leq \log n!

: \sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p} \leq \frac{1}{n} \left(\log n! + \sum_{p\leq n}\log p\right)

여기서 체비쇼프 함수의 초등적인 평가에 의해 제1 체비쇼프 함수 \theta(n) = \sum_{p\leq n}\log p 에 대해 다음이 성립한다.

: \theta(n) = \sum_{p\leq n}\log p < 2n\log 2

또한, 팩토리얼의 증가 정도에 대한 근사식 (스털링 공식보다 약하지만 유도하기 쉬운 형태)은 다음과 같다.

: \log n! = \sum_{k=1}^n \log k = n\log n - n + O(\log n)

이 두 결과를 위 부등식에 대입하면,

: \sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p} \leq \frac{1}{n} (n\log n - n + O(\log n) + 2n\log 2) = \log n - 1 + 2\log 2 + O(\frac{\log n}{n})

따라서 충분히 큰 n에 대해 \sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p} \leq \log n + C_1 를 만족하는 상수 C_1 (예: 2\log 2 - 1 + \epsilon)이 존재한다.
하계 유도:원래 부등식의 우변 \log n! < \sum_{p\leq n}\frac{n\log p}{p-1} 을 이용한다.

: \log n! < n \sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p-1} = n \sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p} + n \sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p(p-1)}

여기서 \sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p(p-1)} 부분은 n이 무한대로 갈 때 수렴하는 값이다. 왜냐하면,

: \sum_{p}\frac{\log p}{p(p-1)} < \sum_{k=2}^\infty \frac{\log k}{k(k-1)}

이고, 우변의 급수는 예를 들어 \sum_{k=2}^\infty \frac{2\log k}{k^2} 와 비교하여 수렴함을 알 수 있다. 따라서 \sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p(p-1)} = C_2 - \delta_n 형태이며, 여기서 C_2 = \sum_{p}\frac{\log p}{p(p-1)} 는 상수이고 \delta_n \to 0 이다.

이를 다시 부등식에 적용하고 \log n! = n\log n - n + O(\log n) 을 대입하면,

: n\log n - n + O(\log n) < n \sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p} + n(C_2 - \delta_n)

양변을 n으로 나누고 정리하면,

: \log n - 1 + O(\frac{\log n}{n}) < \sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p} + C_2 - \delta_n

: \sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p} > \log n - 1 - C_2 + O(\frac{\log n}{n}) + \delta_n

따라서 충분히 큰 n에 대해 \sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p} \geq \log n - C_3 를 만족하는 상수 C_3 (예: 1 + C_2 + \epsilon)가 존재한다.
결론:위에서 유도한 상계와 하계 \log n - C_3 \leq \sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p} \leq \log n + C_1 로부터 다음이 성립한다.

: \sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p} = \log n + O(1)

이는 메르텐스 제1정리의 내용이다. 즉, \log n - \sum_{p < n} \frac{\ln p}{p}는 n\to\infty일 때 O(1)이며, 어떤 상수로 수렴한다. 이 수렴값은 약 1.3325822757..(OEIS,A083343)이다.[7]

5. 2. 메르텐스 제2정리의 증명

메르텐스 제2정리의 증명의 주요 단계는 다음과 같다.

:O(n)+n\log n=\log n! =\sum_{p^k\le n} \lfloor n/p^k\rfloor\log p =

\sum_{p^k\le n} \left(\frac{n}{p^k}+O(1)\right)\log p= n \sum_{p^k\le n}\frac{\log p}{p^k}\ + O(n)

여기서 마지막 등식은 \sum_{p^k\le n}\log p =O(n)을 필요로 하는데, 이는 \sum_{p\in (n,2n]}\log p\le \log{2n\choose n}=O(n)에서 따른다.

따라서 다음을 증명했다.

:\sum_{p^k\le n}\frac{\log p}{p^k}=\log n+O(1).

k \ge 2인 소수 거듭제곱에 대한 합은 수렴하므로, 이는 다음을 의미한다.

:\sum_{p\le n}\frac{\log p}{p}=\log n+O(1).

부분합 공식을 적용하면 다음과 같다.

:\sum_{p\le n} \frac1{p} = \log\log n+M+O(1/\log n).

S(x)=\sum_{p\leq x}\frac{\log p}{p}, R(x)=S(x)-\log x라 하자. 제1정리에 의해 R(x)=O(1)이다. 따라서 적분

:\int_{2}^{x} \frac{R(t)dt}{t\log^2 t}

는 x\rightarrow\infty일 때 수렴한다. 따라서, 아벨의 부분합 공식에 의해

: \begin{align} \sum_{p\leq n}\frac{1}{p}

&= \frac{S(n)}{\log n}+\int_{2}^{n} \frac{S(t)}{t\log^2 t}dt\\

&= 1+\frac{R(n)}{\log n}+\int_{2}^{n} \frac{dt}{t\log t}+\int_{2}^{n} \frac{R(t)dt}{t\log^2 t}\\

&= \log\log n+1-\log\log 2+\frac{R(n)}{\log n}+\int_{2}^{\infty} \frac{R(t)dt}{t\log^2 t}-\int_{n}^{\infty} \frac{R(t)dt}{t\log^2 t} \\

&= \log\log n+1-\log\log 2+\int_{2}^{\infty} \frac{R(t)dt}{t\log^2 t}+\frac{R(n)}{\log n}+O\left(\int_{n}^{\infty} \frac{dt}{t\log^2 t}\right)\\

&= \log\log n+1-\log\log 2+\int_{2}^{\infty} \frac{R(t)dt}{t\log^2 t}+O\left(\frac{1}{\log n}\right)

\end{align}

가 되므로, 제2정리는

: b=1-\log\log 2+\int_{2}^{\infty} \frac{R(t)dt}{t\log^2 t}

에 대해 성립한다.

5. 3. 메르텐스 제3정리의 증명

:p를 소수, \gamma를 오일러-마스케로니 상수라 하면, 메르텐스 제3정리는 다음과 같이 표현된다.

:\lim_{n\to\infty}\ln n\prod_{p

이 식은 제타 함수와 관련된 유명한 식이다. 또는 점근적 형태로 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:\prod_{p\leq n}\left(1-\frac{1}{p}\right) \sim \frac{e^{-\gamma}}{\ln n}

이 정리의 수렴성은 다음 식과

:\sum_{p\leq n} -\log\left(1-\frac{1}{p}\right)=\sum_{p\leq n}\frac{1}{p}+\sum_{p\leq n}\sum_{m\geq 2}\frac{1}{mp^m}

다음의 점근적 분석

:\sum_{p>n}\sum_{m\geq 2}\frac{1}{mp^m}=O\left(\sum_{p>n}\frac{1}{p^2}\right)=O\left(\frac{1}{n}\right)

을 통해 메르텐스 제2정리로부터 바로 유도된다.

상수 부분이 e^{-\gamma} 임을 증명하는 과정은 다음과 같이 개략적으로 설명할 수 있다. 먼저 다음 함수들을 정의한다.

:h(s)=\sum_p \frac{1}{p^s}, \quad g(s)=h(s)+\log \zeta(s)=\sum_p \left( \frac{1}{p^s}-\log\left(1-\frac{1}{p^s}\right) \right), \quad P(x)=\sum_{p\leq x}\frac{1}{p}

여기서 g(s)에 대한 등식은 리만 제타 함수의 오일러 곱 표현으로부터 얻어진다. 아벨의 부분합 공식을 이용하면 다음을 얻는다.

:h(s)=(s-1)\int_{1}^{\infty}\frac{P(t)}{t^s}dt

여기서 t=e^{u/(s-1)}로 치환하고 오일러-마스케로니 상수의 적분 표현을 이용하면 다음 관계를 얻는다.

:(s-1)\int_{1}^{\infty}\frac{\log\log t}{t^s}dt=\int_{0}^{\infty}e^{-u}\log\frac{u}{s-1}du=-\gamma-\log (s-1)

이 결과와 메르텐스 제2정리를 함께 사용하면 s\rightarrow 1+0일 때 다음 극한을 증명할 수 있다 (여기서 M은 메르텐스 상수).

:h(s)+\log (s-1)+\gamma-M \rightarrow 0

또한, 리만 제타 함수의 성질인 \lim_{s\rightarrow 1+0} (s-1)\zeta(s) = 1을 이용해 g(1)의 값을 계산하면 다음과 같다.

:g(1)=\lim_{s\rightarrow 1+0} g(s)=\lim_{s\rightarrow 1+0} (h(s)+\log \zeta(s))=M-\gamma

한편, g(1)은 테일러 급수를 이용하여 다음과 같이 표현될 수 있다.

:g(1) = \sum_p \left( \frac{1}{p} + \log\left(1-\frac{1}{p}\right) \right)

따라서, \sum_{p\leq x} \left( \frac{1}{p} + \log\left(1-\frac{1}{p}\right) \right) \approx M-\gamma 이고, 이를 정리하면 다음과 같다.

:\sum_{p\leq x}\log\left(1-\frac{1}{p}\right) = (M-\gamma) - \sum_{p\leq x}\frac{1}{p} + o(1)

다시 메르텐스 제2정리 (\sum_{p\leq x}\frac{1}{p} \approx \log \log x + M)를 사용하면 다음을 얻는다.

:\sum_{p\leq x}\log\left(1-\frac{1}{p}\right) = (M-\gamma) - (\log \log x + M) + o(1) = -\gamma - \log \log x + o(1)

양변에 지수 함수를 취하면 \prod_{p\leq x}\left(1-\frac{1}{p}\right) \approx \frac{e^{-\gamma}}{\log x} 이므로, 메르텐스 제3정리가 증명된다.

참조

[1] 논문 Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie http://gdz.sub.uni-g[...]
[2] 간행물 Sur l'ordre maximum de la fonction somme des diviseurs
[3] 논문 Sur la fonction qui détermine la totalité des nombres premiers
[4] 서적 Introduction to analytic and probabilistic number theory Cambridge University Press
[5] 서적 Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen Teubner, Leipzig
[6] 서적 허수 이야기 경문사
[7] 웹사이트 A083343 http://oeis.org/A083[...]


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