마이셀-메르텐스 상수

3. 오일러-마스케로니 상수와의 관계

메르텐스 상수 B₁은 오일러-마스케로니 상수 $\backslash gamma$와 밀접한 관계를 가지며, 그 정의에 $\backslash gamma$가 포함된다.

메르텐스 제2상수 B₂ 역시 오일러-마스케로니 상수 $\backslash gamma$와 관련이 있다. B₂는 B₁과의 관계를 통해 다음과 같이 표현될 수 있다.

:$B\_2=B\_1\; +\; \backslash left(\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash right)$

또한 B₂는 오일러-마스케로니 상수 $\backslash gamma$를 이용하여 직접 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$B\_2=\; \backslash left(\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash left(\backslash ln\; \backslash left(\; 1-\; \backslash right)\; +\; \backslash right)\; \backslash right)\; +\backslash gamma$

오일러 피 함수 $\backslash phi$와 리만 제타 함수 $\backslash zeta$를 사용하면 B₂는 다음과 같이 표현되기도 한다.

:$B\_2=\; \backslash left(\backslash sum\_\{x=2\}^\{\backslash infty\}\; \backslash right)\; +\backslash gamma$

:$\backslash approx\; 1.034653...$^[4]

여기서 $p\_n$은 n번째 소수, $\backslash phi$는 오일러 피 함수, $\backslash zeta$는 리만 제타 함수, $\backslash gamma$는 오일러-마스케로니 상수이다.

3. 1. 수식 표현

4. 다른 수론 함수와의 관계

메르텐스 상수 B₂는 오일러 피 함수 $\backslash phi$, 리만 제타 함수 $\backslash zeta$, 오일러-마스케로니 상수 $\backslash gamma$를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[4]

$B\_2=\; \backslash left(\backslash sum\_\{x=2\}^\{\backslash infty\}\; \backslash right)\; +\backslash gamma$

이 값은 대략 1.034653... 이다. (OEIS의 수열 A083342)^[4]

5. 메르텐스 정리

메르텐스의 제1정리로부터 메르텐스 상수 $B\_3$를 얻을 수 있다.^[5][6]

$p$를 소수라 하면, 다음 등식이 성립한다.^[7]

:$B\_3=\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash left(\; \backslash ln\; n\; -\; \backslash sum\_\{p\; \backslash leq\; n\}\; \backslash right)$

:$B\_3=\; \backslash left(\; \backslash sum\_\{x\; =\; 2\}^\{\backslash infty\}\; \backslash sum\_\{y\; =\; 1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash right)\; +\; \backslash gamma$

여기서 $\backslash ln$은 자연로그를, $\backslash gamma$는 오일러-마스케로니 상수를 나타낸다.

이 값은 약 $1.3325822757..$이다.^[8]

6. 대중문화 속 메르텐스 상수

구글은 노텔의 특허를 인수하기 위한 경매에서 마이셀-메르텐스 상수를 포함한 여러 수학 상수를 활용한 입찰가를 제시하여 주목받았다. 구글은 세 차례에 걸쳐 각각 브룬 상수를 기반으로 한 19.02억달러, 마이셀-메르텐스 상수를 기반으로 한 26.150000000000002억달러, 그리고 π를 기반으로 한 31.4159억달러를 입찰가로 제시했다.^[1]

참조

_[1] 뉴스 Google's strange bids for Nortel patents http://business.fina[...] 2011-07-05
_[2] OEIS http://oeis.org/A077[...]
_[3] 논문 Flajolet and Vardi 1996, Schroeder 1997, Knuth 1998
_[4] 간행물 Decimal expansion of average deviation of the total number of prime factors or decimal expansion of constant B2 from the summatory function of the restricted divisor function
_[5] OEIS http://oeis.org/A083[...]
_[6] 매스월드 http://mathworld.wol[...]
_[7] 논문 Rosser and Schoenfeld 1962, Montgomery 1971, Finch 2003
_[8] OEIS http://oeis.org/A083[...]