마이셀-메르텐스 상수

1. 개요

마이셀-메르텐스 상수는 오일러-마스케로니 상수와 관련된 여러 상수들을 지칭하며, 소수와 관련된 항들을 포함하여 계산된다. 메르텐스 상수는 B₁, B₂, B₃로 표현되며, 각기 다른 수식을 통해 정의된다. B₁은 오일러-마스케로니 상수와 뫼비우스 함수, 리만 제타 함수를 사용하여 표현할 수 있으며, B₂는 오일러 피 함수와 리만 제타 함수를 통해 나타낼 수 있다. B₃는 메르텐스 제1정리로부터 유도되며, 소수 p를 사용하여 표현된다. 이 상수들은 수학적 표현 외에도 구글의 노텔 특허 경매 입찰가 제시에 활용된 바 있다.

2. 정의

마이셀-메르텐스 상수는 수학 상수의 하나로, 소수의 분포와 관련된 여러 값들을 아우른다. 일반적으로 메르텐스 상수라고 불리며, B₁, B₂, B₃ 등 여러 종류가 있다. 이 상수들은 소수와 관련된 특정 무한급수의 합이나 극한 값으로 정의된다. 각 상수의 구체적인 정의와 값은 하위 섹션에서 자세히 다룬다.

2.1. 메르텐스 상수 B₁

메르텐스 상수 B₁은 모든 소수 $p$에 대해, $\backslash frac\{1\}\{p\}$과 $-\backslash ln(1-\backslash frac\{1\}\{p\})$의 차의 합에 오일러-마스케로니 상수 $\backslash gamma$를 더한 값으로 정의된다.

$B\_1=\; \backslash sum\_\{p\}\; \backslash left(\; \backslash ln\; \backslash left(1-\; \backslash frac\{1\}\{p\}\; \backslash right)+\; \backslash frac\{1\}\{p\}\; \backslash right)\; +\; \backslash gamma$

이는 $n$번째 소수를 $p\_n$이라 할 때 다음과 같이 표현할 수도 있다.

$B\_1=\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash left(\; \backslash ln\; \backslash left(1-\; \backslash frac\{1\}\{p\_n\}\; \backslash right)+\; \backslash frac\{1\}\{p\_n\}\; \backslash right)\; +\; \backslash gamma$

로그 항을 다르게 표현하면 다음과 같다.

$B\_1=\; \backslash sum\_\{p\}\; \backslash left(\; \backslash ln\; \backslash left(\; \backslash frac\{p-1\}\{p\}\; \backslash right)+\; \backslash frac\{1\}\{p\}\; \backslash right)\; +\; \backslash gamma$

또한, 뫼비우스 함수 $\backslash mu(n)$와 리만 제타 함수 $\backslash zeta(n)$를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

$B\_1=\; \backslash sum\_\{n=2\}^\{\backslash infty\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash mu(n)\}\{n\}\; \backslash ln(\backslash zeta(n))\; \backslash right)\; +\; \backslash gamma$

2.2. 메르텐스 상수 B₂

메르텐스 상수 B₂는 메르텐스 상수 B₁에 소수와 관련된 항을 더하여 정의할 수 있다.

$B\_2\; =\; B\_1\; +\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{p\_n(p\_n\; -\; 1)\}$

여기서 $p\_n$은 n번째 소수를 나타낸다. B₂는 다음과 같은 여러 형태로도 표현될 수 있다.

$B\_2\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash left(\; \backslash ln\; \backslash left(1\; -\; \backslash frac\{1\}\{p\_n\}\; \backslash right)\; +\; \backslash frac\{1\}\{p\_n\}\; \backslash right)\; +\; \backslash gamma\; +\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{p\_n(p\_n\; -\; 1)\}$

$B\_2\; =\; \backslash left(\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash left(\; \backslash ln\; \backslash left(\; 1\; -\; \backslash frac\{1\}\{p\_n\}\; \backslash right)\; +\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{p\_n\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{p\_n^2\; -\; p\_n\}\; \backslash right)\; \backslash right)\; \backslash right)\; +\; \backslash gamma$

$B\_2\; =\; \backslash left(\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash left(\; \backslash ln\; \backslash left(\; 1\; -\; \backslash frac\{1\}\{p\_n\}\; \backslash right)\; +\; \backslash frac\{1\}\{p\_n\; -\; 1\}\; \backslash right)\; \backslash right)\; +\; \backslash gamma$

$B\_2\; =\; \backslash left(\; \backslash sum\_\{x=2\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{\backslash phi(x)\; \backslash ln(\backslash zeta(x))\}\{x\}\; \backslash right)\; +\; \backslash gamma$

메르텐스 상수 B₂의 근사값은 다음과 같다.

$B\_2\; \backslash approx\; 1.034653...$

위 식에서 사용된 기호는 다음과 같다.
* $\backslash phi$: 오일러 피 함수
* $\backslash zeta$: 리만 제타 함수
* $\backslash gamma$: 오일러-마스케로니 상수

2.3. 메르텐스 상수 B₃

메르텐스의 제1정리로부터 메르텐스 상수 $B\_3$를 얻을 수 있다.
$p$를 소수라 할 때, 메르텐스 상수 $B\_3$는 다음과 같이 정의된다.
:$B\_3=\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash left(\; \backslash ln\; n\; -\; \backslash sum\_\{p\; \backslash leq\; n\}\; \backslash right)$
또한, 오일러-마스케로니 상수 $\backslash gamma$를 이용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.
:$B\_3=\; \backslash left(\; \backslash sum\_\{x\; =\; 2\}^\{\backslash infty\}\; \backslash sum\_\{y\; =\; 1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash right)\; +\; \backslash gamma$

이 값은 약 $1.3325822757..$이다.

3. 오일러-마스케로니 상수와의 관계

메르텐스 상수 B₁은 오일러-마스케로니 상수 $\backslash gamma$와 밀접한 관계를 가지며, 그 정의에 $\backslash gamma$가 포함된다.

메르텐스 제2상수 B₂ 역시 오일러-마스케로니 상수 $\backslash gamma$와 관련이 있다. B₂는 B₁과의 관계를 통해 다음과 같이 표현될 수 있다.
:$B\_2=B\_1\; +\; \backslash left(\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash right)$

또한 B₂는 오일러-마스케로니 상수 $\backslash gamma$를 이용하여 직접 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:$B\_2=\; \backslash left(\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash left(\backslash ln\; \backslash left(\; 1-\; \backslash right)\; +\; \backslash right)\; \backslash right)\; +\backslash gamma$

오일러 피 함수 $\backslash phi$와 리만 제타 함수 $\backslash zeta$를 사용하면 B₂는 다음과 같이 표현되기도 한다.
:$B\_2=\; \backslash left(\backslash sum\_\{x=2\}^\{\backslash infty\}\; \backslash right)\; +\backslash gamma$
:$\backslash approx\; 1.034653...$

여기서 $p\_n$은 n번째 소수, $\backslash phi$는 오일러 피 함수, $\backslash zeta$는 리만 제타 함수, $\backslash gamma$는 오일러-마스케로니 상수이다.

3.1. 수식 표현

:$B\_1=\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash left(\; \backslash ln\; \backslash left(1-\; \}\; \backslash right)+\; \}\; \backslash right)\; +\; \backslash gamma$

:$B\_1=\; \backslash sum\_\{p\}\; \backslash left(\; \backslash ln\; \backslash left(1-\; \backslash right)+\; \backslash right)\; +\; \backslash gamma$

:$\backslash ;\backslash ;\backslash ;=\; \backslash sum\_\{p\}\; \backslash left(\; \backslash ln\; \backslash left(\; \backslash right)+\; \backslash right)\; +\; \backslash gamma$

여기서 $p\_n$은 n번째 소수를 나타내고, $p$는 모든 소수를 의미하며, $\backslash gamma$는 오일러-마스케로니 상수이다.

또한, 뫼비우스 함수 $\backslash mu$와 리만 제타 함수 $\backslash zeta$를 이용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.
:$B\_1=\; \backslash sum\_\{n=2\}^\{\backslash infty\}\; \backslash left(\; \backslash ln(\backslash zeta(n))\; \backslash right)\; +\; \backslash gamma$

4. 다른 수론 함수와의 관계

메르텐스 상수 B₂는 오일러 피 함수 $\backslash phi$, 리만 제타 함수 $\backslash zeta$, 오일러-마스케로니 상수 $\backslash gamma$를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$B\_2=\; \backslash left(\backslash sum\_\{x=2\}^\{\backslash infty\}\; \backslash right)\; +\backslash gamma$
이 값은 대략 1.034653... 이다. (OEIS의 수열 A083342)

5. 메르텐스 정리

메르텐스의 제1정리로부터 메르텐스 상수 $B\_3$를 얻을 수 있다.
$p$를 소수라 하면, 다음 등식이 성립한다.
:$B\_3=\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash left(\; \backslash ln\; n\; -\; \backslash sum\_\{p\; \backslash leq\; n\}\; \backslash right)$
:$B\_3=\; \backslash left(\; \backslash sum\_\{x\; =\; 2\}^\{\backslash infty\}\; \backslash sum\_\{y\; =\; 1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash right)\; +\; \backslash gamma$
여기서 $\backslash ln$은 자연로그를, $\backslash gamma$는 오일러-마스케로니 상수를 나타낸다.

이 값은 약 $1.3325822757..$이다.

6. 대중문화 속 메르텐스 상수

구글은 노텔의 특허를 인수하기 위한 경매에서 마이셀-메르텐스 상수를 포함한 여러 수학 상수를 활용한 입찰가를 제시하여 주목받았다. 구글은 세 차례에 걸쳐 각각 브룬 상수를 기반으로 한 1.902, 마이셀-메르텐스 상수를 기반으로 한 2.615, 그리고 π를 기반으로 한 3.14159를 입찰가로 제시했다.