아벨 변환

1. 개요

아벨 변환은 임의의 자연수와 복소수 또는 가군 원소의 두 묶음에 대해 성립하는 공식으로, 급수의 수렴 판정에 활용된다. 이 변환은 두 수열의 부분합을 부분 적분과 유사하게 표현하며, 교대급수 판정법, 디리클레 판정법, 아벨 판정법, 크로네커 보조정리 등 다양한 급수 수렴 판정을 증명하는 데 사용된다. 아벨 변환은 뉴턴 급수를 이용하여 표현될 수 있으며, 19세기 노르웨이 수학자 닐스 헨리크 아벨의 이름을 따서 명명되었다.

2. 정의

아벨 변환에 따르면, 임의의 자연수 $n\backslash ge0$ 및 두 묶음의 복소수 $a\_0,a\_1,\backslash dots,a\_n\backslash in\backslash mathbb\; C$ 및 $b\_0,b\_1,\backslash dots,b\_n\backslash in\backslash mathbb\; C$에 대하여,
:$A\_i=a\_0+a\_1+\backslash cdots+a\_i\backslash qquad(i=0,1,\backslash dots,n)$
라고 하였을 때, 다음 공식이 성립한다.
:$\backslash sum\_\{i=0\}^na\_ib\_i=A\_nb\_n+\backslash sum\_\{i=0\}^\{n-1\}A\_i(b\_i-b\_\{i+1\})$

보다 일반적으로, 가환환 $K$ 및 $K$-가군 $V$, $W$, $M$ 및 $K$-쌍선형 변환 $\backslash phi\backslash colon\; V\backslash otimes\; W\backslash to\; M$이 주어졌을 때, 임의의 자연수 $n\backslash ge0$ 및 두 묶음의 가군 원소 $a\_0,a\_1,\backslash dots,a\_n\backslash in\; V$ 및 $b\_0,b\_1,\backslash dots,b\_n\backslash in\; W$ 에 대하여,
:$A\_i=a\_0+a\_1+\backslash cdots+a\_i\backslash in\; V\backslash qquad(i=0,1,\backslash dots,n)$
라고 하였을때 다음 공식이 성립한다.
:$\backslash sum\_\{i=0\}^n\backslash phi(a\_i,b\_i)=\backslash phi(A\_n,b\_n)+\backslash sum\_\{i=0\}^\{n-1\}\backslash phi(A\_i,b\_i-b\_\{i+1\})$
이는 단순히 식을 전개하고 재배열하여 증명할 수 있다.

두 개의 수열 $\backslash \{f\_k\backslash \}$와 $\backslash \{g\_k\backslash \}$가 있다고 가정하자. 그러면,
:$\backslash sum\_\{k=m\}^n\; f\_k(g\_\{k+1\}-g\_k)\; =\; \backslash left(f\_\{n+1\}g\_\{n+1\}\; -\; f\_m\; g\_m\backslash right)\; -\; \backslash sum\_\{k=m\}^n\; g\_\{k+1\}(f\_\{k+1\}-\; f\_\{k\}).$

전방 차분 연산자 $\backslash Delta$를 사용하여 더 간결하게 표현하면 다음과 같다.
:$\backslash sum\_\{k=m\}^n\; f\_k\backslash Delta\; g\_k\; =\; \backslash left(f\_\{n+1\}\; g\_\{n+1\}\; -\; f\_m\; g\_m\backslash right)\; -\; \backslash sum\_\{k=m\}^\{n\}\; g\_\{k+1\}\backslash Delta\; f\_k,$

다른 표현은 다음과 같다.
:$f\_n\; g\_n\; -\; f\_m\; g\_m\; =\; \backslash sum\_\{k=m\}^\{n-1\}\; f\_k\backslash Delta\; g\_k\; +\; \backslash sum\_\{k=m\}^\{n-1\}\; g\_k\backslash Delta\; f\_k\; +\; \backslash sum\_\{k=m\}^\{n-1\}\; \backslash Delta\; f\_k\; \backslash Delta\; g\_k$

두 개의 주어진 수열 $(a\_n)$과 $(b\_n)$에 대해, $n\; \backslash in\; \backslash N$일 때, 다음 급수의 합을 연구하고자 한다.
:$$S\_N\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^N\; a\_n\; b\_n$$
만약 $\backslash displaystyle\; B\_n\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; b\_k$로 정의하면, 모든 $n>0$에 대해 $b\_n\; =\; B\_n\; -\; B\_\{n-1\}$이고,
$$S\_N\; =\; a\_0\; b\_0\; +\; \backslash sum\_\{n=1\}^N\; a\_n\; (B\_n\; -\; B\_\{n-1\})$$
$$S\_N\; =\; a\_0\; b\_0\; -\; a\_1\; B\_0\; +\; a\_N\; B\_N\; +\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{N-1\}\; B\_n\; (a\_n\; -\; a\_\{n+1\})$$
결과적으로 $\backslash displaystyle\; S\_N\; =\; a\_N\; B\_N\; -\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{N-1\}\; B\_n\; (a\_\{n+1\}\; -\; a\_n).$ 이 과정을 아벨 변환이라고 부른다.

3. 응용

아벨 변환은 교대급수 판정법, 디리클레 판정법, 아벨 판정법, 크로네커 보조정리 등 급수의 수렴과 관련된 여러 명제들을 증명하는 데 사용된다. 특히, 아벨 판정법은 어떤 급수가 수렴할 때, 특정 조건을 만족하는 수열을 곱한 급수도 수렴함을 보이는 데 사용된다.

아벨 변환은 이 외에도 다음과 같은 분야에 응용된다.

* 니코마코스 정리 증명: 처음 $n$개의 세제곱의 합이 처음 $n$개의 양의 정수의 합의 제곱과 같다는 정리이다.
* 아벨의 정리 증명

3.1. 급수 수렴 판정

아벨 변환은 교대급수 판정법, 디리클레 판정법, 아벨 판정법, 크로네커 보조정리 등 급수의 수렴과 관련된 여러 명제들을 증명하는 데 사용된다.

두 수열 $(a\_n)$과 $(b\_n)$에 대해, $n\; \backslash in\; \backslash N$일 때, 다음 급수의 합을 고려한다.

:$S\_N\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^N\; a\_n\; b\_n$

$B\_n\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; b\_k$로 정의하면, 모든 $n>0$에 대해 $b\_n\; =\; B\_n\; -\; B\_\{n-1\}$이 성립하며, 다음을 얻는다.

:$S\_N\; =\; a\_0\; b\_0\; +\; \backslash sum\_\{n=1\}^N\; a\_n\; (B\_n\; -\; B\_\{n-1\})\; =\; a\_0\; b\_0\; -\; a\_1\; B\_0\; +\; a\_N\; B\_N\; +\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{N-1\}\; B\_n\; (a\_n\; -\; a\_\{n+1\})$

결과적으로 다음이 성립한다.

:$S\_N\; =\; a\_N\; B\_N\; -\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{N-1\}\; B\_n\; (a\_\{n+1\}\; -\; a\_n)$

이 과정을 아벨 변환이라 하며, $S\_N$의 수렴성을 판정하는 데 사용된다.

3.1.1. 교대급수 판정법

아벨 변환을 사용하면 교대급수 판정법의 수렴성을 증명할 수 있다.

3.1.2. 디리클레 판정법

아벨 변환은 급수의 수렴성을 증명하는 데 유용하게 사용될 수 있다. 특히, 디리클레 판정법을 증명할 때 아벨 변환이 사용된다.

두 수열 $(a\_n)$과 $(b\_n)$에 대해, $S\_N\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^N\; a\_n\; b\_n$라는 급수의 합을 생각해보자. 여기서 $B\_n\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; b\_k$라고 정의하면, $b\_n\; =\; B\_n\; -\; B\_\{n-1\}$ ($n>0$)이 된다. 이를 이용하여 $S\_N$을 다시 쓰면 다음과 같다.

:$S\_N\; =\; a\_N\; B\_N\; -\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{N-1\}\; B\_n\; (a\_\{n+1\}\; -\; a\_n)$

이러한 변형을 아벨 변환이라고 하며, 이 식을 통해 $S\_N$의 수렴성을 판정하는 여러 방법들을 증명할 수 있다.

3.1.3. 아벨 판정법

이 기법을 사용하여 아벨 판정법을 증명할 수 있다. 즉, $\backslash sum\_n\; b\_n$이 수렴하는 급수이고, $a\_n$이 유계인 단조 수열이면 $S\_N\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^N\; a\_n\; b\_n$이 수렴한다.

아벨 판정법의 증명. 부분합을 사용하면,
$$\backslash begin\{align\}$$
S_M - S_N &= a_M B_M - a_N B_N - \sum_{n=N}^{M-1} B_n (a_{n+1} - a_n)\\
&= (a_M-a) B_M - (a_N-a) B_N + a(B_M - B_N) - \sum_{n=N}^{M-1} B_n (a_{n+1} - a_n),
\end{align}
여기서 a는 $a\_n$의 극한이다. $\backslash sum\_n\; b\_n$이 수렴하므로 $B\_N$은 $N$에 관계없이 유계이며, $B$로 나타낼 수 있다. $a\_n-a$가 0으로 가므로 처음 두 항도 0으로 간다. 세 번째 항은 $\backslash sum\_n\; b\_n$에 대한 코시 수렴 판정법에 의해 0으로 간다. 나머지 합은
$$\backslash sum\_\{n=N\}^\{M-1\}\; |B\_n|\; |a\_\{n+1\}-a\_n|\; \backslash le\; B\; \backslash sum\_\{n=N\}^\{M-1\}\; |a\_\{n+1\}-a\_n|\; =\; B|a\_N\; -\; a\_M|$$
와 같이 $a\_n$의 단조성에 의해 유계이며, $N\; \backslash to\; \backslash infty$일 때 0으로 간다.

위와 동일한 증명을 사용하여 다음을 보일 수 있다.
# 부분 합 $B\_N$이 $N$에 관계없이 유계 수열을 형성하고,
# (따라서 합 $\backslash sum\_\{n=N\}^\{M-1\}\; |a\_\{n+1\}-a\_n|$이 $N$이 무한대로 갈 때 0으로 간다.)
# $\backslash lim\; a\_n\; =\; 0$
그러면 $S\_N\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^N\; a\_n\; b\_n$이 수렴한다.

두 경우 모두 급수의 합은 다음을 만족한다.:$$|S|\; =\; \backslash left|\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n\; b\_n\; \backslash right|\; \backslash le\; B\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; |a\_\{n+1\}-a\_n|.$$

3.1.4. 크로네커 보조정리

아벨 변환은 크로네커 보조정리를 증명하는 데 사용된다. 크로네커 보조정리는 확률론에서 대수의 강한 법칙을 증명하는 데 사용된다.

4. 예

두 개의 수열 $(a\_n)$과 $(b\_n)$이 주어졌을 때, $n\; \backslash in\; \backslash N$에 대해 급수의 합 $S\_N\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^N\; a\_n\; b\_n$을 생각해 보자.

만약 $\backslash displaystyle\; B\_n\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; b\_k$로 정의하면, 모든 $n>0$에 대해 $b\_n\; =\; B\_n\; -\; B\_\{n-1\}$이 성립한다. 이를 $S\_N$에 대입하면 다음과 같이 정리할 수 있다.

:$$S\_N\; =\; a\_0\; b\_0\; -\; a\_1\; B\_0\; +\; a\_N\; B\_N\; +\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{N-1\}\; B\_n\; (a\_n\; -\; a\_\{n+1\}).$$

최종적으로 다음 식을 얻는다.

:$\backslash displaystyle\; S\_N\; =\; a\_N\; B\_N\; -\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{N-1\}\; B\_n\; (a\_\{n+1\}\; -\; a\_n).$

이러한 과정을 아벨 변환이라고 하며, 이 변환은 $S\_N$의 수렴 여부를 판정하는 데 유용하게 사용된다. 등차수열의 합, 제곱수의 합, 교대급수 등이 아벨 변환의 예시이다.

4.1. 등차수열의 합

아벨 변환을 이용하여 등차수열의 합 공식을 유도할 수 있다. 처음 $n$개의 양의 정수의 합
:$\backslash sum\_\{k=1\}^nk=1+2+\backslash cdots+n$
을 구하는 과정은 다음과 같다.
:$a\_n=1$
:$b\_n=k$
라고 하면, 첫 번째 수열의 부분합은
:$A\_n=a\_1+a\_2+\backslash cdots+a\_n=\backslash underbrace\{1+1+\backslash cdots+1\}\_n=n$
이다. 따라서, 등차수열의 합에 아벨 변환을 적용하면 다음을 얻는다.
:$\backslash begin\{align\}$
\sum_{k=1}^nk
&=\sum_{k=1}^n(1\cdot k)\\
&=n\cdot n+\sum_{k=1}^{n-1}k(k-(k+1))\\
&=n^2-\sum_{k=1}^{n-1}k\\
&=n^2-\left(\sum_{k=1}^nk-n\right)\\
&=n^2+n-\sum_{k=1}^nk
\end{align}

우변의 급수를 이항하고 양변을 2로 나누면, 처음 $n$개의 양의 정수의 합
:$\backslash sum\_\{k=1\}^nk=\backslash frac\{n^2+n\}2$
을 얻는다.

4.2. 제곱수의 합

아벨 변환을 이용하여 제곱수의 합 공식을 유도할 수 있다. 마찬가지로, 임의의 거듭제곱수의 합을 귀납적으로 구할 수 있다.

제곱수의 합

:$\backslash sum\_\{k=1\}^nk^2=1+4+\backslash cdots+n^2$

을 생각하자.

:$a\_n=b\_n=n$

이라고 하였을 때, 등차수열의 합의 공식에 따라

:$A\_n=a\_1+\backslash cdots+a\_n=1+2+\backslash cdots+n=\backslash frac\{n^2+n\}2$

이다. 아벨 변환을 가한 결과는 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
\sum_{k=1}^nk^2
&=\frac{n^2+n}2\cdot n+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k^2+k}2\cdot(k-(k+1))\\
&=\frac{n^3+n^2}2-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k^2+k}2\\
&=\frac{n^3+n^2}2-\sum_{k=1}^n\frac{k^2+k}2+\frac{n^2+n}2\\
&=\frac{n^3+n^2}2-\frac12\sum_{k=1}^nk^2-\frac12\sum_{k=1}^nk+\frac{n^2+n}2\\
&=\frac{n^3+n^2}2-\frac12\sum_{k=1}^nk^2-\frac{n^2+n}4+\frac{n^2+n}2\\
&=\frac{2n^3+3n^2+n}4-\frac12\sum_{k=1}^nk^2
\end{align}


이다. 따라서, 제곱수의 합은

:$\backslash sum\_\{k=1\}^nk^2=\backslash frac\{2n^3+3n^2+n\}6$

이다.

4.3. 교대급수

교대급수 판정법에 따라, $\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{(-1)^\{n-1\}\}n$는 수렴한다. 이 교대급수의 부분합에 대하여 아벨 변환을 적용하면 다음과 같다.

$a\_n=(-1)^\{n-1\}$, $b\_n=\backslash frac1n\backslash qquad(n\backslash in\backslash mathbb\; Z^+)$로 놓으면,

$A\_n=a\_1+\backslash cdots+a\_n=\backslash begin\{cases\}$
1&n=1,3,5,\dots\\
0&n=2,4,6,\dots
\end{cases}
이다.

따라서 아벨 변환을 적용한 결과는 다음과 같다. ($\backslash lfloor\; x\backslash rfloor$는 바닥 함수).

:$\backslash begin\{align\}$
\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}k
&=A_n\cdot\frac1n+\sum_{k=1}^{n-1}A_k\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)\\
&=A_n\cdot\frac1n+\sum_{k=1}^{n-1}A_k\cdot\frac1{k(k+1)}
\end{align}


여기에 극한 $n\backslash to\backslash infty$를 취하면 다음을 얻는다.

:$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac\{(-1)^\{k-1\}\}k=\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac1\{2n(2n-1)\}$

새로운 급수는 비교 판정법에 의하여 수렴하므로, 교대급수 역시 수렴한다.

5. 뉴턴 급수를 이용한 표현

아벨 변환은 뉴턴 급수를 이용하여 다른 형태로 표현될 수 있다. 이는 초기 공식의 반복 적용 결과이다.

보조 수량은 다음과 같은 뉴턴 급수이다.

:$f\_j^\{(M)\}:=\; \backslash sum\_\{k=0\}^M\; \backslash left(-1\; \backslash right)^\{M-k\}\; \{M\; \backslash choose\; k\}\; f\_\{j+k\}$
:$G\_j^\{(M)\}:=\; \backslash sum\_\{k=j\}^n\; \{k-j+M-1\; \backslash choose\; M-1\}\; g\_k,$
:$\backslash tilde\{G\}\_j^\{(M)\}:=\; \backslash sum\_\{k=0\}^j\; \{j-k+M-1\; \backslash choose\; M-1\}\; g\_k.$

여기서 $\{n\; \backslash choose\; k\}$는 이항 계수이다.

6. 역사

19세기 노르웨이 수학자 닐스 헨리크 아벨의 이름이 붙여졌다.

7. 유사 개념

아벨 변환은 부분 적분 및 아벨의 합 공식과 유사하다. 부분 적분 공식은 다음과 같다.

:$\backslash int\_a^b\; f(x)\; g\text{'}(x)\backslash ,dx\; =\; \backslash left[\; f(x)\; g(x)\; \backslash right]\_\{a\}^\{b\}\; -\; \backslash int\_a^b\; f\text{'}(x)\; g(x)\backslash ,dx$

아벨의 합 공식은 다음과 같다.

:$\backslash sum\_\{k=m+1\}^n\; f(k)(g\_\{k\}-g\_\{k-1\})=\; \backslash left(f(n)g\_\{n\}\; -\; f(m)\; g\_m\backslash right)\; -\; \backslash int\_\{m\}^n\; g\_\{\backslash lfloor\; t\; \backslash rfloor\}\; f\text{'}(t)\; dt.$

아벨 변환은 세미마팅게일에 대한 부분 적분 공식과도 유사한 형태를 띤다.

:$f\_n\; g\_n\; -\; f\_m\; g\_m\; =\; \backslash sum\_\{k=m\}^\{n-1\}\; f\_k\backslash Delta\; g\_k\; +\; \backslash sum\_\{k=m\}^\{n-1\}\; g\_k\backslash Delta\; f\_k\; +\; \backslash sum\_\{k=m\}^\{n-1\}\; \backslash Delta\; f\_k\; \backslash Delta\; g\_k$

아벨 변환은 특정한 체나 벡터 공간에서도 적용 가능하다.

7.1. 부분 적분법

두 수열 $\backslash \{f\_k\backslash \}$와 $\backslash \{g\_k\backslash \}$가 있을 때, 다음 식이 성립한다.

:$\backslash sum\_\{k=m\}^n\; f\_k(g\_\{k+1\}-g\_k)\; =\; \backslash left(f\_\{n+1\}g\_\{n+1\}\; -\; f\_m\; g\_m\backslash right)\; -\; \backslash sum\_\{k=m\}^n\; g\_\{k+1\}(f\_\{k+1\}-\; f\_\{k\}).$

전방 차분 연산자 $\backslash Delta$를 사용하면 더 간결하게 표현할 수 있다.

:$\backslash sum\_\{k=m\}^n\; f\_k\backslash Delta\; g\_k\; =\; \backslash left(f\_\{n+1\}\; g\_\{n+1\}\; -\; f\_m\; g\_m\backslash right)\; -\; \backslash sum\_\{k=m\}^\{n\}\; g\_\{k+1\}\backslash Delta\; f\_k,$

이는 연속 함수에 대한 부분 적분 공식과 유사하다.

:$\backslash int\; f\backslash ,dg\; =\; f\; g\; -\; \backslash int\; g\backslash ,df,$

부분 적분 공식에서 두 함수의 곱 중 하나는 적분되고($g\text{'}$는 $g$가 됨) 다른 하나는 미분되는($f$는 $f\text{'}$가 됨) 것처럼, 아벨 변환에서도 두 수열 중 하나는 합산되고($b\_n$은 $B\_n$이 됨) 다른 하나는 차분된다($a\_n$은 $a\_\{n+1\}\; -\; a\_n$이 됨).

부정 합에 관한 부분 합 공식은 다음과 같다.

: $\backslash sum\_x\; f(x)(g(x+1)-g(x))=f(x)g(x)-\backslash sum\_x\; g(x+1)(f(x+1)-f(x))$

이는 부정 적분에 관한 부분 적분의 이산적인 형태이다.