미분 (주요 부분)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 일변수 함수
- 2.2. 다변수 함수
3. 성질
- 3.1. 연산 성질
- 3.2. 형식 불변성
4. 고계 미분
5. 역사와 표기법
6. 응용
참조

1. 개요

미분은 함수의 변화율을 나타내는 수학적 개념으로, 독립 변수의 변화에 따른 종속 변수의 순간적인 변화를 선형 함수로 나타낸다. 일변수 함수의 경우, 미분은 선형 근사를 구하는 데 사용되며, 다변수 함수의 경우 전미분으로 표현된다. 미분은 선형성과 곱의 미분법 등의 성질을 가지며, 연쇄 법칙이 성립한다. 미분은 함수의 증분에서 주요 부분으로 알려져 있으며, 고계 미분과 같은 다양한 형태로 확장될 수 있다. 미분은 뉴턴과 라이프니츠에 의해 처음 도입되었으며, 극한 개념을 사용하여 정의된다. 미분은 선형 근사, 오차 추정, 미분 방정식 해결 등 다양한 분야에 응용되며, 수치 해석 및 물리적 처리에서도 중요한 역할을 한다.

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미분 (주요 부분)
정의
대상	함수
분야	미분적분학
종류	미분
변수	미분소
함수 f의 미분
기호	df
정의	'df(x) = f′(x) dx'
관련 개념	선형 변환
관련 항목
관련 항목	미분 가능성

2. 정의

함수의 미분은 해당 점에서의 입력값의 변화에 대한 함숫값의 변화의 주된 선형 부분이다.^[7] 미분은 미분 적분의 현대적 정의에서 사용되는 개념이다.

미분은 함수의 선형 근사를 구하는 데 사용될 수 있으며, 이때 입력값의 변화량은 충분히 작아야 한다.

2. 1. 일변수 함수

일변수 함수

y=f(x)

의 점

x

에서의 미분

dy

는 독립 변수의 변화량

dx=\Delta x

에 대한 선형 함수이다.

:

dy(x,dx)=f'(x)dx

이러한

dy

가 존재할 필요충분조건은 그 점에서 미분 가능, 즉

f'(x)=\frac{dy}{dx}

가 존재한다는 것이다.

좀 더 자세히 설명하면, 어떤 상수

c

가 존재하여

:

\Delta y=c\Delta x+\alpha\Delta x,\ \alpha\to 0\ (\Delta x\to 0)

일 필요충분조건은, 그 점에서

y=f(x)

의 도함수를 구할 수 있다는 것이다. 이때

c=f'(x)

이다.

미분은 미분 적분의 현대적 취급에서 다음과 같이 정의된다.^[7] 단일 실수 변수

x

의 함수

f(x)

의 미분은 두 개의 독립적인 실수 변수

x

와

\Delta x

에 대한 함수

df

이며, 다음과 같이 주어진다.

df(x, \Delta x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ f'(x)\,\Delta x.

인수 중 하나 또는 둘 다를 생략할 수 있다. 즉,

df(x)

또는 간단히

df

를 볼 수 있다. 만약

y = f(x)

이면, 미분은

dy

로도 쓸 수 있다.

dx(x,\Delta x)=\Delta x

이므로, 다음 등식이 성립하도록

dx=\Delta x

로 쓰는 것이 일반적이다.

df(x) = f'(x) \, dx

이러한 미분의 개념은 함수에 대한 선형 근사를 구하는 경우에 광범위하게 적용될 수 있으며, 여기서 증분

\Delta x

의 값은 충분히 작다. 보다 정확하게는,

f

가

x

에서 미분 가능한 함수이면,

y

값의 차이인

\Delta y \ \stackrel{\rm{def}}{=}\ f(x+\Delta x) - f(x)

는 다음을 만족한다.

\Delta y = f'(x)\,\Delta x + \varepsilon = df(x) + \varepsilon\,

여기서 근사 오차

\varepsilon

는

\Delta x\rightarrow 0

일 때

\varepsilon /\Delta x\rightarrow 0

을 만족한다. 즉, 다음 근사 항등식을 얻는다.

\Delta y \approx dy

여기서 오차는

\Delta x

를 충분히 작게 제한함으로써

\Delta x

에 대해 원하는 만큼 작게 만들 수 있다. 즉,

\frac{\Delta y - dy}{\Delta x}\to 0

(

\Delta x\rightarrow 0

일 때)이다. 이러한 이유로 함수의 미분은 함수의 증분에서 주요 (선형) 부분으로 알려져 있다. 미분은 증분

\Delta x

의 선형 함수이며, 오차

\varepsilon

가 비선형일 수 있지만,

\Delta x

가 0으로 갈 때 빠르게 0으로 수렴한다.

2. 2. 다변수 함수

multi-variable function|다변수 함수^영어

y = f(x_1,\dots,x_n)

의 전미분은

:

dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} dx_n

로 정의된다. 이는 독립 변수

x_i

들의 변화에 대한

y

의 변화의 주된 부분을 나타낸다. 프레셰 미분 가능성의 정의에 따라, 다변수 함수의 증분은

:

\begin{align}\Delta y &{}= f(x_1+\Delta x_1, \dots, x_n+\Delta x_n) - f(x_1,\dots,x_n)\\&{}= \frac{\partial y}{\partial x_1} \Delta x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \Delta x_n + \varepsilon_1\Delta x_1 +\cdots+\varepsilon_n\Delta x_n\end{align}

으로 표현될 수 있으며, 여기서 오차항

\varepsilon_i

는 증분

\Delta x_i

가 0으로 접근할 때 0으로 수렴한다. 따라서 전미분은 다음과 같이 정의된다.

:

dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} \Delta x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \Delta x_n

dx_i(\Delta x_1,\dots,\Delta x_n) = \Delta x_i

이므로,

:

dy = \frac{\partial y}{\partial x_1}\,d x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n}\,d x_n

이 된다. 이

dy

는,

:

dy \approx \Delta y

로 간주할 수 있다. 이 오차는 변수의 증분을 충분히 작게 취함으로써,

\sqrt{\Delta x_1^2+\cdots +\Delta x_n^2}

에 대해 임의로 작게 할 수 있다.

3. 성질

미분의 여러 가지 성질은 도함수, 편도함수, 전도함수의 해당 성질로부터 직접적으로 파생된다.^[11]

선형성: 상수 a, b와 미분 가능한 함수 f, g에 대해,

::

d(af+bg) = a\,df + b\,dg.

곱 규칙: 두 개의 미분 가능한 함수 f와 g에 대해,

::

d(fg) = f\,dg+g\,df.

이 두 가지 성질을 가진 연산 d는 추상대수학에서 도함수라고 알려져 있으며, 이는 다음의 거듭제곱 규칙을 암시한다.

::

d( f^n ) = n f^{n-1} df

또한, 다양한 형태의 연쇄 법칙이 성립한다.^[12]

y = f(u)가 변수 u의 미분 가능한 함수이고 u = g(x)가 x의 미분 가능한 함수이면,

::

dy = f'(u)\,du = f'(g(x))g'(x)\,dx.

y = f(x₁, ..., x_n)이고 모든 변수 x₁, ..., x_n가 다른 변수 t에 의존한다면, 편도함수에 대한 연쇄 법칙에 의해, 다음이 성립한다.

::

\begin{align}    dy = \frac{dy}{dt} dt    &= \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} dx_n\\[1ex]    &= \frac{\partial y}{\partial x_1} \frac{dx_1}{dt} \, dt + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \frac{dx_n}{dt} \, dt.    \end{align}

직관적으로, 여러 변수에 대한 연쇄 법칙은 이 방정식의 양변을 무한히 작은 양 dt로 나누어 이해할 수 있다.

더 일반적인 유사한 표현도 성립하며, 여기서 중간 변수 x_i는 두 개 이상의 변수에 의존한다.

3. 1. 연산 성질

함수

u

와

v

의 미분

du

와

dv

가 같은 점에서 존재할 때, 도함수와 비슷한 연산 성질들을 만족한다.

선형성
: $d(u+v)=du+dv$
: $d(cu)=cdu$ ( $c$ 는 상수)
곱셈
: $d(uv)=vdu+udv$
나눗셈
: $d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{v^2}$

미분의 몇 가지 성질은 각각 대응하는 도함수의 성질을 그대로 적용한 형태로 표현할 수 있다.^[22]

선형성: 상수 ''a'' , ''b'' 와 미분 가능한 함수 ''f'' , ''g'' 에 대해,
: $d(af+bg) = a\,df + b\,dg.$
곱의 미분법: 두 미분 가능한 함수 ''f'' , ''g'' 에 대해,
: $d(fg) = f\,dg+g\,df.$

또한 이 성질에 의해 거듭제곱의 미분에 관해 다음과 같은 관계가 성립한다.

: $d( f^n ) = n f^{n-1} df$

3. 2. 형식 불변성

함수

y=f(u)

를 생각하자. 여기서

u

가 독립 변수일 때, 그 미분은 다음과 같다.

:

dy=f'(u)du

한편 함수

y=f(u)

와

u=g(x)

에 의하여 얻어지는

y

의

x

에 대한 함수

y=f(g(x))

를 미분하면 다음과 같다. (

u

는

x

에 대한 종속 변수이다)

:

dy=f'(g(x))g'(x)dx

이때

g'(x)dx

는 곧

du

이고,

f'(g(x))

는

f'(u)

이므로, 위의 식은 아래와 같이 다시 쓸 수 있다.

:

dy=f'(u)du

이는

u

를 독립 변수로 놓고

y

를 미분한 결과와 일치한다. 즉, 일변수 함수의 (그뿐만은 아니다) 일계 미분

dy

의 형식은

u

가 독립 변수인지 종속 변수인지에 따라 변하지 않는다. 따라서, 아래와 같은 미분들을 자유자재로 사용하여도 무방하다.

:

d(\sin(\ln x))=\cos(\ln x)d(\ln x)=\cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x}dx

:

dx=cdy\Longrightarrow dy=\frac{1}{c}dx

이러한 결론은 다변수 함수의 미분에서도 성립한다. 고계 미분에서는 성립하지 않는다는 점은 주의할 가치가 있다.

4. 고계 미분

일변수 함수 $y = f(x)$ 의 고계 미분은 변수 $x$ 하나에 대해 다음과 같이 정의된다.^[8]^[20]

: $d^2y = d(dy) = d(f'(x)dx) = (df'(x))dx = f''(x)\,(dx)^2,$

일반적으로,

: $d^ny = f^{(n)}(x)\,(dx)^n.$

이는 고계 도함수에 대한 라이프니츠 표기법을 유도한다.

: $f^{(n)}(x) = \frac{d^n f}{dx^n}.$

독립 변수 $x$ 자체가 다른 변수에 의존하는 경우, 표현식은 더 복잡해지며 $x$ 자체의 고계 미분을 포함해야 한다.^[8]^[20] 예를 들어,

: $\begin{align}d^2 y &= f''(x)\,(dx)^2 + f'(x)d^2x \\[1ex]d^3 y &= f'''(x)\, (dx)^3 + 3f''(x)dx\,d^2x + f'(x)d^3x\end{align}$

여러 변수의 함수에 대한 고계 미분을 정의하는 경우에도 유사한 고려 사항이 적용된다. 예를 들어, $f$ 가 두 변수 $x$ 와 $y$ 의 함수인 경우,^[9]^[21]

: $d^nf = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{\partial^n f}{\partial x^k \partial y^{n-k}}(dx)^k(dy)^{n-k},$

여기서 $\binom{n}{k}$ 는 이항 계수이다. 더 많은 변수에서는 이항 전개 대신 적절한 다항 계수를 사용하는 유사한 표현식이 적용된다.

여러 변수의 고계 미분 또한 독립 변수 자체가 다른 변수에 의존하는 경우 더 복잡해진다.^[9]^[21] 예를 들어, 보조 변수에 의존하는 $x$ 와 $y$ 의 함수 $f$ 에 대해, 다음이 성립한다.

: $d^2f = \left(\frac{\partial^2f}{\partial x^2} (dx)^2 + 2\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} dx\,dy + \frac{\partial^2f}{\partial y^2} (dy)^2\right) + \frac{\partial f}{\partial x}d^2x + \frac{\partial f}{\partial y} d^2y.$

증분 $\Delta x$ 에 적용된 함수 $f$ 의 $n$ 차 미분은 다음과 같이 정의된다.^[20]

: $d^nf(x,\Delta x) = \left.\frac{d^n}{dt^n} f(x+t\Delta x)\right|_{t=0}$

또는 다음과 같은 동등한 표현식으로 정의된다.

: $\lim_{t\to 0}\frac{\Delta^n_{t\Delta x} f}{t^n}$

여기서 $\Delta^n_{t\Delta x} f$ 는 증분 $t\Delta x$ 를 갖는 $n$ 차 전진 차분이다.

이 정의는 $f$ 가 여러 변수의 함수인 경우에도 의미가 있다(여기서는 벡터 인수로 간주한다). 그러면 이 방식으로 정의된 $n$ 차 미분은 벡터 증분 $\Delta x$ 에 대한 차수 $n$ 의 동차 함수이다. 또한, 점 $x$ 에서의 $f$ 의 테일러 급수는 다음과 같다.^[20]

: $f(x+\Delta x) \sim f(x) + df(x,\Delta x) + \frac{1}{2}d^2f(x,\Delta x) + \cdots + \frac{1}{n!}d^nf(x,\Delta x) + \cdots$

고계 게토 도함수는 이러한 고려 사항을 무한 차원 공간으로 일반화한다.

5. 역사와 표기법

아이작 뉴턴이 미분을 처음 도입했고, 고트프리트 라이프니츠가 이를 더욱 발전시켰다. 라이프니츠는 미분 $dy$를 함수값 $y$의 무한히 작은(또는 무한소) 변화로 보았고, 이는 함수 인자 $x$의 무한히 작은 변화 $dx$에 해당한다. $x$에 대한 $y$의 순간적인 변화율, 즉 함수의 도함수 값은 $\frac{dy}{dx}$ 와 같은 분수로 표시되며, 이를 라이프니츠 표기법이라고 한다.

이러한 무한소 사용은 분석가라는 소책자를 쓴 버클리 주교 등에 의해 비판받았다. 오귀스탱 루이 코시는 라이프니츠의 무한소 개념을 사용하지 않고, 달랑베르를 따라 차이 몫의 극한으로 도함수를 정의했다.^[1]^[2] 즉, $dy = f'(x)dx$ 와 같이 정의하여, $dy$와 $dx$를 유한한 실수를 갖는 새로운 변수로 다루었다.^[3]^[4]

코시의 접근 방식은 무한소의 형이상학적 개념 없이도 미분을 다룰 수 있게 하여 현대적인 분석적 처리에서 표준으로 남게 되었으며,^[5] 극한에 대한 완전한 현대적 개념은 카를 바이어슈트라스에 의해 정립되었다.^[6]

6. 응용

함수의 미분은 그 점과 가까운 곳에서 함수의 증가량을 근사하는 데 사용될 수 있다. 즉, 선형 함수로 근사하여 함수의 값을 어림할 수 있다. 예를 들어, $e^{0.1}$ 의 값을 어림하기 위해 근사를 사용하면 1.1로 추정할 수 있다. (정확한 값은 1.1051709...이다.)^[7]

미분은 미분 적분의 현대적 접근에서 정의되며, 함수에 대한 선형 근사를 구할 때 널리 적용된다. 여기서 증분은 충분히 작아야 한다. 함수의 미분은 함수의 증분에서 주요 부분으로 알려져 있으며, 증분의 선형 함수이다. 오차는 비선형일 수 있지만, 증분이 0으로 갈 때 빠르게 0으로 수렴한다.

전미분은 측정에서 변수들의 오차를 바탕으로 함수의 오차를 추정하는 데 사용된다.^[3] 예를 들어 곱셈의 경우, 총 상대 오차는 변수의 상대 오차의 합이다.^[3] 함수에 따라 추가적인 인수가 있을 수 있으며, 이 인수는 오차를 작게 만드는 경향이 있다.^[3]

미분은 미분 방정식에서 변수를 분리할 때 유용하다.

6. 1. 선형 근사

함수의 미분은 그 점과 가까운 곳에서의 함수의 증가량을 근사하는 데 사용될 수 있다.

:

\Delta y\approx dy=f'(x)\Delta x

즉, 다음과 같이 함수의 값을 어림할 수 있다.

:

f(x')\approx f(x)+f'(x)\Delta x,\ x'=x+\Delta x

이는 선형 함수로 근사하는 방법이다. 예를 들어,

e^{0.1}

의 값을 어림하기 위해 다음과 같은 근사를 사용할 수 있다.

:

e^x\approx e^0+(e^x)'(x-0)=1+x,\ x\ll 1

이렇게 추정한

e^{0.1}

의 값은 1.1이다. (정확한 값은 1.1051709...이다.)

미분은 미분 적분의 현대적 접근에서 다음과 같이 정의된다.^[7] 단일 실수 변수

x

의 함수

f(x)

의 미분은 두 개의 독립적인 실수 변수

x

와

\Delta x

에 대한 함수

df

이며, 다음과 같이 주어진다.

:

df(x, \Delta x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ f'(x)\,\Delta x.

df(x)

또는 간단히

df

와 같이 인수 중 하나 또는 둘 다를 생략할 수 있다.

y = f(x)

이면, 미분은

dy

로도 쓸 수 있다.

dx(x,\Delta x)=\Delta x

이므로,

dx=\Delta x

로 쓰는 것이 일반적이다.

:

df(x) = f'(x) \, dx

이러한 미분의 개념은 함수에 대한 선형 근사를 구하는 경우에 광범위하게 적용될 수 있다. 여기서 증분

\Delta x

의 값은 충분히 작다. 더 정확하게는,

f

가

x

에서 미분 가능한 함수이면,

y

값의 차이인

:

\Delta y \ \stackrel{\rm{def}}{=}\ f(x+\Delta x) - f(x)

는 다음을 만족한다.

:

\Delta y = f'(x)\,\Delta x + \varepsilon = df(x) + \varepsilon\,

여기서 근사 오차

\varepsilon

는

\Delta x\rightarrow 0

일 때

\varepsilon /\Delta x\rightarrow 0

을 만족한다. 즉, 다음과 같은 근사 항등식을 얻는다.

:

\Delta y \approx dy

여기서 오차는

\Delta x

를 충분히 작게 제한함으로써

\Delta x

에 대해 원하는 만큼 작게 만들 수 있다. 즉,

\frac{\Delta y - dy}{\Delta x}\to 0

\Delta x\rightarrow 0

일 때. 이러한 이유로 함수의 미분은 함수의 증분에서 주요 부분으로 알려져 있다. 미분은 증분

\Delta x

의 선형 함수이며, 오차

\varepsilon

가 비선형일 수 있지만,

\Delta x

가 0으로 갈 때 빠르게 0으로 수렴한다.

6. 2. 오차 추정

전미분은 측정에서 변수들의 오차를 기반으로 함수의 오차를 추정하는 데 사용될 수 있다.^[3] 예를 들어, 곱셈

f(a,b) = ab

의 경우를 생각해보자.

만약

f(a,b) = ab

라고 하면, 유한 오차는 다음과 같이 근사될 수 있다.

:

\Delta f = f_a \Delta a + f_b \Delta b.

도함수를 계산하면 다음과 같다.

:

\Delta f = b \Delta a + a \Delta b.

f

로 나누면, 즉

a \times b

로 나누면

:

\frac{\Delta f}{f} = \frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b}

즉, 곱셈에서 총 상대 오차는 변수의 상대 오차의 합이다.^[3]

함수가

f(a,b)=a\ln b

인 경우, 오차 추정은 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

\frac{\Delta f}{f} = \frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b \ln b}

단순한 곱셈의 경우와 달리 추가적인 인수

\ln b

가 있다. 이 추가 인수는

\ln b

가 단순한

b

만큼 크지 않기 때문에 오차를 작게 만드는 경향이 있다.^[3]

6. 3. 미분 방정식

미분은 특히 미분 방정식에서 변수를 분리할 때 유용하게 사용된다. 예를 들어, 다음과 같은 미분 방정식이 주어졌을 때,

\frac{dy}{dx} = g(x)

이를 다음과 같은 형태로 다시 쓸 수 있다.

dy = g(x)\,dx

참조

_[1] 서적 Boyer
_[2] 서적 Boyer
_[3] 서적 Boyer
_[4] 서적 Boyer
_[5] 서적 Courant
_[6] 서적 Boyer
_[7] 서적 Courant
_[8] 서적 Cauchy
_[9] 서적 Goursat
_[10] 문서 infinite dimensional holomorphy
_[11] 서적 Goursat
_[12] 서적 Goursat
_[13] 서적 Eisenbud
_[14] 서적 Kock
_[15] 서적 Robinson
_[16] 서적 Courant
_[17] 서적 高木貞治
_[18] 서적 Goursat
_[19] 서적 Courant
_[20] 서적 Cauchy
_[21] 서적 Goursat
_[22] 서적 Goursat
_[23] 서적 Goursat

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