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범프 함수

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목차

1. 개요

범프 함수는 실수값을 가지는 매끄러운 함수로, 유한한 구간 밖에서는 0의 값을 갖는 함수이다. 범프 함수는 완화자, 절단 함수, 단위 분할 구성 등에 사용되며, 해석학에서 테스트 함수로 활용된다. 범프 함수의 공간은 여러 연산에 대해 닫혀 있으며, 푸리에 변환은 해석 함수이고, 0이 아닌 범프 함수는 콤팩트하게 지지받지 못한다.

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2. 정의 및 예시

범프 함수는 다음 두 가지 조건을 만족하는 함수이다.


  • 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$에서 정의된 매끄러운 함수(모든 차수의 도함수가 연속)
  • 콤팩트 지지 (함수 값이 0이 아닌 점들의 집합의 폐포가 콤팩트 집합)


1차원 범프 함수의 예시로는 다음과 같이 정의되는 함수 Ψ : '''R''' → '''R'''가 있다.

:\Psi(x) =

\begin{cases}

\exp\left( -\frac{1}{1 - x^2}\right), & \text{ if } |x| < 1, \\

0, & \text{ if } |x| \geq 1,

\end{cases}

이 함수는 |x| < 1 에서 양수 값을 가지며, |x| ≥ 1 에서는 0이 된다.

  • n*차원 범프 함수는 1차원 범프 함수를 각 변수에 대해 곱하여 만들 수 있다.


:\Phi(x_1, x_2, \dots, x_n) = \Psi(x_1)\Psi(x_2)\cdots\Psi(x_n).

n 변수의 방사형 대칭 범프 함수는 \Psi_n(\mathbf{x})=\Psi(|\mathbf{x}|)로 정의하여 만들 수 있다. 이 함수는 원점을 중심으로 하는 단위 구에 지지된다.

또 다른 예시로, 구간 (c, d)에서 양수이고 그 외에는 0인 함수 h는 다음과 같이 정의된다.

:h(x) = \begin{cases}

\exp\left(-\frac{1}{(x-c)(d-x)}\right),& c < x < d \\

0,& \mathrm{otherwise}

\end{cases}

매끄러운 전이 함수는 0과 1 사이를 부드럽게 전환하는 함수이다. 모든 실수 x에 대해 정의된 함수 f(x)는 다음과 같다.

:f(x)=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x}}&\text{if }x>0,\\ 0&\text{if }x\le0,\end{cases}

이 함수를 이용하여 0과 1 사이에서 매끄러운 전이를 제공하는 함수 g(x)를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:g(x)=\frac{f(x)}{f(x)+f(1-x)},\qquad x\in\mathbb{R},

2. 1. 1차원 범프 함수의 예시

다음과 같이 정의된 함수 Ψ : '''R''' → '''R'''는 1차원 범프 함수의 예시이다.

함수 Ψ(''x'')


:\Psi(x) =

\begin{cases}

\exp\left( -\frac{1}{1 - x^2}\right) & \mbox{ for } |x| < 1\\

0 & \mbox{ otherwise}

\end{cases}

이 함수는 |x| < 1 에서 양수 값을 가지며, |x| ≥ 1 에서는 0이 된다. 또한, 모든 차수의 도함수가 연속이므로 매끄러운 함수이다. 이 함수는 비해석적 매끄러운 함수의 예시이기도 하다. 이 함수는 정의를 보면 콤팩트 지지 함수임을 알 수 있다. 이 함수의 실선은 유계 지지 함수이며 닫힌 지지 함수일 경우에만 콤팩트 지지 함수이다. 이 함수가 매끄러움을 증명하려면 비해석적 매끄러운 함수의 함수와 같은 과정을 거친다. 이 함수는 단위 디스크에 맞게 축적시킨 가우스 함수 e^{-y^2}로 해석될 수 있다. y^2=1/(1-x^2)로 치환하여 ''x'' = ±1로 갈 때 ''y'' = ∞으로 대응 시키는 것이다.

2. 2. 다차원 범프 함수

1차원 범프 함수를 각 변수에 대해 곱하여 다차원 범프 함수를 만들 수 있다. 예를 들어, *n*차원 범프 함수는 다음과 같이 정의할 수 있다.

:\Phi(x_1, x_2, \dots, x_n) = \Psi(x_1)\Psi(x_2)\cdots\Psi(x_n).

여기서 \Psi(x)는 1차원 범프 함수이다.

  • n* 변수의 방사형 대칭 범프 함수는 \Psi_n : \Reals^n \to \Reals 함수를 다음과 같이 정의하여 만들 수 있다.[1]


:\Psi_n(\mathbf{x})=\Psi(|\mathbf{x}|)

이 함수는 원점을 중심으로 하는 단위 구에 지지된다.[1]

2. 3. 매끄러운 전이 함수

모든 실수 ''x''에 대해 정의된 함수

:f(x)=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x}}&\text{if }x>0,\\ 0&\text{if }x\le0,\end{cases}

를 생각해보자.

함수

:g(x)=\frac{f(x)}{f(x)+f(1-x)},\qquad x\in\mathbb{R},

는 실수 전체에서 분모가 0이 아니므로 ''g'' 역시 매끄럽다. 또한, ''x'' ≤ 0 이면 ''g''(''x'') = 0 이고, ''x'' ≥ 1 이면 ''g''(''x'') = 1 이므로, 이는 단위 구간 [0, 1]에서 0에서 1로 매끄럽게 변화하는 함수이다. ''a'' < ''b'' 인 실수 ''a'', ''b''에 대해, 구간 [''a'', ''b'']에서 매끄러운 전이를 가지려면, 함수

:\mathbb{R}\ni x\mapsto g\Bigl(\frac{x-a}{b-a}\Bigr).

를 사용하면 된다.

매끄러운 전이 함수의 예시는 다음과 같다.

:w(x)=\begin{cases}\frac{1}{1+e^{\frac{2x-1}{x^2-x}}}&\text{if }0

이는 쌍곡선 함수를 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.

:\frac{1}{1+e^{\frac{2x-1}{x^2-x}}} = \frac{1}{2}\left( 1-\tanh\left(\frac{2x-1}{2(x^2-x)} \right) \right)

3. 범프 함수의 존재성

생성 과정에서의 집합 모식도


범프 함수는 특정 조건을 만족하도록 만들 수 있다. ''n''차원 콤팩트 집합 ''K''와 ''K''를 포함하는 열린 집합 ''U''가 주어졌을 때, ''K'' 위에서 1이고 ''U'' 외부에서 0인 범프 함수 φ가 존재한다. ''U''가 ''K''와 매우 가깝더라도, ''K'' 위에서 1이고 ''K'' 외부에서 급격하게 0으로 떨어지면서 매끄러운 범프 함수를 만들 수 있다.[1]

3. 1. 구성 방법

범프 함수는 특정 조건을 만족하도록 만들 수 있다. ''n''차원 콤팩트 집합 ''K''와 ''K''를 포함하는 열린 집합 ''U''가 주어졌을 때, ''K'' 위에서 1이고 ''U'' 외부에서 0인 범프 함수 φ가 존재한다. ''U''가 ''K''와 매우 가깝더라도, ''K'' 위에서 1이고 ''K'' 외부에서 급격하게 0으로 떨어지면서 매끄러운 범프 함수를 만들 수 있다.

일반적인 구성 방법은 다음과 같다. 먼저, ''K'' ⊂ ''Vo'' ⊂ ''V'' ⊂ ''U''를 만족하는 콤팩트 집합 ''V''를 잡는다. 다음으로, ''V'' 위에서 1이고 ''V'' 외부에서 0인 특성 함수 \chi_V를 생각한다. 이 함수는 매끄럽지 않으므로, 완화자와의 합성곱을 통해 \chi_V를 매끄럽게 만든다. 완화자는 적분이 1이고 지지 집합이 매우 작은 범프 함수이며, 예를 들어 범프 함수 \Phi에 적절한 크기 변환을 하여 얻을 수 있다.[1]

합성곱을 사용하지 않는 구성 방법은 다음과 같다.

먼저, 주어진 열린 부분 집합 U \subseteq \Reals^n에서 양수이고 U 외부에서 사라지는 매끄러운 함수 f : \Reals^n \to \Reals를 구성한다. 이 함수의 지지대는 \Reals^n에서 U의 폐포 \overline{U}와 같으므로, \overline{U}가 콤팩트하면 f는 범프 함수가 된다.

음수 실수에서 사라지고 양수 실수에서 양수인 매끄러운 함수 c : \Reals \to \Reals를 정의한다. 예를 들어, x > 0이면 c(x) := e^{-1/x}, 그렇지 않으면 c(x) := 0으로 정의할 수 있다.

U를 \Reals^n의 열린 부분 집합으로 고정하고, 유클리드 노름을 \|\cdot\|로 나타낸다. U = \Reals^n이면 f = 1로, U = \varnothing이면 f = 0으로 정의한다. U가 이들 중 어느 것도 아니라고 가정하고, \left(U_k\right)_{k=1}^\infty를 열린 공으로 U의 열린 덮개로 한다. 각 열린 공 U_k는 반경 r_k > 0과 중심 a_k \in U를 갖는다.

f_k(x) = c\left(r_k^2 - \left\|x - a_k\right\|^2\right)로 정의된 함수 f_k : \Reals^n \to \Reals는 U_k에서 양수이고 U_k 외부에서 사라지는 매끄러운 함수이다.

모든 k \in \mathbb{N}에 대해,

M_k = \sup \left\{\left|\frac{\partial^p f_k}{\partial^{p_1} x_1 \cdots \partial^{p_n} x_n}(x)\right| ~:~ x \in \Reals^n \text{ and } p_1, \ldots, p_n \in \Z \text{ satisfy } 0 \leq p_i \leq k \text{ and } p = \sum_i p_i\right\},

를 정의한다. 여기서 상한은 +\infty와 같지 않고, M_k는 음이 아닌 실수가 된다.

다음 급수

f ~:=~ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{f_k}{2^k M_k}

는 U에서 양수이고 U 외부에서 사라지는 매끄러운 함수 f : \Reals^n \to \Reals로 \Reals^n에서 균일하게 수렴한다.

또한, 모든 음이 아닌 정수 p_1, \ldots, p_n \in \Z에 대해,

\frac{\partial^{p_1+\cdots+p_n}}{\partial^{p_1} x_1 \cdots \partial^{p_n} x_n} f ~=~ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k M_k} \frac{\partial^{p_1+\cdots+p_n} f_k}{\partial^{p_1} x_1 \cdots \partial^{p_n} x_n}

이며, 이 급수도 \Reals^n에서 균일하게 수렴한다.

\Reals^n의 두 서로소인 닫힌 부분 집합 A, B가 주어지면, 위 구성을 통해 매끄러운 음이 아닌 함수 f_A, f_B : \Reals^n \to [0, \infty)를 얻을 수 있다. 이 함수들은 x \in A이면 f_A(x) = 0, x \in B이면 f_B(x) = 0을 만족한다.

h ~:=~ \frac{f_A}{f_A + f_B} : \Reals^n \to [0, 1]

함수는 매끄럽고, x \in A이면 h(x) = 0, x \in B이면 h(x) = 1, x \not\in A \cup B이면 0 < h(x) < 1을 만족한다.

U := \Reals^n \smallsetminus A가 \Reals^n에서 상대적으로 콤팩트하면, h는 \overline{U}에서 지지대를 갖는 매끄러운 범프 함수가 된다.

4. 성질 및 활용

범프 함수는 매끄럽지만 해석 함수가 아니다. 이는 항등 정리에 따른 결과이다.[6] 범프 함수는 완화자, 매끄러운 절단함수로 사용되거나 매끄러운 단위 분할을 구성하는 데 사용된다. 해석학에서 가장 많이 사용되는 테스트 함수의 종류이기도 하다.

범프 함수의 공간은 여러 연산에 대해 닫혀 있다. 예를 들어, 두 범프 함수의 합, 곱, 합성곱은 다시 범프 함수가 된다. 또한 매끄러운 계수를 가진 미분 연산자를 범프 함수에 적용하면 다른 범프 함수가 만들어진다.

범프 함수의 푸리에 변환은 실수 해석 함수이며, 복소 평면 전체로 확장할 수 있다. 따라서 0이 아닌 이상 콤팩트하게 지지받지 못한다. 전해석 함수인 범프 함수는 0 함수뿐이기 때문이다. (페일리 위너 정리)[7] 범프 함수는 무한히 미분 가능하므로, 충분히 큰 각주파수 |''k''|에 대해 푸리에 변환 ''F''(''k'')는 1/''k''의 유한한 거듭제곱보다 빠르게 감소해야 한다.[4]

특별한 범프 함수

:\Psi(x) = 1_{\{|x|<1\}} \exp \left({-\frac{1}{1-x^2}} \right)

의 푸리에 변환은 안장점 방법으로 해석할 수 있으며, 큰 |''k''|에 대해 점근적으로

:|k|^{-3/4} \exp \left(-\sqrt

\right)

와 같이 감소한다.[5]

참조

[1] 문서
[2] 간행물 On the convergence rate of generalized Fourier expansions 1973
[3] 논문 Saddle-point integration of ''C''∞ "bump" functions https://arxiv.org/ab[...] 2015
[4] 간행물 On the convergence rate of generalized Fourier expansions 1973
[5] 웹사이트 Saddle-point integration of ''C''∞ "bump" functions http://math.mit.edu/[...] online MIT notes 2007
[6] 간행물 On the convergence rate of generalized Fourier expansions 1973
[7] 논문 Saddle-point integration of ''C''∞ "bump" functions http://arxiv.org/abs[...] 2015


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