범함수

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1. 개요
2. 정의
3. 국소성과 비국소성
4. 범함수의 미분과 적분
5. 함수 방정식
참조

1. 개요

범함수는 함수를 입력으로 받아 실수 값을 출력하는 함수이다. 변분법에서 적분값을 최소화할 때 사용되며, 정적분, Lp 노름, 호의 길이 등이 범함수의 예시이다. 범함수는 국소적 또는 비국소적일 수 있으며, 미분과 적분을 통해 분석된다. 범함수 방정식은 범함수 간의 관계를 나타내며, 함수를 해로 갖는다.

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범함수

2. 정의

범함수는 함수를 입력으로 받아 스칼라 값을 출력하는 함수이다. 즉, 정의역이 함수들의 집합이고 공역(치역)이 실수 또는 복소수 집합인 함수를 말한다. 변분법 등에서 특정한 적분값을 최소화하려 할 때 이 범함수의 개념이 필요하다. 적절한 경계 조건과 미분가능성 조건을 만족시키는 함수들 각각에 대해 그 적분값을 계산하는 것이기 때문이다. 더 넓은 의미의 개념은 작용소 문서를 참고한다.

2. 1. 쌍대성

함수

f(x_0)

가 주어졌을 때, 변수

x_0

를 함수

f

의 인수로 보는 것은 일반적인 함수이다. 반면,

x_0

를 고정하고

f

를 변수로 보는 사상

f \mapsto f(x_0)

는 범함수이며,

x_0

는 매개변수로 이해할 수 있다.

f

가 선형 공간에서 그 계수체로의 선형 사상이면, 위의 두 사상은 서로 쌍대인 선형 사상이 되므로, 함수 해석에서는 둘 다 선형 범함수라고 부른다.

2. 2. 정적분

정적분은 범함수의 특수한 예시이다. 예를 들어,

:

f\mapsto I[f]=\int_{\Omega} H(f(x),f'(x),\ldots)\;\mu(dx)

형태의 정적분은,

H

가 실수 값을 가질 때, 함수

f

를 어떤 실수(적분값)로 사상하므로 범함수가 된다. 정적분이 제공하는 범함수의 예시는 다음과 같다.

양의 값을 갖는 함수 $f$ 의 그래프 아래 부분의 면적: $f\mapsto\int_{x_0}^{x_1}f(x)\;dx$
함수의 Lp norm|L^p 노름^영어: $f\mapsto \left(\int|f|^p\;dx\right)^{1/p}$
2차원 유클리드 공간 내 곡선의 호의 길이: $f \mapsto \int_{x_0}^{x_1} \sqrt{ 1+|f'(x)|^2 } \;dx$

2. 3. 벡터의 스칼라 곱

내적 공간

X

와 고정된 벡터

\vec{x} \in X

가 주어졌을 때,

\vec{y} \mapsto \vec{x} \cdot \vec{y}

로 정의된 사상은

X

에 대한 선형 범함수이다.

\vec{x}\cdot \vec{y}

가 0인 벡터

\vec{y}

의 집합은

X

의 벡터 부분 공간이며, 이 공간은 범함수의 핵,

\vec{x}

의 직교 여집합이라고 부르며,

\{\vec{x}\}^\perp

로 표기한다.

벡터 공간

X

의 임의의 벡터

\vec{x}

에 대해, 다른 벡터

\vec{y}

와의 스칼라 곱(

\vec{x}\cdot\vec{y}

또는

\langle \vec{x},\vec{y} \rangle

로 표기)은 스칼라 값을 가진다. 이 곱이 0인 벡터들의 집합은

X

의 부분 공간이 되며,

X

의 널 공간 또는 핵이라고 불린다.

3. 국소성과 비국소성

범함수의 값이 입력 곡선의 작은 세그먼트에 대해 계산될 수 있고 이를 합하여 전체 값을 구할 수 있다면, 해당 범함수는 국소적이라고 불린다. 그렇지 않은 경우 비국소적이라고 불린다. 예를 들어:

: $F(y) = \int_{x_0}^{x_1}y(x)\;\mathrm{d}x$

는 국소적이고,

: $F(y) = \frac{\int_{x_0}^{x_1}y(x)\;\mathrm{d}x}{\int_{x_0}^{x_1} (1+ [y(x)]^2)\;\mathrm{d}x}$

는 비국소적이다. 이는 질량 중심 계산 등과 같이 방정식의 분자와 분모에 적분이 개별적으로 나타나는 경우에 흔히 발생한다.

4. 범함수의 미분과 적분

범함수 미분은 라그랑주 역학에서 사용된다. 범함수 미분은 입력 함수가 작은 양만큼 변할 때 범함수가 어떻게 변하는지에 대한 정보를 제공하며, 변분법과 밀접한 관련이 있다.

리처드 파인만은 양자역학의 경로 적분 공식에서 범함수 적분을 핵심 아이디어로 사용했다. 이 사용법은 일부 함수 공간에 대한 적분을 의미한다.

5. 함수 방정식

전통적으로 범함수 방정식은 범함수 간의 방정식을 의미한다. 범함수 간의 방정식 $F = G$ 는 '풀어야 할 방정식'으로 읽힐 수 있으며, 해는 함수이다. 이러한 방정식에는 여러 개의 변수 미지수 집합이 있을 수 있는데, 예를 들어 가법 사상 $f$ 가 코시 함수 방정식을 만족하는 경우가 이에 해당한다.

$f(x + y) = f(x) + f(y) \qquad \text{ 모든 } x, y에 대하여.$

참조

_[1] 서적 2002
_[2] 서적 1957
_[3] 서적 2014
_[4] 간행물 Linear functional Springer
_[5] 서적 1957

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