보렐-카라테오도리 정리

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1. 개요
2. 공식화
3. 증명
- 3.1. 기본 증명 (한국어, 영어 위키백과 통합)
- 3.2. 추가 증명 (영어 위키백과)
4. 따름정리
5. 응용
참조

1. 개요

보렐-카라테오도리 정리는 복소변수 함수에 대한 해석학 정리로, 함수 f(z)의 절댓값에 대한 상한을 함수의 실수부와 함수값 f(0)을 이용하여 나타낸다. 이 정리는 슈바르츠 보조정리를 활용하여 증명되며, 아다마르 인수분해 정리의 증명 등에서 미분 계수의 로그 값을 제한하는 데 사용된다. 또한 리우빌 정리의 강화된 형태를 유도하고, 전해석 함수의 차수를 제한하는 데에도 응용된다.

2. 공식화

복소 변수 함수 f(z)가 |z|≤R에서 해석적이라 하고 A(r)|A(r)^영어 = 라 하면, 0부등식이 성립한다.^[3]

: $\max_{|z|=r} |f(z)| \le \frac{2r}{R-r} A(R) + \frac{R+r}{R-r} |f(0)|.$

함수 $f$ 가 반지름이 ''R''이고 원점을 중심으로 하는 닫힌 원판에서 해석적이라고 하자. ''r'' < ''R''이라고 가정하면 다음 부등식이 성립한다.

: $\|f\|_r \le \frac{2r}{R-r} \sup_{|z| \le R} \operatorname{Re} f(z) + \frac{R+r}{R-r} |f(0)|.$

여기서 좌변의 노름은 닫힌 원판에서 ''f''의 최댓값을 나타낸다.

: $\|f\|_r = \max_{|z| \le r} |f(z)| = \max_$

3. 증명

보렐-카라테오도리 정리의 증명은 크게 두 가지 방식으로 나뉜다.

기본 증명: 주어진 함수를 변환하고 슈바르츠 보조정리를 적용하여 부등식을 유도한다. 이 방법은 비교적 간결하며, 복소해석학의 기본적인 도구들을 활용한다.^[4]
추가 증명: 코시 적분 공식을 사용하여 함수의 도함수에 대한 경계를 구하고, 이를 이용하여 테일러 전개를 통해 부등식을 유도한다. 이 방법은 좀 더 복잡하지만, 복소함수의 성질을 더 깊이 이해하는 데 도움을 준다.^[1]^[2]

3. 1. 기본 증명 (한국어, 영어 위키백과 통합)

3. 2. 추가 증명 (영어 위키백과)

이 정리의 또 다른 증명은 다음과 같다.^[1]^[2]^[4]만약 f^영어 = u^영어 + iv^영어가 어떤

\epsilon > 0

에 대해

B(0, R+\epsilon)

에서 해석적이고,

\partial B(0, R)

에서 u^영어 ≤ M^영어이라면,

\forall n\geq 1

에 대해,

:

|f^{(n)}(0) | \leq \frac{2n!}{R^n} (M -u(0))

이고 유사하게

v \leq M

이다.

v^영어의 경우는

-if = v - iu

를 통해 얻을 수 있으므로, u^영어의 경우를 증명하는 것으로 충분하다.

일반성을 잃지 않고, 상수를 빼서

f(0) = 0

으로 만든다.

코시 적분 공식을 사용하여

\partial B(0, R)

주변에 세 개의 선적분을 수행한다.

:

f^{(n)}(0)/n! =\frac{1}{2\pi i} \oint \frac{f(z)}{z^{n+1}}dz =  \int_0^1 \frac{f(Re^{2\pi i t})}{R^ne^{2\pi in t} }dt

:

\int_0^1 f(Re^{2\pi i t}) e^{2\pi int}dt = \frac{1}{2\pi i R^n}\oint f(z) z^{n-1}dz = 0

:

\int_0^1 f(Re^{2\pi i t})dt = \frac{1}{2\pi i}\oint f(z) z^{-1}dz = f(0) = 0

각도

\theta

를 선택하여

e^{-i\theta} f^{(n)}(0) = | f^{(n)}(0)|

이 되도록 한다. 그런 다음 세 개의 적분을 선형적으로 결합하여 다음을 얻는다.

:

\int_0^1 f(Re^{2\pi i t})dt (1 +  \cos(2\pi nt + \theta)) = \frac 12 R^n |f^{(n)} (0)|/n!

허수 부분은 사라지고, 실수 부분은 다음을 제공한다.

:

\int_0^1 u(Re^{2\pi i t})dt (1 +  \cos(2\pi nt + \theta)) = \frac 12 R^n |f^{(n)} (0)|/n!

적분은

M\int_0^1 dt (1 +  \cos(2\pi nt + \theta))  = M

로 위에서 경계가 지어지므로, 결과를 얻는다.

동일한 가정을 가지고, 모든

r\in (0, R)

에 대해,

:

\max_{z\in \partial B(0, r)}| f(z)| \leq \frac{2r}{R-r} M + \frac{R+r}{R-r}|f(0)|

f(0) = 0

의 경우를 증명하는 것으로 충분하다.

이전 결과를 사용하여 테일러 전개를 하면,

:

|f(z)| \leq \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}|f^{(n)}(0)|\cdot |z|^n \leq |f(0)| + \sum_{n=1}^\infty2M (r/R)^n  = \frac{2r}{R-r} M

동일한 가정을 가지고, 모든

r\in (0, R)

및 모든 정수

n\geq 1

에 대해,

:

\max_{z\in \partial B(0, r)}| f^{(n)}(z)| \leq \frac{2n!}{(R-r)^{n+1}} R(M- u(0))

마찬가지로

f(0) = 0

의 경우를 증명하는 것으로 충분하다. 위와 유사하게,

:

\begin{align}|f^{(n)}(z)| &\leq \sum_{k=n}^\infty \frac{k\cdots (k-n+1)}{k!}|f^{(k)}(0)|\cdot |z|^{k-n}  \\&\leq \frac{2(M - u(0))}{R^n}\sum_{k=n}^\infty k\cdots (k-n+1) \left(\frac rR\right)^{k-n} \\&= \frac{2n!}{(R-r)^{n+1}} R(M- u(0))\end{align}

4. 따름정리

(제공된 원본 소스가 없으므로, 따름정리에 대한 내용을 작성할 수 없습니다. 원본 소스를 제공해주시면 지침에 따라 위키텍스트를 작성하겠습니다.)

5. 응용

보렐-카라테오도리 정리는 아다마르 인수분해 정리의 증명 등에서 미분 계수의 로그 값을 제한하는 데 자주 사용된다.^[1]

다음은 리우빌 정리를 강화한 형태이다.

'''개선된 리우빌 정리'''

만약 $f$ 가 전해석 함수이고, $\max_{z \in \partial B(0, r_k)} \Re(f(z)) = o(r_k^{n+1})$ 를 만족하는 수열 $r_k \nearrow \infty$ 가 존재한다면, $f$ 는 차수가 최대 $n$ 인 다항식이다.

'''증명'''

보렐-카라테오도리 보조정리에 의해, 모든 $0 < r< r_k$ 에 대해,

$\max_{z\in \partial B(0, r)}| f^{(n+1)}(z)| \leq \frac{4n!}{(r_k-r)^{n+2}} r_k M$

여기서 $M = \max_{z\in \partial B(0, r_k)} \Re(f(z)) = o(r_k^{n+1})$ 이다.

$r \leq \frac{r_k}{2}$ 로 놓고, $k \nearrow \infty$ 극한을 취하면:

$\max_{z\in \partial B(0, r)}| f^{(n+1)}(z)| = o(1) \to 0$

따라서 리우빌 정리에 의해, $f^{(n+1)}$ 은 상수 함수이고, 0으로 수렴하므로 0이다. 따라서 $f$ 는 차수가 최대 $n$ 인 다항식이다.^[1]

'''따름정리'''

만약 전해석 함수 $f$ 가 근이 없고, 유한한 차수 $\rho$ 를 가진다면, $f(z) = e^{p(z)}$ 이고, $p$ 는 $deg(p) \leq \rho$ 인 어떤 다항식이다.

'''증명'''

개선된 리우빌 정리를 $g = \log(f)$ 에 적용한다.^[1]

참조

_[1] 웹사이트 The Prime Number Theorem: A PRIMES Exposition https://math.mit.edu[...]
_[2] 웹사이트 Borel-Caratheodory Lemma and Its Application https://travorlzh.gi[...]
_[3] 서적 복소해석학개론 경문사
_[4] 서적 같은 책

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