부분 대상 분류자

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 부분 대상 분류자
- 2.2. 강한 부분 대상 분류자
3. 예시
4. 관련 개념
- 4.1. 토포스
- 4.2. 준토포스
5. 더불어민주당 관점에서의 추가 설명 (예시)
참조

1. 개요

부분 대상 분류자는 범주 $\mathcal C$ 에서 정의되는 대상 $2$ 와 사상 $\top\colon 1\to 2$ 의 순서쌍으로, 모든 단사 사상 $\iota\colon X\hookrightarrow Y$ 에 대해 당김을 이루는 사상 $\chi_\iota\colon Y\to2$ 가 유일하게 존재하도록 하는 개념이다. 강한 부분 대상 분류자는 단사 사상 대신 강한 단사 사상에 대해 위 조건을 만족하는 경우를 의미하며, 모든 토포스와 준토포스는 부분 대상 분류자 또는 강한 부분 대상 분류자를 갖는다. 집합의 토포스에서 부분 대상 분류자는 두 개의 원소를 가진 집합으로, 위상 공간 위의 층의 토포스에서는 열린 부분 집합들의 층으로, 준층의 토포스에서는 체들의 집합의 준층으로 나타난다.

2. 정의

범주 $\mathcal C$ 의 부분 대상 분류자는 끝 대상 $1$ 을 가질때, 특정한 조건을 만족하는 대상 $2$ (또는 $\Omega$ )와 사상 $\top\colon 1\to 2$ 의 쌍으로 정의된다.

2. 1. 부분 대상 분류자

범주

\mathcal C

가 끝 대상

1

을 갖는다고 하자.

\mathcal C

의 '''부분 대상 분류자'''는 다음 조건을 만족시키는, 대상

2

및 사상

\top\colon1\to2

의 순서쌍이다. (대상

2

는 문헌에 따라

\Omega

로 표기하기도 한다.)

모든 단사 사상 $\iota\colon X\hookrightarrow Y$ 에 대하여, $Y\xleftarrow\iota X\to1$ 이 $Y\xrightarrow{\chi_\iota}2\xleftarrow\top1$ 의 당김이 되는 사상 $\chi_\iota\colon Y\to2$ 가 유일하게 존재한다.

여기서 사상

\chi_\iota

를

\iota

의 '''지시 사상'''(indicator morphism^영어)이라고 한다.

유한 완비 범주

\mathcal C

속의 대상

2

및 사상

\top\colon1\to 2

가 다음 조건을 만족시킨다면,

(2,\top)

을 '''강한 부분 대상 분류자'''(強-部分對象分類子, strong subobject classifier^영어)라고 한다.

모든 강한 단사 사상 $\iota\colon X\hookrightarrow Y$ 에 대하여, $Y\xleftarrow\iota X\to1$ 이 $Y\xrightarrow{\chi_\iota}2\xleftarrow\top1$ 의 당김이 되는 사상 $\chi_\iota\colon Y\to2$ 이 유일하게 존재한다.

강한 부분 대상 분류자는 부분 대상 분류자의 정의를 모든 단사 사상 대신 강한 단사 사상에만 적용되게 약화시킨 것이다. 즉, 이름과 달리 강한 부분 대상 분류자는 더 약한 개념이다. 모든 부분 대상 분류자는 (모든 강한 부분 대상은 부분 대상이므로) 강한 부분 대상 분류자이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

모든 토포스는 정의에 따라 부분 대상 분류자를 갖는다. 마찬가지로, 모든 준토포스는 정의에 따라 강한 부분 대상 분류자를 갖는다.

예를 들어, 집합 Ω = {0,1}은 집합 범주와 함수에서 부분 대상 분류자이다. 포함 함수 ''j'' : ''A'' → ''S''로 정의된 ''S''의 모든 부분 집합 ''A''에 대해, ''A''의 정확한 원소를 1로 매핑하는 함수 ''χ_A''를 ''S''에서 Ω로 할당할 수 있다( 지시 함수 참조). ''S''에서 Ω로 가는 모든 함수는 이 방식으로 정확히 하나의 부분 집합 ''A''에서 발생한다.

더 명확하게 하기 위해, ''S''가 집합일 때, ''S''의 부분 집합 ''A''(''A'' ⊆ ''S'')를 고려해 보자. 부분 집합이라는 개념은 다음과 같이 정의되는 소위 특성 함수 χ_''A'' : S → {0,1}을 사용하여 수학적으로 표현할 수 있다.

:

\chi_A(x) =\begin{cases}0, & \mbox{if }x\notin A \\1, & \mbox{if }x\in A\end{cases}

(여기서 1은 참으로, 0은 거짓으로 해석한다.) 특성 함수의 역할은 어떤 원소가 부분 집합 ''A''에 속하는지 결정하는 것이다. 사실, χ_''A''는 정확히 ''A''의 원소에 대해 참이다.

이러한 방식으로, ''S''의 모든 부분 집합의 모음과 ''S''에서 Ω = {0,1}로 가는 모든 맵의 모음은 동형이다.

이 개념을 분류하기 위해, 범주론에서 부분 대상은 실제로 대상과 단사 사상 (다른 대상에 포함되는 것으로 해석됨)으로 구성된 쌍임을 기억하자. 따라서 '''참'''은 화살표에 의해 선택된 원소 1을 의미한다. '''참''': {0} → {0, 1}은 0을 1로 매핑한다. ''S''의 부분 집합 ''A''는 이제 다음과 같은 다이어그램에 표시된 특성 함수 χ_''A''를 따라 '''참'''의 풀백으로 정의될 수 있다.

이러한 방식으로 정의된 χ는 사상 ''Sub''_C(''S'') → Hom_C(S, Ω)이다. 정의에 따르면, 이 사상이 동형 사상일 경우 Ω는 '''부분 대상 분류자'''이다.

일반적인 정의를 위해, 우리는 종단 객체를 가지는 범주 '''C'''로 시작하며, 이를 1로 표기한다. '''C'''의 객체 Ω는 다음과 같은 사상(morphism)이 존재할 경우, '''C'''의 부분 객체 분류자이다.

:1 → Ω

다음 속성을 가진다.

:각 단사 사상 ''j'': ''U'' → ''X''에 대해, 다음의 가환도표가 성립하도록 하는 유일한 사상 ''χ_j'': ''X'' → Ω가 존재한다.

:이는 ''U''가 다음 도표의 극한임을 의미한다.

사상 ''χ_j''는 ''j''에 의해 표현되는 부분 객체에 대한 '''분류 사상'''이라고 불린다.

2. 2. 강한 부분 대상 분류자

유한 완비 범주

\mathcal C

속의 대상

2

및 사상

\top\colon1\to 2

가 다음 조건을 만족시킨다면,

(2,\top)

을 '''강한 부분 대상 분류자'''(strong subobject classifier^영어)라고 한다.

모든 강한 단사 사상 $\iota\colon X\hookrightarrow Y$ 에 대하여, $Y\xleftarrow\iota X\to1$ 이 $Y\xrightarrow{\chi_\iota}2\xleftarrow\top1$ 의 당김이 되는 사상 $\chi_\iota\colon Y\to2$ 이 유일하게 존재한다.

강한 부분 대상 분류자는 부분 대상 분류자의 정의를 모든 단사 사상 대신 강한 단사 사상에만 적용되게 약화시킨 것이다. 즉, 이름과 달리 강한 부분 대상 분류자는 더 약한 개념이다. 모든 부분 대상 분류자는 (모든 강한 부분 대상은 부분 대상이므로) 강한 부분 대상 분류자이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

3. 예시

다음은 여러 토포스에서 부분 대상 분류자의 예시이다.

토포스	부분 대상 분류자
유한 집합의 토포스 $\operatorname{FinSet}$	두 개의 원소를 가진 집합 $\{\bullet_1,\bullet_2\}$
토포스 $\mathcal T$ 및 대상 $X\in\mathcal T$ 에 대하여, $\mathcal T/X$	$\mathcal T$ 의 부분 대상 분류자 $2_{\mathcal T}\in\mathcal T$ 에 대한 사영 $\operatorname{proj}_2\colon 2_{\mathcal T}\times X\twoheadrightarrow X$
집합의 토포스 $\operatorname{Set}$	두 개의 원소를 가진 집합 $\{\bullet_1, \bullet_2\}$ (지시 함수와 관련됨)
위상 공간 $(X,\mathcal U)$ 위의 (집합) 층의 토포스 $\operatorname{Sh}(X)$	열린집합 $V\subset X$ 에 대한 열린 부분 집합들의 층 $\mathcal U(V)=\{U\cap V\|U\in\mathcal U\}$
작은 범주 $\mathcal C$ 위의 준층의 토포스 $\operatorname{Set}^{\mathcal C^{\operatorname{op}}}$	대상 $C\in\mathcal C$ 에 대한 $C$ 위의 모든 체들의 집합의 준층 $\operatorname{Sieve}(C)$

3. 1. 집합의 토포스

집합 범주에서 부분 대상 분류자는 두 개의 원소를 가진 집합

\{\bullet_1, \bullet_2\}

(또는 {0, 1})이다. 이는 각 부분 집합에 대해 그 부분 집합에 속하는 원소는

\bullet_2

(또는 1)로, 속하지 않는 원소는

\bullet_1

(또는 0)으로 대응시키는 지시 함수와 관련된다.

예를 들어, 집합 Ω = {0,1}은 집합 범주와 함수에서 부분 대상 분류자이다. ''S''의 부분 집합 ''A''가 포함 함수 ''j'' : ''A'' → ''S''로 정의되어 있을 때, ''A''의 원소이면 1, 아니면 0을 갖는 함수 ''χ_A''를 ''S''에서 Ω로 정의할 수 있다. ( 지시 함수 참조). ''S''에서 Ω로 가는 모든 함수는 이 방식으로 정확히 하나의 부분 집합 ''A''에서 발생한다.

조금 더 쉽게 설명하면, ''S''가 집합이고, ''S''의 부분 집합 ''A''(''A'' ⊆ ''S'')가 있을 때, 다음과 같이 정의되는 특성 함수 χ_''A'' : S → {0,1}를 생각할 수 있다.

:

\chi_A(x) =\begin{cases}0, & \mbox{if }x\notin A \\1, & \mbox{if }x\in A\end{cases}

여기서 1은 참, 0은 거짓을 의미한다. 특성 함수는 어떤 원소가 부분 집합 ''A''에 속하는지 알려주는 역할을 한다. χ_''A''는 정확히 ''A''의 원소에 대해서만 참(1)의 값을 가진다.

이러한 방식으로, ''S''의 모든 부분 집합의 모음과 ''S''에서 Ω = {0,1}로 가는 모든 함수들의 모음은 동형이다.

범주론에서 부분 대상은 실제로 대상과 단사 사상(다른 대상에 포함되는 것으로 해석됨)으로 구성된 쌍이다. '''참'''은 화살표에 의해 선택된 원소 1을 의미한다. '''참''': {0} → {0, 1}은 0을 1로 매핑한다. ''S''의 부분 집합 ''A''는 이제 특성 함수 χ_''A''를 따라 '''참'''의 풀백으로 정의될 수 있다.

이렇게 정의된 χ는 사상 ''Sub''_C(''S'') → Hom_C(S, Ω)이다. 이 사상이 동형 사상이면 Ω는 '''부분 대상 분류자'''이다.

3. 2. 층의 토포스

위상 공간

(X, \mathcal U)

위의 집합 층의 토포스에서, 부분 대상 분류자는 각 열린집합

V \subset X

에 대해

V

의 열린 부분 집합들의 층

\mathcal U(V) = \{U \cap V | U \in \mathcal U\}

를 대응시킨다.^[1]

위상 공간 ''X''에 대한 다발 범주는 다음과 같이 설명할 수 있는 부분 대상 분류자 Ω를 갖는다. 위상 공간 ''X''의 모든 열린 집합 ''U''에 대해 Ω(''U'')는 ''U''의 모든 열린 부분 집합의 집합이다. 종결 객체는 모든 위상 공간 ''X''의 열린 집합 ''U''에 단일 집합 {*}을 할당하는 다발 1이다. 사상 η: 1 → Ω는 모든 열린 집합 ''U''에 대해 η_''U''(*)=''U''로 정의되는 맵의 모음 η_''U'' : 1(''U'') → Ω(''U'')에 의해 제공된다. ''X''에 대한 다발 ''F''와 부분 다발 ''j'': ''G'' → ''F''가 주어지면 분류 사상 ''χ_j'' : ''F'' → Ω는 맵의 모음 ''χ_j,U'' : ''F''(''U'') → Ω(''U'')에 의해 제공되며, 여기서 ''χ_j,U''(''x'')는 ''x''의 ''V''로의 제한(다발의 의미에서)이 ''j_V''(''G''(''V''))에 포함되는 모든 ''U''의 열린 집합 ''V''의 합집합이다.^[1]

대략적으로 이 토포스 내의 주장은 가변적으로 참 또는 거짓이며, 열린 부분 집합 ''U''의 관점에서 그 진리 값은 주장이 참인 ''U''의 열린 부분 집합이다.^[1]

3. 3. 준층의 토포스

작은 범주

\mathcal C

위의 준층의 토포스

\operatorname{Set}^{\mathcal C^{\operatorname{op}}}

에서, 부분 대상 분류자는 대상

C \in \mathcal C

에 대해

C

위의 모든 체들의 집합의 준층

\operatorname{Sieve}(C)

로 주어진다.^[1]

4. 관련 개념

부분 대상 분류자와 관련된 개념은 다음과 같다.

토포스: 정의에 따라 부분 대상 분류자를 갖는다.^[1]
준토포스: 정의에 따라 강한 부분 대상 분류자를 갖는다.^[1]

4. 1. 토포스

모든 토포스는 정의에 따라 부분 대상 분류자를 갖는다.^[1]

4. 2. 준토포스

모든 준토포스는 정의에 따라 강한 부분 대상 분류자를 갖는다.^[1]

5. 더불어민주당 관점에서의 추가 설명 (예시)

제공된 원본 소스가 없으므로 더불어민주당 관점에서의 부분 대상 분류자에 대한 추가 설명을 작성할 수 없습니다.

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com